Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения -Дискуссии

Никитин А.В.
Взаимообратные числа и их применение
Oб авторе
От автора

Поводом для публикации этой статьи явилось письмо :

    Уважаемые коллеги!


    На сайте «Академия Тринитаризма» — Институт Золотого Сечения — Дискуссии — опубликована статья А.А. Татаренко

    «Тm — принцип» — всемирный закон гармонии
    http://www.trinitas.ru/rus/002/a0232009.htm

    Статья претендует на научное открытие и революцию в современной науке. Так ли это? Приглашаю членов Клуба принять участие в научной дискуссии по статье А.А. Татаренко.

    С уважением
    Алексей Стахов.

Вопрос поставлен достаточно остро.

С другой стороны, о правомерности называть материал, изложенный Александром Анисимовичем Татаренко в своей статье, как сенсационную заявку на крупное научное открытие, можно еще очень долго. И что в этой статье можно отнести к личному вкладу А.А. Татаренко в мировую математику, а что к развитию существующих и до этого момента основ математической теории решится, я думаю, не за один день.

С формулой, примененной А.А. Татаренко для получения чисел, символизирующих по его мысли Гармонию, я знаком с 2003 года. Я не очень большой сторонник разного рода поисков всеобщей Гармонии на основе какого-то одного принципа или закона. Эстетический и художественный взгляд на Гармонию, допустим, через призму «золотого сечения, это одно, а разного рода философские и не очень, теории Гармонии – другое. И потому, на формулу, предложенную А.А. Татаренко, я смотрел большим недоверием. Я и сейчас не очень верю в ее «гармоничность».

Но, формула есть. И на числа я смотрю не в первый раз. Раздумывал, прикидывал, а потом время от времени записывал свои зарисовки на эту тему. Рисовал графики, смотрел на них с одной стороны, с другой, но ничего особенного не видел. Интересные, взаимообратные числа…

Письмо А.П. Стахова стало катализатором поисков и заставило посмотреть на эти числа внимательнее.

Вот что получилось в первом приближении…

Способ получение взаимообратных чисел,
предложенный А.А. Татаренко.

Формула нахождения корней линейного квадратного уравнения типа ax2+bx+c=0:
(1)


При а= 1; b= — 1; c= -1 эта же формула вырождается в :


(2)


Теперь осталось заменить –b на переменный фактор, предложенный А.А. Татаренко, видимо, имеющий название «модуль», и обозначенный как m, для получения взаимообратных чисел Тm , которым, по справедливости можно было бы дать название – числа Татаренко.

Получаемые числа представляют собой корни линейных квадратных уравнений. Эти уравнения и сами числа, видимо, еще предстоит анализировать.

Формула (2) принимает вид:
(3)

Где изменение m задается. Например, m = 1,2,3, …

Придание величине m статуса «модуля» вызвано важностью этого параметра. Для этого стоит только посмотреть на числа, генерируемые по формуле (3). Числа приведены в таблице 1. Формула дает пару чисел, отличающихся только целой частью.


Таблица1
m
Tm1
Tm2 =
Tm — в виде дроби
Название числа
1
1.6180339….
0,6180339….

Золотое сечение
2
2,4142135….
0,4142135…
1+
3
3,3027756…
0,3027756…

4
4,2360679…
0,2360679…
2+
5
5,1925824…
0,1925824


Модуль m соответствует целой части получаемых чисел. Дробная часть может иметь название «мантисса» по аналогии с числами логарифмов. Это самостоятельная и определяющая часть чисел Татаренко. Очень возможно, что формулировки и мои названия вскоре будут изменены, но пока, за неимением других, я буду пользоваться этими. Таким образом полное число Татаренко имеет целую часть, определяемую модулем, и соответствующую дробную часть m :


Tm = m+ (4)

Мне кажется, что числа Татаренко еще будут исследоваться, и потому, больше на их структуре мы останавливаться в этой работе не будем. Единственное, что следует выделить особо, так это :
Tm =1 (5)

Это свойство и дает главный признак для признания подобия основных свойств чисел Татаренко свойствам единственного, известного до этого момента числа Ф, числа Фидия или «золотого сечения», и объединения этих чисел в особый класс.


Числовые последовательности на базе чисел Татаренко.

Числа Татаренко в силу подобия их свойств свойствам числа Ф, позволяют сформировать числовые последовательности на основе каждого такого числа. В этом смысле последовательности Фибоначчи и Люка могут служить эталонами и технической основой. Эти последовательности различаются способом формирования.


Числовые последовательности типа последовательности Люка.

Последовательность Люка сформирована на базе округления очередного значения Фn до ближайшего целого числа по формуле:
Lnn+(-1)nФ-n (6)


Как последовательность, она имеет вид : 1,3,4,7, ….


Возьмем этот механизм формирования за основу и сформируем последовательности для некоторых чисел Татаренко.

Например, для числа T2 = 2,4142135 такая последовательность буде представлена так :

…2,6,14,34,82, ….

Подобным образом можно сформировать целочисленные последовательности для любого числа Тm. Остается нерешенным вопрос о формировании начала последовательности.


Числовые последовательности типа последовательности Фибоначчи.

Основное отличие этого типа последовательностей от последовательности Люка в механизме получения следующего члена последовательности из значений предыдущих. Механизм раскрыт в формуле:
Kn = Kn-1 + Kn-2 (7)

Механизм получения последовательностей для любого Tm должен быть подобен (7). Очередной член последовательности представляет собой сумму двух предыдущих,… но, в формуле должен быть учтен и модуль m числа Tm. Это можно сделать так:
Kmn = m K mn-1 +Kmn-2 (8)

Где: Km – член числовой последовательности на базе числа Tm.

m — модуль числа Tm.

Например, сформируем последовательность чисел от Т2 :


1, 2,5,12,29,60, ….


Вариации в начале последовательности, естественно, еще будут уточняться, и, поэтому, сформированная последовательность такого типа, не единственная для этого числа. Но, как пример, вполне показательна…


Счетные системы на базе чисел Татаренко.

Вполне естественным будет и здесь использовать давно разработанные аналоги для Ф – систем. Основными, для наших построений, можно взять систему Бергмана и коды Фибоначчи.


Начнем мы с полномасштабных систем типа системы Бергмана.


В качестве основания системы может быть использовано любое число Tm. В качестве основы для формирования счетной системы по канонам позиционного принципа изображения числа используется степенная функция:
Y = (Tm)n (9)

Число, как и в классических системах, будет суммой разрядных единиц. Максимальную емкость разряда в разрядных единицах таких систем определяет модуль m. Это необходимый эквивалент основания рациональных систем. Для числа T2 = 2,4142… каждый разряд имеет емкость 2 разрядных единицы.

Делаем счетную систему.

Первым шагом определяется величина разрядной единицы для каждого разряда системы:


1=1 = (T2)0

10= T2

100= (T2 )2 и т.д.

Теперь определяем механизм получения новой разрядной единицы при заполнении разрядов числа. В системе Бергмана действует механизм, названный А.П.Стаховым — «свертка – развертка».

Это :

100=011

Т.е. каждая новая разрядная единица формируется при заполнении двух соседних разрядов. Этот механизм справедлив для всех счетных систем на базе числа Ф. Он отражает и механизм формирования последовательности Фибоначчи по формуле (7). В таком случае механизм образования новой разрядной единицы для счетной системы на базе T2 = 2.4142…. будет иметь основой формулу (8). А операция преобразования числа «свертка – развертка» примет вид :

100 = 021


Остается только вывести общую формулу «свертки – развертки» для любого Тm:


100 = 0 m 1 (10)


Где m — модуль числа Татаренко, используемый в качестве показателя емкости разряда.


Теперь механизм действия счетной системы становится понятным. Можно показать первые числа натурального ряда в записи системы, например, Т2 :

1 =1

2= 2

Т2 =10

3= 10.0100010001… в периоде

4=11,010001000100…

5 = 12,010001…

2)2 = 100

6= 100,0000010001 …

7 =101,0000010001…

8 =102,0000010001…

9=110,1000000010…

10= 111,1000000010…


И т.д. Такое резкое появление и расширение дробной части числа при суммировании счетных единиц – характерная особенность таких счетных систем. Я не показываю самого преобразования, но он прост.

Интересно, что, например в числе 3 =10,01000… мы получили такой вид числа от переполнения нулевого разряда при операции 3 =2+1= 10,001000…

В системе Бергмана этот момент выражается в виде 2=1+1+10,1. Принцип разложения очередной счетной единицы по разрядам дробной части числа вместе с формированием новой разрядной единицы при переполнении разряда сложения – характерная особенность таких счетных систем. С увеличением основания участие дробной части в формировании числа только усиливается.

Эта особенность и диктовала когда-то необходимость использования в качестве основы для формирования счетной системы какой-либо числовой последовательности, например, последовательности Фибоначчи для отображения количества счетных единиц рациональным числом.

Можно использовать тот же путь для формирования системы представления числа по типу кодов Фибоначчи. За основу возьмем последовательность по m =2: 1,2,5,12,29,….

Все механизмы изменения и преобразования числа нам известны и можно приступать к формированию счетной системы:

1=1

2=10

3=11

4=20

5=100

6=101

7=110

8=111

9=120

10=200

11=201

12=1000 и т.д.

Примерно так идет счет. Эта система потому и названа системой представления числа, что она имеет «маленькие хитрости» организации счета. Например, в этой системе нулевой разряд имеет емкость наполнения только одну единицу. Это результат исключения дробной части из формирования числа. К сожалениию в подобных системах она отсутствует.


Заключение.


Я не даю больших выкладок в описываемом материале. Для этого будет другое время и другие возможности. И может быть, не у меня …

Не так это важно. Важно, что и формула и числа, предложенные А.А. Татаренко , позволяют существенно расширить математические горизонты, далеко за единственное когда-то в своем роде число Ф, известное с давних времен. Число Ф останется «золотым сечением» навечно, но, возможно, уже не уникальным числом, а только первым в ряду подобных.

***

15.10.2005г.


Никитин А.В. Взаимообратные числа и их применение // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12632, 25.11.2005

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru