Часть 1. Микросистемы

Аннотация

В данной работе дается теоретическое объяснение явлению декалогарифмической периодичности, эмпирически обнаруженной в распределениях структурообразующих элементов разного рода динамически равновесных систем по параметру связи. Показано, что указанное явление обусловлено организацией квантовых состояний, в которых находятся структурообразующие элементы, в рамках волновых кратностей золотого сечения».

«This work gives a theoretical explanation of the decalogarithmic periodicity phenomenon that has been empirically discovered in distributions of cross-linking elements of different dynamically equilibrium systems on the coupling parameter. It is proven that the specified phenomenon is determined by the quantum conditions organization of the cross-linking elements within the framework of the golden section wave frequency ratios».

Явление декалогарифмической периодичности было выявлено сначала в распределениях пробных тел Солнечной системы (конец 1974 года) по параметру lg e, где e = r/r_og – r – расстояние между взаимодействующими объектами, r_og – гравитационный радиус центральной массы [1]. Затем в распределениях сечений радиационного захвата нейтронов ядром атома [2] по величине lg W, где W – кинетическая энергия нейтрона, а также в распределениях lg W_с, где W_с – энергия связи нуклона в ядре атома [3-5], электрона в атоме [6], затем в скоплениях галактик [7] и, наконец, распределениях квазаров, т.е. в Метагалактике [8]. Как видно, спектр проявлений явления очень широкий. По существу явление универсально (глобально).

Суть его заключается в том, что в распределении структурных объектов динамически равновесных систем по приведенным параметрам наблюдаются максимумы, образующие ранжированный ряд параметров, причем такой, что период повторения Т = lg e _j – lg e _i = = k/m, где при m = 1, 2, 3, 4… k = 0, 1, 2, 3, 4…. В итоге согласно эмпирическим данным оказывается так, что максимумы распределены по закону e = 2Ч 10^k/m. При m = 8 и 12 эта формула охватывает большую часть эмпирических данных. Однако более поздние и более тщательные исследования статистических распределений периодограммными методами, особенно периодограммы, построенные методом интервальных покрытий, кроме всего прочего, показывают и максимумы с периодами Т = 0,10 и 0,21, выпадающими из вышеприведенной формулы. При этом период Т = 0,21 присутствует практически на всех периодограммах и устранить его путем подбора начальной фазы периодограммы не удается. Этим экспериментальная ситуация несколько запутывается. Приведенная формула превращается в более сложный конгломерат неизвестного вида, однако декалогарифмическая периодичность этим не отменяется. В итоге оказывается так, что требуется построить такую теорию, которая описывала бы и то, что есть, и то, что скрыто, а если и видно, то недостаточно хорошо.

Приступая к построению такой теории сначала определим то, что является общим для всех систем, не смотря на разную природу, действующих в них сил. Не трудно сообразить, что общим для всех систем является характер относительного движения объектов, составляющих систему. Например, при взаимодействии двух мегамасс, одна из которых m_о1 << М_о2, меньшая масса под действием сил гравитации будет двигаться относительно массы М_о2 по траектории в форме круга или эллипса. Такие траектории получили название орбит. Движение по орбитам (траекториям) в мегамире никто не оспаривает. Другое дело, теории описывающие взаимодействие микрочастиц (зарядов). В них понятие орбиты отсутствуют, хотя понятие орбитального движения есть! Зато в теории Зоммерфельда А. [9], разработанной для системы, состоящей из двух зарядов (атома водорода) показано, что движение заряда по круговым орбитам является более предпочтительным, так как энергия связи для круговой орбиты получается наибольшей. Тем не менее дальше развивать свою теорию Зоммерфельд не стал. Не стали делать этого и другие. Но наука на месте не стоит. И вот какие выводы в итоге сделаны за это время [10, c. 110]. «Сейчас можно считать общепринятой в ядерной физике точку зрения, что особую роль в появлении значительных разрежений и сгущений уровней ядер играет квазиклассическое квантование движения по многомерным периодическим орбитам... Эти орбиты разматываются и запутываются из-за квантовых флуктуаций системы и выживают только простейшие орбиты».

В связи с последним возникает вопрос о том, какому условию должны удовлетворять эти орбиты, чтобы состояние движения считать стационарным. Ответ на этот вопрос содержится в работе [11]. В ней говорится, что из опытов по рассеянию частиц найдено, что во всех исследованных случаях резонансы возникали при условии соразмерности длины волны де Бройля с геометрическими размерами системы, независимо от природы взаимодействия.

Таким образом, эксперимент показывает, что независимо от природы взаимодействия движение структурных элементов внутри динамически равновесной системы осуществляется по волновым орбитам простейшего типа. В итоге наша задача сводится к тому, чтобы находясь в рамках волновой релятивистской квантовой теории найти условия, при которых круговая орбита будет стационарна и как она должна быть устроена, чтобы обладать максимальной прочностью, а также найти, в каких соотношениях должны находиться параметры этих орбит между собой.

Поиск решения задачи начнем с анализа простейшего примера взаимодействия, в частности рассмотрим силу, с которой взаимодействуют два одинаковых релятивистских заряда е, движущиеся параллельно друг другу с одинаковой скоростью v относительно лабораторной системы отсчета.

Результирующая сила взаимодействия параллельно движущихся зарядов состоит, см. [12, с.198] из двух составляющих электрической и магнитной . В проекции на ось взаимодействия для одноименных зарядов она равна

F = F_e – F_м,

для разноименных зарядов

F = – F_e + F_м.

Но так как

,

а

,

то, приняв во внимание, что 1/(e _{о m о}) = с², где e _о и m _о – диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума, а с – скорость фотонов в нем, в сумме получаем:

,

(1.1)

где r – расстояние между зарядами. Знак (+) означает, что одноименные заряды отталкиваются. Знак (–) показывает, что разноименные заряды притягиваются.

Исключая e _о, эту формулу можно представить в следующем виде:

,

(1.2)

Величина в скобках имеет размерность массы. Физический смысл ее неясен, поэтому на первых порах, обозначив

,

где i – предположительно, вириальный коэффициент, получим

.

(1.3)

С другой стороны, если правую часть формулы (1.1) умножить и разделить на с и выделить в ней величину

,

(1.4)

где h _о = 7,6957Ч 10^–37 ДжЧ с или такое же h _о выделить в формуле (1.2), например

,

(1.5)

тогда результирующая сила

.

(1.6)

Сравнивая (1.3) и (1.6), находим

,

(1.7)

где i – вириальный коэффициент.

Но – это модуль потенциальной энергии взаимодействия. Следовательно, D mc² = W_c – это энергия связи, зарядов, где D m – дефект массы.

По определению дефект массы D m = m – m_o, где m и m_o – массы заряда в движении и в состоянии покоя. Но так как , то энергия связи

,

(1.8)

где Е и Т – полная и кинетическая энергии заряда.

Разрешая формулы (1.7) и (1.8) относительно r, получим, что расстояние между зарядами будет выражаться формулой

,

(1.9)

где r_oe = h _o/(m_oe c) – классический радиус заряда. Поскольку h _о = m_oeЧ c r_ое, то формулу (1.7) можно представить в следующем виде:

.

(1.10a)

Обозначив r/r_oe = e, получим:

.

(1.10)

Если в рассматриваемой системе, состоящей из двух разноименных зарядов положительный заряд имеет массу m_o2, значительно большую массы m_o1 отрицательного заряда, тогда в формуле (1.10) Е_о1 – это собственная энергия отрицательного заряда, который начнет обращаться вокруг массы m_o2; а если массы зарядов равны, тогда Е_о1 – это собственная энергия приведенной массы, так как под действием силы притяжения оба заряда придут в движение относительно общего центра масс со скоростью v. В результате система зарядов приобретает момент импульса. В релятивистской динамике нет готовой формулы релятивистского момента импульса. Ее нужно еще как-то найти.

В простейшем случае плоско-кругового движения относительно оси z момент импульса

Jz = pj Ч r,

(1.11)

где r – радиус круговой орбиты; р_j – полный импульс массы m_o1 относительно оси вращения.

Полный импульс массы m_o1 на круговой орбите можно представить в виде суммы

pj = pe ± ps,

(1.12)

где р_е – импульс массы m_о1 с заторможенным спином; p_s – импульс, получаемый зарядом при растормаживании спина: в процессе растормаживания спина заряд либо увеличивает орбитальную скорость, либо уменьшает ее. p_s – добавка небольшая, но приборно она наблюдается: спектральные линии излучения слегка раздваиваются.

В целом же модуль полного импульса

,

(1.13)

Подставив формулы (1.9) и (1.13) в формулу (1.11), получим, что полный момент импульса в проекции на ось z

.

(1.14)

Отсюда находим:

1) если v = с, а i = 1, тогда J_z = h _o. Такими параметрами обладают только кванты электромагнитного излучения (спин фотона всегда равен1);

2) если v = с, а i = 2, тогда J_z = h _o/2: полный момент импульса вырождается в спиновый момент заряда (спин заряда всегда равен Ѕ). Такой процесс имеет место при образовании зарядов фотонами со спином S = 1 в сильном электромагнитном поле ядра. В результате заряды рождаются парами, каждый из которых имеет спин s = Ѕ в проекции на ось z. Таким образом, анализ формулы (1.14) показывает, что вириальный коэффициент круговой релятивистской орбиты i = 2 (строго). Это важный результат, но далеко не конечный, поэтому, продолжая, перемножим формулы (1.8) и (1.14). В результате получим:

.

(1.15)

С другой стороны, зная, что импульс , а Е_о = m_o c², имеем

(1.16)

.

Объединяя (1.15) и (1.16) и учитывая, что W = Е – Е_о в итоге находим формулу, связывающую момент импульса и энергию:

.

(1.17)

Выделим в этом равенстве первую часть, приняв i = 1, и запишем ее в следующем виде:

.

(1.18)

Но так как по Зоммерфельду полная энергия Е и полная энергия W системы зарядов связаны формулой Е = W – U, то подставив Е в формулу (1.18), получим уравнение вида

.

(1.19)

В этом уравнении вектор имеет модуль a = h_o/J_z и векторный базис a _i, где i = 1, 2, 3. По физическому смыслу коэффициент a – это постоянная тонкой структуры, зависит только от природы заряда, например, для электрона атома водорода . Следовательно, J_z = h_i – это момент импульса заряда i –ой разновидности в его основном состоянии.

В принципе уравнение (1.19) можно свести к уравнению типа уравнения Дирака. Это даже необходимо для того, чтобы можно было использовать уже известные решения уравнения Дирака. Для этого перейдем в сферическую систему координат.

В сферической системе координат оператор

.

(1.20)

где – вектор, модуль которого a _i = h _o/h _i. Если оператор (1.20) разделить на модуль вектора a, тогда получим:

,

где – единичный вектор, k = ± (j + Ѕ), где j – квантовое число полного момента импульса. Но так как h _o/a _i = h _i, то в итоге уравнение (1.19) в операторах квантовой механики принимает вид

.

(1.21)

Если в этом уравнении принять h _i = h, где h – постоянная Планка, а a _i = h _o/h = = 7,6957^–37/1,0545Ч 10^–34 = 9,2976Ч 10^–3 (1/a = 137,031), тогда получим уравнение Дирака для электрона атома водорода.

А вообще, уравнение (1.21) описывает спектр энергий зарядов любой массы, если для этой массы известны h _i и a _i.

В частности для системы атома водорода полная энергия

,

(1.22)

где N = 0, 1, 2…. При N = 0 состояния получаются наиболее простые (раздвоение уровней не происходит). Этим состоянием по Зоммерфельду соответствуют круговые орбиты. Для них после алгебраических упрощений находим, что

.

Поскольку под радикалом a ²/k² < 1 (всегда), то радикал можно представить в виде степенного ряда, в частности

,

где е О (a) – сумма ряда в квадратных скобках. Тогда

.

Сопоставляя этот результат с формулой (1.10) или (1.10а) приходим к выводу, что , т.е.

.

(1.23)

Таким образом оказывается, что вариальный коэффициент для круговой релятивистской орбиты равен двум.

Для выяснения причины стационарности круговой орбиты обратимся к анализу решений уравнения (1.21).

Решениями этого уравнения являются волновые функции. В том случае, когда отрицательный заряд с массой m_o1 движется по дуге S круга радиуса r относительно положительного заряда с массой m_o2, его волновые функции принимают вид:

,

(1.24)

где k = 2p /l – волновое число; l – длина волны массы m_о1; j _о – начальная фаза. Для круговой орбиты S = 2p r. Отсюда, считая, что h _i/p = l, где D = l /2p, а р = h Ч k, где р – импульс массы m_о1, и имея в виду, что в момент времени t = 0 начальная фаза j _о = 0, т.е. для стационарных состояний находим, что y /y _о = cos kS, то так как kS = 2p (pr/h), где рr = J_z – проекция полного момента импульса на ось z, то y /y _о = cos 2p .
Квадрат модуля этой функции, т.е. функции w = | y /y _о |² = cos² 2p , определяет плотность вероятности обнаружить массу m_o1 на некотором расстоянии r от оси z. Плотность вероятности, как видно, максимальна в тех случаях, когда число n_j = J_z/h _I принимает целые и полуцелые значения.

Для определения наиболее вероятных расстояний необходимо связать e и n_j. Для этого, разрешая формулу момента импульса

(1.25)

относительно b, находим, что

.

(1.26)

С другой стороны, из формулы (1.9), приняв в ней i = 2, определяем, что

.

(1.27)

Приравнивая (1.26) и (1.27), и решая полученное равенство относительно n_j, определяем, что . Откуда .

Согласуем полученный результат с длиной волны де Бройля. Для заряда с моментом импульса J_z = h_о длина волны де Бройля D = h _о/р. Подставив сюда h _о = m_o r_oe c и р согласно формулы (1.13), получим

.

(1.28)

Введем в эту формулу вместо b число n_j согласно формулы (1.26). В результате после несложных преобразований имеем

(1.29)

.

Но n_j – ј = e, поэтому l = r_{oe e} /n_j или l n_j = r_{oeЧ e} = r. Отсюда следует, что

l nj = 2p r.

(1.30)

Это старый, давно известный результат, применявшийся в квантовой механике для наглядной иллюстрации полезности волн де Бройля.

Если в качестве эталона измерения момента импульса в системе взаимодействующих зарядов выбрать квант действия заряда в его основном состоянии, а он рассчитывается по формуле (1.14), тогда D = h _i/р. Отсюда, зная что h _I = h _o/a с учетом формул (1.13) и (1.26) получаем

,

(1.31)

т.е. находим, что

или

l nj = 2p rэф,

(1.32)

где r_эф = r/a _i – эффективный (характерный) радиус кругового состояния. При иерархических переходах (от структуры одного уровня к структуре другого уровня) a _i ® 1. Следовательно в предельном переходе r_эф = r, формула (1.30). Кроме того, из формулы (1.31) следует, что r_ое/a _i = r_{о эф} представляет собой какой-то новый масштабный эталон, причем такой, что r_{о эф e} = r_эф. В итоге получается, что формула (1.32) выражает собой строгое условие стационарности круговой орбиты: круговая орбита устойчива в том случае, если на ее характерной длине укладывается целое или полуцелое число длин волн де Бройля. Это условие справедливо без всяких ограничений. Однако оно необходимое, но недостаточное. Необходимо установить, сколько таких l /2 должно укладываться на длине характерного круга, чтобы орбита была и стационарной и максимально прочной. В поисках ответа представим формулу (1.31) в виде равенства

.

(1.33)

Обозначив D /r_{о эф} = k_g, получим уравнение

n2 – kg n – ј = 0.

(1.34)

Его решение имеет вид

.

(1.34a)

В этом решении наибольший интерес представляют числа k_g и n, характерные для основной гармоники волнового процесса. В основной гармонике полного волнового цикла одна пучность занимает половину длины волны. Поскольку k_g = l /r_эф, то для этой гармоники k_g = 2.

Примечание: так как k_g соответствует номеру гармоники волны, квантующей длину волны де Бройля, то в силу своего физического содержания k_g может принимать только целочисленные значения. Подставив k_g = 2 в формулу (1.34а), получим

.

Откуда и находим, что n₁ = 2,118034, n₂ = – 0,118034. В данной ситуации полный момент импульса равен орбитальному (в проекции на ось z), но увеличенному вследствие релятивизма системы на величину 0,118034. В нерелятивистском случае, когда n >> ј, из уравнения (1.34) следует, что n₁ = 2, а n₂ = 0. Заметим, что спин обращающего заряда в данной ситуации перпендикулярен орбитальному моменту. Такая ориентация спина заряда стабилизирует круговую орбиту относительно оси z.

Повернем спин, направив его в сторону противоположную орбитальному моменту. Тогда получим n₁ = 2,118034 – 0,5 = 1,618034; n₂ = – 0,618034. Ориентируясь на эти числа, из формулы D /r_оэф = e /n = k_g находим, что e = k_gЧ n. Подставив сюда k_g = 2 и n = 1,618034, получим e = r/r_оэф = 2Ч 1,618, Откуда r/1,618 = 2r_оэф или 0,618r = 2r_о. Но r_оэф = D /2, поэтому . Эта длина является стороной правильного десятиугольника, вписанного в круг состояния и, как видно, измеряется отрезками, кратными r_оэф. Она делит окружность на 10 равных частей, длина каждой из которых равна длине волны де Бройля l. В силу этой причины находим, что 10l = 2p r, т.е. 10D = r или . Но D /2 = r_оэф, следовательно, 20r_оэф = r или e = r/r_оэф = 20, т.е. e = 2Ч 10ў. Это и есть параметры исходного (предельного для данной системы) состояния.

Сопоставляя это число с исходной предпосылкой, посмотрим, что в итоге получилось. Для этого подставив e = 20 в исходную формулу e = k_gЧ n, находим, что n = 10, если k_g = 2 и k_g = 12,36068, если n = 1,618034. В итоге получилось несоответствие. Пытаясь устранить получившееся рассогласование, представим последний результат следующим образом: k_g = 12,36068 = 2Ч 10Ч 0,618034. Тогда e = 2Ч 10Ч 0,618034Ч 1,618034 = 20. Полученный результат по своему содержанию представляет собой принцип организации волновой орбиты, осуществляемой на основе волновых кратностей золотого сечения. Здесь он записан в числовом варианте, а в общем виде его можно представить формулой

e = kg Ч N Ч l 1 Ч n1.

(1.35)

где l ₁ – длина волны звена волновой орбиты, радиус которой принят за единицу (l ₁ = = 0,618034); n₁ = 1,618034 – момент импульса, соответствующий длине l ₁; N – число звеньев длиной D ₁, составляющих волновую орбиту, которая при N = 1 имеет линейную форму, а в остальных случаях приобретает форму многоугольника, вписанного в круг состояния, исключая случай N = 2. При этом ее момент импульса прямо пропорционален числу звеньев N, например, для орбиты в форме десятиугольника число звеньев N = 10. Ее периметр S_N = NЧ l ₁ = 10Ч 0,618034 = 6,18034. Следовательно, полный момент импульса n_N = S_NЧ 1,618034 = 6,18034Ч 1,618034 = 10. В итоге e = k_gЧ n = 2Ч 10 = 20.

Таким способом можно образовать бесконечный набор волновых орбит. Однако не все они будут устойчивыми. Стабильными будут только те орбиты, у которых периметр S_N находится в волновой кратности к периметру исходной орбиты с периметром S₁ = 10l ₁. Для таких орбит число N_x = 10^x. Следовательно, согласно (1.35)

e = 2Ч 10х,

(1.36)

где в общем виде х = k/m, где при m = 1, 2, 3 k = 0, 1, 2, 3.

Если же спин массы m_o1 направлен в сторону орбитального момента импульса системы с n = 2,118034, тогда ее полный момент импульса n = 2,118034 + + 0,5 = 2,618034 = (1,618034)², а n₂ = – 0,118034 + 0,5 = 0,381966 = = (0,618034)². Подставив n = (1,618034)² в формулу e = k_gЧ n, получим e = k_g (1,618034)². В этой формуле видна тенденция изменения момента импульса по показательному закону. Если эту тенденцию сохранить, тогда, в более общем случае

e = kg (1,618) у,

(1.37)

где у = kў /mў.

Подставив полученный результат в формулу (1.35), получим

N _у = (1,618) ^y.

Для орбит с числом звеньев, определяемых формулой

NS = N у Ч Nx = (1,618) y Ч 10x.

(1.38)

Параметр e согласно формулы (1.35)

e = 1,618 у kg 10x.

(1.38a)

Формула (1.38а) показывает, что энергия связи заряда (массы m_o1) в системе может изменяться либо за счет изменения r, см. формулу (1.36), либо за счет изменения n, см. формулу (1.37), где при mў = 1, 2, 3… kў = 0, 1, 2, 3…. А если изменяются и момент импульса n и расстояние r, тогда параметр связи e определяется из формулы (1.38а).

Отработка статических распределений атомных и ядерных состояний показала, что в них содержатся максимумы формулы (1.36), характерные для 8-ой и 12-ой гармоник. Что же касается формул (1.37) и (1.38а), то их надо еще проверять. Однако прежде, чем перейти к этой стороне вопроса, посмотрим, что получится, если момент импульса n = 2,118034 наращивать и далее через каждые 0,5 в обе стороны. В результате получается целый набор новых решений, которые, как оказалось, можно описать одним уравнением вида

,

(1.40)

где k_g = … – 4; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; 4; …

При этом следует заметить, что при отрицательных значениях k_g спин направлен противоположно орбитальному моменту исходного состояния, а при положительных k_g – по направлению орбитального момента. К тому же спиновые состояния реализуются при нечетных k_g, а безспиновые – при четных k_g.

Из всех решений наибольшего внимания заслуживают решения, для которых k_g = 0, 1, 2 и 3. В частности:

для k_g = 0 n₁ = 1,118034, n₂ = – 0,118034;

для k_g = 1 n₁ = 1,618034, n₂ = – 0,618034;

для k_g = 2 n₁ = 1,118034, n₂ = – 0,118034;

для k_g = 3 n₁ = (1,618034)², n₂ = (0,618034)² и т.д.

Анализируя эти состояния отметим следующее. Состояние, для которого k_g = 1 является состоянием золотого сечения в чистом виде. Такого рода состояния связаны между собой формулой (1.36). Состояние, для которого k_g = 3 также является состоянием золотого сечения в чистом виде. Состояния такого рода связаны между собой формулой (1.37). Состояние, для которого k_g = 2, является состоянием смешанного типа. Состояния такого типа связаны между собой формулой (1.38а). Здесь многое зависит от внешних условий, в которых находится система. Они могут влиять и существенно на ориентацию спина и реализацию состояний. Что касается состояния, для которого k_g = 0, то, сориентировав спин в сторону орбитального момента, его можно было бы свести к состоянию с k_g = 1, однако состояния с k_g = 0 не реализуются, так как в этом случае нет вторичного квантования, т.е. квантования длины волны де Бройля, и нет волновых гармоник. Таким образом, число k_g реально может принимать значения k_g = 1, 2, 3, что касается более высоких k_g, то их состояния не исследовались.

Для эмпирической проверки теоретических выводов, в частности формул (1.36), (1.37) и (1.38а) сначала рассчитаем ожидаемые волновые кратности для 8-ой и 12-ой гармоник и сравним их с данными периодограммного анализа.

Итак: 1) формула (1.36). e = k_gЧ 10 ^k/m. Ее волновые кратности выглядят следующим образом:

.

Отсюда, сократив k_g и взяв десятичный логарифм, получим:

.

2) формула (1.37): e = k_g (1,618) ^{kў /mў}. Ее волновые кратности имеют следующий вид:

.

Отсюда

.

Результаты расчетов периодов Т и Тў по этим формулам представлены в таблице 1.

Таблица 1

Волновые кратности формул (1.36) и (1.37) для m = 8 и m = 12

Что касается формулы (1.38а), то для нее

,

т.е. ее периодограмма состоит из суммы периодограмм формулы (1.36) и формулы (1.37), разнесенных в пределах Т = 0 ё 0,25 в среднем на D Т = 0,03.

В свете сказанного попробуем поискать волновые кратности золотого сечения среди атомных состояний. За основу исследований примем ионизационные потенциалы U, приведенные в справочнике [13], см. стр. 58-65, где даны значения 952 потенциалов всех атомов. Поскольку наибольший интерес представляют их состояния, то для отбора из них наиболее вероятных дальнейшее исследование будет происходить в следующем порядке.

Сначала все данные продекалогарифмируем. Затем, используя полученные результаты, построим гистограмму, приняв для этого интервал накопления 0,005. Построенная с таким шагом гистограмма оказалась очень длинной, поэтому здесь она дается в виде таблицы 2, где в строках приведены суммы данных, приходящихся на каждый интервал, причем первому числу соответствует lg U = 0,60, а на каждые два последующих числа приходится интервал 0,01.

Таблица 2. Гистограмма эмпирических данных

Приведенная в таблице гистограмма является исходной базой для получения полезной информации. Для ее извлечения применим один из методов периодограммного анализа, в частности, метод интервальных покрытий, разработанный автором этих строк. Подробности см. в работе [14] или на сайте www.stavedu.ru раздел «Научные объединения (Циклы)». Построенные этим методом периодограммы, одна в интервале lg U = 0,69 ё 3,6, а другая – в интервале lg U = 0,72 ё 3,6 (сдвиг начала отсчета на 0,03) представлены на рис.1 и 2.

Рис. 1. Периодограмма Петруненко Василия для интервала
t = 0,69ё 3,6; у = (<n> –2,166)Ч 50

Рис. 2. Периодограмма Петруненко Василия для интервала
t = 0,72ё 3,6; у = (<n> –2,19)Ч 50

Из рис.1 видно, что период Т = 0,21 можно последовательно делить пополам. В результате получаем Т = 10,5; 5,25. Каждый из этих периодов допускает повторы. Например, повторяя период Т = 5,25, находим Т = 5,25; 10,5; 15,75; 21; 26, что полностью соответствует данным периодограммы и теоретическим выводам, см. таблицу 1. В итоге приходим к заключению, что lg U_i – lg U_j = (0,21/mў)Ч kў, где при mў = 1, 2, 3… kў = 0, 1, 2, 3…. Отсюда находим, что

U_i/U_j = (1,618) ^{kў /mў}. (1.41)

Формула (1.41) – это эмпирический аналог теоретической формулы (1.37). Аналогичный анализ рис.2 показывает, что период Т = 0,24 также можно делить на части. При последовательном делении пополам имеем Т = 12, 6, 3. Повторяя период Т = 6, получим T_i = 6, 12, 18, 24 в полном соответствии с периодограммой рис2 и теоретическими данными формулы (1.36). Следовательно, lg U_i – lg U_j = k/m, где при m = 1, 2, 3… k = 0, 1, 2, 3…. В итоге находим, что

U_i/U_j = 10 ^k/m.(1.41)

Рис. 3. Периодограмма Шустера для интервала t = 0,72ё 3,6

На рис.3 представлена периодограмма, построенная методом Шустера [15] с шагом D Т = 0,01 в том же интервале данных, что и периодограмма рис.2. Исходные данные для ее построения взяты из предыдущей гистограммы при удвоенном интервале накопления. Сравнивая рис.2 и рис.3, находим, что их результаты не находятся в противоречии. Однако видно, что периодограмма Шустера имеет тренд (линия без изломов). Корреляционный анализ показывает с вероятностью 99,9%, что тренд описывает функция у = 0,02878 х^2,1981, где х = 10Ч Т. Вычитая тренд, получим ряд, среднее значение которого <y> = 9,302. Отношение максимального выброса, соответствующего периоду Т = 0,24 к среднему равно 108,858/9,302 = 11,702. Критическая величина этого отношения для n = 25 на уровне значимости a = 0,01 равна r_кр = 5,582 [16]. Так как у_м/<y> > r_кр, то период Т = 0,24 проходит с вероятностью большей 99%, вместе с ним проходят и периодограммный вывод, т.е. формула (1.42), которая полностью согласуется с формулой (1.36). Кроме того, формула (1.36) подтверждается и на ядерном уровне [2-5] с вероятностью не хуже 95%. Что касается уровня значимости формулы (1.41), то для его определения тем же методом интервальных покрытий построим еще ряд периодограмм, смещая каждый раз начало отсчета вправо на 0,01. Затем, отобрав подобные, сложим их. Если при таком сложении регулярные максимумы, складываясь, усиливаются, а нерегулярные ослабляются, то регулярную картину, выделенную из статистического распределения, следует считать достоверной. Достоверными следует считать и периоды, получаемые путем вычета начальных фаз регулярно повторяющихся периодограмм, которые сами по себе являются хорошим дополнением к выявляемой закономерности, так как в статистическом распределении регулярное повторение периодограмм не является событием случайным.

На рис.4 представлены три периодограммы с начальными фазами j _о = 0,69; 0,79; 0,81. Они были отобраны как совпадающие. Внизу рис. представлена периодограмма, являющаяся суммой первых трех. На ней более отчетливо видны максимумы с периодами Т = 0,05; 0,10; 0,15; 0,21; 0,25; 0,30; 0,07 и 0,17, совпадающими с данными формулы (1.37), есть и период Т = 0,03. На рис.5 представлена периодограмма, являющаяся суммой периодограмм с начальными фазами 0,72 и 0,80. На ней видны максимумы с периодами Т = 0,04; 0,06; 0,08; 0,16; 0,20 – 0,21; 0,24 и 0,30. На рис.6 представлен результат сложения еще трех периодограмм. Данные рис.5 и рис.6 хорошо описывает формула (1.36). Смещение периодограмм рис.1 и рис.2 в среднем на D Т = 0,03 является эмпирическим подтверждением формулы (1.38а). Таким образом, подводя итог этой части работы, можно утверждать, что эмпирические данные полностью подтверждают теоретические выводы формул (1.36), (1.37), (1.38а). При этом оказалось, что резонансы формулы (1.36) чередуются с резонансами формулы (1.37), а порой и накладываются на них. Пришлось немало потрудиться, чтобы разделить их (тем более что поиски велись вслепую). В частности, применение метода х² к общему статистическому распределению не позволило выявить его тонкую структуру, хотя и было видно, что резонансы формулы (1.36) чем-то подпорчены, см. [6]. Ситуация прояснилась с появлением метода, предложенного автором этих строк [14]. В результате появилась возможность конкретного расчета уровней отдельных ядер. Такие расчеты выполнены для ядер , и отчасти для . Результаты расчетов представлены в таблицах 2-4. При этом заметим, что энергия уровней нуклонов в ядре и электронов в атоме рассчитывалась по одной и той же формуле

,

где W_o = 938,28 МэВ.

Сравнение эмпирических и расчетных данных показывает, что формула (1,38а) дает лучшие результаты: среднее отклонение d от эмпирических данных составляет ~ 0,5%, тогда как для формулы (1.37) <d > » 1%,отметим, что расчеты производились при k_g = 2.

j о = 0,69

j о = 0,79