Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Семинары online

А.П. Стахов, Мустафа Калами Херис
Матричная криптография для цифровых сигналов

Oб авторе - А.П. Стахов
Oб авторе - Мустафа Калами Херис

Расширенная аннотация (А.П. Стахов)

Эта статья явилась результатом моего сотрудничества с иранским исследователем S. Mostapha Kalami Heris, которого заинтересовали некоторые мои статьи, касающиеся криптографии [4-7]. Суть идей, изложенных в работах [4-7], состояла в том, чтобы использовать специальный класс матриц, называемых матрицами Фибоначчи и «золотыми» матрицами, для кодирования информации, с целью ее защиты от искажений (корректирующие коды) и от несанкционированного доступа (криптография). При этом использовался «матричный метод» кодирования и декодирования. В этом методе исходная информация подставлялась в матричной форме, то есть в виде квадратной матрицы определенного размера. Затем эта матрица умножалась на кодирующую матрицу (матрицу Фибоначчи или «золотую» матрицу) того же размера, при этом получалась кодовая матрица, элементы которой направлялись в канал связи. Декодирование состояло в умножении кодовой матрицы, полученной из канала связи, на декодирующую матрицу, которая была инверсной к кодирующей матрице. В книге [4] и статье [5] было показано, что с использованием некоторых уникальных математических свойств матриц Фибоначчи на этой основе могут быть созданы корректирующие коды, которые обладают фантастической корректирующей способностью по сравнению с известными алгебраическими кодами (в 1 000 000 раз лучше, чем классические корректирующие коды). Кроме того, в предлагаемом методе кодирования объектами коррекции являются не биты и их сочетания, а элементы кодовой матрицы, которые могут быть числами огромной величины. Ясно, что такая теория корректирующих кодов представляет большой интерес для создания супернадежных информационных систем.

В статьях [6, 7] эта же идея использовалась для криптографической защиты информации. При этом использовались так называемые «золотые» матрицы, элементами которых являются гиперболические функции Фибоначчи, введенные в работе: Stakhov A., Rozin B. On a new class of hyperbolic function. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, Volume 23, Issue 2, 379-389.

Mostapha Kalami Heris в своем письме ко мне обратил мое внимание на то, что в качестве кодирующей и декодирующей матриц могут использоваться не только матрицы Фибоначчи или «золотые» матрицы, но и более широкий класс матрицы, известных в теории матриц как неособенные матрицы (non-singular matrices). Главной «особенностью» неособенных матриц является то, что их детерминант отличается от нуля. Меня заинтересовала эта идея, и мы начали исследовать такой метод криптографии. Мне пришлось глубже вникнуть в такую область информатики как криптография [1-3]. В результате изучения литературы по этой теме [1-3] удалось установить следующее:

1. Наиболее предпочтительной в современных криптографических системах считается «криптосистемы с открытым ключом», называемые также «асимметричными криптосистемами». В «асимметричных криптосистемах» используется два «криптографических ключа»:

- открытый ключ, который выставляется для всеобщего обозрения;

- секретный ключ, известный только получателю сообщения.

На передающей стороне с помощью «открытого ключа» формируется кодовое сообщение, которое направляется в «канал связи». Без знания «секретного ключа» расшифровать кодовое сообщение невозможно. Однако, получатель, знающий «секретный ключ», расшифровывает закодированное сообщение.

Основным достоинством «асимметричных криптосистем» [1], что стало причиной их широкого распространения в криптографической практике, является тот факт, что нет необходимости пересылать «секретный ключ» от получателя к отправителю сообщения.

2. В то же время «асимметричные криптосистемы» имеют существенный недостаток» по сравнению с «симметричными криптосистемами», на который обращается внимание в работах [2, 3]. Дело в том, что «асимметричные криптосистемы» значительно медленнее по сравнению с «симметричными криптосистемами», что затрудняет использование «асимметричных криптосистем» в информационных системах, работающих в реальном масштабе времени (примером таких информационных систем является цифровая телефония). В работе [3] отмечается, что «существенным недостатком «асимметричных алгоритмов» является то, что они гораздо медленнее (в 1000 и более раз) в сравнении с «симметричными алгоритмами».

Криптографическая практика нашла изящный выход для преодоления указанного недостатка «асимметричных криптосистем». Было выдвинута концепция «гибридных криптосистем» [2, 3]. Концепция гибридной криптосистемы [2, 3] является новым направлением в криптографии, которая объединяет преимущества «асимметричных криптосистем» с эффективностью «симметричных криптосистем». Гибридная криптосистема может быть сконструирована на основе двух раздельных криптосистем:

- «асимметричная криптосистема», которая используется для передачи криптографических ключей;

- «симметричная криптосистема», которая используется для передачи данных.

Предположим, что Боб и Алиса решили обменяться сообщениями. Предполагается, что у Боба и Алисы имеются «открытые криптографические ключи», используя которые они могут передавать некоторые сообщения в «медленном» режиме.

Предположим, что Боб желает передать Алисе сообщение m с использованием «гибридной криптосистемы». Для этого он делает следующее:

· Генерирует случайным образом «симметричный криптографический ключ» (скажем, s).

· Шифрует сообщение m с использованием «симметричной криптосистемы», используя ключ s.

· Шифрует ключ s , используя «публичный криптографический ключ» Алисы.

· Отсылает оба шифрованных сообщения Алисе.

Алиса использует свой «секретный криптографический ключ» для дешифрации ключа s, и затем использует ключ s для дешифрации сообщения m.

Ясно, что концепция гибридной криптосистемы позволяет объединить все преимущества «асимметричных» и «симметричных» криптосистем. Такой подход повышает интерес к новым криптографическим алгоритмам, в частности, к матричной криптографии.

Второй вопрос, который мы решали вместе с Mostapha Kalami Heris, - это поиск области эффективного использования матричной криптографии. Мы пришли к выводу, что наиболее эффективной областью является передача цифровых сигналов, примером которых является цифровая телефония, аудио и видеосигналы и т.д. В таких системах допускается некоторая погрешность при дешифрации сообщений. В качестве примера можно привести использование аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей (АЦП и ЦАП), которые широко используются в цифровой телефонии, аудио и видео системах. Ясно, что погрешность АЦП и ЦАП влияет на качество воспроизведения телефонного сигнала или аудио и видеосигнала. Но при достаточно высокой точности АЦП и ЦАП человеческий слух или зрение не в состоянии отличить отклонение сигнала от истинного сигнала. Подобное же происходит при использовании матричной криптографии. При шифрации и дешифрации могут происходить некоторые отклонения дешифрованного сигнала от исходного, но, благодаря особенностям человеческого восприятия, это не оказывает существенного влияния на качество передачи цифрового сигнала.

Итак, главная задача настоящей статьи – дать обоснование нового криптографического метода, названного матричной криптографией, который может быть использован в рамках «гибридной криптосистемы» для «быстрой» передачи цифровых сигналов в реальном масштабе времени.


Полный текст доступен в формате PDF (535Кб)


А.П. Стахов, Мустафа Калами Херис, Матричная криптография для цифровых сигналов // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17201, 09.01.2012

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru