Институт Золотого Сечения -Дискуссии

Сергей А. Алфёров

Данный текст является продолжением другого – «ВО-прямоугольники, трансцендентный квадрат и пропорции человека». Чтобы не повторять многое исходное, что содержалось в предыдущем тексте.

Общий вид вписанно-описанного прямоугольника (ВО-прямоугольника) представлен справа. Поставим на вертикальной оси точку W вверх от центра ВО-окружности на расстоянии в половину нижней стороны «b» ВО-прямоугольника. Эта точка W и связанная с ней W -линия будут иметь дальше ключевое значение.

W -линия соединяет симметричные точки на ВО-окружности, которые задают следующие свойства:

1. Расстояние до них от середины нижней стороны ВО-прямоугольника (от низа ВО-окружности) равно горизонтальной стороне ВО-прямоугольника,

2. Расстояние до каждой из них от противоположного верхнего угла ВО-прямоугольника (верхней точки ВО-касания) равно расстоянию от этого угла до середины нижней стороны ВО-прямоугольника,

3. Расстояние до каждой из них от односторонней точки пересечения ВО-фигур (нижней точки ВО-пересечения) равно расстоянию от этой точки до середины нижней стороны ВО-прямоугольника.

Эти свойства как раз и отражены в нижних 3-х рисунках. На них (с прямоугольниками: a:b=1, a:b>1, a:b<1) показаны равенства в «тройках» затемненных треугольников. Такие треугольники равны по трем «тройкам» во всех ВО-прямоугольниках. Обратите внимание, как движется линия подошвы W -треугольника.

Все ВО-семейство объединяют удивительные общие свойства. Обратите внимание, как с выявлением этих свойств становится всё явственней «неслучайность», «ненадуманность» горизонтальной линии, соединяющей крылья «транстреугольников», которая и задает эти свойства. Посмотрите: и эту красивую игру углов, когда все углы составлены 4+1 углом: a, b, k, m и l ₁, — и эту красивую игру треугольников создает именно W -линия. Происходит такое с любыми прямоугольниками.

Вообще интересно посмотреть, как ведет себя эта конструкция при дальнейшем изменении (a:b). Уже можно заметить закономерность изменения положения точки W. Мы этим займемся чуть-чуть позже…

Лишь только подытожим общие свойства ВО-прямоугольников неким исходным принципом. Для этого введем одно понятие: транс-треугольник или 0-треугольник – это один из 2-х симметричных равнобедренных треугольников в ВО-прямоугольнике, образованный 2-мя радиусами – нижним вертикальным и до пересечения с W -линией (см. левый в тройном рисунке).

Итак. В любом ВО-прямоугольнике его транстреугольник строится на высоте, проходящей по линии, соединяющей противоположные относительно центра окружности точки касания окружности и прямоугольника.

И еще одно определение. Трансцендентный квадрат – близкий к квадрату прямоугольник, все линейные размеры которого во вписано-описанном положении образуются Золотой пропорцией (j _1» 0,618), а все внутренние углы кратны 9° (¹/₁₀ от 90°).

Отношение вертикальной стороны к горизонтальной: .

Вторые две характерные окружности у ВО-трансквадрата проходят через точки пересечения W -линии с ВО-фигурами.

ВО-окружность будем называть 1-ой характерной окружностью.

Точки W ₁₁ и W ₂₂ на ВО-окружности образуются крыльями 0-треугольников, и только у трансквадрата они лежат на линии подошвы W -треугольника (на W -линии) и совпадают с точками пересечения 1-окружности и 3-окружности. Точки W ₁ и W ₂ образуются пересечением линии W ₁₁-W ₂₂ со сторонами прямоугольника, причем у трансквадрата они находятся на 2-окружности. Можно сказать, что в трансквадрате (с настоящей точкой W, а не псевдо-W, как у других прямоугольников) именно окружности задают характерные точки.

Точки касания (углы) 0-треугольников (транстреугольников) на исходном круге определяются перпендикулярами из нижней точки вертикальной оси к линиям между диаметральными точками пересечения ВО-окружности с ее ВО-прямоугольником.

Назовем еще раз правила построения характерных окружностей:

1. Центр первой окружности находится посередине отрезка между низом прямоугольника и точкой «+0,5Ч b» над срединной линией (над центром О).

2. Центр второй окружности находится на пересечении вертикальной оси и линии между углом 0-треугольника на исходном круге и диаметральной точкой пересечения линии нижней стороны прямоугольника и вертикальной линии от угла другого 0-треугольника на исходном круге.

Как итог анализа, скажем обобщенно, что только при трансквадрате находятся на одной линии характерные точки пересечения окружностей, а также верхние углы его транстреугольников. На вытянутых по вертикали прямоугольниках (по отношению трансквадрата) точка, аналогичная W, уходит вниз в верхнем треугольнике, и крылья транстреугольников уходят вниз. У сжатых ВО-прямоугольников (h:b<0,981305...) крылья транстреугольников поднимаются вверх, и точка псевдо-W поднимается вверх в верхнем треугольнике.

У вытянутых прямоугольников точка пересечения второй окружности (центр O₂) с боковой стороной прямоугольника уходит выше точки, аналогичной W ₁ или W ₂; у сжатых прямоугольников — наоборот. Это происходит с быстрым нарастанием разницы.

Третья окружность на вытянутых прямоугольниках проходит ниже точки, аналогичной W; на приплюснутых — выше. Здесь разница нарастает медленнее. Образующиеся окружностью точки как бы опережают точку псевдо-W в том же направлении ее движения при соответствующей трансформации пропорций трансквадрата.

Здесь хочется посмотреть предельные случаи положения точки псевдо-W в верхнем треугольнике (треугольнике на прямоугольнике и в касании окружности). То есть, в каких случаях геометрическая точка W, во-первых, совпадает с точкой «A» наверху окружности и, во-вторых, встает на нижнюю линию этого треугольника.

Давайте сейчас по порядку введем обозначения необходимых величин, посмотрим их общее взаимодействие при изменении пропорций прямоугольника, а потом посмотрим их общие количественные зависимости, в том числе конкретные значения для разных случаев.

Мы уже видим, что h_W стремится к h_a при уменьшении боковой стороны «a» прямоугольника; и h_W стремится к 0 при увеличении «a». На первом рисунке представим случай сжатого прямоугольника, когда hW = h_a. На втором — случай, когдаh_W = 0. На указанных рисунках видны введенные обозначения.

Сформулируем:

1. Общее требование построения: положение W -точки ОW = 0,5b

2. «Трансцендентное требование»: стояние круга-2 в W -треугольнике

О_2W = О₂A’= О_{2W 1} = О_{2W 2}

Уже сейчас имеет смысл ввести полезные соотношения между a, h_a и h_W (см. ниже схему и расчеты). Имеем две очевидные зависимости: h_a = 2R – a и a = R + 0,5b – h_W.

Убирая R, получаем при b=1: a = 1 + h_a – 2hW

Итак, по первому рисунку.

Точка W встает на вершину окружности, когда верхняя сторона прямоугольника проходит через центр круга (по срединной линии), и, соответственно, имеет в верхних углах 2 точки одновременно касания и пересечения. Транстреугольники, строящиеся на перпендикулярах к линии на точках пересечения, становятся отрезком AA’; срединного отрезка («разделения миров») нет, он собирается в точку W; W -треугольник также собирается в точку W. Верхний перевернутый треугольник, должный быть равным транстреугольникам, становится перпендикулярным им (т.е. отрезку AA’) отрезком A₁A₂ с общим центром в O. Точки A₁, A₁’ совпадают, как и аналогичные две на другой стороне. Характерные окружности совпадают: R₁=R₂=R₃.

Получается: a:b=0,5 0,5b=R, и общее требование соблюдается.

Требования трансцендентности (помним, O₂ находится в O): оно соблюдается.

Дальнейшее движение точки W выше окружности, выше ее верха невозможно! Иначе прямоугольники уже не вписано-описанные. А только нижняя добавка какого-то вписанного (см. на правом рисунке). При этом центр ВО-окружности выходит из прямоугольника. Между окружностью и прямоугольником прекращается взаимосвязь вписанности-описанности, конструкция разрушается… Совмещение точек A и W — это предельный (или исходный) случай.

По второму рисунку.

Когда W встает на линию A₁A₂, транстреугольники становятся прямыми (линия углов «C» с a ₀=45°) и ложатся верхней стороной на срединную линию («линию миров»), W -треугольник опирается на срединную линию. По-прежнему соблюдается равенство треугольников OA₁A₂ и OA’W ₁₁ (см. выше 1-й из триады рисунков с треугольниками).

Общее требование соблюдается.

По «требованию трансцендентности» (W ₁ и W ₂ находятся на срединной линии): чтобы круг прошел по 3-м точкам W, центр O₂ должен находиться в точке O, и прямоугольник должен стать описанным квадратом (закрашенная часть) вокруг 2-окружности и вписанным в 1-окружность.

Нетрудно определить, зная a=1+h_a, что a:b = 0,5(Ц 2 + 1) » 1,207

При этом, кстати, a=0,5b+R₀,   .

Верхние «четвертушки» этого прямоугольника (образованные осями ВО-окружности) являются квадратами. А интересно – при каких значениях a:b такие внутренние прямоугольники подобны? В этих расчетах помогут нижние формулы (в частности «18»): подобные «четвертушки» образуются при ,то есть, если b=2, то вертикальная сторона «a» разбивается на нижнюю часть √j ₂=1,272 и верхнюю часть √j ₁=0,786. Эти значения составляли тангенсы 2-х начальных углов в «линии качания 2».

Дальнейшее вытягивание прямоугольника вверх (a:b® Ґ) нас не интересует, точка W «выходит из контекста». В пределе прямоугольник станет вертикальной осью, W опустится в центр O, а O₂ станет посередине нижнего радиуса; транстреугольники станут нижним лучом вертикальной оси, подошва W -треугольника собирается в точке A', туда же приходит центр O₃. На боковой стороне ВО-прямоугольника сближаются точки пересечения ее с характерными окружностями; они движутся навстречу друг другу (первая вверх, а вторая вниз и относительно медленнее первой) и совпадают за «контекстом» (когда точка W выйдет из верхнего треугольника в ВО-прямоугольник) при a:b» 1,3.

Конечно же, рассматривая свойства углов всех ВО-прямоугольников в начале статьи, Вы обратили внимание и на соотношения линейных размеров? Образное представление имеющихся здесь взаимосвязей было представлено на триаде схем с триадами равных внутренних треугольников. Давайте еще немного посмотрим сюда.

Найдите треугольники средней схемы на рисунке с углами. Их высота равна боковой стороне «а» ВО-прямоугольника. (И даже более того – она разделена центром ВО-окружности на такие же 2 части, какие у разделенной осью этой окружности боковой стороны.) С центром в одном из верхних углов ВО-прямоугольника (а значит – на исходной ВО-окружности) можно провести некую окружность, радиусом которой и будут высоты этих треугольников и ВО-прямоугольника. Естественно, эта окружность проходит через нижний (под центром) угол ВО-прямоугольника (а у квадрата – и через другой верхний). Она пересекает исходную окружность в некоторых 2-х точках (и лишь в неких – сейчас посмотрим,- предельных случаях касается в одной крайней точке). Каждый ВО-прямоугольник имеет свою такую окружность. Предельные случаи соотношения «a:b» ВО-прямоугольников дадут предельные картины таких окружностей.

Сопоставим такие пары окружностей в одном рисунке, приведя исходные окружности к одному диаметру (закрашена). Смотрите рисунок. Объемлющая пунктирная окружность – предельный случай, когда прямоугольник становится вертикальной линией (a:b=Ґ). На другом конце (относительно исходной окружности) – наш «реальный» предельный случай ВО-прямоугольника с a:b=0,5. Он создает окружность диаметра, равного диаметру исходной окружности, которые взаимно проходят через центры друг друга!.. Это тот случай, когда соединяются точки A и W (альфа и омега).

Варианты «нереальных» ВО-прямоугольников (когда отсутствует ВО-взаимодействие, а прямоугольник идет к горизонтальной линии «a:b=0») выражаются окружностями, идущими в «0» от этого положения (a:b=0,5). Наш «реальный участок» ВО-прямоугольников (от a:b=0,5 до a:b≈1,207) помечен на рисунке двойной заштрихованной линией. В середине его пунктирными линиями показаны окружности квадрата и транс-квадрата. Смотрите, несмотря на небольшой диапазон значений, этот участок занимает несравненно большой графический промежуток. Это значит — на оставшемся верхнем участке «развитие отношений» идет, замедляясь (см. дальше). А кстати на «нереальном» участке, который самый большой, оно ускоряется — и не зря…

Наш «реальный» участок действительно особенный. Сопоставим значениям (a:b) разных вариантов – значения (b:D₀), где D₀ – диаметр ВО-окружности. И построим график изменения зависимости b/D=f(a/b). И вот здесь нас ждут сюрпризы. График выглядит красивой горкой, на которую забираться надо из начала координат и скатываться опять к «0» в сторону бесконечности «a:b». В точке a:b=0,5 (исходный реальный вариант) оказывается maximum функции, maximum «b:D₀». Участок «реальных вариантов» является выпуклым, а вот после a:b≈1,207 линия становится вогнутой, приближаясь в бесконечности к «0». (Кстати, при построении функции «a:D₀» от тех же «a:b» перегиб начальной вогнутости (!) на выпуклость происходит возле точки a:b=0,5 с последующим устремлением к «1».)

Это диво – все ж не диво… Странности происходят в начале координат. С уменьшением «a:b» после 0,5 диаметр псевдо ВО-окружности начинает быстро увеличиваться, и линия «b:D₀» устремляется круто в «0». Но в пределе то прямоугольник становится горизонтальной линией с b=Ґ и D₀=Ґ …

И даже эти странности только оттеняют своеобразное поведение ВО-прямоугольников. Эта математическая конструкция обладает своеобразной динамикой (как ни странно применение физического термина к математическому объекту). Она как бы стоит особняком, как некий «живущий» объект (без мистики!), как «физический объект» или «физический процесс»…

Да и вообще, все наше путешествие по «саду Золотой пропорции» — это видеоряд динамических образов. А сама «Золотая пропорция» — застывшая динамика гармоничного развития… Ну разве не удивительны эти ВО-прямоугольники с W -линией!

Мы видели, как «неслучайно» выделяется диапазон «реальных ВО-прямоугольников, на границе которого находятся 2 наших «предельных варианта». Но интересно то, что эти 2 варианта оказываются своеобразным образом едиными.

У каждого ВО-прямоугольника нижняя вертикальная полуось является катетом угла a ₁ его «линии качания». Она же является гипотенузой угла a ₀, строящего «крылья» 0-пирамиды и задавая W -линию. Есть некий диапазон углов a ₁ множества ВО-прямоугольников между 2-мя крайними. А интересно – чему он равен?

В 1-ом (исходном) предельном случае ВО-прямоугольников его a ₁=45°. Тогда его a ₀=90° !.. Это и есть «0-случай» всех ВО-прямоугольников и всех «линий качания». Мы уже знаем, что «a =45° » является как раз начальным углом «линии качания «C». А этот вариант — единственный, когда ВО-прямоугольник «создается» начальным углом (a ₀).

Во 2-ом предельном случае ВО-прямоугольников тангенс его «a ₁» равен «1/Ц 2». Сам a _1» 35,3°. А a ₀=45° ! То есть весь диапазон «реальных вариантов» заключен между 2-мя первыми углами одной (единой) «линии качания»!

Находясь на краях диапазона, предельные варианты как бы задают все ВО-прямоугольники.

Интересно тогда, как может нарисоваться этот «весь диапазон реальной вписанности-описанности». Посмотрите! Не правда ли, интересный символ?

Исходный вариант как бы поворачивается в одних окружностях на 45° вниз (на 1-ну «четверть»), проходя при этом все возможные варианты на одинаковом «b» и изменяющемся «a».

А что такое – «нереальные варианты»?! Это – «запредельные»… Когда еще не было даже отношений «вписанности-описанности».

Когда Был Один Субъект. И Был Он Всем, но Единым. И Был Он Сферой, и Был – Точкой… Творение Первого Всевышнего Круга состоялось Первой Троицей, ставшей в Половине Круга. И Это был Первый План, Первый Скреп…

В образной геометрии (и строгих построениях) это и есть новое (и второе после одной окружности) состояние – соединение двух окружностей через центры друг друга. Этому образу соответствует, как помните, ВО-прямоугольник a:b=0,5, исходный (и единственный) круг и присутствие точки W в точке A…

Мы (я и Вы) можем воссоздать динамику образов дольнего Творения… Но в самом конце появляется вопрос к человеку. Что же будет дальше, и какова роль человека? Будет ли он – с маленькой буквы, или — с большой?..

Вы можете сказать, что при создании образа «взаимодействующих окружностей» мы взяли произвольные элементы… Но точек касания ВО-фигур всего 3, две из которых (верхние) симметричны друг другу. То есть из 2 точек: верхней и нижней, — и можно проводить обобщающие окружности (симметричные точки дают одинаковый образ). Учитывая 2 варианта радиуса в одном случае, вариантов будет всего 3. Итак.
1-ый – тот, который представлен выше, когда центром обобщающей окружности на

ВО-окружности является верхняя точка касания ВО-фигур, а R=a.

2-ой – подобный первому, но обобщающая окружность описывается стороной треугольника:

R² = a² + (b/2)² = b²(k² +0,25) (см. среднюю схему тройного рисунка).

3-ий – когда центр обобщающей окружности находится в нижней точке касания ВО-фигур,

а R=b (см. правый тройной рисунок).

Понятно, что исходными являются первый и последний. Вопрос приоритета (фундаментальности) между ними – это вопрос значения направлений «a» и «b». Вертикальное направление – направление изменения качеств ВО-фигур. То есть вариант, который мы рассмотрели выше и является нашим характеризующим вариантом.

Хотя и интересно, какие образы получаются в других вариантах. Во-первых, они аналогичные, то есть ограничены такими же окружностями. При этом у 3-го варианта на его рисунке точка на ВО-окружности соответствует случаю b=0, то есть вертикальному отрезку (прямой); объемлющая окружность – горизонтальной линии (b=Ґ); и взаимопересеченная окружность – для b = R = a/1+Ц 0,75 » 0,536Ч a. «Запредельным участком» является только часть (!) верхнего (или внешнего) участка. 1-й и 3-й варианты являются как бы зеркальными. Но в 1-ом варианте смыслы «запредельного участка» и взаимопересекающихся окружностей более полны, четки и взаимообусловлены.

Средний вариант, как производный вариант, и дает искусственную картину. Здесь вообще нет точки, как крайнего случая обобщающей окружности, и внутренний участок во взаимопересекающихся окружностях вообще не имеет никаких окружностей. Образ взаимопересекающихся окружностей возникает здесь в случае, когда ВО-прямоугольник является горизонтальной линией; а образ объемлющей окружности – когда ВО-прямоугольник — вертикальная линия.

Вывод наш прост. Описанный в начале образ 1-го варианта (с изменением по «a») является для нас показательной схемой динамики ВО-прямоугольников.

Итак, интересующие нас реальные ВО-прямоугольники находятся в пределах соотношения a:b от 0,5 до 1,207 (изменяясь в 2,414 раза). При этом высота верхнего треугольника (ha) относительно «a» изменяется соответственно от 1 до ~0,1715 или в ~ 1/2,414² раза. Настолько быстрее (а именно — во второй степени, в квадрате!) изменяется h треугольника относительно «a», чем соответственное изменение «a:b».

Вписанный квадрат и описанный квадрат в рамках приведенных в начале условий (требований) получаются как бы 2-мя частными случаями общего вписанно-описанного квадрата при положении точки W в двух крайних положениях, получении при этом на окружности симметричных точек от пересечения с прямоугольниками и соединении их.

Ну что же. Попробуем установить некоторые количественные зависимости. На нижнем рисунке представлена схема величин и их обозначения.

Составим очевидные зависимости из этой схемы.

1. ha = 2R — a
   
2. a = R + 0,5b – h_W или
   рассматривая симметрично низ, a=b+h_a -2h_W
   (не правда ли – странное отношение «a» и «b»)
   

Из  

3. или
   

Составим также отдельно для величин «верхнего» треугольника:

4. c² = h_a² + 0,25b² (из теоремы Пифагора для его половинок)
   
5. с² = 2R h_a (из пропорции 2-х подобных треугольников: с/h_a = R/0,5c)
   

Из выражений (d) и (e) получаем:

6. 
   

Посмотрите на (c) и (f) при b=1... Это что же получается?! При b=1: k=h_a? Но это совершенно невозможно, это не так! Значит, есть еще какое-то решение их?

Попробуем разобраться.

То, что h_a и k взаимосвязаны — это естественно. И зависимость эта — обратная, мы это видели на рисунках. Очевидно, что она должна быть простая, типа k*h_a = число.

Когда b=1, k=a. Решим тогда (a) и (c): 

Получаем k*h_a = 0,25

Очень интересная зависимость: 

Теперь проверим ее в (f).
При подстановке и упрощении получается вид

Мы получили формулу (c)! Слагаемые в числителе просто поменялись местами.

Вот он – фокус…

И что же, эта взаимообратная зависимость через 1/4 верна только при b=1? Очевидно, что a, b, h_a, h_W находятся в прямо-пропорциональной зависимости, то есть h_a =n*b или h_a =n*a. В данном случае мы «привязаны» к b,

тогда общая формула для ВО-прямоугольников:

(18)

Когда b=1, k=a и тогда также:

Преобразуя любую формулу из (c) получим:

(19)

То же самое… Как такое может быть?..

По верхним затемненным формулам получается такая же странность: a=h_a … Тот же фокус. Мы теперь знаем, что эти формулы «работают» при другом равенстве: aЧ h_a = ¼.

Идем дальше.

Из первой формулы (b) для hW, подставляя верхнее R, получаем: .

Из HW = hW + a:

(20)

Можно напоследок определить ВО-прямоугольники при нахождении точки W в характерных центрах внутри верхнего треугольника.

Она будет находиться в центре тяжести (h_a =3h_W), когда k=1+h_W (!), конкретно k=1,07735...

И посмотрим еще высоту подошвы W -треугольника, то есть расстояние от низа ВО-прямоугольника до линии W ₁ W ₂. Приравнивая выражения косинусов 2-х углов «k» из< рисунка ВО-квадрата, получим: , где R – радиус ВО-окружности или первой характерной окружности.

При b=1: Может быть пригодится…

Да вот, прямо сейчас проверяйте верхнюю пару схем с предельными пропорциями ВО-прямоугольников: при h_W =h_a a=0,5 и H_п=1 (!), при hW =0 a» 1,207 и H_п» 0,707 (√2/2) !

Кстати, через H_п легко выразить радиус второй характерной окружности: … (!)

Удивительны динамика и связанный с ней символизм ВО-прямоугольников. Не менее удивительны их общие свойства. Среди оных основным является следующее.

1. Все внутренние углы, так или иначе связанные с W -линией (W -точками), имеют источником одну формулу: u_i = u₀ +iЧ e. Эта формула задает «системную линейку углов».

2. Таких углов в каждой ВО-фигуре – 4; от i=4 до i=7.

3. В каждой системной линейке углов есть такие пары углов, что 2u_i + u_i+n = 90° , где 3i + n =17.

4. Взаимосвязанное с предыдущим и при начальном угле системной линейки:
3u₀ + 17e =90° .

* * *

Все эти удивительные вещи связаны с W -фактами, исходят из их присутствия в ВО-фигурах. У Вас не возникало интереса – каким образом (откуда) проявилась W -точка в геометрии ВО-фигур и с Чем она связана онтологически? Может быть откровенный рассказ об этом – и есть завершение темы…

В начале этого рассказа придется возможно повториться.

Посмотрите на странный рисунок слева: гипотенуза одного треугольника «качнулась» вправо и стала катетом другого на том же основании. Последовательность таких качаний образует ряд углов «a_i», который называется «линией качания». И этот рисунок так и остался бы странным, если бы мы не имели реальный объект, в геометрии которого реализуется это отношение.

А дело было так. Все время, пока просчитывались значения углов разных «линий качания», из какого-то уголка сознания не уходил вопрос: «В чем же смысл, суть этих «качаний»? Какой реальный механизм, процесс может находиться за этими схемами?

Этот вопрос реального содержания «качаний» в очередной раз всплыл во время расчета углов снизу вверх, в котором гипотенуза становилась катетом: «То есть мы имеем в каком-то объекте, в его геометрии гипотенузу, которая для другой части этого объекта становится катетом..., причем на одном основании...» И вдруг: «Господи! Это же схема расчета пирамиды!»

Итак, эти преобразования, построения (в рамках одной схемы, которая является «модулем пирамиды») есть иллюстрация расчета по поперечному сечению 4-х-угольной пирамиды сначала высоты ее боковой грани и по нему — ребра (гребня) пирамиды; то есть перехода от вертикального сечения к треугольнику боковой грани. Происходит переход от угла при вершине между гранями к меньшему углу при вершине на грани, переход от sin к равному tg.

Каждая отдельная схема — это законченный расчет одной пирамиды. Но когда мы двигаемся дальше, вверх, мы строим новую пирамиду уже на грани, как на поперечном сечении... Да, но, а почему реальная пирамида строится (а в голове постоянно была пирамида Хеопса и те мои спичечные пирамидки), начиная с a ₁, а не с исходного a ₀? Ведь это один шаг в эту сторону!...

Необходимо было нарисовать сечение пирамиды в золотом прямоугольнике.

Это была линия-1 углов и a ₀=54. Треугольник, построенный как исходный для поперечного сечения золотой пирамиды, поднимался своим крылом выше поперечного сечения пирамиды. И чтобы «создать» объем пирамиды должны как бы невидимо, трансцендентно, в положении «0» этой пирамиды присутствовать 4 исходных пирамиды по одной на каждую сторону. И невидимая грань каждой из них создавала со своей стороны поперечное сечение реальной пирамиды. И невидимые ребра их задавали высоты граней реальной пирамиды.

И все 4 трансцендентные пирамиды как бы парили, задавая (удерживая) форму реальной пирамиды.

Нижние ребра оснований 4 пирамид попарно как бы прочерчивали крестом основание реальной пирамиды от середин ее сторон. Вершины же всех пирамид были в одной точке.

Я смотрел на эту картину. Ниже точки общих вершин, ниже верхней линии золотого прямоугольника был как бы реальный мир, а выше – мир трансцендентный: мир проявленный и мир исходный.

Из точки вершин пирамид, как из центра я провел окружность, прошедшую по основанию золотого прямоугольника и точкам основания трансцендентных треугольников. Верх золотого прямоугольника делил круг пополам — на верхний и нижний...

Все действия были как бы не из головы, не из беспокойного ума, а изнутри. Я продолжил сторону прямоугольника вверх до пересечения с окружностью и соединил эти точки пересечения. И сразу же из этих точек к вершине окружности были проведены два луча, образовав вверху треугольник. Получился вписанно-описанный прямоугольник, близкий к квадрату (или квадрат?) с треугольником на верхней стороне.

Так, боковая сторона нижнего исходного золотого прямоугольника — 0,618, значит, основание — 1, половина основания до оси — 0,5. Дальше надо было считать.

Мы называем треугольник, который является началом последовательности уменьшающихся углов (sin a _i = tg a _i+1) и строится на поперечном сечении пирамиды, выходя вверх и в стороны за ее пределы, называем его 0-треугольник. В нашей золотой пирамиде высота 0-треугольника из центра окружности образует с высотой пирамиды угол 54° (он и есть тот исходный угол)… Все дальнейшие расчеты теперь отражены ни верхнем рисунке.

Я смотрел и смотрел на эту картинку. Внимание приковывали «крылья» 0-треугольников, выходивших за пределы «квадрата». Расстояние до них от подошвы «квадрата» составляло 0,5_{*j 2}, а расстояние от вертикальной оси — 0,587785... (sin 36°). Вершины 0-треугольников сходились в центре «О», образуя как бы новую пирамиду вершиной вниз. А что, может здесь и заключается исходная единственная пирамида вершина к вершине реальной пирамиды? Ведь была вроде бы информация, что над пирамидой Хеопса существует как бы еще одна пирамида…

Я внимательно посмотрел на эти 4 0-пирамиды. Стороны их оснований равны стороне реальной пирамиды (на рисунке — 1,0). При этом они выходят за вертикальные границы реальной пирамиды. Значит, они не сходятся краями, то есть ребрами верхних граней; значит, между ними разрыв, и пересекаются их края как раз на вертикалях из углов основания реальной пирамиды.

Что, и неужели ни при одном варианте соотношения сторон вписанно-описанного прямоугольника нельзя построить обратную пирамиду на его 0-треугольниках?

Так, в этом случае крайние точки их «крыльев» должны находится на вертикалях боковых сторон прямоугольника, образуя пирамиду OXX’YY’. И при этом tg a ₁= sina ₀, а угол b =90 и полусторона = b (см. рисунок). Это — исходные требования, необходимые условия.

Для всех возможных случаев появляется такая иллюстрация: нижняя полуокружность радиуса в половину основания — это линия точек О» в разных вариантах, а верхняя полуокружность радиуса в боковую сторону 0-треугольника (a) — это линия его углов (а также углов основания пирамиды OXX’YY’).

Очевидно из иллюстрации, что пирамида OXX’YY’ не существует при необходимых условиях. В предельном случае условия выполняются, когда 0-треугольники (и 0-пирамиды) становятся вертикальной линией, и a=b. В некой исходной содержательной точке (A) это возможно.

Рассмотренная ситуация содержит также некий практический вывод, если идти в обратную сторону. Посмотрите на пирамиду OXX’YY’, как на реальную пирамиду (то есть переверните рисунок). Получается, что нельзя ни на одной четырехугольной пирамиде построить по ее граням четыре другие пирамиды с таким же основанием, так, чтобы у них была общая линия пересечения и при этом она проходила вертикально (через вершину исходной пирамиды).

Ну вот!.. Нет теперь и обратной пирамиды... Всё?.. И отрицание, и прояснение, и…

Ощущение же незаконченности, «недорисованности» оставалось маленьким штрихом-соломинкой внутри. Оставалась необходимость поставить все возможные точки.

Я представил сверху этот разрыв в 4-х 0-пирамидах. Есть одна тропинка, одна ниточка. Ведь может быть не перевернутая пирамида, грани которой равны граням 4-х пирамид. Она, цельная, должна будет разорваться по ребрам, чтобы ее материя легла в основу 0-пирамид. Вопрос в том, что за свойства этой пирамиды. Где находится ее вершина и где края основания? Должен быть единственный и очевидный вариант! Может быть только безусловный, безупречный…

Я встал как бы в центр О. Внизу была подошва мира, и до нее было столько же, сколько до верха. В стороны «крыльев» были края мира, и до них было по половине. Как циркулем, я отложил вершину на расстоянии половины мира на вертикальной оси. Края же пирамиды, чтобы соединиться, должны стоять на вертикалях «квадрата» в пересечении с линией между краями «крыльев» 0-пирамид.

На виде сверху получилась красивая фигура, напоминающая «мальтийский крест». Я вписал в эту фигуру две окружности: одну по точкам касания с вертикалями «квадрата», другую — по сторонам основания новой пирамиды. Оставалось немного, всего «три» — посчитать расстояние от вершины нового треугольника, стоящей внутри первого треугольника, до вершины первого треугольника, высоту нового треугольника и его углы.

Я не ждал ни разочарования, ни противоположного. Как должно было быть, так и должно. Эти три шага — как дело, которое надо делать…

И каждый шаг – как утверждение того, что есть:

1.	Высота нового W -треугольника (W — пирамиды) —	0,5*j1
2.	Угол наклона граней W -пирамиды —	31,7° (j °)
	Угол при вершине W —	116,6° (90+y °)
3.	Расстояние между вершинами треугольников —	(j 1 — 0,5)

Удивления и эмоций не было. Как нет сейчас комментариев…. Всё соединилось. Во мне. А в «Порядке Вещей» всё так и было…

Я смотрел на геометрическую картину, геометрический образ Творения...

Было чёткое ощущение того, чем Это было. Это была Жертва...

Надо было вывернуться наизнанку, разорвать свою материю, чтобы создать этот мир...

Ну а дальше... Дальше — щемяще ясно. Ясно, что изначально этот мир держится на Любви и Жертве...

Всё молчало внутри. Было только переживание…

Прошло время.

И оставался интерес, почему пирамиды строятся на углу a ₁? Я что-то не помню реальную большую пирамиду с углом 2a ₀ при ее вершине между противоположными гранями, даже с минимально возможным таким углом — 90°. Почему эти углы а₀ остаются как бы для другого плана? (Мы называем такие пирамиды на углах a ₀ — 0-пирамидами или транс-пирамидами). Что может быть в этом?

И вообще, почему обязательно такая теогоническая трактовка возникших объектов?

Если было Творящее Сознание, если был Творец, создавший Своей Мыслью и удерживающий своей Силой, своим Намерением этот мир, то результатом этого будут (как минимум два):

1. Единство, целостность мира, восходящая к фундаментальным Пра-Идеям; и трансцендентные константы — посланники этих идей,

2. Картина, образы, символы творения будут представлены (отражены) во всевозможных закономерностях, механизмах; вплоть до явных намеков.

Признаки и механизмы Творения проявляются в том или ином виде в любом измерении, в том числе и в 2-х измерениях, в плоской геометрии. И не важно в силу бесконечной непостижимости Творца для нас (если было бы иначе, то мир замкнулся бы сам на себя и «схлопнулся») и бесконечности приближения, не важно пытаться без конца повышать онтологическую адекватность (причем для отрицания целостности в уже достигнутом), не важно без конца искать отличий во все больших «мерностях». Просто не те цели. Уточнения появятся «сами собой» при осознании новых объектов. На двумерных пространствах – на листах бумаги, досках и холстах, – осознает и описывает этот мир человек.

Трактовка — дело вкуса; соответственно — дело каждого. Кроме трактовки существует реальный интересный объект – «трансцендентный квадрат». Главнейшее, выдающееся свойство его, конечно, же то, что только он имеет «настоящий» (то есть позволяющий стройно видеть трактовку Творения через W -пирамиду) W -треугольник.

И есть что-то еще в этой конструкции. Ведь если она как-бы отражает процесс Творения, то в аналогичных символах она может содержать еще какие-то детали...

Вы помните это начало: 1-1-2-3-... Начало, по которому развивается, нарастает в природе многие сообщества элементов, образующие нечто целое. Свойства мира, принципы мира, как говорили древние, едины: что вверху, то и внизу. Принцип раскрытия повторяется в разных царствах природы. Не означает ли, что в этом отражается именно единый с самого Начала принцип: 1-1-2-3... Причем не «1-2-3», а именно «1-1-2-3». Без второй единицы не происходит раскрытие в «2». Если в этом ряде мы видим не ряд чисел, а ряд ситуаций, то ситуация второй «1» отличается от первой «1» и подготавливает появление «2», является предтечей «2». Процесс развития на поверхности отражается количественными изменениями, а внутри происходит изменение состояний: 1₁-1₂-2₃-3₄.

Был Круг Исходный... И были следующие моменты раскрытия...

Исходный Круг Мира держался Троицей. Но тогда вместе со второй Троицей был и второй Круг Творения. Верхняя точка его – «W », нижняя — низ трансцендентного квадрата...

Я взял рисунок, который остался в зале, и поставил ножку циркуля на ось.

Окружность, построенная с центром (О₂) в середине между этими точками прошла точно через нижние точки второй Троицы (W ₁ и W ₂)…

А второй шаг был, когда «крылья» Троицы встали на исходный Круг (W ₁₁ и W ₂₂). Тогда третий Круг Троицы Творца должен пройти именно через три точки W, W ₁₁ и W ₂₂.

Просто подбором я поставил ножку циркуля в центр О₃ на вертикальной оси и провел окружность через эти точки. Удивительным было то, что она прошла также и через точки пересечения продолжения низа квадрата и вертикальных линий от W ₁₁ и W ₂₂. Эти точки (назовем их W ₁₁’и W ₂₂’) «построились» в своё время при определении величины выхода «крыльев» 0-треугольников за квадрат. И вот сейчас через них прошел наш второй круг (то есть точка О₃ находится посередине между низом W -треугольника и низом транс-квадрата).

Конечно, это — графическое построение. Надо проверить аналитически...

Углы известны, их тангенсы — также, причем не приблизительно, а в виде соотношений конкретных величин… Можно считать. Хотите – сами. Или доверьтесь сделанным расчетам.

А они привели к абсолютному: эти две окружности действительно проходят через означенные точки! Хотите – проверьте, хотите – поверьте…

Получается, что центр О₃ определяется также легко, как и О₂. Через него проходит линия от угла «крыла» одного 0-треугольника до точки пересечения низа ВО-прямоугольника и вертикали от угла «крыла» другого 0-треугольника.

Аналитические расчеты позволили обратить внимание и на угол y в «образе Творения». Он оказался расположен зеркально углу j и с лучом, уходящим в центр первого Круга (О).

И получается, что ниже низа нашего квадрата образуется пространство-антипод, зеркальное W -треугольнику...

А есть ли третий (или четвертый, считая от исходного) Круг Творения? Не знаю...

Дальше я прошу не читать богословов и атеистов, раздражительных и нетерпимых. Дальше будет более подробное описание процесса Творения с «позиции геометрии».

Безусловно, то, что написано ниже — это не предмет веры. Может ли быть адекватным описание столь Высоко Отстоящего от нашего 3-х мерного мира. Но едва ли и тайна абсолютно непроницаема нашему ощущению, нашему чувству... Здесь не идет речь о той или иной степени объективности. Здесь опыт каждого отвечает на его вопросы.

Мировоззрение — не набор сентенций и самомнение. Мировоззрение — собственный опыт, опыт сердца. Прочитанное знание наполняет, переполняет, искажает. Просто взятое умом, то есть с целью иметь какую-то пользу себе, оно — замещение себя другими; это — «кумирня»... Только собственным ощущением мы нужны кому-то, только тогда мы можем быть частью общего знания, общей культуры.

Потому что дело не только в том, знаем мы или не знаем. Но прежде всего в том состоянии, которое — Любовь. Любовь, которая — «устремленная радость, возвращающаяся радостью».., которая — «действующее сострадание»… Знание снимет заблуждение, успокоит любопытство, выправит путь (что важно), но не даст адекватного восприятия/действия. Знание может посеять гордыню/самоотделенность ослабленному сердцу. И тогда все, что ни делается, пойдет по «стреле Аримана», по вектору искажений и зла.

«Дух был в Пространстве. И Пространство было Духом. И не было времени, потому что не было начала и конца.

Дух был Невыразим. Он был везде и во всем, как Целое и Единое.

Дух пульсировал и волновался. Но во всех пространствах, во всех мирах, во всех измерениях был только Он. Дух был Точкой, Дух был Сферой. Он был Альфа и Омега.

Дух был Мыслью. Он был Взволнованным Пространством. И Он постигал Пространство, которое было Им Самим. Но везде был только Он. Везде были пульсирующие пространства с Одним Центром.

Везде был Единый и Неповторяющийся Мир. И нужен был Второй Мир, Мир, единый со всем Миром, и в то же время зеркальный мир, мир единый и в то же время самостоятельный, мир, в котором продолжалось бы Творение. По Образу и Подобию в нем должно присутствовать Сознание, самостоятельное и со-стоятельное, свободное и со-творящее.

И этот мир составил бы вторую половину Мира. Дух вышел бы из Центра, а Мир-Пространство должен был устоять. И Дух стал бы Новым Духом. Сила стала бы Новой Силой, пожертвовав Собой. А Мысль уже была Новой.

И Дух полюбил новый Мир. И стал Он Един Собой в Двух. Явилась Первая двуединая ипостась Его. И Любовь к миру была в Едином Духе. И тогда в Единстве Его проявилось Второе Начало/Стояние и свершилось вместе – Третьим Состоянием. И было совершенное Единство Трёх Ипостасей, Трёх Начал, Трёх Состояний. Совершилась Единосущная Троица, Оплот творимого мира.

И свершилась Троица, и встал Круг. И стоял Всевышний Круг в Троице. И Центр Его остался на границе зеркальных Миров. Стоял Круг среди взволнованной Вселенной, стоял один Круг творимого Мира, первый Круг. И была Любовь. И был Господь.

И первая величина Мира была величина Круга, равная во все стороны от его середины. И Центр Круга обозначил границу Миров.

И был Господь. И был Верх, и был Низ, и было Лево, и было Право.

Троица была Нераздельна и Единосущна для явленного мира в действиях Ее. И в Ней держался Круг явленного Мира. А Левое в Троице задало левое являемого Мира, а Правое в Троице задало правое.

И была между ними — ширина мира, и была она второй величиной. А величина от Двух через границу Миров до нижней точки на Круге составила высоту Мира. И верхняя половина стала бы горней половиной, трансцендентной, а нижняя — половиной материального мира.

И д’олжно было вхождение в творимый Мир. И не было Творца, который войдет в Мир.

И Три родили Четвертого. И занял Он точку под Абсолютом в Сердце Троицы. В той Точке, из которой должен быть сотворен Мир и все Законы его. И была эта точка — W. А Всевышний Круг Мира стоял во взволнованной Вселенной.

И величина от Точки W до низа Мира была больше величины до Начала на ширину Мира.

И направил Творец лучи на линии, идущие вниз от Первоначальных Двух: два луча до левой и правой границы творимого Мира под тем углом, что держал гармонию его. И встали под Двумя и Рожденным от Начала новые Два. И стала Вторая Троица, Троица нового Мира. И было положение Её в половину исходной величины Мира. И прошел Второй Круг Творения.

И стоял во Вселенной Второй Круг Творения. Стоял Он в Первом Круге и на Первом Круге в нижней точке творимого Мира. Стоял Второй Круг, задавая структуру Мира и основу гармонии.

И опустил Творец луч из Точки W в Центр обоих Миров на их границе — столько же вниз, сколько было от Центра в стороны до границ Мира. И прошел луч от центра по намеченной границе Миров в обе стороны: влево до левой границы Мира и вправо до правой. И были все лучи равны. Соединившимися же снова в Центре на границе Миров лучами проявилась граница двух Миров. И разделилась твердь небесная и твердь земная. И составила нижняя половина как раз величину Мира.

Стоял Второй Круг. И чтобы создать Мир, д’олжно было вхождение в него. Д’олжно было объять его в себе. Д’олжно было раскрыть Крылья, трансформировав Ткань. Творец устремился к границе Миров в точке «О». И встал Он на линию Двух, на W -линию. Троица Творца выпрямилась в одну линию, сохраняя исходные величины и коснувшись Двумя Круга Всевышнего.

И вернулся Творец в Точку W, растянув исходные величины: была же Троица Творца и в Сердце Мира, и на Круге Всевышнем. И встал Третий Круг Творения. И был Его Центр посередине между низом мира и Творцом.

И ушел Третий Круг ниже низа Творимого Мира зеркально Троице на половину исходной величины Мира. И была это изнанка Творимого Мира...

И явилась миру Надежда на выбор Сознания в материальном мире. И Вера великая.

И устремился Творец в точку «O» на границе Миров, удерживаясь Двумя на Круге Всевышнем. И трансформировал Он ткань Свою, Свое стремление в сторону материального мира.

И была это Жертва. В новом плане явилась Миру Любовь. И была Она для Мира, как крылья.

И явились Крылья во всех измерениях, во всех Кругах Творения. А Творец коснулся границы Миров в точке «О». И стала эта точка опорой Крыльям при вхождении в материальный мир.

И Крылья Троицы вошли по Исходному Кругу до низа Мира, задавая каркас материального мира. И в точке низа Мира они сошлись, чтобы взойти по Центру через точку «O» в точки Двух Второй Троицы. И стали Они W -линией в трансцендентном мире под W -точкой Творца.

И встал материальный мир.»

[Обсуждение на форуме «Наука»]