С понятием «средневековье» в нашем сознании ассоциируется разгул инквизиции, костры, на которых сжигали ведьм и еретиков, крестовые походы за «телом господним». Наука в те времена явно не находилась «в центре внимания общества». В этих условиях появление книги по математике «Liber abaci» («Книга об абаке»), написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Пизано (по прозвищу Фибоначчи), явилось важным событием в «научной жизни общества».

Кто же такой Фибоначчи? И почему его математические сочинения так важны для западно-европейской математики? Чтобы ответить на эти вопросы, нам необходимо воспроизвести историческую эпоху, в которую жил и творил Фибоначчи.

Необходимо отметить, что период с 11-го по 12-й века была эпохой блестящего расцвета арабской культуры, но вместе с тем и началом ее упадка. К концу 11-го столетия, то есть к началу Крестовых походов, арабы были, несомненно, наиболее просвещенным народом в мире, превосходя в этом отношении своих христианских врагов. Еще до Крестовых походов арабское влияние проникло на Запад. Однако наибольшее проникновение арабской культуры на Запад началось после Крестовых походов, которые ослабили арабский народ, но с другой стороны усилили арабское влияние на христианский Запад. Не только хлопок и сахар Палестины, перец и черное дерево Египта, самоцветные камни и пряности Индии ищет и ценит христианский Запад в арабском мире. Он начинает разбираться в том культурном наследии «великого античного Востока», хранителем которого стала арабская культура. Открывшийся мир не мог не ослепить своими красками и научными достижениями – и все шире становится в западном обществе спрос на арабские географические карты, учебники алгебры и астрономии, арабское зодчество.

Одной из интереснейших личностей эпохи крестовых походов, предвестницы эпохи Возрождения, был император Фридрих Гогенштауфен, ученик сицилийских арабов и поклонник арабской культуры. При его дворце в Пизе жил и работал величайший из европейских математиков средних веков Леонардо Пизано (по прозвищу Фибоначчи, что значит «сын Боначчи»).

Фибоначчи

О жизни Фибоначчи известно немного. Неизвестна даже точная дата его рождения. Предполагается, что Фибоначчи родился в восьмой декаде 12-го столетия (предположительно в 1170 г.). Его отец был купцом и государственным чиновником, представителем нового класса бизнесменов, порожденных «Коммерческой Революцией». В то время Пиза была одним из крупнейших коммерческих центров, активно сотрудничавших с исламским Востоком, и отец Фибоначчи активно торговал в одной из факторий, основанных итальянцами на северном побережье Африки. Благодаря этому обстоятельству ему удалось «устроить» своего сына, будущего математика Фибоначчи, в одно из арабских учебных заведений, где он и смог получить неплохое для того времени математическое образование.

Один из известных историков математики Морис Кантор назвал Фибоначчи «блестящим метеором, промелькнувшим на темном фоне западно-европейского средневековья». Он высказывает предположение, что, возможно, Фибоначчи погиб во время одного из Крестовых походов (предположительно в 1228 г.), сопровождая императора Фридриха Гогенштауфена.

Фибоначчи написал несколько математических сочинений: «Liber abaci», «Liber quadratorum», «Practica geometriae». Наиболее известным из них является «Liber abaci». Это сочинение вышло при жизни Фибоначчи в двух изданиях в 1202 г. и 1228 г. Книга состоит из 15 разделов, которые последовательно трактуют: о новых знаках индусов и как с их помощью изображать числа (раздел 1); об умножении, сложении, вычитании и делении чисел (разделы 2-5); об умножении, сложении, вычитании и делении чисел с дробями (разделы 6-7); о нахождении цен товаров и об их обмене, правиле товарищества и о правиле «двойного ложного положения» (разделы 8-13); о нахождении квадратных и кубических корней (раздел 14); и, наконец, о правилах, относящихся к геометрии и о задачах алгебры (раздел 15). Заметим, что Фибоначчи задумывал свое сочинение как пособие для купцов, однако по своему значению оно вышло далеко за пределы торговой практики и по существу представляло своеобразную математическую энциклопедию эпохи средневековья. С этой точки зрения особенный интерес представляет 12-й раздел, в котором Фибоначчи сформулировал и решил ряд математических задач, представляющих интерес с точки зрения общих перспектив развития математики. Этот раздел занимает почти третью часть сочинения и, по-видимому, ему Фибоначчи придавал наибольшее значение и в нем проявил наибольшую оригинальность.

Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является рассмотренная выше «задача о размножении кроликов», которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., названной впоследствии «рядом Фибоначчи».

Следующая известная задача, рассмотренная Фибоначчи, называется «задачей о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах» или просто «задачей о гирях». В русской историко-математической литературе «задача о гирях» известна под названием «задачи Баше-Менделеева», названной так в честь французского математика 17 в. Баше де Мезириака, который поместил эту задачу в своем «Сборнике приятных и занимательных задач» (1612 г.) и выдающегося русского химика Дмитрия Ивановича Менделеева, который интересовался этой задачей в бытность директором Главной Палаты мер и весов России.

Суть «задачи Баше-Менделеева» состоит в следующем: при какой системе гирь, имея их по одной, можно взвесить всевозможные грузы Q от 0 до максимального груза Q_max, чтобы значение максимального груза Q_max было бы наибольшим среди всех возможных вариантов? Известно два варианта решения этой задачи: (1) когда гири разрешается класть на свободную чашу весов; (2) когда гири разрешается класть на обе чаши весов.

В первом случае «оптимальная система гирь» сводится к двоичной системе гирь: 1, 2, 4, 8, 16, …, а возникающий при этом «оптимальный» алгоритм или способ измерения «порождает» классическую двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютеров.

Во втором случае «оптимальной» является «троичная» система гирь: 1, 3, 9, 27, 81, …, а возникающий при этом способ измерения «порождает» так называемую троичную симметричную систему счисления, которая была использована в «троичном» компьютере «Сетунь», созданном в 50-е годы в Московском университете.

Методологическое значение «задачи о гирях» состоит прежде всего в том, что она является одной из первых «оптимизационных» задач в истории математики. Во-вторых, она касается «проблемы измерения», то есть одной из фундаментальных проблем математики. В третьих, она связана с проблемой систем счисления, одной из фундаментальных проблем современной информатики. Именно развитие этой задачи с указанных точек зрения привело в последние годы к разработке так называемой «алгоритмической теории измерения», о которой мы расскажем позже.

Но возвратимся снова к Фибоначчи и его сочинениям. Хотя Фибоначчи был одним из наиболее ярких математических умов в истории западно-европейской математики, однако его вклад в математику незаслуженно принижен. Наиболее четко значение математического творчества Фибоначчи для математики подчеркнуто русским математиком проф. А.В. Васильевым в его книге «Целое число» (1919 г.):

«Сочинения ученого пизанского купца были настолько выше уровня математических знаний даже ученых того времени, что их влияние на математическую литературу становится заметным только через два столетия после его смерти в конце 15-го века, когда многие из его теорем и задач вводятся другом Леонардо да Винчи, профессором многих итальянских университетов Лукою Пачиоли в его сочинениях и в начале 16-го века, когда группа талантливых итальянских математиков: Сципион дель Ферро, Иероним Кардано, Тарталия, Феррари решением кубического и биквадратного уравнения положили начало высшей алгебре».

Из этого высказывания вытекает, что Фибоначчи почти на два столетия опередил западно-европейских математиков своего времени. Подобно Пифагору, который получил свое «научное образование» у египетских и вавилонских жрецов и затем способствовал передаче полученных знаний в греческую науку, Фибоначчи получил свое математическое образование в арабских учебных заведениях и многие из полученных там знаний, в частности, арабо-индусскую десятичную систему счисления, он попытался «внедрить» в западно-европейскую науку. И подобно Пифагору историческая роль Фибоначчи для западного мира состояла в том, что он своими математическими книгами способствовал передаче математических знаний арабов в западно-европейскую науку и тем самым заложил основы для дальнейшего развития западно-европейской математики.