Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Философия гармонии

Сергиенко П.Я.
Теория гармонии.
О противоречиях математической логики
в алгебраически-геометрических решениях
«золотого сечения»
Oб авторе
Геометрия есть познание всего сущего.
Платон


Гармония — всеобщее явление космического бытия. Каждому явлению конкретного бытия изНАЧАЛьно присущи единые элементарные формы и меры, а так же единые принципы их космической комбинаторики. Создать теорию гармонии, значит познать единые элементарные формы и меры космического бытия и «порождающие» их математические модели.

«Приглашение…» Академии Тринитаризма ориентирует участников обсуждения Программы А.П.Стахова на конечную цель – предложить конкретные знанияматематических моделей гармонии, которые должны быть включены в программы обязательного образования средних и высших учебных заведений, в учебники и учебные пособия. В этой связи, по моему мнению, авторам желательно так же принять участие в научно доказательной шлифовке или отбраковке предлагаемых другими авторами обязательных знаний. Попытаюсь исполнить данное пожелание относительно специфичной, первой дискуссионной статьи С.А.Алферова [1].


Полагаю, что еще раз следует уточнить понятия «золотая пропорция» и «золотое сечение» и в чем их различие, поскольку эти понятия отождествляются в исследовательских публикациях разных авторов, в том числе и в публикациях БСЭ.

«Большая часть целого так относится к целому, как его меньшая часть относится к большей части — это всеобщий, абстрактный закон (принцип) «божественной гармонии» мироустройства и количественных отношений бытия между целым и его частями. Данный закон получил имя «золотая пропорция».

Исторически истоки знаний о «золотой пропорции» встречаются уже в археологических архивах третьего тысячелетия до н.э. Посредством данной пропорции количественно можно определить среднюю гармоничную меру отношений троицы (целого и его двух частей) любого уровня бесконечной структурной иерархии целостности бытия Мира.

Структурная иерархия целостности — вхождение меньшей части в большую часть и совместное их вхождение в еще большую часть и т.д. Целостность иерархического мироустройства триалектика [2] формулирует: «В мире нет такого целого, которое не являлось бы частью другого целого». Символически этот тезис выражается логической дискретно-континуальной последовательностью:

,

где Ч – часть, Ц – целое. Любая троица (целое, большая часть, меньшая часть) в данной иерархии являет собой элементарную (изНАЧАПьную) количественную систему целостного качества или – элементарную целостность. В данной последовательности функции части и целого – равнозначны или равносильны, независимо от того какое место они занимают в структурной иерархии. Специфичность каждого из них проявляется посредством относительной меры и отношений в границах целостности, которые формулируются в законе «золотой пропорции». Математическое отражение данной иерархической последовательности особо четко проявляется в числовом ряде Фибоначчи.

Со времен Евклида алгебраическое решение «золотой пропорции» получило имя «золотого сечения» и понимается, как деление некого (абстрактного) целого отрезка на две не равные части (отрезки) a иb. Алгебраическое решение «золотой пропорции»a:b = b:(a-b сводится к составлению и решению уравнения. При условии b=1,пропорция преобразуется в уравнение:

а2 — а - 1 = 0 (1).

Решение уравнения дает два числовых значения корня (положительный и отрицательный):

а1 ≈1,6180339… и а2 ≈ -0,6180339…

Данный вариант алгебраического решения «золотого сечения» и его геометрической интерпретации, т.е. геометрического построения полученных числовых значенийа1 и а2, как конкретных отрезков, столкнулся с трудностями, о которых я уже ранее писал [3]. Главная из них – непонятен онтологический смысл полученных чисел: где, при каких условиях и как они проявляются в пространственных (геометрических) формах космического бытия?

Платон [4], глубоко и всесторонне, исследуя пифагорейскую гармонию космического бытия и принцип наименьшего действия при взаимодействии противоположностей, делает обобщение.

«[Тело космоса] было искусно устроено так, чтобы получать пищу от собственного тления, осуществляя все свои действия и состояния в себе самом и само через себя… Ибо такому телу из семи родов движения он уделил соответствующий род, а именно тот, который ближе всего к уму и разумению. Поэтому он заставил его единообразно вращаться в одном и том же месте, в самом себе, совершая круг за кругом, а остальные шесть родов движения были устранены». Нам не известны причины невключенности математического учения Платона в НАЧАПА Евклида. Но это в итоге имело свои негативные последствия. Коротко говоря, приведенный выше традиционный вариант алгебраического решения «золотого сечения» отрезка – является сугубо абстрактным решением и не имеет ни какой связи с гармонией, вечного, кругового (цикличного) движения, присущего всей Природе космоса.


С.А. Алферов, обозначив делимый отрезок буквой с,в своей статье не только не избежал традиционно допускаемых противоречий, проявляющихся в алгебраической логике и известном геометрическом решении «золотого сечения», а умножил их. Рассмотрим логику его решения «золотого сечения» отрезка, рисунки и пояснения к ним. С.А.Алферов утверждает:

«В последовательности отрезков «a-b-c» средним по длине отрезком является «b». Отсюда понятен смысл одного из старинных определений золотого сечения, как деления отрезка «на средний и крайний» (а не на два: больший и меньший), то есть — получение взаимосвязи «3-х».

Согласно его рисунка, где b = 1, утверждение, что это средний по длине отрезок – алогично. Логика: «определение золотого сечения, как деления отрезка «на средний и крайний»» так же противоречива. Такое «определение» логично только при условии, если c = 1. Далее С.А.Алферов приводит алгебраическое решение «золотой пропорции» следующим методом:

«Ну что ж, опишем эти условия в виде уравнений:

Тогда решение этой системы для «а»:
a2 + a — 1 = 0
a1,2 = — 0,5 ± Ц 1,25 .
(1)

Таким образом, при условииb = 1, мы получили два разных уравнения – Евклида и Алферова, или, назовем – систему уравнений Евклида-Алферова:

1) а2 — а - 1 = 0
2) а2 + а - 1 = 0

Решение первого уравнения дает корни а1≈1,6180339… и а2≈ -0,6180339…, а решение второго уравнения дает корни а1-1,6180339… и а2≈ 0,6180339. Разрешить возникшее противоречие можно, если полученные уравнения решить как систему уравнений. В итоге решения мы получим еще два значения корня дляа: 2 а2 = 2; а1 = 1; а2 = -1.

В комбинаторике приведенных алгебраических преобразований, как будто бы все логично и верно, а в итоге – алгебраическое значение искомого гармоничного отрезка оказалась противоречивым.

Допущенное противоречие в геометрическом решении «золотого сечения» С.А.Алферов усиливает еще одним примером и рисунком к нему. Он утверждает:

«Это же уравнение возникает при решении следующего прямого треугольника с h=1:

И решение системы уравнений для c:
c2 — c — 1 = 0
c1,2 = 0,5 ± Ц 1,25
(2)

Действительно, в приведенном алгебраическом решении «золотой» пропорциональности сторон прямоугольного треугольника, где с = а+1,противоречий нет. Но, если учащийся подставит полученные значения трех вариантов числового значенияа (6 корней) в отрезок си треугольник, то он очень засомневается в истинности абстрактной комбинаторики приведенных доказательств. Решая «систему уравнений для с», Алферов даже не замечает, что результаты у него для сполучились такие же, как и для «а».

Разумеется, приведенные С.А.Алферовым примеры алгебраического решения «золотой пропорции», для отрезка и для прямоугольного треугольника могут быть интересными для дискуссии среди учителей. Но они не могут быть включены в качестве обязательных знаний в учебники и учебные пособия.

Еще раз подчеркнем, что понятие «золотое сечение» отличается от понятия «золотая пропорция» тем, что оно выражается не абстрактными отношениями, а конкретной числовой мерой конкретных геометрических фигур. Это понятие включает в себя гармоничное деление («сечение») какого-либо отрезка прямой, кривой или какой-либо площади (круга, многоугольника…) на две не равные части, каждая из которых, находится в гармоничных количественных отношениях с другой частью, а так же с целым. Гармония между тремя соблюдается только в том случае, если целое «рассекается» на две части, которые численно равны: 0,6180339… и 0,3819661…, т.е. при условии, что целое равно их сумме: 0,6180339… + 0,3819661… = 1. А отношения частей и целого (их умножения, дробления, возведения в степень…) не нарушают естественный закон гармонии, а только повторяют (возрождают) его в больших или меньших масштабах. Например, 1 : 0,6180339 ≈ 1,618034…; 0,3819661 : 0,6180339 ≈ 0,6180339; 0,6180339 : 0,3819661≈ 2,6180339; (0,6180339)2 ≈ 0,3819661; 0,6180339х0,3819661≈ 0,2360679; (1,6180339)2≈0,6180339 : 0,3819661≈ 2,6180339 и т.д.


Полагаю, учащимся в качестве обязательного знания «золотого сечения» отрезка на гармоничные части необходимо предложить следующий вариант алгебраического решения (Рис.1). При этом нет необходимости обозначать каждую часть своей буквой. Достаточно обозначить «средний» (гармоничный отрезок) 1-2 буквенным символом «Х», а целый отрезок 1-3 – числом «.

Пусть дан отрезок 1-3 = 1. Необходимо найти значение среднего отрезка Х если меньший отрезок равен 1 — Х.

В согласии с законом «золотой пропорции» (Большая часть целого так относится к целому, как его меньшая часть относится к большей части) составляем пропорцию отношений отрезка: Х: 1 = (1 – Х): Х, где произведение крайних членов, равно произведению средних. В итоге мы получаем уравнение «золотого сечения» отрезка:
Х2 + Х – 1 = 0
(3)

Стандартной системой счета и количественной мерой современной цивилизации является десятичная система. Чтобы учащиеся глубже вникли в количественную сущность понимания целостности и «золотого сечения» отрезка, решение уравнения (3) так же необходимо давать в десятичной системе:
(4),

где Х1 ≈ 0,6180339…; Х2 ≈ -1,6180339…

Сравним традиционный алгоритм (5) решения уравнения (3) с алгоритмом его решения (4).
(5).

В решениях уравнения (3) посредством алгоритма десятичной дроби (4) и обычной дроби (5) мы получаем в итоге те же корневые значения гармоничных отрезков в десятичной дроби:

Х1 ≈ 0,6180339…; Х2 ≈ -1,6180339…

Спрашивается, логично ли вообще алгебраическое решение уравнения (3) посредством алгоритма (5)? Не создает ли такое решение трудности и противоречия для геометрического решения уравнения (3) и для понимания сущности «золотого сечения»? Рассмотрим эту проблему подробнее.

Геометрическое решение (с помощью циркуля и линейки) уравнения (3), т.е. «золотого сечения» отрезка а согласно алгоритму (5), в математической энциклопедии [5] представлено на Рис.2, где отрезок АВ =а = 1:

В связи с построениями Рис.2 – деления отрезка АВ на гармоничные отрезки и , напрашиваются вопросы:



Рис. 2. «Золотое сечения» отрезка АВ, выполненное
с помощью циркуля и линейки


  • Почему отрезок АВ делится на гармоничные части с помощью треугольника АВС и корня из числа 5?
  • Какую меру являет собой треугольник АВС в круговом движении?
  • Если строится отрезок ВС = , то почему он не обозначен (не откладывается) на отрезке АВ?
  • Почему отрезок отмеряется за пределами делимого отрезка АВ, а потом переносится на отрезок АВ?
  • Какое отношение имеет данное построение к гармонии симметрии и гармонии асимметрии геометрического пространства?
  • Как данные числовые значения геометрически проявляются в циклическом (круговом) движении и могут ли они быть построены с помощью циркуля и линейки?

В существующей литературе логика ответов на данные и другие вопросы довольно противоречива по причине не достаточно четкого понимания онтологии триединства целого, целостности бытия и кругового движения. В построениях Рис.2 отсутствует естественность произведенного «золотого сечения» единой мерой для прямолинейного и кругового движения. Мы всегда должны помнить наставления Платона [4] о том, что принцип наименьшего действия для всех форм движения синтезируется в форме кругового движения. В круговом движении синтезируется шесть разных прямолинейных движений: вперёд, назад, влево, вправо, вверх, вниз и разные формы криволинейного движения.

В круговом движении единой мерой (аргументом) в семи специфических ипостасях движения является мера радиуса круга, которая равна стороне равностороннего треугольника, вписанного в четверть данного круга и делящегося на пару противоположных абсолютно симметричных и равных прямоугольных треугольника. Подробнее об этом – в продолжающейся серии моих публикаций: «Сакральные треугольники, окружность, многоугольники их построение и отношения между их параметрами».


Резюме. Теория гармони бытия, как и математика гармонии, не могут избежать противоречий, если они выстраиваются, игнорируя основополагающие принципы гармоничного бытия:

  • Принцип единства сохранения и изменения (развития) целостности;
  • Принцип единства симметрии и асимметрии;
  • Принцип кругового (цикличного) движения;
  • Принцип единой меры;
  • Принцип «золотой пропорции» в отношениях атрибутов триединой структуры;
  • Принцип наименьшего (оптимального) действия в структурных изменениях атрибутов целостности.



Литература:

  1. Алферов С.А. Золотая пропорция, треугольник Паскаля и принцип квадр // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12706, 13.12.2005.
  2. Сергиенко П.Я. Триалектика. Новое понимание мира. Пущино – 1995. С. 24-26.
  3. Сергиенко П.Я. Проблема начал познания мер гармонии триединого бытия. Беседа 3. // «Академия Тринитаризма», М., Эл №77-6567, публ. 11991, 22.04.2005.
  4. Платон. Собр. соч. в 4-х т. «Мысль», М., 1994. Т.3, с. 436-437.
  5. Энциклопедия для детей. Том 11. М., «Аванта+» 1998, с.191.


ПРИМЕЧАНИЕ: Какие знания, из данной и предыдущих моих публикаций, следует включить в число обязательных знаний, и для каких категорий обучающихся, я полагаю, окончательное решение можно будет принять только после их обсуждения. Думается, что не следует при этом включать в обучение текст критики неприемлемых вариантов.


Сергиенко П.Я. Теория гармонии. О противоречиях математической логики в алгебраически-геометрических решениях «золотого сечения» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12824, 17.01.2006

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru