Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Новые книги по Золотому сечению

Грант Аракелян
Математика и История золотого сечения. Часть II. Гл.5-6

Oб авторе

 

Часть I, гл. 1-4


Это вторая монография автора, целиком посвящённая золотому сечению и комплексу связанных с ним проблем. В первой части, вслед за обсуждением исходных положений, вопросов философско-методологического характера, различных определений золотого сечения и золотой константы ϕ, подробно, на основе общих принципов, рассматривается математическая теория золотого сечения и её возможные расширения. Отдельными главами представлены основания, геометрия, теоретико-числовой формализм и допустимые уровни обобщения. В четырёх главах второй части излагается история золотого сечения с древнейших времен до начала 70-х гг. прошлого века. Обширные выдержки из первоисточников дают возможность непосредственно заглянуть в творческую лабораторию причастных к истории золотого сечения таких выдающихся исследователей как Платон, Евклид, Фибоначчи, Пачоли, Леонардо да Винчи, Дюрер, Кеплер, Бине, Цейзинг, Фехнер, Люка, Клейн, Корбюзье, Дали. Немало здесь и российских авторов: Г. Гримм, Э. Розенов, Л. Сабанеев, П. Флоренский, А. Лосев, С. Эйзенштейн, Н. Воробьёв и другие Особняком стоит изложенная в шестой главе история пентаграммы, вводящая в таинственный мир эзотерических толкований, используемых в магический практике оккультных сообществ. Представлен обширный материал иллюстративного характера, большой список цитированной литературы, книга снабжена именным указателем.

Для всех, кто проявляет интерес к вопросам, связанным с идеей математической гармонии, к элементарной и высшей математике золотого сечения. В равной степени книга адресована читателям-гуманитариям, интересующимся прежде всего богатой и интригующей историей золотого сечения, включая ее эзотерическую составляющую.


 

Оглавление

Предисловие


Часть I

МАТЕМАТИКА ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ


Глава 1. Определения и общие положения

1. Геометрические построения

2. Алгебраическая форма

3. Вычисление и запись

4. Одинарный код

5. Определённый интеграл и бесконечные ряды

6. Тригонометрические и экспоненциальные представления

7.Квадратное уравнение

8. Линейная рекурсия второго порядка

9. Числа Фибоначчи и Люка

10. Треугольник Паскаля

11. О математической гармонии

12. Константа ϕ в математике

13. Геометрия золотого домена

14. Границы золотого домена


Глава 2. Геометрия ТЗС

1. Отрезки и фигуры

2. Парабола

3. Параболоид вращения

4. Логарифмическая спираль

5. Архимедовы спирали

6. Овалы Кассини, лемниската Бернулли

7. Синусоидальные спирали

8. Заполнение плоскости и фракталы

9. Трёхмерные тела

10. Платоновы, архимедовы и каталановы тела

11. Правильные звёздчатые многогранники


Глава 3. Tеоретико-числовой формализм ТЗС

1. Определения константы ϕ и некоторые её свойства

2. Числа Фибоначчи и Люка: основные характеристики и свойства

3. Соотношения между золотой константой, числами Фибоначчи и Люка

4. Числа Фибоначчи и Люка, золотая константа и ФМК

5. Производящие функции для {Fn} и {Ln}

6. Полиномы Фибоначчи, Люка и Чебышева

7. Гиперболические формы золотой константы

8. Глобальные и гиперболические аттракторы

9. Закон Бенфорда

10. Числа Фибоначчи и феномен первого знака

11. Треугольник Паскаля

12. Метод ЗС и задача из физики

13. Золотые р-сечения

14. Золотые подмножества квадратных уравнений


Глава 4. Обобщения и возможные расширения ТЗС

1. Вводные замечания

2. Элементы теории в кратком перечислении

3. С чего начинается теория

4. Свойства семейства констант ϕm

5.Теория ЛМФ и семейство чисел ϕmk

6.Экспонента, периоды и закон Бенфорда

7.Обобщённый закон Бенфорда

8. Константа да Винчи. Восьмиугольник в архитектуре

9. Фигурные числа. Золото семиугольных чисел

10. Золотоносные бесконечные суммы

11. Тонкие связи между константами ϕ и ϕ2

12. Третий уровень обобщения ТЗС

13.Итоги


Часть II

ИСТОРИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ


Глава 5. С древнейших времён до Кеплера

1. Начало

2. Космология Платона

3. Геометрия Евклида

4. Фибоначчи и Пингала

5. Лука Пачоли

6. Леонардо да Винчи. Восьмиугольник в архитектуре

7. Витрувианский человек

8. Альбрехт Дюрер

9. Иоганн Кеплер


Глава 6. История пентаграммы

1. Античный период и Средние века

2. Пентаграмма масонов и мартинистов

3. Новое время и современность

4. Фигуры в пентаграмме и перевёрнутая звезда

5. Пентаграмма, Бафомет и карты Таро

6. Утренняя звезда и пентаграмма на небе

7. Анализ и выводы

Приложение. Пентаграмма в рисунках


Глава 7. С XVII века до начала XX века

1. Адольф Цейзинг

2. Густав Фехнер

3. Филлотаксис

4. Феликс Клейн и икосаэдр

5. Додекаэдр и икосаэдр

6. Додекаэдр и икосаэдр: живая природа

7. Герман Гримм

8. Теодор Кук

9. Язык математики и Д’Арси Томпсон

10. Джей Хэмбидж

11. Лейси Каски

12. Золотые вехи и знаковые события. Эдуард Люка


Глава 8. До начала 70-х годов XX века

1. Волновой принцип Эллиотта

2. Генрих Тимердинг 315

3. Модулор Ле Корбюзье

4. Эмилий Розенов

5. Леонид Сабанеев

6. Павел Флоренский

7. Алексей Лосев

8. Сергей Эйзенштейн

9. Сальвадор Дали

10. Николай Воробьёв

11. Бергман, Цекендорф и юпана инков

12. Вернер Хоггатт и Альфред Бруссo

13. Матиясевич и 10-я проблема Гильберта

14. Золотоискатели

15. Портретная галерея


Заключение

Именной указатель

Литература

Список рисунков, таблиц и графиков


История золотого сечения, как и всего к нему относящегося, полна неожиданностей, недосказанности и неоднозначно оцениваемых фактов. В Части I настоящей работы основное внимание уделено математической стороне вопроса и вскользь упомянуты только те природные явления и факты, причастность которых золотому сечению не вызывает серьезных сомнений. Придерживаясь этого правила, делая основной упор на исследования математического характера, мы стараемся избежать недостаточно надёжно установленных сведений, что не всегда просто и бесспорно. Важно поэтому уточнить, что в узком смысле под математической теорией ЗС подразумеваются соотносимые с золотой константой геометрические построения и главным образом числовые конструкции, включая последовательности Фибоначчи и Люка, непосредственно связанные с ϕ , его гомологами и производными. Это то, что в Части I было названо “золотым доменом”, а излагаемая ниже история ЗС охватывает, за крайне редким исключением, только тот достаточно богатый, извлекаемый из глубин веков материал, который может быть отнесён к данному кругу вопросов. Можно, конечно, при желании говорить и об истории, хотя бы и недолгой, обобщений теории золотого сечения, или отдельных её фрагментов, сохраняющих фундаментальные характеристики принципа золотого сечения, понимаемого как согласованный набор определённых требований, формальных правил и аналитических отношений, но это уже тема другой работы. В любом случае, демаркация границ исследования – задача не всегда простая, часто оставляющая место для сомнений и альтернативных вариантов. Субъективный фактор, какой бы объективностью он не прикрывался, можно обнаружить практически в каждой работе, где перед автором стоит вопрос тщательно продуманного выбора наиболее подходящего для данной работы материала. Подобная селекция тем более сложна тогда, когда имеешь дело с историей научно-культурного феномена, растянутой на тысячелетия и допускающей различные оценки и толкования.

Oтметим, что Часть II не является попыткой полного, цельного и последовательного изложения истории ЗС. Это скорее исторический очерк, нечто вроде серии зарисовок, с презентацией важнейших и относящихся (по принятому и, понятно, с точки зрения автора) к ЗС исторических документов и ограниченного числа произведений искусства. Здесь, естественно, на первом плане щедро цитируемые первоисточники, расположенные в хронологической последовательности, по дате рождения автора, от эпохи античности до начала семидесятых годов прошлого века. Что касается последнего сорокалетия, то это эпоха бурного всплеска интереса к ЗС, сопровождаемая с одной стороны серьёзными математическими исследованиями и расширением ареала их применения, с другой – многочисленными спекуляциями и порой болезненными симптомами “золотой лихорадки”. Относительно краткой презентацией здесь уже не обойтись, к тому же исследования этого периода частично рассмотрены в первой части, с указанием наиболее капитальных современных монографий и сайтов по ЗС. Некоторые из рассмотренных в Части I вопросов представлены ниже в контексте истории. А самый громкий голос из прошлого –имеющиеся исторические свидетельства и прежде всего сохранившиеся документы, тексты (выделенные в работе золотистым цветом и без кавычек) нередко настолько красноречивы, так убедительно говорят сами за себя, что не особенно нуждаются в пояснениях и комментариях, которыми мы вообще старались не злоупотреблять.


1. Начало

Начиная с традиционного история золотого сечения уходит вглубь веков, следует сразу признать, что никто толком не знает, насколько “вглубь” и куда именно. В Египет, Вавилон, Индию, Китай? А может к ещё более древним шумерам? Ведь в принципе для деления отрезка в крайнем и среднем отношении, как и других построений, включая второе золотое сечение, необязательно даже приблизительное знание соответствующих числовых величин – золотой константы и её производных. Ответа нет. Приходится поэтому вести отсчёт с наиболее древнего и документированного из дошедших до нас свидетельств. Хотя и здесь не всё предельно ясно, поскольку хронологически первичная и загадочная фраза из Истории [Геродот] допускает различные прочтения.


Полный текст доступен в формате PDF (24847Кб)


Грант Аракелян, Математика и История золотого сечения. Часть II. Гл.5-6 // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.22563, 01.10.2016

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru