Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения -Дискуссии

Алферов С.А.
О «серебрянности» и не только
(открытое письмо с комментариями А.П. Стахова)
Oб авторе

Это письмо вызвано последними публикациями и событиями на страницах «Академии Тринитаризма», посвященных Золотой пропорции, и моим общением последнего времени. Но прежде, чем продолжить разговор на основную тему письма, я хочу напомнить некоторые факты из «алгебры ЗП» (многие из которых будут кому-то неизвестны).

Напомним несколько «уравнений И. Ш. Шевелева» и их корни.

(1):

(2):

(3):

Обратимся к выражениям Шевелева по порядку. Здесь видны некоторые отношения. Уравнение (1) это – j 2j 1 = 1. Если в уравнение (2) мы подставим w =j 2, то получим выражение: j 2 – (j 1 + j 12) = j 1 … Если возьмем сумму 2-х первых степеней от корня w l, то получим: Фl + Фl2 = 1/Фl « 1,324718 = y. Число «Фl» чисто математически интересно и уникально. С его обратной величиной существует еще одно «единичное выражение»: y3 + y5 – y6 = 1

Комментарий 1 (Стахов). В математике различают три понятия: многочлены или полиномы, уравнения и тождества. Полином – это сумма целочисленных степеней некоторой величины x, взятых с заданными коэффициентами. Если полином от переменной x приравнять 0, то мы получим алгебраическое уравнение. В полиноме P(x) = x2 – x – 1 переменная x может принимать любые значения, в то время как в алгебраическом уравнении x2 – x – 1 = 0 переменная x для данного квадратного уравнения, называемого уравнением «золотой пропорции», может принимать только 2 значения, которые называются корнями алгебраического уравнения. Одним из корней этого уравнения является «золотая пропорция» t = . Если корень t подставить вместо x в уравнение золотой пропорции, то получим тождество t 2 = t + 1, из которого вытекает более общее тождество t n = t n-1 + t n-2, связывающее степени «золотой пропорции» (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….). Этот небольшой «ликбез» приведен для того, чтобы показать, что Алферов в своей статье путает понятия уравнения и тождества. «Уравнения Шевелева», строго говоря, не являются уравнениями, потому что в них нет переменной x, значение которой неизвестно. Поэтому все приведенные выше формулы (1)-(3) представляют собой некоторые тождества, которые вытекают из основного тождества для Золотой Пропорции. Они достаточно хорошо известны в «теории Золотого Сечения» и их открытие не может приписываться Шевелеву, к работам которого я отношусь с большим уважением.

Известен комплекс уравнений Стахова: yp+1 – yp = 1. При разном «p» он дает ряд корней, среди которых есть числа Шевелева: Ф (p=1), Фu (p=2), 1/Фl (p=4). Интересно, что в уравнениях (1), (2), (3), задающих числа Шевелева, вычитаются элементы в количестве, равном именно «p» для каждого этого числа. Может быть числа Шевелева и ограничивают смысловое использование общей формы уравнений Стахова значением p=4 ?..

Комментарий 2 (Стахов). Уравнение yp+1 = yp + 1 приведено мною в книге «Введение в алгоритмическую теорию измерения» (1977). В этой книге мною получено 2 математических результата, имеющих важное значение для «теории Золотого Сечения». Первое. Показано, что уравнение yp+1 = yp + 1 выражает некоторые глубокие математические свойства треугольника Паскаля. И второе. Мне удалось строго геометрически сформулировать обобщенную задачу о Золотом Сечении, частным случаем которой является классическая задача о Золотом Сечении. Там же в таблице на с. 112 я привел значения корней уравнения yp+1 = yp + 1, которые я назвал золотыми р-пропорциями. В этой таблице приведены числа, которые Алферов приписывает Шевелеву. В упомянутой книге я никак не назвал уравнение yp+1 – yp = 1. Позже в своих работах я начал называть это уравнение «золотым» алгебраическим уравнением, тем самым подчеркивая его уникальность.

Ну и в итоге. Выражение (1) можно записать в следующей форме: .

Или для всех выражений (1), (2), (3):


С 2-мя уникальными решениями:

Но почему ничем не примечательна обратная величина ?...


Теперь приведем уравнение, вопросами которого занимался Э. М. Сороко: xn+x-1=0.

В этом комплексе уравнений с увеличением «n» значение корня будет увеличиваться от x=j 1 (при n=2) и идти к «1»; все корни будут на континууме «1», в диапазоне 0ё 1 (n=0ё Ґ) … А какой будет корень при n=3? Уж не та ли обратная величина «0,682…»?

Комментарий 3 (Стахов). «Уравнение Сороко» xn + x - 1 = 0, строго говоря, не является самостоятельным уравнением, поскольку оно получается из «уравнения Стахова» путем простой замены переменной y=1/x.

Нет ничего проще и «умнее», чтобы просто посчитать и убедиться в этом. Тогда уже можно догадаться сделать для общего случая. Помните (?), условие для корней «систем 2-х уравнений» по выражениям И.Ш.Шевелева: xЧ y=1? Ну, кстати, раз корни их связаны соотношением, то это уже не система уравнений, а одно уравнение в разной форме (и об этом мне напомнил Виктор Белянин, за что спасибо). Но в силу важности каждой отдельной формы будем называть эти обе формы вместе квази-системой. Итак, продолжим. Ведь можно просто подставить в любое уравнение данное требование, то есть выражение одного корня через другое. Тогда получится:

Первая квази-система как раз и состоит из уравнений Сороко и Стахова…

И получилась еще одна красивая квази-система уравнений. А какие у нее корни для «x» и «y»? При n=1 в квази-системе_2 «y» вообще не имеет удовлетворительного корня. (А у квази-системы_1 такого нет.) При n=2 квази-система_2 дает корни: x=j 1 и y=j 2 (как и в квази-системе_1). При n=3 квази-система_2 дает последние соответствующие квази-системе_1 корни: x=Фl (число Шевелева или Сороко при n=5) и y=1/Фl (число Стахова при p=4 (n=5))…


Берем для анализа квази-систему_1, как имеющую более гармоничный ряд корней (в начальной области), которому соответствуют «основные числа» биоформ Шевелева. И в этой квази-системе основным считаем уравнение Сороко, как по настоящему «континуумное уравнение». Диапазон «континуума» в уравнении Стахова «растянут» от «Ґ » до «1» (от «2» до «1» в усеченном ряду корней). Понятно, что это не отвечает удобным представлениям смыслов и взаимосвязей в «континууме».

Канонический вид уравнения Стахова, как помните, имеет представление степеней через «суммирование единицы». Форма записи этого уравнения, как она приведена выше в (1), более соответствует взаимодействию внутри квази-системы, делает квази-систему более лаконичной в целом и не «теряет» решение (x=0, y=Ґ).

Поэтому будем использовать именно эту запись. Повторим ее: 


Итак.

1. Для начала приведем общую формулу отношений внутри этой квази-системы (по аналогии с приведенными соотношениями во «встрече с И.Ш.Шевелевым»:

2. Мы знаем, что «Золотые корни» из этого ряда корней (j 1 и j 2) связаны кроме, как «единичным» произведением, и еще одним «единичным» соотношением: y2 – x2 = 1. А есть ли что-то аналогичное и обобщающее для всего ряда корней этой квази-системы уравнений?...

Поразительно, но все пары корней действительно связаны таким общим соотношением:

Как и в формуле, связывающей в «1» значения ряда Фибоначчи и степенные значения Золотой пропорции (см. ниже в 1-м дополнении к М.Газале), здесь удивительно то, что оказываются взаимосвязаны порядковое расположение и значения степени.

Кстати, подобная формула есть и у квази-системы_2:


3. Для y5=1,32471795… и x5=0,75487767… (n=5).

Это действительно поразительные числа. Они не так стройно и строго проявляют себя, как числа Золотой пропорции. Зато создают совершенно неожиданные соотношения между собой. Как будто играются… Уверен, еще не одно их соотношение предстоит найти.

А пока первое.

4. Второе для x5 и y5, (n=5):


Еще во «встрече с И.Ш.Шевелевым»

было найдено такое выражение:



5. И самое интересное для y5 и x5, (n=5):

.

Интересное, потому что при n=2 мы знаем известное и уникальное: y – x = 1. Вопрос появляется сам собой. Существуют ли подобные выражения при других параметрах у других пар корней?... Но пока он остается без ответа.


6. Для x3=0,682327804… (n=3):

Вообще все дополнительные интересные соотношения между парными корнями уравнений квази-системы_1 сосредоточились как-то в пределах значений n = 2, 3 и 5. И они являются числами ряда Фибоначчи…

Хотя… Хотя верхняя формула этого пункта имеет аналоги для всех нечетных «n». Если эти нечетные значения «n» обозначить такой формулой: n=2k-1, (k=1ё Ґ), – то общая формула будет иметь следующий вид .

Очевидность этой формулы следует из самого уравнения 1 – x = xn.

Комментарий 4 (Стахов). Пункты 1-6 представляют собой интересные наблюдения Алферова.


В Интернет есть такая книга: Мидхат Газале «Гномон. От фараонов до фракталов»

http://www.skif.biz/index.php?name=Files&op=view_file&lid=272

Приведем некоторые выводы, к которым пришел М.Газале.

0. Исходная формула (которую нашли и другие искатели): j 2n = FnЧ j 2 – Fn-1


1. j 2 – корень любых уравнений xn – FnЧ x – Fn-1 = 0, например, x5 – 5x – 3 = 0

Комментарий 5 (Стахов). Этот результат был опубликован мною и Борисом Розиным в статье «The «golden» algebraic equations» (Chaos, Solitons & Fractals», 2006, 27, 1415-1421). В статье получен, однако, более общий результат. Показано, что уравнение yp+1 = yp + 1 «порождает» бесконечное число алгебраических уравнений следующего типа, имеющим в качестве корня золотую р-пропорцию: , где n = р+1, р+2, р+3, …, Fp(n) — р-числа Фибоначчи, задаваемые следующим рекуррентным соотношением:

Fр(n) = Fр(n-1) + F3(n-р-1)

при начальных условиях:

Fр(1) = Fр(2) = Fр(3) =... = Fр(р+1) = 1.

К сожалению, я не знал о работах Газале, и поэтому в статье нет ссылки на его работу. В дальнейшем буду ссылаться.

2. Общее бесконечное выражение «j 2» через числа Фибоначчи: .

И сопутствующее интересное выражение: .


3. Есть замечательное число «1,32471795724…», являющееся корнем уравнения p3 – p–1 = 0; оно имеет следующее бесконечное выражение: .

Это число, как показал М.Газале, является корнем множества уравнений вида:

xn – PnЧ x2 – Pn+1Ч x – Pn-1 = 0, например, x5 – x2 – x – 1 =0 или x7 – 2x2 – 2x – 1 =0.

Газале предлагает называть это число «серебряным числом», проявляющим «серебряное отношение», «серебряную пропорцию». И в отношении такого числа это, наверное, правильно.

Газале предлагает обозначать это число через «p» по фамилии Р. Падована (фамилия образована по городу Падуя недалеко от Пизы, где жил Фибоначчи), который обратил внимание в Европе на такую пропорцию в аддитивном ряду Pi+3 = Pi + Pi+1 при начальных членах 0-0-1. Значение этой пропорции, как и Золотой, равно отношению бесконечно последних соседних членов этого ряда.


4. М. Газале дает общую формулу для корней уравнений xn – aЧ x – b = 0 в виде бесконечно вложенных радикалов: . И то есть уравнения вида pn – p – 1 = 0 имеют корень со следующим выражением: .

Сделаем 3 дополнения к замечательным обобщениям М. Газале.

К (0) и (1): j 1 – корень уравнений (–1)nЧ xn + FnЧ x – Fn-1 = 0

И есть просто замечательная формула:

К (3): Эта пропорция, похоже, последнее такое отношение для аддитивных рядов. Пока известно, что только Золотая пропорция и эта пропорция имеют свой аддитивный ряд и аналогичные друг другу алгебраические выражения: уравнение (квадратное и кубическое), выражение из бесконечно вложенных радикалов…


К (4): Мы видели общее выражение для корней уравнения «n»-ой степени в форме бесконечно вложенных радикалов «n»-ой степени. Аналогично ему можно показать общее выражение в форме цепной (непрерывной) дроби.

Но только для квадратных уравнений…

Итак, для уравнений вида x2 – ax – b = 0

корни выражаются следующим образом:


И в частности, отсюда следуют два таких выражения:

Комментарий 6 (Стахов). Я с большим интересом прочитал книгу Газале и считаю ее весьма полезной и интересной. Кстати, там приведено еще ряд интересных формул. На с. 61 газале вводит обобщенные числа Фибоначчи, которые для заданного целого m он обозначает как Fm,n. Эти числа задаются следующей рекуррентной формулой:

Fm,n+2 = mFm,n+-1 + Fm,n

при начальных условиях

Fm,0 = 0 и Fm,1 = 1.

Следует отметить, что это – то же самое рекуррентное соотношение, которое рассматривают Вера Шпинадель и Александр Татаренко. А дальше на этой странице из этого рекуррентного соотношения Газале выводит «обобщенные золотые пропорции» Фm, которые связаны между собой следующим соотношением:

m = Фm 1/ Фm

которое Татаренко выдвигает в качестве своего главного математического открытия. Этот результат Газале, который опубликовал свою книгу в 1999 г. (в России книга переиздана в 2002 г.) полностью перекрывает все результаты как Веры Шпинадель, так и Александра Татаренко.


Сами по себе все эти факты интересны. В той или иной мере. Но пора вернуться к основному мотиву: о странностях траты времени в разговорах о числах то ли Шпинадель, то ли Татаренко…

Так о чем же речь? Напомним. Для уравнений вида x2 – px – 1 = 0 В. Шпинадель сформулировала общее выражение их корней:

Для p=1 этот корень есть j 2, для p=2 - Ц 2+1, для p=3 - 0,5Ц 13 +1,5, и так далее. Татаренко А.А. выделяет этот же ряд значений , выделяя далее главнейшее в нем значение «Ц 2+1». Шпинадель предлагает назвать эти числа по порядку «золотое», «серебряное», «бронзовое» и т.д. Татаренко считает ЗП второй по значимости (в чем? где?) после «Ц 2+1». И метафорично говорит о значении этого числа в мироздании…

А потом было предложено объединить эти числа общим названием числа «Шпинадель-Татаренко». Но при чем здесь Золотая пропорция? Что это за очередное странное обобщение ЗП, уравнивающее ее с другими числами: или без всяких оснований по функциональности (а так – абстрактно), или снимающее ее значение каким-то другим значением… Какая-то мелкая суета… Не пришлось бы защищать ЗП от нас самих…

Итак,

Кто-то видит в этом что-то выдающееся?! Странно…

Комментарий 7 (Стахов). Мне понравилась работа Веры Шпинадель, в которой проведен изящный переход от обобщенного рекуррентного соотношения Фибоначчи к широко известному квадратному уравнению. При этом корни этого квадратного уравнения как-то неожиданно «заиграли». Шпинадель в своих работах не претендует на эпохальное научное открытие и подчеркивает, что «Золотая Пропорция» является «уникальной и неповторимой». Попытки Татаренко преподнести эти корни как «эпохальное открытие» были осуждены мною в моих публикациях на эту тему. Тем не менее, чтобы как-то идентифицировать этот результат, я предложил назвать эти числа «числами Шпинадель-Татаренко», чтобы уйти от путаницы, когда одно и то же математическое понятие называется по-разному («Гармонии Татаренко» или «металлические пропорции» Веры Шпинадель). Однако, после ознакомления с работой Эвариста Галуа «Доказательство одной теоремы из теории непрерывных дробей» (19-й век) можно утверждать, что Галуа предвосхитил «металлические пропорции» Веры Шпинадель и «Гармонии Татаренко». А после ознакомления с книгой Газале мы можем смело утверждать, что с математической точки зрения работы Шпинадель и Татаренко никаких новых результатов не содержат. Тем не менее, Шпинадель и Татаренко привлекли внимание научной общественности к необычным свойствам корней квадратного уравнения, которые известны нам, по крайней мере, с Древней Греции.


Это занимательно? Да. И этим интересно. Но не более пока. И не менее. Давайте посмотрим тогда на не менее интересное. (А в моем восприятии целостности ЗП и рядов Фибоначчи – более).

Помните формулу так называемого ряда Люка «1-3-4-7-11-18-29-»: … Сделаем следующий комментарий. Попеременное сложение и вычитание степеней j 2 и j 1 всегда порождает целые числа, при этом степень j 1 стремится к 0, а степень j 2 стремится к целому числу, то есть j 2 достигает какого-то большого целого числа, когда лишается своей пары (но никогда не лишится), и сами целые числа есть всегда и во всем многообразии, пока j 2/j 1 вместе... Вычитание происходит при нечетных степенях. Для них: j 2i = Li + j 1i … И можно тогда сделать такое «наблюдение» (первую зависимость приводил египетский ученый Эль-Нашие):


«Ряд Люка», кстати, является просто дополнительным (парным) рядом основного ряда Фибоначчи «1-1-2-3». Все ряды Фибоначчи имеют свою пару. Напомним формулы взаимосвязи таких рядов. Их можно записать следующими выражениями для своих членов ряда:

дополнительный ряд , основной ряд .


Но вернемся опять к «нашим колесам». Что же такое есть выражение Ц 2± 1 ? А о других числах в его ряду (в «ряду Татаренко») я вообще не говорю. Мне неизвестно ни одного точного факта функциональности этих чисел в природе. На уровне идей, на уровне «колеса», на уровне абстракции — да. Но это совсем другое. Не надо это смешивать и устраивать конкуренцию его и ЗП.

Комментарий 8 (Стахов). Формулу для «главной гармонии Татренко» мы можем найти на с. 62 книги Газале. С оценкой «главной гармонии Татаренко», данной Алферовым, я полностью согласен. Более того. Как известно, число Ц 2 было открыто Пифагором при исследовании отношения диагонали к стороне квадрата. Так при чем здесь Татаренко? От членов Клуба Золотого Сечения я получил много писем по поводу публикаций Татаренко. Большинство авторов негативно оценивают эти публикации.

Какое отношение к жизни имеют эти абстракции чистой математики? А именно в отношении к жизни и проявляются значения математических образов. Математические факты имеют значение, если они показывают или новые свойства какого-то общепризнанного феномена (например, ЗП) или доказывают теоремы (обобщения математического мира), или введением новых понятий, операций позволяют с большей эффективностью решать старые практические задачи или новые практические задачи. Все остальное относится к разряду занимательности (изобретательности).

Да и «найти» — это еще ничего не значит. Объявить об этом – это тоже ничего не значит. Надо еще понять, и еще объяснить. И это нечто найденное должно иметь значение не по факту необычности или новизны, не по факту занимательности (что само по себе по своему важно), но должно продвигать вперед в познании Бытия. То есть должно, во-первых, соответствовать фактам явлений, опыту событий, и выявлять (или объяснять) некоторые закономерности, а, во-вторых, адекватно и по-новому давать понимание устройства мира и человека. За каждым словом «претензии» должны быть не метафоры и эмоции (не только), а показ связи с Жизнью


Алексей Петрович, в Вашей последней публикации, к которой Вы шли, как сказали, «не менее 30 лет», есть глава, посвященная так называемым Вами числам «Шпинадель-Татаренко». Тем самым они приобретают какое-то значение. Но мне кажется, тем самым «нивелируется» остальной текст. Все остальное подвергается девальвации, подозревается в абстрактности, некритичности, в простой занимательности. (Многое зависит, конечно, еще от стиля. Но в данной строгой научной форме он только усугубляет проблему).

Комментарий 9 (Стахов). Работа Газале, Шпинадель и Татаренко все же представляют определенный интерес для «теории Золотого Сечения». Эти работы привлекли внимание научной общественности к необычным периодичностям в корнях квадратного уравнения. Введя свои «металлические пропорции», Вера Шпинадель таким путем попыталась как-то классифицировать корни квадратного уравнения. На эту тему Вера Шпинадель в 1998 г. написала книгу, которая переиздана в 2004 г. А в 1999 г. математик Газале опубликовал книгу, о которой говорилось выше. Там тоже введены обобщенные золотые пропорции. В 2004 г. полковник С.А. Ясинский (Санкт-Петербург) опубликовал книгу «Прикладная «золотая» математика и ее приложения в электросвязи». В этой книге приведен детальный анализ «металлических» пропорций Веры Шпинадель и даже сделана попытка их дальнейшего развития. Так что игнорировать это направление мы никак не можем. Как бы мы не относились к этим «новым пропорциям», они уже вошли в «теорию и практику Золотого Сечения». В силу широчайшей распространенности именно квадратного уравнения при моделировании явлений Природы, можно ожидать, что эти пропорции могут проявить себя в некоторых приложениях.

Вы оставляете на совести автора выводы о значении этих чисел, то есть предразумеваемые смыслы, озвученные претензии и метафоры. На совести автора, мне кажется, можно оставить правильность расчетов и построений, когда не хочется углубляться в черновую работу. Оставлять же на совести автора его претензии невозможно. Претензии – это и есть предъявленная совесть. Претензии можно принять или не принять. Это дело второго субъекта, и дело сообщества. Это обязанность сообщества – определиться.

До сих пор «определяться» было недосуг. Рассуждения по поводу этих чисел – это было частным делом. Но – до появления этой темы в Вашем итоговом труде. Вы – наш «модератор» (в современном сленге). Объявляемая здесь Вами позиция – это как-бы представленная позиция сообщества. Поэтому и приходится сказать свою конкретную. Не думаю, что и другие были согласны ранее. Молчание, как и аплодисменты, они означают, как согласие, так и отвержение.


Золотая пропорция проявляется конкретно. Не надо ее обобщать как самоцель, не надо ее подгонять, делать частью методики. И появление «серебряного числа» (по М.Газале) – это тоже исключительный факт. Если посмотрите на 4 формы его выражения, то видно, что эти формы все вместе есть еще только у ЗП:

1. выражение через бесконечно вложенные радикалы,

2. как корень уравнения xn + x = 1,

3. как корень уравнения yp+1 – yp = 1,

4. как корень уравнения с бесконечной суммой элементов (выражение Шевелева).

ЗП обладает еще формой «цепной дроби». И в этой форме как раз реализуется одно из двух исходных свойств ЗП: j 2j 1 = 1. Я не придавал особого значения числу «1,324». Пока не увидел, как оно работает у И.Ш.Шевелева в формировании биоформ. Это пока единственный факт его «действительной работы», его участия в жизни. Но и этого достаточно (не говоря о его исключительных, чисто математических свойствах), чтобы отнестись к нему не как к абстракции.

И есть еще одно число (пропорция), обладающая формами выражения 2ё 4. Это число 1,465…. Называть ли его «бронзовым» или еще каким? Не знаю. Но раз уж мы зашли в «зону металлов», то экономя ресурсы и понятия, а также не превращая все в игру и желая поставить какую-то точку (ведь других подобных чисел пока не предвидится), может быть назвать оба эти числа «серебряными»? И всё.

Тогда, по крайне мере, понятно, что в функциональном устройстве мира (а мерить надо природой, а не абстракцией) есть «первое место» — оно одно, и есть 2 места – на второй ступени. Есть ли 3-й уровень? Едва ли. Есть ли еще кандидаты на вторую ступень? Может быть… Есть ли альтернатива или конкурент у ЗП? Этих фактов нет вообще!


Можно, например, назвать и «Ц 2», и «j 2/j 1» операторами создания подобия плоскостей определенных (данных) пропорций при определенных действиях с этими плоскостями.

Ц 2 - дает подобие плоскостей данной пропорции при делении (увеличении) вдвое по любой стороне. Это пропорция-инвариант при делении плоскости на 2 равные без нового качества (простое деление), как в чертежных форматах (А0ё А4).

j 2 - дает подобие плоскостей данной пропорции при отнимании (прибавлении) плоскостной единицы (квадрата) по большой стороне.

А есть ли что-то подобное в пропорции «1,324»?

Кроме этого. Мне кажется, гармония всегда имеет красивый геометрический образ, а числа, выражающие гармонию, имеют геометрическое выражение и построение. Известны лаконичные и красивые геометрические смыслы у «Ц 2» и «j 2/j 1». А как геометрически построить число «1,324»? Вот это интересно. И благодарно по результатам.



И этот разговор невольно затрагивает параллельную тему: об именовании фамилиями людей каких-то объектов в природе или в «чистой науке». Явление «бурбакизма» в математике наглядно показывает, как можно создавать в «чистой науке» целое направление; а там возможностей именования – за каждым углом. У математики есть два общих реальных направления: описывать идеальные объекты природы (в том числе формулировать законы пространства) и описывать модели реальных объектов (процессов) природы и социума. Если отбросить всякие умыслы, то отклонение от реальности во втором случае связано с потерей адекватности, а в первом — с излишними смыслами, нагружающими объекты исследования, с метафорами. Здесь есть переход в философию. Но нельзя не разделять философию и математику, имеющие свой предмет и свои инструменты. Находясь же в философии или в математике необходимо опираться на свои факты и на общую адекватность (ясность).

Факты можно подавать в любой форме: заявки на изобретение, эссе… Эмоциональность и метафоричность стиля изложения – это форма. Но метафоричность содержания, смешивание метафоры и факта – это неприемлемо в математике. Читатель должен видеть, где факт, а где придаваемый ему смысл, где нагрузка факта. В тексте должно быть видно, где и как жизнь идеализируется в какой-то модели. А вот обоснованность этого, то есть насколько автор «угадал» идею Природы и есть результат адекватности. А при предъявлении претензии – то и результат совести.

Вернемся к присваиванию своего имени чему-то новому. Это слово «новое» — здесь ключевое. И мерка этого уровня новизны у каждого своя. Но сообщество в этих формальных отношениях должно иметь критерии (гласные или негласные).

Умиляет способность американцев (англо-саксов) каждому «чиху» присвоить имя. Пояс «Смита» — это из гигиены или из космоса? Принцип «Мак-Корна» — это закон или хохма? Коэффициент «Джонса» — это мировая константа или очередная банальность? Прокладки «Макферсона» — а это откуда? «Сущности» можно продолжить, а присвоенные фамилии заменить на реальные… В изобретениях, где действует авторское (патентное) право и коммерческие интересы, это имеет свой смысл. И этот же смысл, этот мотив присутствует при именовании любых материальных объектов. Что ж, это часть человеческой истории и культуры. А как обстоит дело с идеальными объектами?

Вообще в этом вопросе есть два взгляда. Или точнее два мотива в связывании каких-то объектов с именем человека: удобство пользования (идентификации) и выражение заслуг.

Начнем со второго. Итак, заслуга - она в том, что человек сформулировал уже существующее, то есть не создал, а правильно описал увиденное. Причем создание аппарата описания (инструмента) имеет часто больший творческий вклад, чем само наблюдение. Но именно создатели аппарата часто остаются в тени, то есть те, кто подготовил познание. Это относится часто и к создателям понятий, языка, темы.

Так что же «сотворил» наблюдатель? Он оформил увиденное. Его заслуга в придании формы скрытому знанию. И эта форма зависит от степени адекватности наблюдателя. За что же присваивается (или может присвоиться) имя в этом бренном мире? Наверное, по степени новизны–важности направления и степени практичности-полезности результата. Что и как можно формализовать в этом вопросе? И можно ли адекватно это сформулировать?...

Так в чем же оправдание присваиванию имен? Для меня – в удобстве идентификации. Но и какие здесь должны быть формальные правила, какая мера – я не знаю.

И что важнее – увидеть объект или понять его смысл, зафиксировать «артефакт» или ввести его в систему знания? Чье имя должно быть дано факту?

Комментарий 10 (Стахов). С этими рассуждениями Алферова я полностью согласен. В науке (особенно в западной) широко практикуется присвоение имени автора тому или иному научному результату. И такое наименование связано, конечно, прежде всего, со значимостью того или иного научного результата. И это обязательно надо делать, чтобы «застолбить» за автором приоритет открытия. Но иногда автору неудобно самому присваивать свое имя тому или иному научному результату. И он его как-то называет, чтобы «идентифицировать» это открытие. В результате это приводит к казусам. Приведу пример из собственной научной практики.

В 1993 г. я вместе с математиком Иваном Ткаченко опубликовал статью «Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи» в довольно престижном украинском академическом журнале «Вестник Академии наук Украины». К публикации статья была представлена выдающимся математиком академиком Ю.А. Митропольским. В этой статье мы ввели новый класс гиперболических функций, связанных с числами Фибоначчи и Люка. Чтобы как-то идентифицировать этот научный результат, мы назвали новые функции «Гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка», хотя ни Фибоначчи, ни Люка не имели никакого отношения к этому классу гиперболических функций. С этой статьей в 1993 г. познакомился известный польский математик-фибоначчист Zdzislaw W. Trzaska (Poland, Warsaw University of Technology). Видимо, решив, что эти функции ввели Фибоначчи и Люка, он опубликовал в 1996 г. в знаменитом журнале «The Fibonacci Quarterly» статью «On Fibonacci hyperbolic trigonometry and modified numerical triangle». Первая часть статьи один к одному повторяет нашу статью с Ткаченко. Но ссылки на нашу статью не имеется. Таким образом, плагиат – налицо. И если бы мы с Ткаченко сразу же и без стеснений назвали новые функции «гиперболическими функциями Стахова-Ткаченко» (что, кстати, предложил позже академик Митропольский), то Zdzislaw W. Trzaska вряд ли рискнул бы заниматься плагиатом. В 2005 г. мы с Борисом Розиным опубликовали статью «On a new class of hyperbolic functions» (Chaos, Solitons & Fractals, 2005, 23, 379-389). Новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка мы назвали «симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка», хотя правильнее их надо было назвать «гиперболическими функциями Стахова-Розина».И теперь ожидаем, что какой-нибудь очередной Trzaska из Фибоначчи–Ассоциации «передерет» этот результат и выдаст за свой…

Поэтому, видимо, не надо стесняться называть новые научные результаты своими именами, если, конечно, они того достойны.

А может быть здесь как с названиями улиц? Название оправдано, если помогает правильно ориентироваться, как в пространстве, так и в истории, как в природе, так и в событиях социума. Причем первое – приоритетно. Да дело и в том – каким мы ощущаем свой мир, свой социум: всем человечеством, расой, культурно-языковой общностью или отдельным этносом. Вопрос в том, интересы чего мы считаем приоритетными…

Законы везде одинаковы. Не будут ли смеяться над нами в других мирах?

И все-таки, как быть с удобством идентификации? Вопрос не праздный. Удобство и правильность (правильность – по самым отдаленным следствиям) не одно и то же. Мы плохо смотрим вперед…

Тогда посмотрим пока ближнее. Как удобнее называть:

уравнение Стахова или, например, уравнение континуума через разность двух степеней,

уравнение Сороко или, например, уравнение континуума через сумму с одной степенью,

уравнения Шевелева или, например, уравнения для гармоничных пропорций в бесконечных суммах?

Мне удобнее, пока, называть с фамилией. Но делаю ли я правильно? И есть ли варианты? Не знаю. Но выскажу конкретные соображения. Во-первых, именование абстрактных математических объектов в принципе возможно по причине четкой идентификации и краткости, а также наличия точного родового имени этого объекта (уравнение, тождество и т.д.).

Во-вторых. Об именовании можно говорить, если это актуально для идентификации, если нет простого однозначного термина. К чести автора, если он найдет и предложит такое понятие.

В-третьих. Именование абстрактных математических объектов правильно, если исследователь объекта один и самостоятельно нашел его, изучил основные свойства, осознал смыслы и вписал в контекст человеческого знания. Новые факты должны иметь новизну не простой интерпретации существующих данных (то есть не уровень «нового применения»), а содержать новое и подтвержденное представление о реальной организации природы и социума (но не рукотворных объектов; это относится к другому). В этом и проявляется их полезность.

И, в-четвертых. Приемлемо давать две фамилии, если означенный комплекс работ сделал не один человек. Но более 3-х — совершенно нецелесообразно.

Как быть с именованием числа «Шпинадель-Татаренко»? Для меня эти абстрактные числа не проходят по главному – по третьему признаку.

Комментарий 11 (Стахов). Я не настаиваю на том, чтобы алгебраическое уравнение yp+1 = yp + 1, к которому я пришел в 1977 г. при исследовании Треугольника Паскаля, называлось моим именем. Но учитывая его уникальность, это уравнение как-то надо идентифицировать и выделить среди уравнений подобного типа. В статье Стахова и Розина «The «golden» algebraic equations», (Chaos, Solitons & Fractals», 2006, 27, 1415-1421), было предложено называть это уравнение «золотым» алгебраическим уравнением или «уравнением золотой р-пропорции». В дальнейшем я намерен перевести эту статью на русский язык и опубликовать ее на сайте «Академия Тринитаризма», чтобы ознакомить всех русскоязычных «золотоискателей» со свойствами этого уникального алгебраического уравнения.

Есть другой вопрос, который назрел для взаимопонимания в сообществе «ЗП». Это однозначность обозначений для Золотой пропорции. Сразу скажу, что свою функциональность имеет и «1,618», и «0,618». Оба эти числа, мне кажется, должны быть обозначены одной буквой с какой-то модификацией.

Без приведения обозначений к каким-то единым для всех и удобным для всей «алгебры ЗП» и речи быть не может об устойчивой и эффективной программе «математики Гармонии».


* * *


Пишу это письмо замурованный в стену. Два подхода к одной задаче привели к этому. И хоть были найдены интереснейшие продолжения, аллюзии, параллели, это не отменило принятого условия. Элегантное решение не найдено. И вот я замурован. Остается только в назидание вспомнить мою историю.

В качестве поощрения и интереса в один «счастливый день» прислал мне Э.М. Сороко эту весть: «Попробуйте решить древнеегипетскую задачу, предлагаемую кандидатам в жрецы верховным наставником (жрецом). Того, кто не смог ее решить, замуровывали в стене; пока он несколько дней размышлял, ему в окошечко приносили пищу. А потом, если терпел неудачу, это окошечко замуровывали. Итак, в колодец опущены две тростинки, которые касаются стены колодца верхними концами, а нижние концы находятся на концах диаметра, на дне. (Представьте образ лестницы прислоненной к стене.) Пересекаются тростинки на расстоянии (условно) 1 метра, длины тростинок 2 и 3 метра. Найти радиус (диаметр) колодца. Успехов. Э.С.»


Есть задачи, вмещающие целый мир. Такова их глубина и многосторонность. Отдельные вопросы, следствия, связи ее выводят на новые отношения. Тропки, начинающиеся в ней ведут в неожиданные дали. Эта задача – из таких.

Рискните войти в нее… И скрасьте мое одиночество.

Комментарий 12 (Стахов). Я согласен с Алферовым в том, что «есть задачи, вмещающие весь мир». Есть такие задачи и в «теории Золотого Сечения». Более того. Именно эти задачи, связанные с треугольником Паскаля, числами Фибоначчи и Золотым Сечением, могут вывести всю науку «в неожиданные дали». Считаю, что статья Алферова является интересной и полезной и рекомендую опубликовать ее на сайте «Академия Тринитаризма».


Алферов С.А. О «серебрянности» и не только (открытое письмо с комментариями А.П. Стахова) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13021, 24.02.2006

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru