Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Философия гармонии

Сергиенко П.Я.
Геометрия «золотых сечений».
Гармония мер и их отношений.
Oб авторе
Геометрия есть познание всего сущего.
Платон


Гармония мер и их отношения– объекты не только философского, но и математического познания. Чтобы вникнуть в природу их математики, необходимо постигнуть философскую суть геометрии «кругового движения» и «порождающей модели» Платона. Бытие мира – это процесс единства и взаимодействия противоположностей в круговых (циклических) движениях. Я уже писал [9], что одна и та же окружность (круг) описывается двумя алгебраическими уравнениями. Уравнением эго(гео)центрической системы отсчета: X2 + y2 = 1 и X2 + y2 = 4гелиоцентрической системы отсчета. Они отражают два нераздельных, равновеликих геометрических пространства, но вращающихся в разные стороны. Ими могут быть электромагнитные, плазменные, газовые, жидкие и твердые пространства разной плотности. Сложение (умножение), деление (разделение) и сложение встречных движений пространств осуществляется по геометрическим и арифметическим законам. Особую часть этих законов составляют законы гармонии мер «золотого сечения». Описание «сакральной» тайны НАЧАЛ природной сущности математических законов гармонии – цель настоящей публикации.


С древних времен гармония понимается как оптимальная согласованность бытия целого и его частей в целостной и взаимосвязанной системе. Гармонизация общественной системы во всем многообразии ее форм и отношений: экономических, политических, социальных, нравственных, ноосферных и даже религиозных, если она не выстраивается на надежном фундаменте образно-математических моделей не может осуществляться как реальная действительность. Она есть и будет всегда схоластической и спекулятивной философией государственных и общественных институтов. Таковой зарекомендовала себя диалектико-материалистическая философия, выстраиваемая ее адептами на фундаменте линейной триады спекулятивной логики Г.Гегеля: «тезис-антитезис-синтез». Триалектика – философская наукопорождающая система знаний. Она не только опирается на известные философские и математические знания, но также порождает новые. Как подметил В.И.Моисеев [1] «Пришло время самой философии отделиться от себя как преднауки и впервые стать наукой. Но наукой не частной, а синтетической. Пришло время собирать камни».


Арифметическая геометрия

Вместо мистического понятия «сакральная геометрия» я предлагаю понятие «арифметическая геометрия». Это не простая замена одного названия другим. Эта замена предполагает расширение горизонта известных современным исследователям знаний числовых мер и отношений «сакральной геометрии». Арифметическая геометрия – это как бы вызов НАЧАЛАМ современной алгебраической геометрии, которая имеет свою символику, сложное строение, которое стало почти необозримым. Доказательства некоторых ее теорем оказываются столь громоздкими, что надо иметь специальные знания и время, чтобы их проверить. Проверка этих доказательств оказывается доступной лишь узкому кругу изощренных специалистов. Например, математическая теория физического вакуума Г.И.Шипова. Только, критикующий ее В.С.Ярош, да еще десяток-другой такого уровня специалистов в мире как-то ориентируются в ее доказательствах. А остальным остается доверять и верить в истинность доказательств и мировоззренческих выводов, изложенных на их основании.

Символьные обозначения арифметической геометрии несколько отличаются от алгебраической геометрии, в связи с заменой буквенных обозначений цифровыми:


Символы алгебра-кой
геометрии

Символы арифм-кой
геометрии


Смысл символических обозначений в
арифметической геометрии




угол 23
∆АВС
∆1,12,28
треугольник 1,12,28

0,2,4,13,1
пятиугольник 0,2,4,13,1

6-11
отрезок (сторона, хорда…) 6-11
АВСМ
5-723-32
перпендикулярность отрезков, прямых
АВ || СМ
5-7 || 23-32
Параллельность отрезков, прямых
SABCDE
S1,0,25.28
Площадь многоугольника
PABCDE
P1,2,3,4,16
Периметр многоугольника

Геометрические аксиомы, теоремы, доказательства и вычисления гармонии мер должны быть образными и понятными любому человеку, имеющему среднее образование, поскольку оно является всеобщим. Чтобы понять суть гармоничных мер и отношений, выражаемых посредством арифметической геометрии, призываю читателя познакомиться с серией публикаций А.В.Никитина [2] и его изящной математической логикой. Публикации освобождают меня от многих дополнительных описаний и доказательств. Вместе с тем, и в его логике есть спорные утверждения.

Для разработки машинного разума А.В.Никитин [2] предлагает: «Давайте вернемся к геометрии числа, где каждый разряд, это место в пространстве или на плоскости. И это место определяется формулой только той системы счета, в рамках которой и существует число. Разные системы, и числа разные, и их геометрия различна». В моей логике [3] геометрия числа определяется не только и не столько местом его разряда в пространстве, сколько относительной плотностью пространства.

Геометрия Природы и числа

Тот факт, что пространственные, как статические, так и динамические объекты Природы обладают геометрическими формами, сомнений ни у кого не вызывает. В согласии с принципом «кругового движения» Платона, можно полагать, что Природа отмеряет (измеряет, сравнивает) все «круговыми движениями» (методом наложения), а строит (фиксирует) формы пространственных объектов прямыми линиями. В качестве примера позволю сослаться на свежую информацию НАСА [4] в области последних спутниковых исследований устройства нашей Вселенной.

«По данным моделирования, результаты наблюдений спутника WMAP свидетельствуют о том, что Вселенная представляет собой набор бесконечно повторяющихся додекаэдров — правильных многогранников, поверхность которых образована 12 правильными пятиугольниками… (Полагаю, полученные снимки пространственных форм свидетельствуют не о хаосе, а о строгой гармоничности форм, движущихся электромагнитных, температурных, звёздных,… систем пространства. Прим. П.С.) По мнению астрономов, сходство между «додекаэдровой» моделью Вселенной и данными WMAP просто «потрясающее», и они «соответствовали друг другу гораздо лучше, чем можно было вообразить».

Если результаты будут подтверждены, наши взгляды на Вселенную будут нуждаться в серьезной коррекции».

Бесконечное многообразие создаваемых Природой гармоничных форм действительности свидетельствует о том, что она пользуется некими всеобщими единицами (единицей) мерности и мерами их сравнения. Первую можно уподобить мере цифры (мере количества), а вторую – мере числа.

Число – мера отношения количеств в той или иной системе мер последовательно-периодического счета.

«Существует ли математика Природы? – спрашивает А.В.Никитин [2] и отвечает. Вопрос насколько странный, настолько же закономерный. С одной стороны она создала сложнейшие, с математической точки зрения, явления и объекты. Одно из ее творений — человек.

С другой, она не умеет считать. Ее счет заканчивается на цифре 1. Дальше уже – много. Она понимает, что такое часть, но только как 1 в соотношении с «много». Вся ее математика крутится у 1. Ничего нет (0) Есть что-либо (1) Много. Все, что дальше, уже за пределами определения. Оно есть, но все это уже снова только констатация, что оно есть(1) и оно – часть чего-то большего (0,111…).

Природа почти не понимает равенства. В общем случае, одинаковых единиц не должно быть. Все единицы имеют и должны иметь индивидуальные отличия. Не должно быть и двух равных половин, это нарушает счет. В составе целого все части разные и всегда одна будет больше остальных. Симметрия возможна только в пределах правил счета».

«С одной стороны…, с другой стороны» – рассуждения диалектика. Триалектик же стремится познать и ту меру, которая «посредине», т.е. – синтетическую, с положительным или отрицательным значением. Человек не только творение Природы, но и ее часть. Можем ли мы утверждать, что целое не обладает всеми свойствами, в том числе и математическими, которыми обладает его часть (части)?

Общество (Человек) умеет многое, но не умеет в местах своего обитания без участия Природы творить все то, что творит Природа без его участия. Человек сотворил (открыл, испытал) разные системы мер пространства и методы их количественного счета. Все ли? В конечном итоге он предпочел, две с половиной тысячи лет назад, десятичную систему, как самую универсальную и эффективную. «Если рассмотреть любую систему счета, то можно увидеть, что постоянной величиной является десяток. Он задает систему счета. По количеству единиц в десятке чаще всего и называют систему счисления: десятичная, двоичная и т.д. А так как любое число в нулевой степени равно единице, то она и принята за счетную единицу» [2].


Круговое движение и десятичная мера исчисления.


Число 0,6180339877… – это не только число «золотого сечения» — это «1» десятичной системы исчисления в цикле кругового движения числа 0,6180339877… Многочисленные примеры из геометрических форм устройства, от генетической клетки ДНК, до устройства нашей Вселенной, свидетельствуют, что мера данного числа – одна из основных, если не основная мера образования многообразия пространственных форм Жизни. Число 0,6180339877… — мера стороны, вписанной в окружность 6.2831852…, правильного 10-угольника. Периметр вписанного 10-угольника равен 0.6180339х10 = 6,180339. Соответственно в данной системе исчисления 2 ≈ 0,6180339х2 ≈ 1,2360678; 5 ≈ 3,0901695; 7 ≈ 4,3262373 и т.д. Разность между мерами длины стороны вписанного 10-угольника и стягивающей его дуги: 0,6283185 – 0,6180339 ≈ 0,0102846. То есть она приближенно равна 0,01.
Рис.1. Вписано-описанные квадраты и окружности

Триединство сущности и меры


С древних времен человек измеряет площади и объемы тех или иных пространственных тел, плоских или объемных, не круговыми мерами, как это делает Природа, а – прямоугольными. Понимая, что меры эти не тождественны, и пытаясь найти меру их эквивалентности, кто-то из математиков древности сформулировал задачу: «С помощью циркуля и линейки построить квадрат равновеликий данному кругу». Задача имеет математический, практический и мировоззренческий смысл. Многие десятки разных приемов и методов ее решения фактически заложили начала, разросшейся вширь и вглубь современной математики. В этой связи рассмотрим Рис.1.

На данном рисунке геометрически изображена сплошными линиями иерархическая система целостности вхождения друг в друга окружностей и квадратов. В данной системе любой вписанный в окружность квадрат является частью окружности. Вместе с тем, сама окружность, вместе с вписанным в нее квадратом, является частью другого, более большого квадрата, в который теперь она уже сама вписана. А квадрат, вписанный в окружность, является вписанным в еще больший квадрат и т.д. Пунктирными линиями показано, что вектора фрактальных фигур вписано-описанных квадратов и окружностей могут продолжаться, как в сторону увеличения их размеров – так и в сторону уменьшения их размеров. При этом закономерно проявляются (периодически повторяются) их геометрические свойства:

  • Диагонали, вписанного в окружность квадрата, делят его на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника, боковые стороны которых равны между собой и равны радиусу окружности; основание треугольника равно стороне квадрата. Их общей мерой является число 1;
  • Диагональ, вписанного в окружность квадрата, является диаметром окружности, основанием равнобедренного прямоугольного треугольника и стороной, описанного вокруг данной окружности квадрата. Их общей мерой является число 2;
  • Описанный квадрат вокруг окружности и вписанного в нее квадрата своими диагоналями делит себя на 8 и вписанный в него квадрат на 4 равновеликих равнобедренных прямоугольных треугольника;
  • Вписанный квадрат своими диагоналями делит, описанный вокруг него квадрат, на 4 равновеликих квадрата, мерой стороны каждого из которых является радиус данной окружности, т.е. «1»;
  • Вписанный квадрат в данную окружность одной из своих диагоналей делит, описанный вокруг него квадрат, на 2 равновеликих прямоугольника, одна сторона которого – радиус данной окружности, т.е. – число 1, а вторая – ее диаметр, т.е. – число 2.
  • Диагонали вписанного и описанного квадратов всегда расположены в пространстве ортогонально (перпендикулярно) друг к другу.

Таким образом, математические функции трех геометрических сущностей (окружности, вписанного в нее квадрата и описанного вокруг них квадрата) определяютсятриединой мерой (аргументом) являющейся:

радиусом данной (изначальной) окружности;

высотой вписанного в окружность равнобедренного треугольника;

стороной равнобедренного треугольника, вписанного в четверть окружности.

То есть все указанные три геометрические сущности (круг, квадрат, равнобедренный треугольник) имеют единосущную и равную меру «1«. В своем целостном триединстве они являются соприсущными, нераздельными и взаимодействующими между собой. Вместе с тем, каждая мера сущности выполняет свою функцию (работу). В этой связи следует заметить, что логика, перечисленных геометрических свойств аналогична логике свойств (троичность, единосущность, соприсущность, нераздельность, специфичность и взаимодействие) присущих христианской Святой Троице.

Совмещение принципов формирования числа и его изображения
в едином геометрическом пространстве


С философской точки зрения, расширяющаяся счетная логика рациональных чисел натурального ряда, по Гегелю – «дурная бесконечность».

По мнению А.В.Никитина [2], «рациональные системы счисления не могут создать многомерных пространств. Они жестко ориентированы на одномерность...

Совмещение позиционного принципа отображения числа на разрядной оси и многомерного логического пространства привело к расширению понятия числа, в частности к понятию геометрии числа.

Совмещение принципов формирования числа и его изображения в одном пространстве сразу размывает понятия разрядов числа в рациональных системах счисления. Такое совмещение оказалось возможным для иррациональных систем счисления, в частности для счетных систем, основанных на числе Ф = 1,618…, т.е. счет Бергмана и коды Фибоначчи».

Идея совмещения геометрической меры числа и абстрактной меры числа еще ранее была высказана А.П.Стаховым [5]: «Прочитав книгу Неаполитанского и Матвееева «Сакральная Геометрия», я обнаружил, что моя теория имеет прямое отношение к «Сакральной Геометрии». Более того. Я увидел, что введенное мною понятие «золотого р-прямоуголника», который при р=0 совпадает с «двойным квадратом», при р = бесконечности — с традиционным квадратом, а при р=1 — с классическим «золотым прямоугольником», может быть использовано в Сакральной Геометрии».

Я же свою задачу вижу в ином – в выявлении законов геометрического построения рационально-иррациональных чисел и, прежде всего, построения «сакральных» чисел гармонии, поскольку данная задача не была решена до настоящего времени. На этом поприще исследований мне удалось открыть новые знания в области геометрии и геометрической меры числа. Я уже писал [6], что в достижении этой цели, руководствовался основополагающими принципами гармоничного бытия, по моему убеждению, присущими всей Природе и открыл ряд новых аксиом, теорем и их следствий в области геометрического бытия рационально-иррациональных чисел, которые хорошо проявляются в геометрических построениях Рис.2. Однако, прежде чем подвергнуть детальному анализу Рис.2, я хочу обратить внимание читателя на онтологический, можно сказать — физический смысл выявления геометрической меры того или иного числа.

Онтология геометрической и арифметической меры счета.

Умеет ли Природа считать?

Чтобы дать ответ на этот вопрос, нужно задаться другим вопросом. А что вообще считает Природа? Интересует ли Природу, например, такое ее явление, как лес? Да, интересует. А считает ли она количество деревьев в лесу и площадь, которую занимает тот или иной лес? Аналогично можно задаться вопросом – интересует ли Природу количество людей на Земле, считает ли она их? И т.д. и т.п.

Природу интересует плотность деревьев в лесу, или коротко говоря, ее интересует плотность пространства лесного массива. Именно плотностью деревьев в лесу определяется все: их рост, красота, здоровье, долголетие жизни, качество лесного воздуха, температура и влажность в лесу, органическое и биологическое население леса и их гармоничные отношения между собой и с лесом в целом. Коротко говоря, гармоничные отношения обитателей лесного пространства определяются гармоничной мерой плотности размещения единичных деревьев в лесном пространстве. Аналогично все и с относительной плотностью населения, плотностью потребляемой и выделяемой им разных видов энергии.

Онтологическим базисом триалектической логики является аксиома: В мире нет ничего кроме движущегося пространства. Пространство есть сущность бытия любого локального явления действительности. Локальное пространство обладает геометрией и плотностью. Плотность мирового пространства не однородна. Можно предположить, что в мировом пространстве существуют некие локальные области его абсолютной плотности и абсолютной разреженности (пустоты). Это две абсолютные противоположности плотностей пространства.

Метрикой плотности двумерного пространства являются абсолютные меры – точка и линия. Метрика плотности абсолютных пространств нам не известна («точка не имеет меры», «линия не имеет ширины»). Мы имеем дело всегда с относительно, более-менее плотными пространственными явлениями. Смешиваясь (взаимодействуя) друг с другом, они рождают другие пространства, как относительно плотные, так и относительно разреженные. Диапазон относительных плотностей пространств бесконечно велик.

Рождение пространств относительно разной плотности закономерно. Оно сопровождается пропорциональным, количественным изменением мер нового локального объема пространства, его плотности и выделением тепла, как результата определенной работы, затраченной на перемещение пространств. Отсюда берет начало важнейшая область физики – термодинамика, законы которой диктуются геометродинамикой движущегося пространства. Механика является составной частью термодинамики. Говоря о движении числа, можно сказать, что механика – наука о законах движения «0» точки и точек-линий «1» в линейном пространстве. Например, относительные плотности двух равных геометрических пространств могут быть выражены числами 110100 и 01100.

Термодинамика (геометродинамика) – наука о законах движения (изменения) пространственных объектов и их движения в пространстве, т.е. как движения многомерного пространства в многомерном пространстве. Результатом такого движения являются, например, локальные двумерные пространства, образующиеся круговыми, вихреобразными движениями пространств разной плотности. В результате такого движения формируются пограничные линии и точечные узлы, как уплотнения, так и разреженности, фиксирующие пространства кристаллических решеток, нитеобразные плотности или расслоения локальных пространств.

Плотность, объем, удельная плотность, относительная плотность, размеры локальных пространственных объектов могут быть выражены посредством геометрических мер и их отношений, которые в свою очередь выражаются посредством числовых мер. Однако числовые меры, без привязки их к геометрическим мерам, являются сугубо абстрактными мерами. Одно и то же число может выражать, меру отрезка линии, меру площади, меру объема или меру отношения между ними. Коротко говоря, у числа как бы отсутствует пространственная ориентация.

А.В.Никитин [2] утверждает, что «…критерию равномерности системы пока соответствует только один класс иррациональных чисел – взаимообратных. Они могут быть получены по формуле Татаренко. Первым в этом ряду стоит число Ф = 1,618… — золотое сечение, или божественная пропорция… в этих иррациональных системах счисления пространственная ориентации числа присутствует». Соответствует ли это утверждение действительности, мы сможем проверить, исследовав, например, двумерное геометрическое пространство Рис.2.


Геометрия мер и чисел «золотых сечений»


Рис.2 является как бы продолжением Рис.7 публикации [7]. Сразу оговариваюсь. Поскольку вычислений к данному рисунку довольно много, то многие из них приводить подробно я не вижу смысла. Ограничусь обозначением только конечного результата вычислений. Пользуясь теоремой Пифагора и сформулированными мной в [7] аксиомами и теоремами, читатель сможет самостоятельно меня проверить, поправить и дополнить. Дополнительно сформулирую еще две теоремы.

Теорема 6: Высота, вписанного в окружность прямоугольного треугольника, опущенная на его гипотенузу, является так же высотой равнобедренного треугольника, вписанного в четверть окружности.

Теорема 7: Площадь, вписанного в четверть окружности равнобедренного треугольника, численно равна половине его высоты, опущенной на боковую сторону.

Пояснения к построениям Рис.2.

Пунктирными линиями обозначены все круговые линии, радиусы которых равны длине ниже перечисленных сторон, вписанных в четверть окружности правильных многоугольников и численно выраженных посредством меры радиуса окружности 0-1 = 0-2 = 0-4 = 1.

Достроим Рис.7 публикации [7] до графического состояния Рис.2. То есть впишем дополнительно в четверть окружности сторону правильного 5-угольника и сторону 6-угольника. Соединим точки 4; 5; 6; 7; 10 с точками 0; 1 и 2, т.е. с центром данной окружности и концами ее диаметра. Согласно построениям и вычислениям [8]:

1-4 ≈ 1,4142135 – сторона вписанного квадрата;

1-5 ≈ 1,1755704 – сторона вписанного пятиугольника;

1-6 = 1 – сторона вписанного шестиугольника;

1-7 ≈ 0,874032 – сторона вписанного семиугольника;

1-10 ≈ 0,6180339 – сторона вписанного десятиугольника;

3-8 = 1-2 = 2 – сторона описанного вокруг окружности квадрата

0,4,8,1 = 1 – сторона квадрата;

1-2 = 2; 2-3 = 1 — стороны прямоугольника 1,2,3,8.



Рис.2. «Золотые сечения» квадратов, прямоугольников и треугольников
круговыми движениями


Посредством круговых движений перенесем (спроецируем, «ротируем»), построенные стороны, перечисленных вписанных многоугольников на диагонали и стороны квадрата 1,0,4,8. В итоге произведенных построений квадрат 0,4,8,1 прямоугольник 1,2,3,8 и их стороны, полуокружность 2,4,1 и четверть окружности оказались поделенными на множество «золотосечённых» мер отрезков, диагоналей, сторон треугольников, квадратов, прямоугольников, их площадей и отношений между их реальными мерами. Чтобы доказать это утверждение произведем различные вычисления и прежде всего те, которые подтверждают, что природе кругового движения присущ принцип наименьшего (оптимального) действия.


Принцип оптимального действия предполагает минимум операций для получения конечного результата и максимум взаимозаменяемых операций для достижения того же результата. Примером может служить определение меры вписанного в окружность любого прямоугольника. Рассмотрим, например, взаимозаменяемые операции вычисления площади прямоугольного ∆2,5,1:

1-5 ≈ 1,1755704 – катет треугольника;

1-2 = 2 – гипотенуза треугольника;

-- катет треугольника;

. – высота треугольника.

5-24 – высота ∆2,5,1 – средняя геометрическая мера между отрезками 1-24 и 2-24, на которые она делит гипотенузу. Вычислим их. Согласно теоремы 5, высота 5-24 ≈ 0,9510564. Пользуясь теоремой Пифагора, вычисляем катет 1-24 прямоугольного ∆5,24,1:


2-24 = 2 – 0,6909829 ≈ 1,3090171



∆0,5,1 – равнобедренный.

S0,5,1 = 0,9510564 : 2 ≈ 0,4755282, согласно теореме 7.


∆2,4,1– прямоугольный, равнобедренный. Согласно «теореме 5» его площадь равна 1, и, как очевидно, S1,0,4 = 0,5.

∆0,6,1 – равносторонний. Его высота 6-21 ≈ 0,8660254, а площадь — 0,8660254 : 2 ≈ 0,4330127.

∆0,7,1 – равнобедренный. Вычислим его высоту 7-22 и площадь:


≈ 0,7861513 – площадь прямоугольного ∆2,7,1.

≈ 0,3930756 ≈ 0,7861513 : 2 – площадь равнобедренного ∆0,7,1.

10-23 – высота прямоугольного ∆2,10,1и равнобедренного ∆0,10,1, основанием которого является сторона вписанного 10-угольника, равна половине стороны вписанного 5-угольника. Т.е. 10-23 ≈ 1,1755704 : 2 ≈ 0,5877852. Таким образом,

≈ 0,5877852 – площадь прямоугольного ∆2,10,1;

≈ 0,2938926 ≈ 0,5877852 : 2 – площадь равнобедренного ∆0,10,1.

Из произведенных выше вычислений, мы убеждаемся в закономерности того, что оптимальной и тождественной мерой площади треугольника, вписанного в окружность, в ее половину и в четверть окружности является число высоты треугольника, выраженное в мерах радиуса круга.


«Золотые сечения» площадей треугольников.


Рассмотрим и вычислим некоторые отношения между площадями построенных треугольников, согласно теоремы 7 и

Теоремы 8: Площади вписанных в окружность, полуокружность и четверть окружности треугольников, численно относятся между собой так, как их высоты, спроецированные на диаметр окружности.

Таким образом, в согласии с данной теоремой, мы можем рассмотреть (вычислить) на какие реальные части рассекается площадь (плоское пространство) прямоугольного ∆2,5,1 и равнобедренного ∆0,5,1мерой площади ∆0,10,1и как соотносятся полученные площади треугольников между собой.

Площадь прямоугольного ∆2,5,1рассекается радиусом 0-5 (мерой кругового движения) на два асимметричных, равновеликих по площади и разных по периметрам равнобедренных треугольника, ∆0,5,1и ∆0,5,2, боковые стороны у которых равны радиусу окружности, т.е. равны «1». Таким образом, площадь каждого из указанных, равнобедренных треугольников равна: 0,9510564 : 2 ≈ 0,4755282.

Площадь прямоугольного ∆2,5,1 как бы «невидимо» рассекается одной из движущихся по кругу прямоугольных ординат 2-10 на три составляющих гармоничных по площади прямоугольных треугольника: 0,9510564 – 0,5877852 ≈ 0,3632712. Отношения между площадями:

0,9510564 : 0,5877852 ≈ 1,6189339; 0,5877852 : 0,9510564 ≈ 0,6189339

0,9510564 : 0,3632712 ≈ 2,6180341; 0,3632712 : 0,9510564 ≈ 0,3819659.

В свою очередь площадь равнобедренного ∆0,5,1как бы «невидимо» рассекается также на три гармоничных по площади: 0,4755282 – 0,2938926 ≈ 0,1816356:

0,4755282 : 0,1816356 ≈ 2,6180341; 0,1816356 : 0,4755282 ≈ 0,3819659;

0,4755282 : 0,2938926 ≈ 1,6189339; 0,2938926 : 0,4755282 ≈ 0,618034.


«Золотые сечения» площади квадрата

Во множественной литературе часто фигурирует рисунок бесконечного последовательного «золотого сечения» некого прямоугольника с мерами сторон «золотых сечений» 1,618; 0,618 на квадрат 0,618х0,618 и новый прямоугольник с относительными мерами «золотых сечений» и разные в этой связи комментарии данной закономерности. Но мне не доводилось встречать деления площади «единичного» квадрата (квадрат, сторона которого равна «1») на разные «золотосеченные» площади квадратов, прямоугольников и треугольников.

Рассмотрим меры «сечений» круговыми линиями: сторон, диагонали и площади квадрата 1,0,4,8 (Рис.2). Внимательно всмотревшись в точки пересечений пунктирных (круговых) и сплошных (прямых) линий и точек их пересечений, мы замечаем:

Точки 25 и 26 образуются в результате «сечения» сторон квадрата, круговым движением, как стороны вписанного в окружность 5-угольника, так и стороны вписанного 10-угольника и совмещаются друг с другом. Они делят стороны «единичного» квадрата на гармоничные части:

≈ 0,6180339 и ≈ 0,3819661, отношения между которыми равны ≈ 1,6180339 и ≈ 0,6180339.

Точки 12 и 17, образуются пересечением диагоналей квадрата и кругового движения стороны вписанного в окружность правильного 7-угольника. Они совмещаются с отрезком прямой 25-26, делящим квадрат на гармоничные прямоугольники 0,25,26,1 и 25,4,8,26. Площади данных прямоугольников соответственно равны: 1х0,6180339 ≈ 0,6180339 и 1х0,3819661 ≈ 0,3819661.

Параллельное наложение друг на друга прямоугольников 0,25,26,1 и 25,4,8,26, как равно, противоположное круговое движение (неподвижная ножка циркуля ставится в точки 4 и 8), указанных выше сторон, образует прямоугольник 27,25,26,28, стороны которого равны: 27-28 = 25-26 = 1; 25-27 = 26-28 ≈ 0,2360679 и соответственно площадь его ≈ 0,2360678. Отношения между сторонами прямоугольника: 1 : 0,2360678 ≈ 4,2360711.

Таким образом, каждая сторона квадрата, например, сторона 1-8 делится на гармоничные отрезки: 1-28 = 8-26 ≈ 0,3819661; 1-26 = 8-28 ≈ 0,6180339 и 26-28 ≈ 0,2360679. Отношения между данными сторонами: 0,6180339 : 0,2360678 ≈ 2,6180355; 0,3819661 : 0,2360679 ≈ 1,6180355 и т.д.

Площадь прямоугольника 27,25,26,28 делится на площадь гармоничного квадрата 18,12,17,15 равной 0,2360678х0,2360678 ≈ 0,055728 и – на два равных гармоничных прямоугольника 27,25,12,18 и 15,17,26,28, площадь каждого из которых равна 0,2360678х0,3819661 ≈ 0,0901698 и численно гармонична своим сторонам: 0,0901698 : 0,2360678 ≈ 0,3819661; 0,2360678 : 0,0901698 ≈ 2,6180361.

По диагонали, например 1-4, так же формируются площади гармоничных квадратов: 1,20,12,26 равной 0,61803392 ≈ 0,3819661; 25,4,30,12 равной 0,38196612 ≈ 0,1458981 и площади квадрата 18,12,17,15 равной ≈ 0,055728. Отношения между данными площадями равны:

0,3819661 : 0,1458981 ≈ 2,6180334; 0,1458981 : 0,055728 ≈ 2,6180394.

Площадь квадрата 0,4,8,1 в общей сложности, например, складывается (один из многих вариантов) из суммы площадей двух равновеликих «золотых» прямоугольников 1,22,17,26 равной

0,6180339х0,3819661 ≈ 0,2360679 и площадей «золотых» квадратов равных 0,1458981 и 0,3819661. То есть 0,2360679 + 0,2360679 + 0,1458981 + 0,3819661 = 1.

Разумеется, можно до бесконечности продолжать геометрическое «сечение» единичного квадрата на удвоенное, учетверенное и т.д. множество «золотых» (гармоничных) одномерных и двумерных (треугольных, прямоугольных и квадратных) пространств, но мы всегда будем получать одни и те же фрактальные формы разных масштабов и набор одних и тех же числовых отношений для одной и той же степени масштабности. При этом проявляются в некоторых арифметических операциях одни и те же числовые значения. Например, число 0,2360678 – сторона (отрезок) квадрата 18,12,17,15, сторона прямоугольника, площадь «золотого» прямоугольника 1,22,17,26 и объем «золотого» куба, ребро которого равно 0,6180339. 0,6180339х0,6180339х0,6180339 = 0,2360678. Данный пример свидетельствует об отсутствии у данного числа пространственной ориентации.

Может быть я что-то не так понял, но приведенный мной пример ставит под сомнение утверждение [2], что «…критерию равномерности системы пока соответствует только один класс иррациональных чисел – взаимообратных. Они могут быть получены по формуле Татаренко. Первым в этом ряду стоит число Ф = 1,618… — золотое сечение, или божественная пропорция… в этих иррациональных системах счисления пространственная ориентации числа присутствует».

На поле «золотых» сечений единичного квадрата встречается довольно много «сакральных» закономерностей числовых мер и их отношений, особенно в выборе пути оптимального действия. Интересно проявляются закономерности в отношениях периметров разных геометрических форм пространства. Сравним периметр равностороннего ∆0,6,1 равный 3 и периметр квадрата 0,4,8,1 равный 4. Их отношения: 3 : 4 =0,75; 4 : 3 = 1,33333…; 1,33333… : 0,75 = 1,77777…; 1,77777… : 1,33333… = 1,33333…; 1,33333… : 1,77777… = 0,75. Как говорится, круг замкнулся.

Разница между равными площадями и разными периметрами треугольников – мера относительной плотности двумерных пространств. Например (Рис.2), площадь ∆0,2,10 равна площади ∆0,10,1. Периметр первого равен ≈3,902113, а второго ≈ 2,6180339.

3,902113 – 2,6180339 ≈ 1,2840791 – разница в плотности равновеликих двумерных пространств. 3,902113 : 2,6180339 ≈ 1,4904775. То есть пространство первого треугольника почти в полтора раза плотнее второго.

В вычислениях «золотых сечений» единичного квадрата встречаются и такие числа:

Отрезок 24-20 ≈ 0,0729493…, а – это сто десятых константы тонкой структуры или электромагнитной связи. То есть 1 : 137,06 ≈ 0,007296… Такое же число дает отношение 0,1180339 : 1,6180339 ≈ 0,0729489…

В заключение можно сказать, что на пути исследований арифметической геометрии скрывается еще много тайн и когда они откроются, отпадет надобность во многих разделах физики, биологии и многих других наук. Девиз Платона «Геометрия есть познание всего сущего» восторжествует полностью.


Литература:

  1. Моисеев В.И. Философия как синтетический проект (из «Введения» к «Логике Синтеза») // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12893, 01.02.2006
  2. Никитин А.В. На пути к Машинному Разуму. Серия публикаций // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ. Январь-февраль 2006.
  3. Серия публикаций Сергиенко П.Я. на сайте www.trinitas.ru
  4. Cnews RU НАСА: Вселенная конечна и невелика // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12836, 19.01.2006
  5. Стахов А.П. О статье П.Я. Сергиенко «Триалектика о началах метагеометрии и математики гармонии» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12297, 27.07.2005
  6. Сергиенко П.Я. Теория гармонии. О противоречиях математической логики в алгебраически-геометрических решениях «золотого сечения» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12824, 17.01.2006
  7. Сергиенко П.Я. Сакральные треугольники, окружность, многоугольники, их построение и отношения между их параметрами (продолжение 2) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12891, 01.02.2006
  8. Сергиенко П.Я. Сакральные треугольники, окружность, многоугольники, их построение и отношения между их параметрами (продолжение 1) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12842, 20.01.2006
  9. Сергиенко П.Я. Математика гармонии. Начала математики Пифагора и геометродинамики Платона // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12493, 12.10.2005

Сергиенко П.Я. Геометрия «золотых сечений». Гармония мер и их отношений. // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12995, 21.02.2006

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru