Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Философия гармонии

Сергиенко П.Я.
Сакральные треугольники, окружность, многоугольники,
их построение и отношения между их параметрами
(продолжение 2)
Oб авторе

Геометрия есть познание всего сущего.
Платон

Перед продолжением изложения озаглавленной темы, хочу обратить внимание участников обсуждения теории Математической Гармонии для разных категорий обучающихся на следующее.

  1. Основанием математического моделирования реальных объектов являются законы геометрии и арифметики. Процесс создания математической модели гармоничного объекта включает в себя: измерения, исчисления и геометрическое построение объекта.
  2. Математическое моделирование объектов на базе иррациональных чисел в древности являлись довольно сложным делом. Был изобретен алгебраический метод исчисления и алгебраическая геометрия, которые веками и тысячелетиями совершенствовались и достигли объема и сложности современной аналитической алгебры и аналитической геометрии. На изучение их, обучающийся тратит значительный ресурс образовательного времени. Как сэкономить его? Современный опыт свидетельствует, что в эпоху бурного развития ЭВМ мы имеем возможность возрождения математического моделирования на началах арифметической геометрии.
  3. Как известно, пифагорейские начала арифметической геометрии базировалась на рациональных числах (пифагорейский прямоугольник ). При последовательном фрактальном умножении пифагорейского числового треугольника, следующими рациональными пифагорейскими прямоугольниками являются прямоугольники и т.д. При последовательном фрактальном делении числового пифагорейского прямоугольного треугольника геометрическая арифметика переходит на аналогичное симметричное основание рационально-иррациональных чисел: и т.д.
  4. Исчисление, а тем более, точное геометрическое построение очень малых иррациональных чисел в эпоху Пифагора, Платона и Евклида (эпоху землемерия) не только практически было делом очень трудным, но и не нужным. В нашу эпоху, когда возникла необходимость, а также появилась возможность с высокой точностью оперировать («рассекать»), например, молекулу ДНК электронным скальпелем и производить геометрические измерения и построения электронным циркулем, возрождение арифметической геометрии становится насущной потребностью общества. В этой связи вызревает проблема переосмысления тематики и традиционного метода изучения геометрии в средних и высших учебных заведениях.

Внимательный читатель уже заметил, что в последних своих публикациях я не использую алгебраические символы в обозначении геометрических построений, в доказательствах и вычислениях. Я пользуюсь только арифметическими символами. Обозначение точек пересечения цифрами вместо букв, особенно когда их много, значительно удобнее и в таком геометрическом рисунке значительно легче и быстрее ориентироваться человеку и компьютеру. Можно полагать, что это первый признак моделирования математических объектов методом арифметической геометрии. Его достоинства и недостатки предлагается оценить на нижеследующем.


Фундаментальные аксиомы и теоремы кругового движения


В арифметической геометрии, в отличие от алгебраической геометрии, теоремы, постулирующие соответствующее свойства и параметры тех или иных геометрических фигур, доказываются или опровергаются только посредством конкретных арифметических вычислений, параметров тех или иных геометрических фигур. Исследуя круговое движение равнобедренного и прямоугольного треугольников, мы обнаруживаем некие присущие ему общие закономерности. Прежде, чем рассмотреть «золотые» сечения и «золотые» пропорции треугольников, сформулируем основополагающие аксиомы и теоремы гелиоцентрического кругового движения «нулевой» точки.

А к с и о м а 1: «Нулевая» точка (не имеющая меры) [2] образуется в результате пересечения перпендикулярных линий или отрезков.

А к с и о м а 2: Высота равнобедренного треугольника, опущенная на его основание, делит треугольник на два зеркально симметричных прямоугольных треугольника.

А к с и о м а 3: Высота равнобедренного треугольника, опущенная на его боковую сторону, делит треугольник на два зеркально асимметричных прямоугольных треугольника.

А к с и о м а 4: Медиана прямоугольного треугольника, проведенная с вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два равнобедренных треугольника.

А к с и о м а 5: Гипотенуза, вписанного прямоугольного треугольника в окружность, является диаметром окружности.


Т е о р е м а 1: Круговое движение траектории «нулевой» точки образуется вращением вершин прямоугольного треугольника, центр которого находится посредине его гипотенузы и равноудален от образуемой окружности.

Т е о р е м а 2 (обратная): Соединение «нулевой» точки прямыми линиями с концами диаметра окружности, всегда образует прямоугольный треугольник.

Т е о р е м а 3: Любая «нулевая» точка окружности, соединенная с центром гипотенузы, образующего ее треугольника, всегда делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных и равновеликих по площади треугольника.

Т е о р е м а 4: Проекция любой «нулевой» точки окружности на гипотенузу, являющейся вершиной прямого угла, вписанного прямоугольного треугольника, численно равна среднему геометрическому значению «рассеченных» ею отрезков гипотенузы.

Т е о р е м а 5: Проекция любой «нулевой» точки окружности на гипотенузу, являющейся вершиной прямого угла, вписанного прямоугольного треугольника, является его высотой. Ее числовое значение равно числовому значению площади вписанного в окружность прямоугольного треугольника.

Арифметическая геометрия включает в себя в качестве аксиом также основные теоремы алгебраической геометрии.


Первичный «золотой» треугольник

Рассмотрим Рис.7. Он является продолжением Рис. 6. («Золотое сечение» радиуса круга равновеликого основанию равнобедренного треугольника) [1].



Рис.7. Треугольники, многоугольники и их «золотые сечения»


В согласии с построениями и вычислениями параметров Рис.6 [1], отрезки:

0-1 = 0-2 = 0-4 = 1, т.е. равны радиусу полуокружности;

1-3 = 0-3 = 0,5;

0-5 ≈ 0,6180339;

1-5 ≈ 1,6180339;

2-5 ≈ 0,3819661;

4-5 ≈ 1,1755704.

Равнобедренный треугольник 3-4-5 можно назвать условно базовым треугольником «золотых» пропорций, у которого боковые стороны равны: ≈ 1,1180339, основание ≈ 1,1755704, а проекция «нулевой» точки 4 (вершины треугольника) окружности на ее диаметр, является «нулевой» точкой («0») центра окружности. Отрезок проекции 0-4 = 1 и «рассекает» равнобедренный (симметричный) треугольник 3-4-5, построенный круговыми движениями, на два асимметричных прямоугольных треугольника: Δ3-0-4 и Δ5-0-4. Рассмотрим параметры Δ5-0-4, который можно назвать первичным «золотым» треугольником. Рассмотрим мерность его сторон и отношения между ними:

сторона 0-4 = 1 – мера радиуса кругового движения «нулевой» точки и мера стороны, вписанного в данную окружность правильного 6-угольника;

сторона 4-5 ≈ 1,1755704 – сторона, вписанного в данную окружность правильного, 5-угольника;

сторона 0-5 ≈ 0,6180339 – сторона, вписанного в данную окружность правильного, 10-угольника.

Отношения между сторонами Δ5-0-4:

1 : 0,6180339 ≈ 1,6180339; 1 – 0, 6180339 ≈ 0,3819661;

1 : 0,3819661 ≈ 2,6180333; 0,3819661 : 0, 6180339 ≈ 0,6180339;


Площадь «золотого» Δ5-0-4 равна: 0,5х0,6180339х1 ≈ 0,3090169.

Cакральный треугольник

Все есть число и все из числа семь.
Пифагор

В слово «сакральный» мы всегда вкладываем смысл некой существующей тайны бытия действительности, закономерности которой якобы недоступны научному познанию и доступны только посвященным в их тайны. Их невозможно, якобы доказать, а также доказательно отрицать. С древних времен бытует множество сакральных смыслов вокруг разных чисел и комбинаторики их отношений. Особенно окутана эзотерической тайной с пифагорейских времен мера семь и ее числовые отношения с другими мерами. Геометрическую меру числа 7 мерой радиуса окружности равной «1» математикам за два с лишним тысячелетия так и не удалось отмерить. Современные математики утверждают и даже «доказывают»: «Построить правильные 7- и 9-угольник нельзя — при этом возникают неразрешимые в квадратных радикалах кубические уравнения…» [3]. А философы даже урезали мировоззренческий тезис Пифагора «Все есть число и все из числа семь», исключив из него сакральное дополнение «… и все из числа семь». Таким образом, геометрическая мера числа «7» оставалась «тайной за семью печатями» до ее построения [6, 7].


а) Сакральное число «семь»

Число «семь» это, в первую очередь, число религии, магии и мистики. Священное, мистическое, волшебное число «семь», в согласии с описаниями [4,5], особенно у народов Западной Азии, символизирует космический и духовный порядок и завершение природного цикла.

Смысл числа семь прослеживается, начиная с первых попыток астрономических наблюдений — древние могли видеть невооруженным глазом семь «блуждающих звезд» — Солнце, Луну, Марс, Меркурий, Юпитер, Венеру и Сатурн, которые во многих культурах послужили названиями для дней недели. Другой причиной такого внимания к этому числу были семидневные фазы луны, составлявшие 28-дневный лунный календарь. Античные арифметики позднее обратили внимание, что сумма первых семи цифр равна 28.

Число семь было основным в Месопотамии, где и небеса и землю делили на семь зон и изображали Древо Жизни с семью ветвями. В Библии семь дней творения, в течение которых Бог создал мир. В иудейской традиции существует семь религиозных праздников, семь обрядов очищения и семилетний цикл исчисления человеческой жизни. Также существовало Семь Столпов Мудрости, а в других культурах это число связывалось с интеллектуальным могуществом.

В Древнем Египте семь было священным числом бога Осириса (символ бессмертия); в Древней Греции — бога Аполлона (количество струн на его арфе); Митры — персидского бога света (количество ступеней посвящения в его культе); а также Будды (семь символов, обозначающих его ипостаси).

В индуизме считается, что Мировая Гора имеет семь граней, а солнце — семь лучей. Седьмой луч — символ центра, могущество Бога. В исламе, где число семь символизирует совершенство, полагают, что Вселенная состоит из семи небес, семи земель, семи морей, семь ступеней ведут в ад, семь дверей — в рай. Во время ежегодного хаджа в Мекку паломники должны семь раз обойти вокруг священного камня Каабы.

Существуют многие древние описания, предостережения и наставления, как избавиться от семи смертных грехов: гнева, жадности, зависти, обжорства, похоти, гордыни, лени.

Нумерологи говорят о числе 7, что оно правит жизнью в материальном мире и приводят убедительные доводы к своему утверждению. Действительно, наукой установлено, что основа строения живых организмов – биологическая клетка и, что она для всех бесконечных видов биологической жизни одинакова, то есть едина. В этой связи можно привести пример о длительности созревания плода до рождения в зависимости от периода семисуточных лунных фаз, определяемых целым числом суток: для яйца голубя период созревания длится 14 суток, соответственно для яйца курицы -21 сутки, утки — 28 суток, гуся — 35 суток, страуса — 49 суток, человека — 280 суток и т.д.


б) Построение сакрального треугольника
и вычисление его параметров
(Рис.7)


Дополним Рис.6 [1] следующими последовательными операциями построения:

  1. Восстановим перпендикуляр к диаметру полуокружности 1-2 в точке 5 до пересечения его с полуокружностью в точке 6.
  2. Соединим точку 6 с точками 1 и 2.

Таким образом, мы построили, вписанный в окружность, прямоугольный Δ1-6-2. Его высота 5-6 делит треугольник на два прямоугольных треугольника 1-5-6 и 2-5-6. Измерим параметры построенных треугольников и вычислим их основные числовые отношения.

  1. Согласно теоремы 4, высота
  2. Согласно теоремы Пифагора, гипотенуза 1-6 Δ1-5-6 равна:

  3. Согласно теоремы Пифагора, гипотенуза 2-6 Δ2-5-6 равна:
  4. Площадь прямоугольного Δ1-6-2 вычисляется, как половина произведения его основания на высоту и как половина произведения его катетов:

0,5х2х0,7861513 ≈ 0,5х1,798071х0,874032 ≈ 0,7861513.

Таким образом, наши вычисления подтверждают теорему 5, то есть, что числовое значение высоты треугольника 5-6 равно числовому значению площади вписанного в окружность прямоугольника.


в) Доказательство построения стороны вписанного в окружность
правильного семиугольника

Открытие какого-то одного фундаментального закона, как правило влечет за собой открытие других законов, с которыми он так или иначе связан. Нами был открыто (осуществлено с помощью циркуля и линейки) «золотое сечение» радиуса окружности и ее диаметра. Отрезок, соединяющий точку 6, проекции точки «золотого сечения» 5 на окружность с концом диаметра 2 – сторона (2-6) вписанного в окружность правильного семиугольника.

Чтобы доказать наше утверждение, соединим прямой линией центр окружности 0 с точкой 6. Теперь мы должны убедиться в том, что хорда 2-6 стягивает седьмую часть окружности в угловой мере, то есть стягивает угол 360о : 7 ≈ 51,42857о ≈ 51о36’.

Рассмотрим треугольники 0-2-6 и 0-5-6 у которых общий угол α≈ 51о36’. Δ0-5-6 – прямоугольный, у которого катет 0-5 ≈ 0.6180339, катет 5-6 ≈ 0,7861513, гипотенуза 0-6 = 1. Отношение катета 5-6 к гипотенузе – синус угла α. То есть отношение 0,7861513 : 1 ≈ 0,7861513 соответствует, согласно таблицы «Синусов», углу ≈ 51о36’. Вычислим значение хорды 2-6, которая является гипотенузойΔ2-5-6 и стягивает дугу окружности ≈ 51о36’:


Для большей доказательности вычислим значение стороны 7-угольника по параметрам прямоугольного Δ1-2-6:


Что и требовалось доказать.


«Золотой» (вторичный) треугольник и
«золотой» квадрат

Тайна сакральной меры «7», построением стороны вписанного в окружность правильного семиугольника не исчерпывается. Она является всего лишь ключом к раскрытию более глубокой тайны комбинаций количественных гармоничных отношений движения форм пространственной действительности, осуществляемых посредством круговых движений. Чтобы постичь новые тайны, продолжим достраивать Рис.6 [1] до получения полноты изображения Рис.7:

  1. Соединяем прямой линией точку 4 с точкой 2 и, таким образом строим сторону 2-4 вписанного в окружность правильного четырехугольника, или – квадрата.
  2. Раствором циркуля 2-6, круговым движением сторону семиугольника 2-6 совмещаем со стороной 2-4 квадрата и гипотенузой 1-2 треугольника 1-2-6. Отмечаем конечные точки длин совмещения (наложения). Соответственно, 2-7 = 2-8 = 2-6 ≈ 0,874032.
  3. Опускаем перпендикуляр 8-9 на катет 0-2 прямоугольного Δ2-0-4.
  4. Производим вычисления прямоугольного Δ2-9-8.

Рассмотрим треугольники 2-9-8 и 2-0-4. Они подобны, так как углы их равны. Соответственно стороны их пропорциональны: (9-8): (0-4) = (2-8): (2-4). Подставим значения в данную пропорцию:

(9-8): 1 = 0,874032 : 1,4142135, откуда 9-8 = (1х0,874032) : 1,4142135 ≈ 0,6180339.

В согласии с теоремой Пифагора вычисляем катет 2-9:

Таким образом, построен и вычислен вторичный «золотой» треугольник. Далее его будем именовать с большой буквы, т.е. – «Золотой». Рассмотрим его свойства:

  • Он является как равнобедренным, так и прямоугольным треугольником;
  • Его боковые стороны перпендикулярны, равны и равны мере «золотого» сечения;
  • Основание равнобедренного треугольника является также гипотенузой прямоугольного треугольника;
  • В конечном итоге Δ2-9-8 совмещает в себе свойства прямоугольного и равнобедренного треугольников.
  • Сторона «Золотого» треугольника является стороной квадрата 2-9-8-10, а его гипотенуза является диагональю данного квадрата.

Квадрат 2-9-8-10, по аналогии с треугольником, так же следует назвать «золотым», поскольку его сторона являет собой меру «золотого» сечения ≈ 0,6180339, а его диагональ являет собой меру стороны, вписанного в данную окружность, правильного семиугольника.Воистину, тайны путей и мер Всевышнего геометра – неисповедимы!

Следующим за «Золотыми» треугольником и квадратом по аналогии можно назвать треугольник 2-5-11 и квадрат 2-5-11-12 «Фидия». Аналогичное их вычисление дает следующие параметры: сторона квадрата (катеты треугольника) ≈ 0,3819661, а диагональ квадрата (гипотенуза треугольника) ≈ 0,5401816. Ее мера равна значению отрезка, остающемуся от стороны вписанного квадрата, после наложения на нее стороны вписанного семиугольника:

1,4142135 – 0,874032 ≈ 0,5401815.

Таким образом, мы получили новую гармоничную троицу чисел, где целым является длина стороны вписанного квадрата, а мерой ее «золотого сечения» является мера длины вписанного семиугольника. Рассмотрим числовые отношения их реальных мер:

1,4142135 : 0,874032 ≈ 1,618034; 0,874032 : 1,4142135 ≈ 1,6180339;

0,5401815 : 1,4142135 ≈ 0,3819661; 1,4142135 : 0,5401815 ≈ 2,6180339.

Аналогичная картина проявляется далее при «золотом сечении» диагонали квадрата (гипотенузы прямоугольного треугольника) «Фидия» ≈ 0,5401816, которая также рассекается на два асимметричных гармоничных отрезка.

Глядя на Рис.7, внимательный читатель заметил, что сторона 2-4 вписанного в окружность квадрата, в конечном счете, «рассечена» уже не на два, а на три отрезка: 4-8, 8-11 и 2-8. Сохранились ли при этом гармоничные отношения между целым (1,4142135) и его частями (0,5401816; 0,3338504; 0,5401816):

0,3338504 : 0,5401816 ≈ 0,6180336; 1,4142135 : 0,3338504 ≈ 4,2360695;

1,4142135 : 0,5401816 ≈ 2,6180334; 0,874032 : 0,3338504 ≈ 2,6180334 и т.д.

Таким образом, в наших построениях появились меры «золотых сечений» целостной тетрады. Можно полагать, что и пентада (при «золотом сечении» на два отрезка диагонали ≈ 0,5401816 квадрата «Фидия») окажется столь же гармоничной.

Всё выше доказанное, свидетельствует о том, что в древней символике, эзотерике, мистицизме ничего мистического и сакрального нет. Естественные законы. Изложенный в древности философским языком символизм еще ждет новых математических откровений.



Литература:

  1. Сергиенко П.Я. Сакральные треугольники, окружность, многоугольники, их построение и отношения между их параметрами (продолжение 1) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12842, 20.01.2006
  2. Сергиенко П.Я. Начала Сакральной Геометрии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12527, 25.10.2005
  3. Энциклопедия для детей. Том 11, математика, М., «Аванта+»,1998, с. 316.
  4. Символика чисел. «Рефл-бук», «Ваклер». 1996, с. 60-62.
  5. Джек Тресиддер. Словарь символов. Москва -2001, с. 327-328.
  6. Сергиенко П.Я. Проблема начал познания мер гармонии триединого бытия. Беседа 5 // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12007, 28.04.2005
  7. Сергиенко П.Я. Переоткрытие Пифагора // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12270, 15.07.2005

Сергиенко П.Я. Сакральные треугольники, окружность, многоугольники, их построение и отношения между их параметрами (продолжение 2) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12891, 01.02.2006

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru