«Золотой» прямоугольник

Золотое сечение очень широко используется в геометрии. Мы начнем наше путешествие по геометрическим свойствам золотого сечения с «золотого» прямоугольника, который имеет следующее геометрическое определение (Рис.1). Прямоугольник называется «золотым», если в нем отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции, то есть

АВ: ВС = t = .

Рассмотрим случай простейшего «золотого» прямоугольника, когда AB = t и BC = 1.

Рисунок 1. «Золотой» прямоугольник

Найдем теперь на отрезках АВ и DC точки E и F, которые делят соответствующие стороны АВ и DC в «золотом сечении».
Ясно, что АЕ=DF=1, тогда EB = AB — AE = t — 1 = .

Соединим теперь точки E и F отрезком EF и назовем этот отрезок «золотой линией». При этом с помощью «золотой линии» EF «золотой» прямоугольник ABCD оказывается разделенным на два прямоугольника AEFD и EBCF. Поскольку все стороны прямоугольника AEFD равны между собой, то этот прямоугольник есть ни что иное, как квадрат.

Рассмотрим теперь прямоугольник EBCF. Поскольку его большая сторона ВС=1, а меньшая ЕВ=, то отсюда следует, что их отношение ВС: ЕВ=t и, следовательно, прямоугольник EBCF является «золотым»! Таким образом «золотая» линия EF расчленяет исходный «золотой» прямоугольник ABCD на квадрат AEFD и новый «золотой» прямоугольник EBCF.

Проведем теперь диагонали DB и EC «золотых» прямоугольников ABCD и EBCF. Из подобия треугольников ABD, FEC, BCE вытекает, что точка G разделяет «золотым сечением» как диагональ DB, так и «золотую» линию EF. Проведем теперь новую «золотую» линию GH в «золотом» прямоугольнике EBCF. Ясно, что «золотая» линия GH разделяет «золотой» прямоугольник EBCF на квадрат GHCF и новый «золотой» прямоугольник EBHG. Более того, точка I делит «золотым сечением» диагональ EC и сторону GH. Повторяя многократно эту процедуру, мы получим бесконечную последовательность квадратов и «золотых» прямоугольников, которые в пределе сходятся к точке O.

Заметим, что такое бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур, то есть квадрата и «золотого» прямоугольника, вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство гармонии и красоты. Считается, что именно это обстоятельство является причиной того, что многие предметы прямоугольной формы, с которыми человек имеет дело (спичечные коробки, зажигалки, книги, чемоданы), зачастую имеют форму «золотого» прямоугольника. О применении «золотого» прямоугольника в архитектуре и живописи будет рассказано ниже.

«Пентагон» и «пентаграмма»

Слово «пентагон» (от греческого «pentagonon» — пятиугольник) нам хорошо известно из названия здания военного ведомства США, которое в плане имеет форму правильного пятиугольника («пентагона») (Рис. 2).

Рисунок 2. «Пентагон» или «пентаграмма»

Однако фигура на рис.1 имеет и другое название «пентаграмма» (от греческих слов «pentagrammon», «pente» – пять и «gramma» – линия), что означает правильный пятиугольник, на сторонах которого построены равнобедренные треугольники одинаковой высоты.

Диагонали «пентагона» образуют «пятиугольную звезду». Доказано, что точки пересечения диагоналей всегда являются точками «золотого сечения». При этом они образуют новый «пентагон» FGHKL. В новом «пентагоне» можно провести диагонали, пересечение которых образуют еще один «пентагон» и это процесс может быть продолжен до бесконечности. Таким образом, «пентагон» ABCDE как бы состоит из бесконечного числа «пентагонов», которые образуются точками пересечения диагоналей. Эта бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создает чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом.

В «пентаграмме» можно найти огромное количество отношений «золотой пропорции». Например, отношение диагонали «пентагона» к его стороне равно золотой пропорции.

Рассмотрим теперь последовательность отрезков FG, EF, EG, EB. Легко показать, что они связаны следующим отношением:

.

«Пентаграмма» всегда вызывала особое восхищение у пифагорейцев и считалась их главным опознавательным знаком. Существует следующая легенда. Когда на чужбине один из пифагорейцев лежал на смертном одре и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал, то он велел ему изобразить на своем жилище «пентаграмму», надеясь на то, что этот знак увидит кто-либо из пифагорейцев. И действительно, несколько лет спустя один пифагореец увидел этот знак, и хозяин дома получил богатое вознаграждение.

Золотая чаша и золотой равнобедренный треугольник

Пентаграмма на Рис.1 включает в себя ряд замечательных фигур, которые широко используются в произведениях искусства. В античном искусстве широко известен так называемый «закон золотой чаши» (Рис.3), который использовали античные скульпторы и золотых дел мастера. Заштрихованная часть «пентаграммы» на Рис.3 дает схематическое представление «золотой» чаши. Старшему поколению, выросшему при советской власти, хорошо известен советский «знак качества», в котором были использованы мотивы «золотой чаши». Когда в 1988 г. я работал визитинг-профессором Дрезденского технического университета и читал там лекции о золотом сечении для преподавателей, научных сотрудников и аспирантов Дрезденского технического университета, Университета г. Карлмарксштадта и Института кибернетики и информационных процессов Академии наук ГДР (Берлин), то упоминание о советском «знаке качества», основанном на «золотой чаше», всегда вызывало веселое оживление в зале. При этом реакция на этот пример всегда была однозначной: в Советском Союзе существовал «знак качества», но не было только продукции, соответствующей этому знаку, так как качество продукции советских заводов и фабрик по западным стандартам было весьма низким.

«Пятиугольная звезда», входящая в «пентаграмму», состоит из пяти равносторонних «золотых» треугольников, каждый из которых напоминает букву «А» («пять пересекающихся А») (Рис.4). Каждый «золотой» треугольник имеет острый угол А=36° при вершине и два острых угла D=C=72° при основании треугольника. Основная особенность «золотого» треугольника состоит в том, что отношение каждого бедра АС=AD к основанию DC равно золотой пропорции t. Исследуя «пентаграмму» и «золотой» треугольник, пифагорейцы были восхищены, когда обнаружили, что биссектриса DH совпадает с диагональю DB «пентагона» (Рис.2) и делит сторону АС в точке H золотым сечением (Рис.4). При этом возникает новый «золотой» треугольник DHC. Если теперь провести биссектрису угла H к точке Hў и продолжить этот процесс до бесконечности, то мы получим бесконечную последовательность «золотых» треугольников. Как и в случае с «золотым» прямоугольником и «пентаграммой» бесконечное возникновение одной и той же геометрической фигуры («золотого» треугольника) после проведения очередной биссектрисы вызывает эстетическое чувство красоты и гармонии.

Рисунок 3. «Золотая» чаша

Рисунок 4. «Золотой» треугольник