1. Системы счисления и их роль в развитии математики и компьютеров

1.1. Позиционный принцип представления чисел. Сразу после защиты докторской диссертации (1972 г.) [1] логика развития моего научного направления вывела меня на проблему «систем счисления», одну из фундаментальных проблем математики и науки в целом.

Каждый человек на земном шаре, окончивший хотя бы четыре класса начальной или «церковно-приходской» школы, знает, по меньшей мере, две полезные вещи: он умеет писать и читать и использовать десятичную систему счисления для выполнения простейших арифметических операций. И эта система кажется нам настолько простой и элементарной, что многие из нас с большим недоверием отнесутся к утверждению, что десятичная система является одним из крупнейших математических открытий за всю историю математики. И чтобы убедить читателя в этом, обратимся к мнению «авторитетов».

Пьер Симон Лаплас (1749-1827), французский математик, член Парижской академии наук, почетный иностранный член Петербургской академии наук:

«Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой».

М.В. Остроградский (1801-1862), русский математик, член Петербургской академии наук и многих иностранных академий:

«Нам кажется, что после изобретения письменности самым большим открытием было использование так называемой десятичной системы счисления. Мы хотим сказать, что соглашение, с помощью которого мы можем выразить все полезные числа двенадцатью словами и их окончаниями, является одним из самых замечательных созданий человеческого гения …»

Жюль Таннери (1848-1910), французский математик, член Парижской академии наук:

«Что касается до нынешней системы письменной нумерации, в которой употребляется девять значащих цифр и ноль, и относительное значение цифр определяется особым правилом, то эта система была введена в Индии в эпоху, которая не определена точно, но, по-видимому, после христианской эры. Изобретение этой системы есть одно из самых важных событий в истории науки, и несмотря на привычку пользоваться десятичной нумерацией, мы не можем не изумляться чудной простоте ее механизма».

К сожалению, историки компьютерной науки, владея развитой компьютерной теорией, иногда забывают о той роли, которую сыграли системы счисления в истории компьютеров. Ведь первые проекты счетных приборов (абаков и арифмометров), прообразов современных компьютеров, появились задолго до возникновения алгебры логики, теории алгоритмов – и главную роль при создании таких счетных приборов сыграли именно системы счисления и правила выполнения в них простейших арифметических операций. Об этом не следует забывать, прогнозируя дальнейшее развитие компьютерной техники. В новых правилах выполнения арифметических операций лежит ключ развития информационных технологий будущего!

Создание первых систем счисления относится к периоду зарождения математики, когда потребности счета предметов, измерения времени, земельных участков и количества продуктов привели к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Как подчеркивает А.Н. Колмогоров в статье «Математика» (БСЭ, том. 15), «только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приемы выполнения над натуральными числами четырех арифметических действий».

Уже в период зарождения математики было сделано одно из крупнейших математических открытий за всю историю математики. Речь идет о позиционном принципе представления чисел. Как подчеркивается в статье Башмаковой И.Г. и Юшкевича А.П. «Происхождение систем счисления» («Энциклопедия Элементарной Математики, том 1 «Арифметика», 1951 г.), «первой известной нам системой счисления, основанной на поместном или позиционном принципе, является шестидесятеричная система древних вавилонян, возникшая примерно за 2000 лет до н.э.».

1.2. История десятичной системы счисления. Мы используем для повседневных вычислений десятичную систему счисления. Хорошо известно, что предшественницей десятичной системы счисления является Индусская десятичная система, возникшая в 5-8-м столетии нашей эры. В Европу десятичная нумерация проникла из Исламского Востока. Наиболее ранние рукописи на арабском языке, содержащие индийскую позиционную запись чисел, относятся к 9-му столетию нашей эры. Одним из первых в Европе понял преимущества новой нумерации французский церковнослужитель и математик Герберт, который в 999 году стал римским папою под именем Сильвестра П. Новоиспеченный папа попытался провести реформу в преподавании математики и ввести новую систему нумерации. Однако нововведение встретило яростный гнев со стороны инквизиции. Папу обвинили в том, что он «продал душу сарацинским дьяволам». Реформу постарались провалить, и папа-математик вскоре умер. Но и после смерти его не оставили в покое. Несколько столетий ходили слухи, что из мраморного саркофага папы непрерывно сочится серный дым и слышится шорох чертей.

Хотя первые записи арабско-индийскими цифрами встречаются в испанских рукописях еще в 10-м веке, десятичная система начинает закрепляться в Европе только, начиная с 12-го века. Новая нумерация в Европе встретила ожесточенное сопротивление как со стороны официальной схоластической науки того времени, та и со стороны отдельных правительств. Так, например, в 1299 г. во Флоренции купцам было запрещено пользоваться новыми цифрами, в бухгалтерии приказано было либо пользоваться римскими цифрами, либо писать числа словами.

Убежденным сторонником использования арабско-индийской системы счисления в торговой практике был известный итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи), получивший математическое образование в арабских странах. В своем сочинении “Liber abaci” (1202) он писал:

«Девять индусских знаков – суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски “zephirum”, можно написать какое угодно число».

Здесь словом “zephirum” Фибоначчи передал арабское слово “as-sifr”, являющееся дословным переводом индусского слова “sunya”, то есть пустое, служившее названием нуля. Слово “zephirum” дало начало французскому и итальянскому слову “zero” (нуль). С другой стороны, то же арабское слово “as-sifr” было передано через “ziffer”, откуда произошли французское слово “chiffre”, немецкое “ziffer”, английское “cipher” и русское «цифра».

В начале 17-го века новая нумерация проникает в Россию, но православная церковь встречает ее в штыки и объявляет новую нумерацию колдовской и безбожной. Закрепилась десятичная нумерация в России только после издания в 1703 году знаменитой «Арифметики» Магницкого, в которой все вычисления в тексте производились исключительно с использованием десятичной системы счисления.

1.3. История двоичной системы. В связи с развитием компьютерной техники на первые роли в современной науке выдвинулась двоичная система счисления. Зачатки двоичной системы наблюдаются у многих народов. У древних египтян широкое распространение получили методы умножения и деления, основанные на принципе «удвоении». Изобретение двоичного способа нумерации приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры.

Кто же изобрел правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления? Оказывается, что автор двоичной арифметики в истории науки доподлинно известен; им является известный немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646-1716), который в 1697 г. разработал двоичную арифметику. Лейбниц настолько был восхищен этим своим открытием, что в его честь он выпустил специальную медаль, на которой были даны двоичные изображения начального ряда натуральных чисел – и, возможно, это был тот редкий случай в истории науки, когда именно математическое открытие было удостоено такой высокой почести.

Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную нумерацию для практических вычислений вместо десятичной системы, но подчеркивал, что «вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот, является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок».

Таким образом, как подчеркивают многие выдающиеся математики, открытие вавилонянами позиционного принципа, а затем индусами десятичной системы счисления, основанной на позиционном принципе, а также разработка Лейбницем двоичной арифметики по праву можно отнести к разряду действительно эпохальных математических открытий за всю историю ее существования, существенно повлиявших на развитие материальной культуры, в частности, на развитие компьютерной техники.

1.4. Принципы Неймана-Лебедева. Рассуждая об истоках современных компьютеров, мы всегда вспоминаем о так называемых «Неймановских принципах», которые определили развитие компьютерной техники на многие десятилетия вперед. Как известно, первой универсальной электронной вычислительной машиной считается машина ЭНИАК, созданная в 1945 г. в США. Перед конструкторами ЭНИАК возникла задача проанализировать сильные и слабые стороны проекта ЭНИАК и дать рекомендации для дальнейшего развития электронных компьютеров. Блестящее решение этой задачи было дано в отчете Принстонского института перспективных исследований «Предварительное обсуждение логического конструирования электронного вычислительного устройства» (июнь 1946 г.). Этот отчет, составленный выдающимся американским математиком Джоном фон Нейманом и его коллегами по Принстонскому институту Г. Голдстейном и А. Берксом, которые участвовали в проекте ЭНИАК, представлял собой проект нового электронного компьютера. Основные рекомендации, изложенные в отчете, известны в современной информатике под названием Неймановских принципов или Неймановской архитектуры; они оказали определяющее влияние на развитие современных компьютеров.

Одним из главных в перечне Неймановских принципов считается следующий: машины на электронных элементах должны работать не в десятичной, а в двоичной системе счисления. Основными преимуществами двоичной системы являются следующие: двухпозиционный характер работы электронных элементов, высокая экономичность двоичной системы и простота выполнения арифметических операций с двоичными числами.

К сожалению, этот важнейший принцип – использование двоичной системы как основы современных компьютеров – таит в себе одну «ловушку», в которую попала вся компьютерная техника и основанная на ней информационная технология. Дело в том, что двоичная система обладает «нулевой избыточностью». Что это означает и к чему это приводит? Это означает, что в классической двоичной системе отсутствует механизм обнаружения ошибок в процессоре и компьютере, которые неизбежно (с большей или меньшей вероятностью) могут возникнуть под влиянием различных внешних и внутренних факторов (прежде всего разнообразных внешних воздействий и помех, действующих в шинах питания и каналах связи). То есть никакая ошибка не может быть обнаружена в рамках двоичной системы счисления без введения дополнительных контрольных средств. Это приводит к тому, что «Неймановские машины», основанные на двоичной системе, являются принципиально ненадежными. Когда в нашем персональном «Неймановском компьютере» возникает сбой, то мы эту проблему решаем очень просто - мы перезагружаем компьютер и приводим его таким способом в исправное состояние. Но как быть в ситуации, когда процессор и генерируемая им компьютерная программа управляют функционированием сложного технологического объекта (без участия человека), например, роботом, ракетой, самолетом, атомной станцией и т.д. Это означает, что сбой всего лишь одного электронного элемента в процессоре может привести к грандиозной технологической катастрофе. Всем хорошо известны катастрофы при запуске ракет, которые в результате сбоя компьютерной программы приводили к отклонению ракеты от заданного курса и, в коечном итоге, к катастрофе.

Из этих рассуждений мы приходим к следующему выводу:

Человечество становится заложником современной компьютерной технологии, основанной на «Неймановских принципах». «Неймановские компьютеры», использующие двоичную систему, являются принципиально ненадежными и не могут эффективно использоваться во многих важных приложениях, в частности, для управления сложными технологическими объектами, где проблема надежности компьютеров выступает на передний план.

Мне не совсем понятно, почему этот, казалось бы, очевидный факт до сих пор не стал предметом серьезного обсуждения всех компьютерных специалистов, которые, по-видимому, давно должны были забить тревогу по поводу «ловушки», в которую попали современные компьютерные технологии, встав на рельсы «неймановских принципов».

В настоящей статье я хотел бы привлечь внимание к новому направлению в теории систем счисления – системам счисления с иррациональными основаниями, основанными на «золотой пропорции» и ее обобщении – «золотой р-пропорции», и доказать, что именно этим системам счисления суждено сыграть в будущем определяющую роль в развитии современной компьютерной технологии. Эта идея обоснована мною в статье «Тьюринг, филлотаксис, математика гармонии и «золотая» информационная технология» [2, 3].

формате PDF (506Кб)