Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Конференции online

С.К. Абачиев
Треугольник Паскаля даёт новые стимулы для разработки математики гармонии
Oб авторе

Часть 1

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его может и десятилетний ребёнок. В то же время он скрывает в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд ничего общего.


Мартин Гарднер


Едва ли кто-нибудь из нематематиков в состоянии освоиться с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную и эстетическую ценность…


Норберт Винер

 

Двадцать лет спустя я возвращаюсь к своим публикациям 80-х гг. ХХ в. [1] и [2], которые остались мало замеченными. Тем не менее, в них представлены, несомненно, самые впечатляющие свойства треугольника Паскаля. Соответствующие цветные иллюстрации на рис. 1–11 говорят сами за себя.

На феноменологическом уровне эти свойства треугольника Паскаля впервые были выявлены мной в начале 1980 г. В общем, они, что называется, лежали на поверхности. Их математики могли открыть, начиная с П. Ферма и самого Б. Паскаля, который впервые подверг арифметический треугольник данного типа разностороннему исследованию. Тем не менее, математикам для выявления этого чрезвычайно впечатляющего комплекса свойств веками не хватало чёткого исходного понимания своих объектов как многоуровнево-иерархичных систем с относительно автономными комплексами свойств на разных структурных уровнях. Такой исходный взгляд на объекты познания стал утверждаться только во второй половине ХХ в. под влиянием понятий и принципов кибернетики. Идею перехода на цветографическую символику я в данной статье воспроизвожу именно так, как она и пришла мне в голову в начале 1980 г. на основе исходного понимания треугольника Паскаля как многоуровнево-иерархичной системы натуральных чисел.

Красочные феноменологические схемы, представленные на рис. 1–11, чрезвычайно интересны и автономны сами по себе. Их развитие от рис 2 к рис. 3, от рис. 4 к рис. 6 и от рис. 7 к рис. 11 направляется логикой усложнения идеально симметричных фракталов на плоскости. Эти фракталы детерминистские, т. е. имеющие однозначные алгоритмы построения из элементарных форм-модулей до сколь угодно развитых форм (теоретически). Но в конце 1987 г. мне удалось найти систематическое объяснение этой радужной фрактальной феноменологии. На началах рекуррентной формулы из комбинаторики она может быть легко и единообразно рассчитана вручную, без помощи компьютера. Но в этой связи мной была выявлена фундаментальная парадоксальность такого метода расчёта. О ней речь пойдёт в конце данной статьи.

Всё это превращает треугольник Паскаля в уникальный объект познания. Его элементарность на высшем уровне структурной организации натуральных чисел совмещается с нетривиальностью на низшем, наиболее глубоком уровне простых субэлементов-делителей. Исследование его свойств на высшем уровне доступно и школьнику. То же можно сказать и про исследование его глубинных свойств на феноменологическом уровне цветографических схем. Но при этом исследователь уже «предметно» приобщается к современным открытым проблемам теории чисел, комбинаторики, теории групп, фрактальной геометрии и даже синергетики, которые уникально сведены воедино на наиболее глубоком структурном уровне треугольника Паскаля. «Школьная» элементарность исследования при этом переходит в полноценное академическое исследование. Тщательно анализируя поуровневое познание этого уникального математического объекта, можно воочию увидеть и прочувствовать гносеологические законы становления и качественного реформирования теорий в физико-математических науках. Этими возможностями я сполна воспользовался в своей монографии по эволюционной теории познания [3, с. 268– 292, 300–350].

В настоящей статье я не представляю ничего нового по сравнению со своими публикациями 80-х гг. Я просто использую качественно новые возможности оперативности информирования о своих результатах, его полноты и широковещательности, которые за прошедшие два десятилетия предоставил Интернет. Идеально симметричные сложные цветографические субструктуры треугольника Паскаля, развиваемые из простых модулей, могут представлять систематический интерес в связи с оживлением в последние годы исследований модулярных форм и эллиптических функций.

Треугольник Паскаля используется для вычисления коэффициентов в полной формуле сокращённого умножения, которая известна как бином Ньютона. Алгоритм его построения элементарен. Вопреки традиции, я настаиваю на том, чтобы эту систему натуральных чисел наращивать не сверху вниз, а снизу вверх. Так лучше оттеняется момент её поступательного усложнения, особенно – на наиболее глубоком структурном уровне простых субэлементов-делителей.


Полный текст доступен в формате PDF (4311Кб)



С.К. Абачиев, Треугольник Паскаля даёт новые стимулы для разработки математики гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15301, 21.05.2009

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru