Очень часто кто-нибудь высказывает темные предчувствия, которые потом другой исследователь доводит до полной ясности… Однако открытие все же следует датировать тем моментом времени, когда оно было высказано с такой ясностью, что могло повлиять на дальнейшее развитие. М. Лауэ

На свете есть вещи поважнее самых замечательных открытий – это знание метода, которым они были сделаны. Г. Лейбниц Метод важнее результата. Л. Ландау

Гуманитарное вступление к теме.

Программа профессора Стахова А.П. по «гармонизации» математики на основе «золотой пропорции» кажется излишне амбициозной только тем, кого раздражает ее размах – от глубокой ретроспективы до широкой перспективы. К тому же проект постоянно дополняется и развивается к чести его автора, не останавливающегося на достигнутом, весьма значительном по количеству новых идей и убедительном по качеству их обоснования. Поэтому, несмотря на вольную трактовку отдельных фактов и явную их нехватку для фундаментальных обобщений, программа канонизации чисел Фидия с рабочим названием «Математика Гармонии» достойна внимания наряду с другими проектами, один из которых (наиболее радикальный!) представлен ниже.

Как известно, большие идеи в науке не являются продуктом умственной деятельности одного лица. Достаточно вспомнить, что арифметика Диофанта, как первый учебник по решению простейших уравнений, опирается на сведения о числах, почерпнутые в трудах Евдокса и Евклида, написанных несколькими веками ранее. Но не надо думать, что авторы основополагающих книг сами открыли все там представленное. Нет, в свое время они были всего лишь старательными профессионалами, скрупулезно собиравшими в систему разрозненные решения, в том числе найденные до них безъимянными предшественниками. И вообще, любая утвердившаяся в науке дисциплина является эстафетой, участники которой бежали не на расстояние, а на время, ускорявшееся с каждым вновь обнаруженным фактом при полной неизвестности, сколько их еще надо для выхода на финишную прямую. Причем зачастую забег открывали никому неизвестные фантазеры-романтики, передававшие эстафетный символ энтузиастам-дилетантам, а у тех его принимали ученые-профессионалы, доводившие количество доказанных теорем до критической массы и столбившие систему аксиомами. Однако аксиомы, сформулированные в древности, не стоит считать пределом мудрости. Предки, чьи имена канонизированы наукой, не были умнее нас, а «исторически первое» и «безусловно верное» – не одно и то же.

Но хотелось бы знать, где начало той дороги, на которой однажды камнем преткновения восстала «золотая» пропорция? А поскольку это место в точности неизвестно, то будем считать стартовой позицией математической науки поштучный счет предметов, основанный на понятии единицы как первого числа. Однако, не возражая против мнения, что «натуральные числа создал Бог, а все прочее дело рук людских», все же зададимся вопросом: «имеют ли целые хоть какое-то отношение к физической реальности?» А если не имеют, то как тогда понимать Пифагора, считавшего, что «миром правят числа?» Хотя нельзя не согласиться, что его метафора безусловно верна для мира людей, издревле использовавших цифры в своей разносторонней деятельности наряду с буквами. То есть, по происхождению натуральные числа антропоморфны. И получается, что человек навязывает их природе, тогда как, наоборот, следовало бы извлечь их оттуда.

Точка и число в измерениях.

Из абстракций, переполняющих учебники, наиболее уязвимой является понятие точки как формы геометрических представлений о числах. И с точкой тесно связаны представления о непрерывности, пограничными знаками которой служат нуль и бесконечность, как бы взаимно обратные по отношению к единице. При этом роль последней возрастает до беспредела, поскольку на отрезке между ней и нулем умещаются все числа, обратные целым и положительным.

Как видно, числовая полуось, отмеченная точками, обозначающими натуральные числа, полностью инвертируется в интервал длиной в одну единицу. Причем в границах данного интервала умещаются также числа дробные, подразделяемые на рациональные и иррациональные не математически, но физически – по признаку их реализуемости в измерениях.

Именно стремление довести измерения до точки привели к понятию непрерывности, скорее декларированному, чем адекватному действительности, атомарное устройство которой не вызывает сомнений. Напротив, геометрию с аксиомой непрерывности в основании можно считать точной наукой условно, так как из нее изгнаны почти все числа. Ведь геометрические теоремы сформулированы и доказаны на буквах, которые якобы всегда можно оцифровать, предварительно выбрав масштаб. Так геометрия на долгое время оказалась впереди арифметики и утвердилось мнение, что она служит каркасом мироздания, несмотря на то, что, например, тракторные кривые по сути невидимы. И в действительности не существует той материальной точки, что в теории тяготения последовательно занимает места на эллипсе или на параболе, отмеченные точками геометрическими, которым приписаны действительные числа со смыслом координат.

Более того, абстрактные точки – материальная и геометрическая – породили понятие центра тяжести или центра масс, который еще называют центром инерции. Так математическая абстракция прочно вошла в физику, доказав свою полезность, несмотря на то, что точку, как нечто, не имеющее размера, нельзя ни присоединить к отрезку, ни отделить от него при том, что любую точку можно определить одним, двумя или тремя числами с размерностью расстояния, предваряя их буквами, как это делается в аналитической геометрии, например. При этом длину отрезка с нулем в начале выражают тем же числом, которым отмечают его концевую точку.

Таким образом, кризис математики, желаемый ее потенциальными реформаторами, сопровождает точнейшую из наук чуть ли не с момента рождения. Ведь вряд ли можно понять, каким образом неподвижные точки нулевого размера выстраиваются в ряд, образуя отрезок конечной длины, выражаемой каким-нибудь «действительным» числом. Причем данную странность не объясняют, а объявляют аксиомой, носящей имя Архимеда: измеряя больший отрезок меньшим, получим целое число и остаток в виде отрезка, меньше меньшего, а принимая тот масштабом, в результате повторного измерения найдем другое число, больше первого. И в конце концов при сравнении измеряемого отрезка с точкой определим его длину как бесконечную.

Аксиома Архимеда в приведенной формулировке, не отрицающей квантования, не только определяет натуральные числа и утверждает их бесконечность, но и является метрологическим постулатом, выведенным из практики измерений. При этом стоит обратить внимание на то, что от первого шага до последнего изменяется сам масштабный отрезок, из-за чего формально удлиняется оцениваемый объект. И как ни сложно оперировать переменной единицей, ее не стоит игнорировать при построении теории чисел, которая должна соответствовать устройству природы, не знающей никаких масштабов, но успешно функционирующей в рамках количественных отношений, среди которых «золотая пропорция» поражает своей красотой.

Общие пожелания к аксиоматике.

При тысячелетней известности «золотое сечение» остается загадкой, канонизация которой в рамках Математики Гармонии возможна, но несвоевременна по причине отсутствия веских оснований. Ведь аксиома Архимеда не прописывает процедуру получения чисел Фидия даже с помощью переменной единицы, а понятие гармонии по отношению к математике не представляется полностью корректным. Во-первых, потому, что гармония не есть нечто, существующее само по себе (как, например, Космос древних греков): в широком понимании – это отношение между тем и этим, то есть между двумя (как минимум!) предметами или понятиями. А во-вторых, данный термин противопоставляет математику с «золотым» началом существующей системе математических знаний, может быть избыточных по сравнению с той количественной теорией, которая адекватно отобразит устройство Вселенной с помощью «золотой пропорции».

Хотелось бы думать, что исключительно по причинам объективного характера возник и продолжается спор внутри славянской группы «золотоискателей» между «гармонистами» и «балалаечниками». Ведь почему-то последним дебаты по формулировкам показались важнее дискуссии по существу. Но при этом критика «балалаечников» в сторону «гармонистов» доходит до использования концертного инструмента в качестве биты, что отвлекает слушателей и зрителей от «божественной пропорции» как дирижера и гармонизатора ансамбля, участники которого еще только учатся играть по нотам. А «гармонистам», стойко обороняющим термины «золотой» революции от недоброжелательных высказываний противной стороны, стоит озаботиться вопросом: как бы, отмежевываясь от традиционной математики, не унести с собой ее проблемы, например, проблему точки и числа, представленную выше в связи с аксиомой Архимеда.

Привычка столбить принципами начала какой-либо научной дисциплины может показаться необходимостью, перед которой оказывается каждый собиратель фактов, намеренный привести их в систему. Так поступил Евклид: положив в основу пять постулатов, дополненных определениями, он систематизировал факты геометрии, придавая им форму теорем, знать которые должен каждый выпускник школы, получивший среднее образование. При этом в ходе учебы школьник осваивает индукцию и дедукцию как узаконенные математикой приемы доказательств. Но проще всего выглядит доказательство на основе традукции, допускающей умозаключения по аналогии. Однако Ньютон, пользуясь аксиоматическим методом при написании «Математических начал…», следовал за Евклидом по форме, но не по существу, а геометрию применял как вспомогательное средство, опираясь на дедукцию и индукцию в вопросах физики.

Напротив, «Математика гармонии» отстаивает свое право на существование с помощью традукции, выделяя внутри себя специфические разделы, подобно тому как элементарная математика в традиционном изложении состоит из геометрии, тригонометрии… и арифметики, дискретной по определению в отличии от двух других дисциплин. То есть, программа «гармонизации» математики сочетает аксиому непрерывности и фактическую дискретность рядов Фибоначчи и Люка, получаемых рекурсией. А так как понятия дискретности и непрерывности не соединит никакая гармония, то появление в рамках «золотой математики» раздела, подобного арифметике, может понизить значимость тригонометрии и весомость геометрических фактов, иллюстрирующих «золотую пропорцию» в границах, обозначенных традиционной аксиоматикой.

Выход за пределы действия известных аксиом не может быть плавным, но и не должен разрушить старую систему. Просто пристроиться к утвердившимся началам тоже не получится. Но можно дополнить «золотую гониометрию», подобную гиперболической тригонометрии, и «золотую геометрию», представленную правильным пятиугольником, «золотой арифмометрией», если доказать, что числа Фидия имеют метрические свойства. А свидетельства этого есть в естественных науках, отделяющих правду от вымысла экспериментально. Однако, приступая к поиску аксиом арифмометрии (назовем так программу, альтернативную Математике Гармонии), учтем, что ее понятия и их определения должны быть извлечены из имеющихся знаний о физической реальности и перенесены в реальную физику (РФ) как учебную дисциплину, подкрепленную объективной математикой (ОМ), соответствующей опытным фактам.

Прежде чем представить «золотую пропорцию» отдельно от «золотого сечения» с геометрическим смыслом и оторвать числа Фидия от алгебраических уравнений, препятствующих верному пониманию их свойств, презентуем арифмометрический метод числовыми решениями пары простых задач из механики и физики, где этот метод впервые обнаружил свои возможности.

формате WMV (2762Кб)

формате PDF (676Кб)