1. Введение

2. Определение числа

3. Количественные и порядковые функции чисел

4. Натуральные числа

5. Нуль и единица в ряду натуральных чисел

6. Аксиома счета

7. Понятие о системах счисления

8. Позиционные числа

9. Структурные элементы позиционных систем счисления

10. Однородные системы счисления

11. Унитарная система счисления

12. Неоднородные системы счисления

13. Структуры позиционных систем счисления

14. Структурные системы счисления

15. История систем исчисления

16. Выводы

Литература

1. Введение

В основе современной электронной вычислительной техники лежат числа и системы счисления, которые эти числа порождают. От эффективности последних зависят параметры вычислительных систем и устройств, в первую очередь показатели быстродействия и надежности. Среди систем счисления наибольшее распространение в вычислительной технике нашла двоичная система счисления. Эта система в силу своей простоты, выражающейся в нулевой сложности ее структуры, обеспечивает необходимый уровень основных параметров этой техники и пока что находится вне конкуренции. Однако сегодня обстановка в вычислительной технике вследствие значительных технологических достижений в области производства интегральных схем начинает радикально меняться, так как эти технологии позволяют в одной микросхеме размещать миллионы логических элементов, снизив тем самым в разы стоимость интегральных микросхем и повысив, при этом, их быстродействие. Отказоустойчивость этих микросхем, по крайней мере, на сегодня, даже возросла, что нельзя сказать об их устойчивости к помехам, вызываемых сбоями в работе.

Сбои – это достаточно распространенное явление в вычислительной технике и новые технологии не решают кардинально вопрос помехоустойчивости, а наоборот, иногда, в силу большой плотности логических элементов на одной подложке интегральной схемы и снижения напряжения питания для увеличения ее быстродействия, даже усугубляют его. Чтобы убедиться, что это действительно так, достаточно хотя бы вспомнить нередкие зависания компьютеров. Но компьютеры - это лишь видимая вершина айсберга в многочисленных применениях вычислительной техники и цифровых устройств. Их зависания, хотя и неприятны, но можно пережить. Значительно хуже дело обстоит с вычислительными системами и устройствами, где ошибки не допустимы, и тем более с техникой, работающей в реальном масштабе времени, где не остается времени на повторную операцию вычисления или передачу информации. Там ошибку необходимо не только обнаружить, а еще в тот же момент, когда она обнаружена, и исправить, то есть в данном случае речь идет о технике способной не только обнаруживать помехи, а и их исправлять.

Двоичная же система счисления, в силу своей предельной простоты, не обладает внутренней (естественной) избыточностью информации в своей структуре и, как следствие, не способна решать других задач, кроме задач арифметико-логических. Тем более она не может без посторонней помощи, которая проявляется во введении в нее внешней искусственной избыточной информации, обнаруживать и исправлять ошибки в своей работе. А такая внешняя избыточность, которая на сегодня широко используется в вычислительной технике, приводит к значительному росту аппаратурных затрат и соответственно к снижению надежности и быстродействия использующих ее вычислительных устройств. Поэтому этот хорошо отработанный путь повышения помехоустойчивости и отказоустойчивости вычислительной техники в какой-то степени в перспективе является тупиковым.

Однако существуют системы счисления и с более сложной структурой, чем двоичная система, – интеллектуальные (структурные), которые в силу не равной нулю сложности их структур способны за счет внутренне присущей им естественной избыточности информации обнаруживать и исправлять ошибки в своей работе. То есть такие системы счисления изначально, по своей природе, обладают свойствами помехоустойчивости и самоконтроля [1,2]. Кроме обычных арифметико-логических функций и защиты от помех такие системы счисления способны решать и другие более сложные задачи как, например, сжатия и защиты информации от несанкционированного доступа, порождения и перебора комбинаторных объектов, решения задач комбинаторной оптимизации и другие. Важно также и то, что эти системы счисления указанные задачи решают в аппаратном исполнении, что уже само по себе повышает надежность и быстродействие их работы, причем в разы. Но, кроме этого, быстродействие в них растет и за счет использования более простых алгоритмов работы по сравнению с алгоритмами, использующими двоичные системы счисления.

Имеется также возможность на основе интеллектуальных систем счисления строить отказоустойчивые вычислительные системы и устройства и все это за счет естественной избыточности, которая имеется в их структурах. Очевидный недостаток таких систем счисления – это повышенная сложность и соответственно избыточное по сравнению с двоичной системой счисления количество требуемых для их реализации аппаратурных затрат. Но, как уже отмечалось выше, сегодня стоимость интегральных микросхем растет значительно медленней, чем сложность реализуемых ими алгоритмов. Поэтому такой рост следует считать экономически оправданным.

Исходя из вышесказанного, можно уверенно утверждать, что при разработке новых видов вычислительной техники и новых информационных технологий нужно использовать наряду с традиционными позиционными системами счисления и уже имеющиеся наработки в области интеллектуальных систем счисления. Также необходимо проводить поиск новых таких систем счисления и использовать их преимущества по сравнению с другими системами счисления, которые на данное время уже применяются на практике и, в частности, с двоичной системой.

Но чтобы решать указанные задачи важно выяснить, что же в самом общем виде представляют собой число и система счисления. Это не такая уж и простая задача, как может показаться на первый взгляд, и, конечно, она не может быть полностью решена в данной работе, но все же некоторые аспекты ее решения, рассматриваемые ниже, будут полезны для окончательного решения поставленной задачи в дальнейшем.

2. Определение числа

В основе понятия числа лежит абстракция в виде количества элементов конечного множества, которое по своей сущности не имеет формы. Однако число обладает большей общностью, чем количество, поскольку, кроме того, что несет в себе информацию о нем, еще и придает ему специфическую форму в виде кодового изображения. Именно наличие этого изображения позволяет выполнять над количеством разные арифметические и логические операции.

При этом следует обратить особое внимание на то, что одно и то же количество может изображаться по-разному. Например, десятичное число 123 может иметь еще изображение, в форме двоичного числа 1111011. Таких последовательностей, которые кодируют одно и то же количество, но имеют разный вид, может быть неограниченно много. Поэтому нужно отличать количество элементов, кодируемое числом, от непосредственного изображения, которое формирует его в виде числа. От изображения или формы числа в большой степени зависит эффективность выполнения арифметических и логических операций над ним.

Однако и форме числа могут отвечать разные количества. Например, пятеричное число 123 кодирует совсем другое количество, чем такое же за видом десятичное число 123. В первом случае пятеричное число 123 кодирует в десятичной системе счисления количество 38, а во втором - 123. Более того, последовательность знаков 123 может рассматриваться даже не как число, а как перестановка из трех элементов, и тогда эта последовательность элементов не кодирует никакого количества вообще .

Как выходит из сказанного выше, с одной стороны под числом можно понимать кодовое изображение количества, а из второй - само количество. Так число и воспринимается в данной работе, то есть оно рассматривается, или же, как количество, или же, как изображение этого количества в виде какой-то из его форм, или же, как это и другое понятие совместно. Понятие числа, которое используется в данной работе, будет видно из контекста. Оно зависит от акцентирования материала, который подается.

В соответствии с двумя вышеназванными функциями числа, с одной стороны как носителя количества, а с другой как ее изображения, существуют две связанные с ними теории. Первая изучает свойства чисел безотносительно к форме их представления. Этим занимается такая непростая наука как теория чисел. Вторая теория находит способы эффективного формирования чисел путем их кодирования, то есть придания им формы. Это уже будет другая наука – теория кодирования чисел.

Важную роль при кодировании чисел играет их особый вид, который называется цифрами. Цифры – это такие специфические числа, из которых складываются как угодно большие другие числа. Порядок размещения цифр в числах может быть разный. Чаще всего это будет линейная форма, когда цифры идут последовательно одна за другой, но могут быть и размещение цифр на плоскости в виде матриц. В тех или иных размещениях цифр проявляется способ кодирования чисел, от которого во многих случаях зависит эффективность их использования на практике.

3. Количественные и порядковые функции чисел

Число, кроме количества, также используется для определения порядка, который складывается между элементами множеств. Такое число называется еще номером. Как правило, это будет целое неотрицательное число. Но, как уже говорилось выше, число кодирует также и количество. То есть в общем плане за своими функциями число должно давать возможность получать ответ на вопрос, как о количестве элементов во множествах, так и о порядке их размещения в них. В первом случае ответ будет иметь вид - один, два, три ..., а во втором - первый, второй, третий … .

На ответе к первому из приведенных выше вопросов базируются количественные операции над элементами множеств, а на ответе ко второму – разные способы упорядочения этих элементов. Количественные операции изучает теория кардинальных чисел, а порядковые - теория порядковых чисел. Эти теории очень важны для понимания природы числа, которая до сегодняшнего дня, еще не совсем определена, и поэтому нуждается в дальнейших исследованиях.

Способы кодирования чисел не зависят от того, что определяется, – количество или порядок элементов во множествах, то есть по виду чисел можно как устанавливать количество элементов во множествах, так и номер элементов в них по порядку. Например, число 120 может определять количество - сто двадцать, а может и порядок - сто двадцатый. Другими словами свойства количества и порядка, как уже отмечалось это и ранее, отличаются между собой. Ответ на количество элементов в множестве дает количественное число, а на порядок размещения элементов в нем – порядковое число, то есть его порядковый номер.

Только числа, которые владеют указанными двумя функциями, могут считаться достаточно эффективными при их использовании на практике, потому что с помощью этих функций можно получить ответы на вопросы: сколько элементов содержит множество, и какое место в нем по порядку занимает тот или иной элемент? В последнем случае решается задача нумерации чисел.

При этом номерами, обычно, называются числа, которые не только решают вопросы нумерации элементов, но и требуют для своего построения минимального числа знаков. То есть не каждое число можно считать номером, а только то, которое несет в себе максимальное количество информации, а значит, не является избыточным. Поэтому задача нумерации относится не только к задаче определения порядка, а также и к задаче сжатия информации.

формате PDF (459Кб)