|
Перед продолжением изложения озаглавленной темы, хочу обратить внимание участников обсуждения теории Математической Гармонии для разных категорий обучающихся на следующее.
Внимательный читатель уже заметил, что в последних своих публикациях я не использую алгебраические символы в обозначении геометрических построений, в доказательствах и вычислениях. Я пользуюсь только арифметическими символами. Обозначение точек пересечения цифрами вместо букв, особенно когда их много, значительно удобнее и в таком геометрическом рисунке значительно легче и быстрее ориентироваться человеку и компьютеру. Можно полагать, что это первый признак моделирования математических объектов методом арифметической геометрии. Его достоинства и недостатки предлагается оценить на нижеследующем.
Фундаментальные аксиомы и теоремы кругового движения
В арифметической геометрии, в отличие от алгебраической геометрии, теоремы, постулирующие соответствующее свойства и параметры тех или иных геометрических фигур, доказываются или опровергаются только посредством конкретных арифметических вычислений, параметров тех или иных геометрических фигур. Исследуя круговое движение равнобедренного и прямоугольного треугольников, мы обнаруживаем некие присущие ему общие закономерности. Прежде, чем рассмотреть «золотые» сечения и «золотые» пропорции треугольников, сформулируем основополагающие аксиомы и теоремы гелиоцентрического кругового движения «нулевой» точки.
А к с и о м а 1: «Нулевая» точка (не имеющая меры) [2] образуется в результате пересечения перпендикулярных линий или отрезков.
А к с и о м а 2: Высота равнобедренного треугольника, опущенная на его основание, делит треугольник на два зеркально симметричных прямоугольных треугольника.
А к с и о м а 3: Высота равнобедренного треугольника, опущенная на его боковую сторону, делит треугольник на два зеркально асимметричных прямоугольных треугольника.
А к с и о м а 4: Медиана прямоугольного треугольника, проведенная с вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два равнобедренных треугольника.
А к с и о м а 5: Гипотенуза, вписанного прямоугольного треугольника в окружность, является диаметром окружности.
Т е о р е м а 1: Круговое движение траектории «нулевой» точки образуется вращением вершин прямоугольного треугольника, центр которого находится посредине его гипотенузы и равноудален от образуемой окружности.
Т е о р е м а 2 (обратная): Соединение «нулевой» точки прямыми линиями с концами диаметра окружности, всегда образует прямоугольный треугольник.
Т е о р е м а 3: Любая «нулевая» точка окружности, соединенная с центром гипотенузы, образующего ее треугольника, всегда делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных и равновеликих по площади треугольника.
Т е о р е м а 4: Проекция любой «нулевой» точки окружности на гипотенузу, являющейся вершиной прямого угла, вписанного прямоугольного треугольника, численно равна среднему геометрическому значению «рассеченных» ею отрезков гипотенузы.
Т е о р е м а 5: Проекция любой «нулевой» точки окружности на гипотенузу, являющейся вершиной прямого угла, вписанного прямоугольного треугольника, является его высотой. Ее числовое значение равно числовому значению площади вписанного в окружность прямоугольного треугольника.
Арифметическая геометрия включает в себя в качестве аксиом также основные теоремы алгебраической геометрии.
Первичный «золотой» треугольник
Рассмотрим Рис.7. Он является продолжением Рис. 6. («Золотое сечение» радиуса круга равновеликого основанию равнобедренного треугольника) [1].
Рис.7. Треугольники, многоугольники и их «золотые сечения»
В согласии с построениями и вычислениями параметров Рис.6 [1], отрезки:
0-1 = 0-2 = 0-4 = 1, т.е. равны радиусу полуокружности;
1-3 = 0-3 = 0,5;
0-5 ≈ 0,6180339;
1-5 ≈ 1,6180339;
2-5 ≈ 0,3819661;
4-5 ≈ 1,1755704.
Равнобедренный треугольник 3-4-5 можно назвать условно базовым треугольником «золотых» пропорций, у которого боковые стороны равны: ≈ 1,1180339, основание ≈ 1,1755704, а проекция «нулевой» точки 4 (вершины треугольника) окружности на ее диаметр, является «нулевой» точкой («0») центра окружности. Отрезок проекции 0-4 = 1 и «рассекает» равнобедренный (симметричный) треугольник 3-4-5, построенный круговыми движениями, на два асимметричных прямоугольных треугольника: Δ3-0-4 и Δ5-0-4. Рассмотрим параметры Δ5-0-4, который можно назвать первичным «золотым» треугольником. Рассмотрим мерность его сторон и отношения между ними:
сторона 0-4 = 1 – мера радиуса кругового движения «нулевой» точки и мера стороны, вписанного в данную окружность правильного 6-угольника;
сторона 4-5 ≈ 1,1755704 – сторона, вписанного в данную окружность правильного, 5-угольника;
сторона 0-5 ≈ 0,6180339 – сторона, вписанного в данную окружность правильного, 10-угольника.
Отношения между сторонами Δ5-0-4:
1 : 0,6180339 ≈ 1,6180339; 1 – 0, 6180339 ≈ 0,3819661;
1 : 0,3819661 ≈ 2,6180333; 0,3819661 : 0, 6180339 ≈ 0,6180339;
Площадь «золотого» Δ5-0-4 равна: 0,5х0,6180339х1 ≈ 0,3090169.
Cакральный треугольник
Все есть число и все из числа семь.
Пифагор
В слово «сакральный» мы всегда вкладываем смысл некой существующей тайны бытия действительности, закономерности которой якобы недоступны научному познанию и доступны только посвященным в их тайны. Их невозможно, якобы доказать, а также доказательно отрицать. С древних времен бытует множество сакральных смыслов вокруг разных чисел и комбинаторики их отношений. Особенно окутана эзотерической тайной с пифагорейских времен мера семь и ее числовые отношения с другими мерами. Геометрическую меру числа 7 мерой радиуса окружности равной «1» математикам за два с лишним тысячелетия так и не удалось отмерить. Современные математики утверждают и даже «доказывают»: «Построить правильные 7- и 9-угольник нельзя — при этом возникают неразрешимые в квадратных радикалах кубические уравнения…» [3]. А философы даже урезали мировоззренческий тезис Пифагора «Все есть число и все из числа семь», исключив из него сакральное дополнение «… и все из числа семь». Таким образом, геометрическая мера числа «7» оставалась «тайной за семью печатями» до ее построения [6, 7].
а) Сакральное число «семь»
Число «семь» это, в первую очередь, число религии, магии и мистики. Священное, мистическое, волшебное число «семь», в согласии с описаниями [4,5], особенно у народов Западной Азии, символизирует космический и духовный порядок и завершение природного цикла.
Смысл числа семь прослеживается, начиная с первых попыток астрономических наблюдений — древние могли видеть невооруженным глазом семь «блуждающих звезд» — Солнце, Луну, Марс, Меркурий, Юпитер, Венеру и Сатурн, которые во многих культурах послужили названиями для дней недели. Другой причиной такого внимания к этому числу были семидневные фазы луны, составлявшие 28-дневный лунный календарь. Античные арифметики позднее обратили внимание, что сумма первых семи цифр равна 28.
Число семь было основным в Месопотамии, где и небеса и землю делили на семь зон и изображали Древо Жизни с семью ветвями. В Библии семь дней творения, в течение которых Бог создал мир. В иудейской традиции существует семь религиозных праздников, семь обрядов очищения и семилетний цикл исчисления человеческой жизни. Также существовало Семь Столпов Мудрости, а в других культурах это число связывалось с интеллектуальным могуществом.
В Древнем Египте семь было священным числом бога Осириса (символ бессмертия); в Древней Греции — бога Аполлона (количество струн на его арфе); Митры — персидского бога света (количество ступеней посвящения в его культе); а также Будды (семь символов, обозначающих его ипостаси).
В индуизме считается, что Мировая Гора имеет семь граней, а солнце — семь лучей. Седьмой луч — символ центра, могущество Бога. В исламе, где число семь символизирует совершенство, полагают, что Вселенная состоит из семи небес, семи земель, семи морей, семь ступеней ведут в ад, семь дверей — в рай. Во время ежегодного хаджа в Мекку паломники должны семь раз обойти вокруг священного камня Каабы.
Существуют многие древние описания, предостережения и наставления, как избавиться от семи смертных грехов: гнева, жадности, зависти, обжорства, похоти, гордыни, лени.
Нумерологи говорят о числе 7, что оно правит жизнью в материальном мире и приводят убедительные доводы к своему утверждению. Действительно, наукой установлено, что основа строения живых организмов – биологическая клетка и, что она для всех бесконечных видов биологической жизни одинакова, то есть едина. В этой связи можно привести пример о длительности созревания плода до рождения в зависимости от периода семисуточных лунных фаз, определяемых целым числом суток: для яйца голубя период созревания длится 14 суток, соответственно для яйца курицы -21 сутки, утки 28 суток, гуся 35 суток, страуса 49 суток, человека 280 суток и т.д.
б) Построение сакрального треугольника
и вычисление его параметров
(Рис.7)
Дополним Рис.6 [1] следующими последовательными операциями построения:
Таким образом, мы построили, вписанный в окружность, прямоугольный Δ1-6-2. Его высота 5-6 делит треугольник на два прямоугольных треугольника 1-5-6 и 2-5-6. Измерим параметры построенных треугольников и вычислим их основные числовые отношения.
0,5х2х0,7861513 ≈ 0,5х1,798071х0,874032 ≈ 0,7861513.
Таким образом, наши вычисления подтверждают теорему 5, то есть, что числовое значение высоты треугольника 5-6 равно числовому значению площади вписанного в окружность прямоугольника.
в) Доказательство построения стороны вписанного в окружность
правильного семиугольника
Открытие какого-то одного фундаментального закона, как правило влечет за собой открытие других законов, с которыми он так или иначе связан. Нами был открыто (осуществлено с помощью циркуля и линейки) «золотое сечение» радиуса окружности и ее диаметра. Отрезок, соединяющий точку 6, проекции точки «золотого сечения» 5 на окружность с концом диаметра 2 – сторона (2-6) вписанного в окружность правильного семиугольника.
Чтобы доказать наше утверждение, соединим прямой линией центр окружности 0 с точкой 6. Теперь мы должны убедиться в том, что хорда 2-6 стягивает седьмую часть окружности в угловой мере, то есть стягивает угол 360о : 7 ≈ 51,42857о ≈ 51о36’.
Рассмотрим треугольники 0-2-6 и 0-5-6 у которых общий угол α≈ 51о36’. Δ0-5-6 – прямоугольный, у которого катет 0-5 ≈ 0.6180339, катет 5-6 ≈ 0,7861513, гипотенуза 0-6 = 1. Отношение катета 5-6 к гипотенузе – синус угла α. То есть отношение 0,7861513 : 1 ≈ 0,7861513 соответствует, согласно таблицы «Синусов», углу ≈ 51о36’. Вычислим значение хорды 2-6, которая является гипотенузойΔ2-5-6 и стягивает дугу окружности ≈ 51о36’:
Для большей доказательности вычислим значение стороны 7-угольника по параметрам прямоугольного Δ1-2-6:
Что и требовалось доказать.
«Золотой» (вторичный) треугольник и
«золотой» квадрат
Тайна сакральной меры «7», построением стороны вписанного в окружность правильного семиугольника не исчерпывается. Она является всего лишь ключом к раскрытию более глубокой тайны комбинаций количественных гармоничных отношений движения форм пространственной действительности, осуществляемых посредством круговых движений. Чтобы постичь новые тайны, продолжим достраивать Рис.6 [1] до получения полноты изображения Рис.7:
Рассмотрим треугольники 2-9-8 и 2-0-4. Они подобны, так как углы их равны. Соответственно стороны их пропорциональны: (9-8): (0-4) = (2-8): (2-4). Подставим значения в данную пропорцию:
(9-8): 1 = 0,874032 : 1,4142135, откуда 9-8 = (1х0,874032) : 1,4142135 ≈ 0,6180339.
В согласии с теоремой Пифагора вычисляем катет 2-9:
Таким образом, построен и вычислен вторичный «золотой» треугольник. Далее его будем именовать с большой буквы, т.е. – «Золотой». Рассмотрим его свойства:
Квадрат 2-9-8-10, по аналогии с треугольником, так же следует назвать «золотым», поскольку его сторона являет собой меру «золотого» сечения ≈ 0,6180339, а его диагональ являет собой меру стороны, вписанного в данную окружность, правильного семиугольника.Воистину, тайны путей и мер Всевышнего геометра – неисповедимы!
Следующим за «Золотыми» треугольником и квадратом по аналогии можно назвать треугольник 2-5-11 и квадрат 2-5-11-12 «Фидия». Аналогичное их вычисление дает следующие параметры: сторона квадрата (катеты треугольника) ≈ 0,3819661, а диагональ квадрата (гипотенуза треугольника) ≈ 0,5401816. Ее мера равна значению отрезка, остающемуся от стороны вписанного квадрата, после наложения на нее стороны вписанного семиугольника:
1,4142135 – 0,874032 ≈ 0,5401815.
Таким образом, мы получили новую гармоничную троицу чисел, где целым является длина стороны вписанного квадрата, а мерой ее «золотого сечения» является мера длины вписанного семиугольника. Рассмотрим числовые отношения их реальных мер:
1,4142135 : 0,874032 ≈ 1,618034; 0,874032 : 1,4142135 ≈ 1,6180339;
0,5401815 : 1,4142135 ≈ 0,3819661; 1,4142135 : 0,5401815 ≈ 2,6180339.
Аналогичная картина проявляется далее при «золотом сечении» диагонали квадрата (гипотенузы прямоугольного треугольника) «Фидия» ≈ 0,5401816, которая также рассекается на два асимметричных гармоничных отрезка.
Глядя на Рис.7, внимательный читатель заметил, что сторона 2-4 вписанного в окружность квадрата, в конечном счете, «рассечена» уже не на два, а на три отрезка: 4-8, 8-11 и 2-8. Сохранились ли при этом гармоничные отношения между целым (1,4142135) и его частями (0,5401816; 0,3338504; 0,5401816):
0,3338504 : 0,5401816 ≈ 0,6180336; 1,4142135 : 0,3338504 ≈ 4,2360695;
1,4142135 : 0,5401816 ≈ 2,6180334; 0,874032 : 0,3338504 ≈ 2,6180334 и т.д.
Таким образом, в наших построениях появились меры «золотых сечений» целостной тетрады. Можно полагать, что и пентада (при «золотом сечении» на два отрезка диагонали ≈ 0,5401816 квадрата «Фидия») окажется столь же гармоничной.
Всё выше доказанное, свидетельствует о том, что в древней символике, эзотерике, мистицизме ничего мистического и сакрального нет. Естественные законы. Изложенный в древности философским языком символизм еще ждет новых математических откровений.
Литература: