|
|
Ю.А. Митропольский
(Академик Национальной Академии Наук Украины, Почетный директор Института математики НАНУ )
Несмотря на все трудности развития современной украинской науки, в ней все же есть ученые, которые благодаря своим научным достижениям и публикациям в западных журналах уже стали своеобразными научными «брэндами» Украины в мировом научном сообществе. Одним из ярких представителей украинской науки в современном научном сообществе является доктор технических наук, профессор Алексей Петрович Стахов, опубликовавший в последние годы в западных научных журналах около 20 статей фундаментального характера (!). Научное направление проф. Стахова, получившее название «Математика Гармонии», относится к разряду крупных научных направлений, получивших широкое международное признание. Оно носит фундаментальный характер и затрагивает, прежде всего, основания математики и компьютерной науки, но также имеет прямое отношение к теоретической физике, ботанике, биологии и даже к искусству. В этом нетрудно убедиться, просмотрев перечень важнейших публикаций проф. Стахова на эту тему [1-36].
Я знаю проф. Стахова около 30 лет и слежу за его научным творчеством, наверное, с момента публикации его первой книги «Введение в алгоритмическую теорию измерения» [1], которая была представлена Стаховым в 1979 г. на научном семинаре Института математики Академии наук Украины. Но особенно мой интерес к научным исследованиям проф. Стахова повысился после его блестящего выступления в 1989 г. на заседании Президиума Академии наук Украины, в котором проф. Стахов доложил о научных и инженерных разработках в области «компьютеров Фибоначчи», выполненных под его научным руководством в Винницком политехническом институте.
Я достаточно хорошо знаком с научными работами Стахова еще и потому, что благодаря моим рекомендациям многие из его статьей были опубликованы в украинских академических журналах, таких, как «Доклады Академии наук Украины» и «Украинский математический журнал». В апреле 1998 г. по моей инициативе проф. Стахов выступил с обширным докладом по своему научному направлению на заседании Украинского математического общества, и этот доклад вызвал оживленную дискуссию. По просьбе Стахова я написал «Вступительное слово» к его книге «Математика живой природы: гиперболические функции Фибоначчи и Люка» [9], опубликованной в 2003 г. небольшим тиражом. В последние годы вплоть до отъезда Стахова в Канаду в начале 2004 г. мы поддерживали активные творческие контакты, часто встречались. В процессе этих встреч я сумел убедиться в высокой научной квалификации проф. Стахова и энциклопедическом характере его познаний в различных областях современной науки, в частности, я был удивлен его прекрасными познаниями в области истории математики.
... В 1976 г. Венский технический университет приглашает Стахова для 2-месячной работы в качестве визитинг-профессора. Его выступление в Австрии с обширным докладом «Алгоритмическая теория измерения и основания компьютерной арифметики» на объединенном заседании Компьютерного и Кибернетического обществ Австрии стало переломным моментом в его научной карьере. Блестящие отзывы ведущих австрийских ученых на доклад проф. Стахова стали причиной письма, направленного Послом СССР в Австрии И. Ефремовым в Государственный Комитет СССР по науке и технике и Государственный Комитет СССР по делам изобретений и открытий. На основании этого письма на государственном уровне принимается решение о патентовании изобретений проф. Стахова в области «Компьютеров Фибоначчи» во всех ведущих странах-продуцентах компьютерной техники. Следует отметить, что патентование советских изобретений за рубежом всегда считалось очень дорогой в финансовом отношении процедурой, и такое решение принималось только в исключительных случаях. Именно таким «исключительным случаем» и были изобретения Стахова, которые открывали новые перспективы в развитии компьютерной техники. Результаты патентования превзошли все ожидания. Все западные эксперты признали научную новизну и оригинальность изобретений Стахова, в совокупности защищающих новую идею в развитии компьютеров – «Компьютеры Фибоначчи». 65 зарубежных патентов США, Японии, Англии, ФРГ, Франции, Канады и др. стран – таков итог воистину титанической патентно-изобретательской деятельности Стахова и его учеников. И это его достижение является в некотором смысле уникальным и непревзойденным в советской компьютерной науке.
Именно эти патенты стали основой тех инженерных проектов, которые были выполнены в Винницком политехническом институте под руководством Стахова. Специальное конструкторское бюро «Модуль» Винницкого политехнического института, которое проф. Стахов возглавлял в период с 1986 по 1989 гг., стало тем полигоном, где создавались и испытывались новые образцы компьютерной и измерительной техники. Некоторые из них, например, 18-разрядный самокорректирующийся аналого-цифровой преобразователь, превышали по своим техническим параметрам мировой уровень. Благодаря энергичной деятельности Стахова в качестве директора СКТБ «Модуль» на развитие этого направления были выделены большие финансовые средства в соответствии с Постановлением Советского Правительства по «оборонной тематике». Несмотря на огромную научно-организационную деятельность, Стахов продолжал в этот период и активную научную работу. В 1984 г. издательство «Радио и связь» (Москва) опубликовало книгу А.П. Стахова «Коды золотой пропорции» [3], которая получила широкую известность, как в СССР, так и за рубежом.
... В 1988 г. по инициативе известного немецкого ученого академика Кемпе, ознакомившимся с работами Стахова по «Компьютерам Фибоначчи», проф. Стахов был приглашен в качестве визитинг-профессора Дрезденского технического университета. В ГДР проф. Стахов выступил с лекциями и докладами в ведущих университетах Дрездена, Берлина, Карлмарсштадта. По результатам его пребывания в ГДР газета «Правда» опубликовала большую статью, посвященную научному направлению Стахова и реакции на это направление со стороны немецких ученых. Возможно, под влиянием этой публикации в центральной советской газете (не так уж часто центральная пресса рассказывала о научных достижениях украинских ученых) было принято решение заслушать доклад Стахова на заседании Президиума АН УССР. Такое заседание состоялось в июне 1989 г. Я, как член Президиума, могу подтвердить, что доклад проф. Стахова произвел большое впечатление на членов Президиума. По результатам доклада было принято Постановление Президиума, в соответствии с которым в Винницком политехническом институте была организована совместная «Лаборатория компьютеров Фибоначчи» Академии наук УССР и Минвуза УССР. По результатам заседания Президиума академический журнал «Вісник АНУ” опубликовал большую статью Стахова «За принципом золотої пропорції: перспективний шлях розвитку обчислювальної техніки» [12]. Статья была опубликована в двух номерах журнала за 1990 г. и по итогам конкурса была признана лучшей статьей этого академического журнала за 1990 г.
К сожалению, «горбачевская перестройка» и последовавший за ним распад СССР привели к резкому сокращению финансирования научных разработок по «оборонной тематике», что нанесло катастрофический удар по научному направлению Стахова и по научному коллективу, созданному им в Винницком политехническом институте. По существу коллектив распался, а инженерные разработки по этому направлению были прекращены. Однако теоретические исследования, к счастью, продолжались и именно в последнем десятилетии 20-го века и начале 21-го века Стаховым были получены основные теоретические результаты, которые были положены в основу его «Математики Гармонии».
... В мае 2003 г. эта книга была представлена им в Московском университете на объединенном заседании двух престижных семинаров, семинара «Геометрия и Физика» кафедры теоретической физики Московского университета и междисциплинарного семинара «Симметрия в науке и искусстве» при Институте машиноведения РАН. Доклад вызвал огромный интерес ведущих российских ученых в области математики, теоретической физики и компьютерной науки.
... Алгоритмическая теория измерения. А теперь мне хотелось бы остановиться на сути научных результатов, полученных Стаховым. Основная особенность научного творчества А.П. Стахова состоит в необычном взгляде на ряд старинных математических задач. Начну с книги «Введение в алгоритмическую теорию измерения» [1]. Благодаря этой книге проф. Стахов стал признанным ученым в области современной теоретической метрологии. Для современной математики важно, что в этой книге изложено новое математическое направление в теории измерения – алгоритмическая теория измерения, которая является первой оригинальной математической теорией, созданной проф. Стаховым. Эта теория берет свое начало в старинной математической задаче «О выборе наилучшей системы гирь», сформулированной известным итальянским математиком Фибоначчи еще в 13 в. В российской историко-математической литературе эта задача носит название «задачи Баше-Менделеева». Такое название она получила в честь французского математика 17-го века Баше де Мезириака, который поместил ее в своем «Сборнике приятных и занимательных задач», и выдающегося русского ученого Дмитрия Ивановича Менделеева, который интересовался этой задачей в бытность Директором Главной Палаты мер и весов России.
Известны два варианта решения этой задачи. Для случая, когда гири при взвешивании разрешается класть только на «свободную чашу», оптимальной является так называемая «двоичная» система гирь {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...}. При этом «двоичный» алгоритм измерения «порождает» классическую «двоичную» систему счисления, которая лежит в основе современных компьютеров. Если же гири разрешается класть на обе чаши гирь, то оптимальной является «троичная» система гирь {1, 3, 9, 27, 81, ...}, которая «порождает» троичную систему счисления. Таким образом, «оптимальность» решения зависит от того, какие ограничения или условия мы накладываем на процесс взвешивания.
И вот здесь Стахов проявил чудеса изобретательности. Исследуя первый вариант этой задачи, он обнаружил одно свойство процесса взвешивания, на которое не обращали внимание ни Фибоначчи, ни Баше, ни Менделеев. Оказывается, что после того, как мы положили гирю на свободную чашу весов, наши дальнейшие действия зависят от того, в каком положении оказываются весы. Если весы остались в том же положении, то следующий шаг состоит в том, чтобы добавить очередную гирю на «свободную» чашу. В противном случае, то есть, когда весы перешли в противоположное положение, мы должны выполнить две операции, то есть, сначала снять предыдущую гирю со «свободной» чаши весов, и лишь затем (после возврата весов в исходное положение) положить на «свободную» чашу очередную гирю. Таким образом, в первом случае мы должны выполнить одну операцию, а во втором – две, причем эти операции сопровождаются возвратом весом в исходное положение. Это простое наблюдение привело Стахова к формулировке так называемого «Принципа асимметрии измерения» и новой формулировке старинной математической задачи, к созданию «алгоритмической теории измерении» и, в конечном итоге, к защите докторской диссертации на эту тему! При этом Стахов совершенно неожиданно для себя и для всего научного сообщества открыл новый класс числовых последовательностей, которые для заданного целого р=0, 1, 2, 3, ... «порождаются» следующим рекуррентным соотношением:
Fp(n+1) = Fp(n)+Fp(n-p) (1)
при начальных условиях:
Fp(1) = Fp(2) = ... = Fp(p+1) = 1. (2)
Заметим, что при р=0 рекуррентная формула (1), (2) генерирует «двоичные числа 1, 2, 4, 8, ..., а при р=1 – знаменитые числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , открытые все тем же неутомимым Фибоначчи при решении «задачи о размножении кроликов». На этом основании Стахов назвал числовые последовательности, порождаемые (1), (2), обобщенными числами Фибоначчи или р-числами Фибоначчи. Оказалось, что р-числа Фибоначчи выражают некоторые важные математические свойства «треугольника Паскаля», что также было доказано проф. Стаховым в его книге [1].
Коды и компьютеры Фибоначчи. Обнаруженные Стаховым «оптимальные» системы гирь, основанные на (1), (2), «порождают» новые позиционные представления натуральных чисел N следующего типа:
N = anFp(n) + an-1Fp(n-1) + ... + aiFp(i) + ... + a1Fp(1), (3)
где an, an-1, ... , a1- двоичные цифры {0, 1}, а Fp(i) – веса разрядов позиционного представления (3).
Заметим, что позиционное представление (3), найденное Стаховым еще в 1966 г. и названное им «кодом Фибоначчи», является весьма широким обобщением классического двоичного представления, которое является частным случаем представления (3) для р=0. Но если классическое двоичное представление и связанная с ним двоичная арифметика есть основа современных компьютеров, то у Стахова сразу же возникла идея разработать новую компьютерную арифметику, которая могла бы стать основой «компьютеров Фибоначчи»! И с этой задачей Стахов блестяще справился. Именно позиционное представление (3) и вытекающая из него новая компьютерная арифметика стали основой проекта «Компьютеров Фибоначчи» - нового направления в компьютерной технике. «Алгоритмы Фибоначчи» и вся «арифметика Фибоначчи» были воплощены Стаховым и его учениками в новые устройства компьютерной и измерительной техники (счетчики Фибоначчи, сумматоры Фибоначчи, множительные и делительные устройства, аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи и др.), которые и стали техническими устройствами, запатентованными за рубежом.
Обобщение задачи о Золотом Сечении. Из «Начал» Евклида к нам пришла «задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». Суть ее состоит в том, чтобы разделить отрезок АВ точкой С на две неравные части в такой пропорции, чтобы отношение всего отрезка АВ к большей части АС равнялось бы отношению большей части АС к меньшей части СВ, то есть:
(4)
В современной науке эта задача называется «золотым сечением» отрезка. Легко доказать, что решение задачи сводится к простейшему алгебраическому уравнению
x2 = x + 1, (5)
положительный корень которого 
и называется «золотой пропорцией» или «золотым числом». На протяжении многих тысячелетий «Золотое Сечение» было предметом пристального внимания Пифагора, Платона, Евклида, а затем Леонардо да Винчи, Луки Пачоли, Иоганна Кеплера, а в современной культуре гениального российского философа Алексея Лосева и выдающегося кинодраматурга Сергея Эйзенштейна.
И вот в 1977 г. появляется обобщение этой знаменитой математической задачи [1]. И сделал это украинский ученый Алексей Стахов! Суть этого обобщения предельно проста. Зададимся неотрицательным целым числом р=0, 1, 2, 3,... и разделим отрезок АВ точкой С в такой пропорции, чтобы было:
(6)
Как показал Стахов, решение задачи сводится к алгебраическому уравнению
xp+1 = xp + 1, (7)
корни которого называются «обобщенными золотыми пропорциями» или «золотыми р-пропорциями» τp. Ясно, что при р=1 пропорция (6) сводится к пропорции (4).
Давайте вдумаемся в этот результат. В течение нескольких тысячелетий, начиная с Пифагора и Платона, человечество пользовалось широко известным классическим Золотым Сечением, которое считалось единственным, уникальным и неповторимым. И вот в конце 20-го века украинский ученый Стахов обобщает эту задачу и доказывает существование бесконечного числа Золотых Сечений! И все они имеют такое же право на существование, как и классическое Золотое Сечение. Более того, Стахов показывает, что золотые р-пропорции τp представляют собой новый класс иррациональных чисел, которые выражают некоторые неизвестные нам до этого математические свойства треугольника Паскаля. Ясно, что такой математический результат имеет фундаментальное значение для развития современной науки и математики.
... Гиперболические функции Фибоначчи и Люка. Первой статьей Стахова, которую я рекомендовал для публикации в журнале «Доклады Академии наук Украины»(1993, №7), была статья «Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи» (авторы А.П. Стахов и И.С. Ткаченко) [15]. В статье была изложена теория нового класса гиперболических функций – гиперболических функций Фибоначчи и Люка. Эта статья еще раз показала оригинальный характер научного мышления проф. Стахова и его соавтора. Действительно, классические гиперболические функции широко известны. Они были положены Н.И. Лобачевским в основу его не-Евклидовой геометрии. И вот в конце 20-го века украинские ученые Стахов и Ткаченко открывают новый класс гиперболических функций, основанных на Золотом Сечении, числах Фибоначчи и Люка! Как же Стахов и Ткаченко пришли к этому научному открытию? Оказывается все очень просто. Для этого достаточно было внимательно посмотреть на так называемые «формулы Бине» (Бине – это имя французского математика 19-го века). Оказывается, что формулы Бине очень напоминают по своей структуре классические гиперболические функции, на что и обратили внимание Стахов и Ткаченко. Дальнейшее развитие эта идея получила в работах Стахова и Розина [21, 22], опубликованных в международном журнале «Chaos, Solitons and Fractals» (Англия).
В чем же особенность нового класса гиперболических функций? Оказывается, что эти функции, с одной стороны, обладают «гиперболическими свойствами» подобно классическим гиперболическим функциям, но, с другой стороны, они обладают «рекуррентными свойствами» подобно числам Фибоначчи и Люка. Стахов, Ткаченко и Розин вслед за украинским архитектором Олегом Боднаром показали, что «гиперболические функции Фибоначчи и Люка» чрезвычайно широко распространены в живой природе и лежат в основе ботанического «закона филлотаксиса», которому подчиняются законы роста сосновой шишки, ананаса, кактуса, подсолнечника, пальмового дерева и т.д. Уже этого примера достаточно, чтобы убедиться в том, что новый класс гиперболических функций имеет «стратегическое» значение для развития современной математики и теоретической физики. И эти функции могут привести в перспективе к созданию «золотой» геометрии Лобачевского, в которой ее основные математические соотношения будут описываться с помощью «гиперболических функций Фибоначчи и Люка».
... Музей Гармонии и Золотого Сечения. В 2001 г. проф. Стахов вместе с дочерью Анной создает на Интернете сайт «Музей Гармонии и Золотого Сечения» http://www.goldenmuseum.com/. Этот сайт, представленный на двух языках (русском и английском) сразу же становится одним из наиболее авторитетных источников информации по Золотому Сечению в мире. В Музее Гармонии и Золотого Сечения сконцентрированы все основные факты приложений и проявлений чисел Фибоначчи и золотого сечения в Природе, Науке и Искусстве. Этот Музей является своеобразным «гимном» золотому сечению; в нем достаточно убедительно показано, что именно «золотое сечение» является той фундаментальной математической идеей, на основе которой реализуется идея глубокого внутреннего единства Природы, Науки и Искусства. Мне кажется, что украинским архитекторам следовало бы обратить внимание на проект проф. Стахова и реализовать его предложение на Украине.
... Научная деятельность проф. Стахова в Канаде. В настоящее время проф. Стахов проживает в Канаде, но его активная научная деятельность по развитию созданного им нового научного направления продолжается. Его статьи опубликованы и публикуются в ведущих международных журналах, таких, как “Computers & Mathematics with Applications” [18], “Applications of Fibonacci Numbers” [19], “The Computer Journal” [21], “Chaos, Solitons and Fractals” [22-34], “Visual Mathematics” [35]. Проф. Стахов опубликовал около 20 статей в престижных международных журналах, причем только в течение 2005-2006 годов он опубликовал 12 статей фундаментального характера в очень известном международном физическом журнале “Chaos, Solitons and Fractals” (Англия)! И эти публикации являются наиболее убедительными свидетельствами широкого признания научного направления проф. Стахова в западной науке.
Проф. Стахов пользуется также высоким научным авторитетом в российской науке. В 2005 г. «Академия Тринитаризма» (Россия) создала на своем сайте Институт Золотого Сечения и пригласила проф. Стахова возглавить этот институт. В 2006 г. издательство «Питер» (Санкт-Петербург) опубликовало его научно-популярную книгу «Код да Винчи и ряды Фибоначчи», которая вызвала большой читательский интрес. Признанием научных заслуг проф. Стахова стало также его избрание в апреле 2006 г. академиком Международной Академии наук Высшей Школы (Россия).
В 2006 г. издательство «БИНОМ» (Москва) опубликовало весьма необычный научный сборник «Метафизика. Век XXI». Сборник подготовлен кафедрой теоретической физики Московского университета и объединяет статьи из разных областей научного знания, которые посвящены выявлению метафизических принципов, способствующих осмыслению конкретных естественнонаучных и гуманитарных программ. Статья проф. Стахова «Золотое сечение, священная геометрия и математика гармонии» [36] открывает Часть 3 сборника «Золотая пропорция в естествознании», посвященную обсуждению метафизических аспектов «золотого сечения» в современной науке.
... «Математика Гармонии» проф. Стахова и ее место в современной математике. Своими новейшими публикациями проф. Стахов по существу завершил цикл многолетних исследований по созданию нового направления в математике – Математики Гармонии. Возникает вопрос, какое место в общей теории математики занимает созданная Стаховым Математика Гармонии? Мне представляется, что в последние столетия, как выразился когда-то Н.И. Лобачевский, «математики все свое внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою». В результате между «элементарной математикой», лежащей в основе современного математического образования, и «высшей математикой» образовался разрыв. И этот разрыв, как мне кажется, и заполняет «Математика Гармонии», разработанная А.П. Стаховым. То есть «Математика Гармонии» — это большой теоретический вклад в развитие, прежде всего, «элементарной математики», создание которой началось в Древней Греции, и отсюда вытекает важное значение «Математики Гармонии» для математического образования.
Мне кажется, что словосочетание «элементарная математика», которое часто используется в математике, носит некоторый уничижительный характер в русском языке (что-то «школьное», «элементарное», недостойное внимание серьезного ученого). В английском языке словосочетание “elementary mathematics” носит некоторый другой смысл. Тот смысл, который мы вкладываем в сочинение Евклида, когда мы говорим «Элементы» или «Начала» Евклида. То есть «элементарная математика» - это совокупность исходных, «начальных», «элементарных» знаний, на которых зиждется вся математика. Попробуйте изъять из «элементарной математики» такие «элементарные» понятия как натуральные числа, иррациональные числа, «золотое сечение», теорему Пифагора, алгоритм Евклида, элементарные функции и т.д. И что тогда останется от математики в целом? Именно с таких позиций необходимо подходить к «Математике Гармонии» А.П. Стахова и к новым математическим понятиям, введенным Стаховым: р-числа Фибоначчи, золотые р-сечения, «золотые» алгебраические уравнения, гиперболические функции Фибоначчи и Люка, коды Фибоначчи, коды золотой р-пропорции, матрицы Фибоначчи, «золотые» матрицы и т.д.
Я не сомневаюсь, что созданное проф. Стаховым новое научное направление, названное им «Математикой Гармонии», имеет огромное междисциплинарное значение, так как затрагивает основания многих наук, включая математику, теоретическую физику, компьютерные науки, а предложенный им проект реформы математического образования на основе идей Гармонии и Золотого Сечения, открывает новые пути в развитии математического и общего образования. И это будет способствовать выработке у учащихся нового научного мировоззрения, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения.
Список важнейших публикаций профессора А.П. Стахова в области «Золотого Сечения» и «Математики Гармонии»
Книги и брошюры
1. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва, Советское Радио, 1977 г.
2. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения. Москва, Знание, серия «Математика и кибернетика», вып.6, 1979 г.
3. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. Москва, Радио и связь, 1984 г.
4. Stakhov A.P., Massingua V., Sluchenkova A.A. Introduction into Fibonacci Coding and Cryptography». Харьков, Изд-во «Основа» Харьковского университета, 1999 г.
7. Stakhov A.P., Sluchenkova A.A. Museum of Harmony and Golden Section: mathematical connections in Nature, Science and Art». Vinnitsa, ITI, 2003.
8 Stakhov A.P. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions: a New Mathematics for Living Nature. Vinnitsa, ITI, 2003.
9.Стахов А.П. Новая математика для живой природы: Гиперболические функции Фибоначчи и Люка». Винница, Изд-во «ITI», 2003.
10 Стахов А.П. Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца. Винница, ITI, 2003.
11. Стахов А.П., Слученкова А.А., Щербаков И.Г. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. Санкт-Петербург, Питер, 2006
12. Стахов О.П. За принципом золотої пропорції: перспективний шлях розвитку обчислювальної техніки. Вісник Академії наук Української РСР, 1990, №1-2.
13. Стахов О.П. Вимірювання — фундаментальна проблема науки. Вісник Академії наук Української РСР, 1991, №6.
14. Стахов О.П. Золотий переріз і наука про гармонію систем. Вісник Академії наук Української РСР», 1991, №12: 8-15.
15. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии наук Украины, 1993, том 208, № 7: 9-14.
16. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения: новый взгляд на теорию позиционных систем счисления и компьютерную арифметику. Международный научный журнал «Управляющие системы и машины», 1994, №4-5: 38-52.
17. Стахов А.П. Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа. Украинский математический журнал, 2004, том. 56: 1143-1150.
18. Stakhov A.P. The Golden Section in the measurement theory. An International Journal «Computers & Mathematics with Applications», 1989, Vol. 17, No 4-6: 613-638.
19. Stakhov A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics. Applications of Fibonacci Numbers, 1998, Vol. 7: 393 - 399.
20. Стахов А.П. A generalization of the Fibonacci Q-matrix. Доклады Академии наук Украины», 1999, № 9.
21. Stakhov AP. Brousentsov’s ternary principle, Bergman’s number system and ternary mirror-symmetrical arithmetic. The Computer Journal 2002, Vol. 45, No. 2: 222-236.
22. Stakhov A, Rozin B. On a new class of hyperbolic function. Chaos, Solitons & Fractals 2004, 23: 379-389.
23. Stakhov A., Rozin B. The Golden Shofar . Chaos, Solitons & Fractals 2005, 26, 677-684.
24. Stakhov A. The Generalized Principle of the Golden Section and its applications in mathematics, science, and engineering. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 26, 263-289.
25. Stakhov A. Fundamentals of a new kind of Mathematics based on the Golden Section. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27, 1124-1146.
26. Stakhov A., Rozin B. The “golden” algebraic equations. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27, 1415-1421.
27. Stakhov A., Rozin B. Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27, 1162-1177.
28 Stakhov A., Rozin B. The continuous functions for the Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals 2006, 28, 1014-1025
29. Stakhov A. The golden section, secrets of the Egyptian civilization and harmony mathematics. Chaos, Solitons & Fractals 2006, 30, 490-505.
30. Stakhov A. Fibonacci matrices, a generalization of the “Cassini formula”, and a new coding theory. Chaos, Solitons & Fractals 2006, 30, 56-66.
31. Stakhov A. The “golden” matrices and a new kind of cryptography. Chaos, Solitons & Fractals 2006 (in press).
32. Stakhov A. The generalized golden proportions, a new theory of real numbers, and ternary mirror-symmetrical arithmetic. Chaos, Solitons & Fractals 2006 (in press).
33. Stakhov A., Rozin B. The “golden” hyperbolic models of Universe. Chaos, Solitons & Fractals 2006 (in press).
34. Stakhov A. Algorithmic measurement theory. Chaos, Solitons & Fractals 2006 (in press).
35. Stakhov A., Rozin B. The Golden Section, Fibonacci & Lucas numbers, Binet formulas and new hyperbolic models of Nature. Visual Mathematics, 2006, Vol. 8, No. 3.
36. Стахов А.П. Золотое сечение, священная геометрия и математика гармонии. Сборник трудов. Москва, БИНОМ, 2006: 174-215.
(статья опубликована в философском сборнике “Totalogy-XXI”, Национальная Академия наук Украины, 2007, №17/18, с. 274-323)
Ю.А. Митропольский, «Математика Гармонии» профессора Стахова // «Академия Тринитаризма», М.,
 |