Уважаемый Сергей Леонидович!

1. Извините опять за «менторский» тон. Я работаю в этой области более 40 лет. Я неплохо знаком, как с русскоязычной, так и англоязычной литературой по проблеме чисел Фибоначчи и золотого сечения. Со многими ведущими современными западными специалистами в этой области (Scott Olsen, Jay Kappraff, Vera Spinadel, El Nashie и др.) я нахожусь в e-mail-переписке и знаком со всеми их современными публикациями в этой области. Как активный автор статей по числам Фибоначчи, опубликованных в западных журналах (свыше 20 публикаций), я часто получаю статьи по числам Фибоначчи, посвященных развитию обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений, с просьбой прорецензировать ту или иную статью. Кстати, я опубликовал 15 статей в журнале «Chaos, Solitons and Fractals” и эти публикации вызвали волну статей именно по обобщенным числам Фибоначчи и гиперболическим функциям Фибоначчи и Люка в этом журнале. Поэтому, как говорится, я – «в курсе дела», и мне достаточно одного взгляда на статью, чтобы определить – содержит ли она новую информацию и что в этой статье упущено. К сожалению, мои замечания не всем нравятся, в том числе и проф. Василенко. И он – не первый, кому я делаю замечания. Приведу некоторые примеры.

В 2005 г. на нашем сайте были опубликованы статьи Александра Татаренко, посвященные так называемым «T_m-гармониям», то есть «Гармониям Татаренко». Несмотря на некоторую илишнюю восторженность, математическая сущность идей Татаренко мне понравилась, и я начал разбираться – нет ли более ранних публикаций на эту же тему. Оказалось, что первой к этим идеям пришла аргентинский математик Вера Шпинадель, которая в 1998 г. опубликовала книгу по новым пропорциям [4]. Но она назвала эти пропорции «металлическими пропорциям». И она первой обратила внимание на то, что они являются «обобщениями» золотой пропорции (в смысле Пойя, который, к сожалению, для проф.Василенко авторитетом не является). Она также нашла интересные приложения “металлических пропорций» в современной науке. По результатам своих «исторических» исследований по этой проблеме я написал статью [5], в которой я сделал следующий вывод:

1. В конце 20-го века сразу трое ученых Вера Шпинадель (Аргентина), А.А. Татаренко и Н.В. Косинов (Россия), исследуя квадратичное уравнение типа x² – px — q = 0, которое является обобщением «уравнения золотой пропорции» x² — x – 1 = 0, независимо друг от друга пришли к открытию одного и того же класса числовых констант, которые они назвали по-разному: «металлические средние» («metallic means») или «металличческие пропорции» (Вера Шпинадель), T_m-гармонии (А.А. Татаренко), новые «золотые» константы (Н.В. Косинов). Однако первая статья по новым числовым константам была опубликована в 1997 г. аргентинским математиком Верой Шпинадель [13], что, однако, не умаляет оригинальных исследований А.А. Татаренко и Н.В. Косинова.

2. Поскольку публикации аргентинского математика Веры Шпинадель по «металлическим пропорциям» являются пионерными в этой области, представляется целесообразным для корней квадратного уравнения x² — px — q = 0 использовать в дальнейшем название, введенное Верой Шпинадель, а именно, «металлические средние» («metallic means») или «металлические пропорции». Для избегания путаницы и стандартизации обозначений рекомендовать для «металлических пропорций», являющихся решениями квадратного уравнения x² — px — q = 0, использовать обозначение _p^q, где p и q принимают значения из множества натуральных чисел.

Позже проф. Джей Каппрафф (США) прислал мне свои книги [6, 7], в которых также рассматриваются «металлические пропорции» под названием «серебряные пропорции». А еще позже я прочитал книгу Мидхата Газале [8], в которой были введены «формулы Газале», основанные на металлических пропорциях, которые являются «обобщением» формул Бине (в смысле Пойя). Конечно, моя публикация не очень понравилась Александру Татаренко, когда он узнал, что он является одним из авторов этого математического открытия.

2. Теперь проанализируем характер моих замечаний по поводу публикаций проф. Василенко. Первое мое замечание [9] касалось предложения Василенко о приведении гиперболических функций Фибоначчи и Люка к «стандартной форме» http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321092.htm. Я обратил внимание проф.Василенко на тот факт, что это уже сделано в работах львовского исследователя Олега Боднара. После этого в работах Василенко появились ссылки на работы Боднара, что свидетельствует о том, что с работами Боднара он до этого не был знаком.

Второе мое замечание касалось статьи проф.Василенко «Обобщенные «золотые» pk-пропорции» [10], в которой он претендует на введение новых обобщенных золотых пропорций (любопытно, что в этой статье он употребил название «золотые» pk-пропорции», за что затем меня начал критиковать). В статье [11] я обратил его внимание, что подобные «обобщения» были сделаны в статье [12], опубликованной в журнале “Chaos, Solitons and Fractals”. Я проинформировал о статье [12] в своей статье [13], опубликованной на нашем сайте.

Третье мое замечание касалось статьи проф.Василенко [14]. В этой статье он претендовал на введение новых классов гиперболических миров природы, основанных на новых обобщениях золотой пропорции типа «металлических пропорций». В своем отклике на эту статью я обратил внимание Василенко, что нельзя публиковать подобную статью без ссылок на мою статью [15], в которой введены подобные же классы гиперболических функций.

Четвертое мое замечание касалось статьи Василенко [16], в которой он исследует "Золотые ряды" Фибоначчи с произвольными начальными условиями. В своей статье [17] я обратил внимание С.Л.Василенко на тот факт, что "Золотые ряды" Фибоначчи с произвольными начальными условиями подробно исследованы в книге проф. Вайды (Англия) [18], опубликованной в 1989 г. В своих последующих публикациях проф.Василенко начал ссылаться на книгу Вайды, откуда я сделал вывод, что он об этой книге до этого не знал.

Наконец, мое последнее замечание касается статьи С.Л.Василенко [19], в которой он исследует обобщенное уравнение гармонической пропорции, корнем которого является «золотая пропорция». В своей статье [20] я обратил внимание проф.Василенко на то, что подобные уравнения, названные «золотыми» алгебраическими уравнениями были впервые исследованы в статье Стахова и Розина [21], опубликованной в 2006 г. Однако, я хочу подтвердить, что в статье С.Л.Василенко [20] в развитие статьи [21] получено ряд новых результатов в этой области.

Таким образом, на основе анализа упомянутых выше работ С.Л.Василенко, у меня сложилось следующее впечатление. Проф. Василенко начал активно внедряться в «теорию чисел Фибоначчи», не ознакомившись предварительно с работами других авторов в этой области. Юмористичность ситуации состояла в том, что в своих предыдущих работах я так или иначе касался тех же задач, которым были посвящены статьи проф. Василенко. В результате мне пришлось давать комментарии по поводу некоторых его статей, в которых он описывал результаты, полученные другими авторами. Тем не менее, я не сомневаюсь в том, что все результаты С.Л.Василенко получены им самостоятельно и все эти статьи написаны на высоком математическом уровне. И вообще я считаю проф. Василенко талантливым исследователем в этой области, о чем свидетельствуют его некоторые действительно оригинальные работы [22-24]. И я приветствую его научную деятельность в этом направлении.

3. Проф. Василенко имеет полное право считать термины «обобщенные р-числа Фибоначчи» или «обобщенные золотые р-пропорции» некорректными, хотя я придерживаюсь противоположной точки зрения. Согласно Д. Пойя, все они удовлетворяют определению «обобщение», принятому в математике. И с каких пор Пойя, Гика и другие выдающиеся исследователи, в адрес которых С.Л.Василенко высказывается весьма пренебрежительно, перестали быть «авторитетами» в своей области. Вряд ли это сугубо личное и не на чем не основанное мнение проф. Василенко о Пойя и Гика может быть всерьез воспринято современным научным сообществом.

4. Я считаю, что в области «современной теории чисел Фибоначчи» получено достаточно большое количество «обобщений». Это и «металлические пропорции», являющиеся «обобщением» золотой пропорции, и «формулы Газале», являющиеся «обобщением» формул Бине, и «коды золотой р-пропорции», являющиеся «обобщением» классической двоичной системы счисления и «системы Бергмана» [26] и т.д. Эти понятия уже введены в «современную теорию чисел Фибоначчи», они отлично «работают» во многих приложениях, все прекрасно понимают, о чем идет речь. Поэтому пытаться заниматься ревизией этих понятий или вообще исключать из состава «теории чисел Фибоначчи» (в угоду Василенко) не имеет никакого смысла. Пусть проф.Василенко остается при своем мнении, а «современная теория чисел Фибоначчи» будет развиваться вне зависимости от «мнения» Василенко.

5. Я никого не призываю следовать моим указаниям и моему научному направлению. Я просто развиваю «теорию чисел Фибоначчи» в соответствии с моим пониманием этого развития. При этом основной упор я делаю на приложения этой теории, хотя теоретические результаты меня также интересуют. Веденные мною обобщенные р-числа Фибоначчи и золотые р-пропорции успешно использованы мною при создании следующих математических объектов и теорий:

- алгоритмическая теория измерения [25]

- р-коды Фибоначчи, новая компьютерная арифметика, концепция «Компьютеров Фибоначчи» (65 зарубежных патентов) [25]

- коды золотой р-пропорции как начало новой теории чисел и «золотой» информационной технологии [26]

- «золотые» резистивные делители и вытекающая из них новая «золотая» метрология и новая теория аналого-цифрового преобразования

- матрицы Фибоначчи, основанные на р-числах Фибоначчи, и вытекающая из них новая теория кодирования

Формулы Бине, основанные на классической золотой пропорции, и формулы Газале, основанные на «металлических пропорциях», использованы для введения гиперболических функций Фибоначчи и Люка (Боднар, Розин, Стахов, Ткаченко) и создания «геометрии Боднара» [27], а формулы Газале - для введения «золотой» фибоначчиевой гониометрии, которая лежит в основе решения 4-й проблемы Гильберта (совместно с Арансоном) [28].

Эти «прикладные» и в то же время достаточно глубокие теоретические результаты, которые вытекают из «обобщений» чисел Фибоначчи и золотой пропорции и к которым я имею непосредственное отношение, очень трудно опровергнуть, как бы этого не хотелось проф. Василенко или кому-либо другому. Такие понятия как «алгоритмическая теория измерения», «коды золотой пропорции», «р-числа Фибоначчи», «золотые р-пропорции», «металлические пропорции», «формулы Газале», «гиперболические функции Фибоначчи и Люка», «золотая» фибоначчиевая гониометрия», «компьютеры Фибоначчи» и т.д. уже введены в русскоязычную и англоязычную литературу и попытки делать ревизию этих понятий или исключать их из «теории чисел Фибоначчи» только потому, что там мало «золота», является бессмысленным занятием.

В заключении я предлагаю проф. Василенко заниматься конкретными исследованиями в этой области, предварительно изучив все, что сделано в этой области, и прекратить свое увлечение формальной логикой и «терминологическим крючкотворством». Извините за резковатые слова. Но я – человек простой, из глухого украинского села, высоким манерам не обучен, говорю, что думаю. За это много раз получал «шишки», но всегда, в конечном итоге, оказывался прав.

Литература

1.Татаренко А.А. Золотые Тm – гармонии и Dm – фракталы — суть солитоно-подобного Тm – cтруктурогенеза мира // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12691, 09.12.2005

2.Татаренко А.А. На пороге первого тысячелетия эры полигармонии Мира // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12658, 04.12.2005

3.Татаренко А.А. «Т_m — принцип» — всемирный закон гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12575, 10.11.2005

4.Vera W. de Spinadel. From the Golden Mean to Chaos. Nueva Libreria, 1998 (second edition, Nobuko, 2004)

5.Стахов А.П. «Металлические Пропорции» Веры Шпинадель // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12532, 25.10.2005

6.Kappraff, J. Connections. The geometric bridge between Art and Science. Second Edition. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific (2001).

7.Kappraff, J. Beyond Measure. A Guided Tour Through Nature, Myth, and Number. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific (2002).

8.Gazale, M. J. Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1999).

9.А.П. Стахов, Комментарий по поводу статьи С.Л. Василенко «Гиперболические функции «золотого» сечения» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15033, 09.01.2009

10.С.Л. Василенко, Обобщенные «золотые» pk-пропорции // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14756, 27.03.2008 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321080.htm

11.А.П. Стахов, Отклик на публикации С.В. Василенко на сайте «Академия Тринитаризма» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15119, 24.02.2009

12.E. Gokcen Kocer, Naim Tuglu and Alexey Stakhov. On the m-extension of the Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals (In Press), Available online 29 October 2007

13.А.П. Стахов, О новом обобщении чисел Фибоначчи и «золотой пропорции» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14681, 02.01.2008 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321073.htm

14.С.Л. Василенко, «Золотые» гиперболические миры // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15103, 17.02.2009 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321094.htm

15.А.П. Стахов, Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006

16.С.Л. Василенко, "Золотые ряды" Фибоначчи с произвольными начальными условиями // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15295, 19.05.2009

17.А.П. Стахов, По поводу «золотых» рядов Фибоначчи с произвольными начальными условиями (комментарий статьи С.Л. Василенко) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15299, 20.05.2009

18.Vajda, S. Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications, 1989.

19.С.Л. Василенко, Обобщенное уравнение гармонической пропорции. Теория и приложения // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15325, 06.06.2009

20.А.П. Стахов, О «золотых» алгебраических уравнениях (реплика на статью С.Л. Василенко) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15331, 09.06.2009

21.Stakhov A., Rozin B. The “golden” algebraic questions Chaos, Solitons and Fractals, 27(5), 2006.

22.С.Л. Василенко, Фрактальные многоугольники и «золотое» сечение // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15108, 21.02.2009

23.С.Л. Василенко, «Золотые» сечения в распределении Парето // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15292, 17.05.2009

24.С.Л. Василенко, Гармоническая пропорция в линейных разностных уравнениях // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15330, 09.06.2009

25.А.П. Стахов, Еще раз о роли алгоритмической теории измерения, р-кодов Фибоначчи, закона Сороко, геометрии Боднара и других научных результатов в развитии «современной теории чисел Фибоначии» (ответ Сергею Алферову) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15336, 12.06.2009

26.А.П. Стахов, Роль систем счисления с иррациональными основаниями (кодов золотой пропорции) в развитии теории систем счисления, теории компьютеров и «современной теории чисел Фибоначчи» (к обоснованию «Математики Гармонии» ) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15341, 14.06.2009

27.А.П. Стахов, Роль гиперболических функций Фибоначчи и Люка в развитии современной науки и «современной теории чисел Фибоначчи»(к обоснованию «Математики Гармонии») // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15334, 10.06.2009

28.А.П. Стахов, «Металлические пропорции», формулы Газале, «золотая» фибоначчиева гониометрия и их роль в развитии гиперболической геометрии, современного теоретического естествознания и «современной теории чисел Фибоначчи» (к обоснованию «Математики Гармонии») // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15344, 15.06.2009