Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Дискуссии

А.П. Стахов
Реплика к статье П.Я. Сергиенко «Начала математизации гармонии. Задача (предложение II.11) Евклида и алгоритм ее решения»
Oб авторе

Я очень рад, что ситуация на сайте АТ (Институт Золотого Сечения) начинает постепенно нормализоваться, и появляются публикации серьезных авторов без оскорблений, пустопорожних фраз (типа «кастрюльно-алюминиевые пропорции») и желчных намеков. В этой связи статья П.Я. Сергиенко является весьма характерной. Она мне понравилась, и я благодарен П.Я. Сергиенко за конструктивную критику. В дальнейшем я буду использовать его алгоритм решения задачи о «делении отрезка в крайнем и среднем отношении» в своих работах со ссылкой на П.Я. Сергиенко.

Я уже писал в своих предыдущих публикациях, что я приветствую публикацию книг С.А. Ясинского, хотя и не согласен с его некоторыми ошибочными суждениями. Однако я увидел, что у нас с Ясинским (как впрочем, и с Сергиенко) больше общих точек соприкосновения, чем разногласий. Прежде всего – это вера в «золотое сечение» как уникальное математическое достижение античной науки и его роль в современной науке. Второе – это наша общая точка зрения на «металлические пропорции», уважительное отношение к этому математическому открытию, сделанному многими исследователями практически одновременно и независимо друг от друга, и объективная оценка научного творчества Александра Татаренко.

Но самое главное, что мне понравилось в книге Ясинского «Золотое» сечение в стандартизации и теории измерения - это тщательнейший анализ комментариев Мордухай-Болтовского, касающихся «золотого сечения», и мне доставляет удовольствие привести здесь эти комментарии, о которых я раньше не знал:

«Теперь посмотрим, какое место занимает золотое сечение в «Началах» Евклида. Прежде всего, нужно отметить, что оно встречается в двух формах, разница между которыми почти неощутима для нас, но была очень существенной в глазах греческого математика V-VI-го веков до н.э. Первая форма, прототип которого мы видели в Египте, является в Книге II «Начал», а именно в Предложении 11 вместе с вводящими его предложениями 5 и 6; здесь золотое сечение определяется как такое, в котором квадрат, построенный на большем отрезке, равняется прямоугольнику на всей прямой и меньшем отрезке. Вторую форму мы имеем в определении 3 книги VI, где золотое сечение определяется пропорцией – как вся прямая к большему отрезку, так и больший отрезок к меньшему - и называется делением в крайнем и среднем отношении; в этой форме золотое сечение могло быть известным только со времен только со времен Евдокса. Интересно отметить, что предложениям 5, 6 и 11 книги II соответствуют предложения 27, 28 и 30 – шестой. Затем, предложения 5 и 6 книги II разорвали связь между предложениями 4 и 7, соответствующим нашим формулам квадратов суммы и разности; «та же фигура», о которой упоминается в предложении 7, строится в 4-м.

В книге XIII золотое сечение является в обеих указанных формах, а именно в первой форме в предложениях 1-5 и во второй – в предложениях 8-10. Правда в формулировке и тексте доказательства 1-5 предложений встречаются слова «в крайнем и среднем отношении», в доказательствах есть некоторые следы пользования пропорциями, но при внимательном чтении нетрудно заметить, что все эти места не связаны органически с общим текстом и легко из него могут быть исключены; все доказательство по существу ведется исходя из равенства на большем отрезке прямоугольнику ... Более того, предложение 2 книги XIII по существу равнозначно геометрическому построению предложения 11 книги II.

Все это позволяет думать, что предложения 4, 7, 8 книги II и предложения 1-5 книги XIII представляют остатки одного из самых древних в истории греческой геометрии документов, восходящего по всей вероятности к первой половине V века и возникшего в пифагорейской школе на основании того материала, который был привезен из Египта. Сравнительную древность этого документа можно установить из того обстоятельства, что предложения 4 и 7 книги II служат в ней для доказательства обобщенной теоремы Пифагора [квадрат стороны против острого и тупого угла (предложения 12 и 13 книги II)], которая, несомненно, была известна Гиппократу Хиосскому ... Несмотря на то, что первые пять предложений книги XIII составляют одно целое с рядом предложений книги II , нужно отметить, что при непосредственном использовании предложений книги II (в особенности предложения 11, которое и дает построение золотого сечения) доказательства были бы в отдельных случаях значительно проще»

Я хочу еще раз привлечь внимание Петра Якубовича Сергиенко и других «золотосеченцев» к этим комментариям и к тем выводам, которые из них вытекают:

1. Во-первых, Мордухай-Болтовский отождествляет «деление отрезка в крайнем и среднем отношении» и «золотое сечение». Это – одна и та же задача!

2. Во-вторых, в «Началах» Евклида имеется не одна (Предложение II.11), а, по крайней мере, две различные формулировки задачи о «золотом сечении». Цитирую Мордухай-Болтовского: «Вторую форму мы имеем в определении 3 книги VI, где золотое сечение определяется пропорцией – как вся прямая к большему отрезку, так и больший отрезок к меньшему - и называется делением в крайнем и среднем отношении; в этой форме золотое сечение могло быть известным только со времен только со времен Евдокса». И далее: «В книге XIII золотое сечение является в обеих указанных формах, а именно в первой форме в предложениях 1-5 и во второй – в предложениях 8-10». То есть, Евклид широко использует в своих «Началах» как первую форму (Предложение II.11 и предложения 1-5 книги XIII), так и вторую форму как представление золотого сечения в виде пропорции (предложение 3 книги VI и предложения 8-10 книги XIII).

3. Цитата Мордухай-Болтовского, авторитет которого не вызывает сомнений, ставит жирную точку в споре о том – знали ли Пифагор и Платон о «золотом сечении? В задаче о «золотом сечении» Мордухай-Болтовский видит «египетский след» и явно намекает на Пифагора, который 22 года провел в Египте и привез оттуда огромное количество египетских математических знаний, включая «теорему Пифагора» и «золотое сечение». Отсюда вытекает, что Мордухай-Болтовский не сомневался в том, что не только Евклид, но и Пифагор (а отсюда следует, что и Платон, который был пифагорейцем), а также и древние египтяне знали о «золотом сечении» и широко его использовали (вспомним о «Пирамиде Хеопса», «панелях Хеси-Ра» и др.).


А.П. Стахов, Реплика к статье П.Я. Сергиенко «Начала математизации гармонии. Задача (предложение II.11) Евклида и алгоритм ее решения» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15635, 06.11.2009

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru