Мне всегда приятно читать статьи проф. С.Л. Василенко. Чувствуется высокий уровень математической культуры. Выводы и заключения оригинальны и неожиданны. В статье «Золотые» ряды Фибоначчи с произвольными начальными условиями он настойчиво проводит ту мысль, которую он уже высказывал в своих предыдущих статьях: всякие там числа Трибоначчи, р-числа Фибоначчи, золотые р-пропорции и «металлические пропорции» никакого отношения к теории чисел Фибоначчи и золотого сечения не имеют, поскольку в них отсутствует «золото». А вот предлагаемые им «Золотые» ряды Фибоначчи с произвольными начальными условиями – это и есть то, чем необходимо заниматься при развитии теории чисел Фибоначчи – так надо понимать статью Василенко. Однако у меня есть ряд замечаний к новой статье С.Л. Василенко:

1. Мое главное замечание состоит в том, что проф. С.Л. Василенко недостаточно знаком с западной математической литературой по теории чисел Фибоначчи. Дело в том, что «Золотые» ряды Фибоначчи с произвольными начальными условиями весьма детально исследованы в книге Vajda, S. Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications. Ellis Horwood limited (1989), которая является одной из лучших англоязычных книг в этой области. Подавляющее количество соотношений, которые проф. Василенко выдает за оригинальные, описаны в этой книге, что снижает научную ценность статьи Василенко. Отсутствие ссылки на эту широко известную книгу у меня вызывает большое удивление.

2. Теперь некоторые частные замечания. Наивно утверждать, что характеристический многочлен x²- mx - q впервые был введен Люка. С изучения этого простейшего многочлена и квадратного алгебраического уравнения x²-mx-q=0 начиналась алгебра, хотя, действительно, числовые последовательности, порождаемые этим многочленом, называются последовательностями Люка. Но Люка ограничился изучением простейших последовательностей – чисел Фибоначчи и Люка. Последовательности Люка ни в коей степени не умаляют исследований аргентинского математика Веры Шпинадель, которая впервые обратила внимание на некоторые важные и необычные свойства корней алгебраического уравнения x²-mx-q=0 , названных ею металлическими пропорциями. Кстати, по моей инициативе статья Веры Шпинадель по «металлическим пропорциям» The metallic means family and forbidden symmetries опубликована на сайте Академии Тринитаризма. К этим пропорциям независимо от Веры Шпинадель пришел Мидхат Газале, Джей Каппраф и Александр Татаренко, и на нашем сайте в свое время была бурная дискуссия, кто был первооткрывателем «металлических пропорций». Все же первой была Вера Шпинадель, а введенное ею название «металлические пропорции» уже прижилось в литературе, и я лично считаю, что нет необходимости изменять это название.

3. Что касается приоритета открытия р-чисел Фибоначчи, то эти рекуррентные последовательности, действительно, были открыты Витенько и Стаховым в 1970 г. Но понятие «золотые р-пропорции» было введено в книге Стахова «Введение в алгоритмическую теорию измерения» (Москва, Советское радио, 1977). В этой же книге показана глубокая математическая связь р-чисел Фибоначчи с Треугольником Паскаля и выведена математическое выражение, задающее р-числа Фибоначчи через биномиальные коэффициенты. Но главный результат книги – это новая теория измерения - алгоритмическая теория измерения, связанная с р-числами Фибоначчи, и теория р-кодов Фибоначчи как основа «компьютеров Фибоначчи».

Заключение по статье С.В. Василенко

1. Научная ценность статьи С.Л. Василенко существенно снижается из-за отсутствия ссылки на книгу Vajda, S. Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications. Ellis Horwood limited (1989), в которой уже получено большинство результатов, изложенных в статье.

2. С классификацией различных направлений в исследовании чисел Фибоначчи, предложенной С.В. Василенко, можно в принципе согласиться, но это дело вкуса. Я лично придерживаюсь той точки зрения, что обобщения чисел Фибоначчи и Золотого Сечения, сделанные в моих работах и работах Шпинадель, Газале, Каппрафа, Татаренко, могут привести (и уже привели) к новым научным результатам. И эти обобщения, хотя и не содержат в себе «золото» в чистом виде, представляют собой генеральную линию развития теории чисел Фибоначчи и Золотого Сечения. По существу классическая теория чисел Фибоначчи полностью исчерпала себя после публикации книги проф. Vajda и введения гиперболических функций Фибоначчи и Люка (Стахов, Ткаченко, Розин), которые являются математическим понятием более общим, чем числа Фибоначчи и Люка. Классическая теория чисел Фибоначчи и Люка является частным случаем более общей (непрерывной) теории гиперболических функций Фибоначчи и Люка, которые переводят «теорию чисел Фибоначчи и Люка» на новый (непрерывный) уровень. И никакие «золотые» ряды Фибоначчи с произвольными начальными условиями ничего принципиально нового в эту теорию не привнесут. В то же время «гиперболических функции Фибоначчи и Люка», «р-числа Фибоначчи», «золотые р-пропорции», связанные с Треугольником Паскаля, «металлические пропорции», «формулы Газале» и вытекающие из них новые классы гиперболических функций Фибоначчи и Люка приводят к новым математическим моделям, которые могут широко использоваться в теоретическом естествознании и компьютерной науке. Задача состоит в том, чтобы искать физические и биологические явления, которые соответствуют новым моделям. И такие явления уже найдены. Достаточно вспомнить о делении биологических клеток, основанных на р-числах Фибоначчи. Эти понятия уже вошли в математическую литературу, и искать новые названия для них, а тем более отделять их от «теории чисел Фибоначчи», не имеет никакого смысла.

3. Согласно общепринятой точки зрения, результативность той или иной научной теории оценивается наличием «неожиданных», непредсказуемых результатов. Новые научные результаты в области теории чисел Фибоначчи и Золотого Сечения уже привели к «неожиданным» научным результатом. Например, р-числа Фибоначчи лежат в основе р-кодов Фибоначчи и «компьютеров Фибоначчи». Золотые р-пропорции привели к новому геометрическому определению числа, что может привести к новой теории чисел. «Металлические пропорции» лежат в основе «формул Газале», которые являются обобщением «формул Бине». А «формулы Газале», в свою очередь, привели к созданию общей теории гиперболических функций и решению 4-й проблемы Гильберта. Эти примеры можно продолжить.

В заключение я хотел бы подчеркнуть, что все направления в этой области, которые приводят к новым и непредсказуемым результатам, можно только приветствовать. Но первый шаг любого серьезного исследователя состоит в том, чтобы тщательно изучить все, что сделано его предшественниками. Я считаю, что без предварительного изучения таких математических книг, изданных в западной литературе, как

Vajda, S. Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications

Dunlap. R.A. The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scientific (1997)

Herz-Fischler, R. A Mathematical History of the Golden Number. New York: Dover Publications, Inc. (1998).

Spinadel, Vera W. From the Golden Mean to Chaos. Nueva Libreria (1998), Second edition, Nobuko (2004)

Gazale, M. J. Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1999) (русский перевод, 2002)

Kappraff, J. Connections. The geometric bridge between Art and Science. Second Edition. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific (2001)

Kappraff, J. Beyond Measure. A Guided Tour Through Nature, Myth, and Number. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific (2002).

Olsen, S. The Golden Section: Nature’s Greatest Secret. New York: Walker Publishing Company (2006)

вряд ли стоит публиковать какие-либо результаты в этой области. Это рано или поздно приведет к недоразумению или открытию уже исследованного.