Настоящая статья содержит некоторые соображения-зарисовки вокруг необычных позиционных систем счисления (СС) с иррациональными основаниями.

Дело даже не в их полезности, которая пока просматривается не очень отчётливо.

Можно даже сказать, с большим трудом.

Оно и не мудрено. Эти «системы счисления ... считают, прямо скажем, не очень. Семь потов сойдет, пока одно действие закончишь… Область применения этих систем – не вычисления, а контрольные, регистрирующие и сравнительные функции. И технологические. Проверить, выбрать, сдвинуть, изменить, передать и принять с наименьшими потерями, … вот для чего эти системы. Для них число не результат вычислений, а только предмет обработки» [1].

Тем не менее, здесь видится нечто иное и более масштабное, выходящее за привычные рамки рационального или ratio, означающего в самом широком смысле разумность и осмысленность. Как-то, система ценностей, эмпирическая адекватность, способность содержательного знания к росту и т.п.

Во-первых, к таким системам счисления пришли через число золотого сечения Ф, с которым иногда связывают некую гармонию или возможную связность мироздания.

Во-вторых, оказалось, что любое целое положительное число в Ф-коде можно записать в виде конечной суммы степеней основания Ф^k (k = ±1, ±2…), что весьма символично.

Подобное завораживающее свойство представления натуральных чисел через своих иррациональных собратьев пленяет в наибольшей мере своей невероятной экзотикой.

Весьма также необычно, что основы системы были созданы Дж. Бергманом (1957) в совсем юном возрасте 12 лет. Всё началось с очевидного равенства Ф² – Ф¹ = Ф^–2 + Ф^–1 = 1.

Большим популяризатором системы счисления Бергмана в последующем стал профессор А. Стахов. Он же предложил использовать в качестве иррациональных оснований другие числа – вещественные корни 1<λ_p<2 полинома x^p – x^p–1 – 1.

Основываясь на результатах работы [2], у нас возникли определённые сомнения [3] в сходимости λ_p-кодов – способности позиционной СС точно представлять каждое целое число в виде конечного разложения в символической записи. Тем более что данное положение его автор теоретически пока не обосновал.

Правда, не всё вышло гладко. В реплике [4] вполне справедливо обращено внимание на один дефект в нашем частном примере. Хотя нужно сказать, он и занимает-то ровным счётом две строчки текста и совершенно не отражает общую канву статьи [3] в части систем счисления. Узловые моменты остались за кадром. А критический взор устремился на демонстрационный пример, ровным счётом ничего незначащий для общего содержания.

Напомним также: «Сам метод науки – это метод проб и ошибок. Ошибки – её неотъемлемая часть. Ученый имеет право на ошибку... Можно видеть, я думаю, не менее 80–90% работ, гипотез и обобщений... не вошедших в сложившуюся систему научных представлений, то есть формально - ошибочных» [5]. "Ученый может ошибаться, но лжеученый настаивает на своих ошибках", - это вывод академика П. Капицы.

Хорошо если из современных описаний, моделей, предположений и других исследований в области золотого сечения со временем останутся 5–10% безошибочных положений и выводов.

От ошибок никто не застрахован. Ничего неприглядного в этом нет.

Главное, это вовремя их признавать и двигаться дальше. Что мы и делаем. И пока сосредоточим внимание на том, что вопрос сходимости λ_p-кодов остаётся открытым...

Выбранный нами стиль настоящего изложения больше тяготеет к научно-популярной форме эссе. Поэтому вполне допустимо позволить себе провести некоторые условно параллельные линии освещения темы.

Или, как говорится, немного отвлечёмся от главной темы...

формате PDF (209Кб)