Статья Дениса Клещева поднимает очень глубокие проблемы развития современной науки и математики. Конечно, не со всеми утверждениями Дениса Клещева можно согласиться. Поэтому я прокомментирую только некоторые положения его статьи, с которыми я полностью согласен:

1. О Комиссии по лженаукам РАН. Ясно, что эта Комиссия, созданная по инициативе академика Виталия Гинзбурга для борьбы с Геннадием Шиповым, создателем современной «теории физического вакуума», давно стала позором РАН. Сейчас никто не знает о научных достижениях РАН, но все только и говорят о Комиссии по лженаукам. Создается такое впечатление, что это и есть главное достижение РАН за последнее десятилетие. Мне абсолютно непонятно, как в эту «Комиссию» записался академик С.П. Капица, которого я глубоко уважаю и у которого я выступал в его передаче «Очевидное – невероятное» в 1989 г. Я считаю, что чем быстрее будет ликвидирована эта «Лженаучная Комиссия», тем быстрее начнет восстанавливаться авторитет РАН.

2. О теории множеств Кантора. Я полностью разделяю точку зрения Дениса Клещева на эту теорию. О моем отношении к этой теории я написал в своей книге “The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science (World Scientific, 2009) следующее:

The greatest mathematical mystification of the 19th century

Величайшая математическая мистификация 19 века

The “strategic mistake” influenced considerably on the development of mathematics and mathematical education, was made in the 19th century. We are talking about Cantor’s Theory of Infinite Sets. Remind that George Cantor (1845 –1918) was a German mathematician, born in Russia. He is best known as the creator of set theory, which has become a fundamental theory in mathematics. Unfortunately, Cantor’s set theory was perceived by the 19th century mathematicians without proper critical analysis.

"Стратегическая ошибка", существенно повлиявшая на развитие математики и математического образования, была сделана в 19 веке. Речь идет о теории бесконечных множеств Кантора. Напомним, что Георг Кантор (1845 -1918) - немецкий математик, родившийся в России. Он наиболее известен как создатель теории множеств, которая стала одной из фундаментальных теорий в математике. К сожалению, теория множеств Кантора была воспринята математиками 19 в. без должного критического анализа

The end of the 19th century was a culmination point in recognizing of Cantor’s set theory. The official proclamation of the set theory as the mathematics fouindation was held in 1897: this statement was contained in Hadamard’s speech on the First International Congress of Mathematicians in Zurich (1897). In his lecture the Great mathematician Jacques Hadamard (1865-1963) did emphasize that the main attractive reason of Cantor's set theory consists of the fact that for the first time in mathematics history the classification of the sets was made on the base of a new concept of "cardinality" and the amazing mathematical outcomes inspired mathematicians for new and surprising discoveries.

Конец 19 в. был кульминационной точкой в признании теории множеств Кантора. Официальное провозглашение теории множеств фундаментом математики было сделано в 1897 году: такое провозглашение содержится в речи Хадамара на Первом Международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897). В своей лекции великий математик Жак Хадамар (1865-1963) подчеркнул, что основная причина привлекательности теории множеств Кантора состоит в том, что впервые в истории математики классификация множеств была сделана на базе новой концепции "мощности" и удивительные математические результаты вдохновили математиков на новые и удивительные открытия.

However, very soon the “mathematical paradise" based on Cantor's set theory was destroyed. Finding paradoxes in Cantor’s set theory resulted in the crisis in mathematics foundations, what cooled enthusiasm of mathematicians to Cantor’s set theory. The Russian mathematician Alexander Zenkin finished a critical analysis of Cantor’s set theory and a concept of actual infinity, which is the main philosophical idea of Cantor’s set theory.

Однако, очень скоро «математической рай", основанный на теории множеств Кантора, был разрушен. Обнаружение парадоксов в теории множеств Кантора привело к кризису в основаниях математики, что привело к охлаждению энтузиазма математиков к теории множеств Кантора. Российский математик Александр Зенкин провел критический анализ теории множеств Кантора и концепции актуальной бесконечности, которая является главной философской идеей теории множеств Кантора.

After the thorough analysis of Cantor’s continuum theorem, in which Alexander Zenkin gave the "logic" substantiation for legitimacy of the use of the actual infinity in mathematics, he did the following unusual conclusion [168]:

После тщательного анализа Канторовской теоремы о континууме, в котором Александр Зенкин дал "логическое" обоснование правомерности использования актуальной бесконечности в математике, он сделал следующее необычное заключение:

1. Cantor’s proof of this theorem is not mathematical proof in Hilbert’s sense and in the sense of classical mathematics.

1. Канторовское доказательство этой теоремы не является математическим доказательством как в смысле Гильберта, так и в смысле классической математики

2. Cantor’s conclusion about non-denumerability of continuum is a "jump” through a potentially infinite stage, that is, Cantor’s reasoning contains the fatal logic error of “unproved basis" (a jump to the “wishful conclusion").

2. Вывод Кантора о несчетности континуума является "прыжком" через потенциально бесконечную стадию, то есть, рассуждение Кантора содержит фатальную логическую ошибку "недоказанного базиса» (прыжок к "желаемому заключению»).

3.Cantor’s theorem, actually, proves, strictly mathematically, the potential, that is, not finished character of the infinity of the set of all “real numbers,” that is, Cantor proves strictly mathematically the fundamental principle of classical logic and mathematics: "Infinitum Actu Non Datur" (Aristotle).

3. Теорема Кантора, на самом деле, доказывает строго математически, потенциальный, то есть, не законченный характер бесконечности множества всех "действительных чисел", то есть, Кантор доказывает строго математически фундаментальный принцип классической логики и математики: " Infinitum Actu Non Datur " (Аристотель).

However, despite of so sharp critical attitude to Cantor's theory of infinite sets, the theoretic-set ideas had appeared rather "hardy" and were applied in modern mathematical education. In a number of countries, in particular, in Russia, the revision of the school mathematical education on the base of theoretic-set approach was made. As is well known, the theoretic-set approach assumes certain mathematical culture. A majority of pupils and many mathematics teachers do not possess and cannot possess this culture. What as a result had happened? In opinion of the known Russian mathematician, academician Lev Pontrjagin (1908-1988) [193], this brought “to artificial complication of the learning material and unreasonable overload of pupils, to the introduction of formalism in mathematical training and isolation of mathematical education from life, from practice. Many major concepts of school mathematics (such as concepts of function, equation, vector, etc.) became difficult for mastering by pupils... The theoretic-set approach is a language of scientific researches convenient only for mathematicians-professionals. The valid tendency of the mathematics development is in its movement to specific problems, to practice. Therefore, modern school mathematics textbooks are a step back in interpretation of this science, they are unfounded essentially because they emasculate an essence of mathematical method.”

Однако, несмотря на столь резкое критическое отношение к Канторовской теории бесконечных множеств, теоретико-множественные идеи оказались весьма "устойчивыми" и были использованы в современном математическом образовании. В ряде стран, в частности, в России, был сделан пересмотр школьного математического образования на основе теоретико-множественного подхода. Как известно, теоретико-множественный подход предполагает определенную математическую культуру. Большинство учеников и многие учителя математики не обладают и не могут обладать такой культурой. Что в результате произошло? По мнению известного русского математика, академика Льва Понтрягина (1908-1988), это привело "к искусственному усложнению учебного материала и необоснованной перегрузке учеников, к введения формализма в математическое образование и изоляции математического образования от жизни, от практики. Многие основные понятия школьной математики (например, понятия функции, уравнения, вектора, и т.д.) стали трудными для усвоения учащимися ...Теоретико-множественный подход является языком научных исследований, удобным только для математиков-профессионалов. Истинная тенденция развития математики состоит в своем движении к конкретным задачам, к практике. Таким образом, современные школьные учебники математики являются шагом назад в трактовке этой науки, они являются существенно необоснованными, потому что они выхолостили суть математического метода ".

Thus, Cantor’s theory of infinite sets based on the concept of “actual infinity” contains “fatal logic error” and cannot be considered as mathematics base. Its acceptance as mathematics foundation, without proper critical analysis, is one more “strategic mistake” in the mathematics development; Cantor’s theory is one of the major reasons of the contemporary crisis in mathematics foundations. A use of theoretic-set approach in school mathematical education has led to artificial complication of the learning material, unreasonable overload of pupils and to the isolation of mathematical education from life, from practice.

Таким образом, Канторовская теория бесконечных множеств, основанная на концепции "актуальной бесконечности" содержит "фатальную логическую ошибку" и не может рассматриваться как основание математики. Ее признание в качестве фундамента математики, без надлежащего критического анализа, является еще одной "стратегической ошибкой" в развитие математики; Канторовская теория является одной из основных причин современного кризиса в основаниях математики. Использование теоретико-множественного подхода в школьном математическом образовании привело к искусственному усложнению учебного материала, необоснованной перегрузке учеников и изоляции математического образования от жизни, от практики

Таким образом, моя точка зрения, изложенная два года назад в моей книге, полностью совпадает с точкой зрения Дениса Клещева.

Статья Дениса Клещева великолепно написана, содержит глубокие идеи и вместе с другими его публикациями подтверждает, что в российской науке появился философ и историк науки очень крупного масштаба, способный поднимать и правильно оценивать глобальные процессы, протекающие в современной науке и математике.