Настоящей публикацией представляем вашему вниманию Часть 1

Часть 1.
«Золотое сечение, числа Фибоначчи и Платоновы тела в истории науки и культуры»

Как известно, количество иррациональных (несоизмеримых) чисел бесконечно. Однако, некоторые из них занимают особое место в истории математики, науки и культуры. Их значение состоит в том, что они выражают некоторые отношения, имеющие универсальный характер и обнаруживающиеся в самых неожиданных местах.

Первое из них – это иррациональное число √2, равное отношению диагонали к стороне квадрата. С этим числом связано открытие «несоизмеримых отрезков» и история наиболее драматичного периода в античной математике, который привел к разработке теории иррациональностей и иррациональных чисел и в конечном итоге – к созданию современной «непрерывной» математики.

Следующие два иррациональных (трансцендентных) числа – это число π, выражающее отношение длины окружности к диаметру и лежащее в основе тригонометрических функций, и «неперово» число e, которое лежит в основе гиперболических функций и является основанием натуральных логарифмов. Между π и e, то есть, «между двумя числами, господствующими над анализом», существует следующее изящное соотношение, выведенное Эйлером:

1+ e^iπ =0,

где i = √-1 - мнимая единица, еще одно удивительное творение математического разума.

Еще одно знаменитое иррациональное число – это «золотая пропорция» Ф = (1+√5)/2, которая возникает как результат решения геометрической задачи о «делении отрезка в крайнем и среднем отношении». Эта задача описана в Книге II «Начал» Евклида – самого знаменитого математического сочинения античной математики.

В Предисловии мы уже упоминали о высказывании гениального немецкого астронома Иоганна Кеплера, который назвал эту задачу одним из «сокровищ геометрии» и поставил ее на один уровень с «теоремой Пифагора». А выдающийся советский философ Алексей Лосев, исследователь эстетики античности и Возрождения, в своем высказывании, приведенном в Предисловии, утверждает, что «с точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления - золотого сечения».

А вот еще выдержка из книги Анхеля де Куатье «Золотое сечение»:

«О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой — 1.6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он — мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен. «Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна».

С «золотой пропорцией» тесно связаны числа Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13, введенные в 13 в. знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы (Фибоначчи) при решении «задачи о размножении кроликов». Глубокая математическая связь между числами Фибоначчи и «золотой пропорцией» состоит в том, что отношение соседних чисел Фибоначчи в пределе стремится к «золотой пропорции», откуда вытекает, что эта числовая последовательность также выражает гармонию.

Одним из высоко гармоничных объектов математики считается так называемый треугольник Паскаля – специальная таблица расположения биномиальных коэффициентов, предложенная в 17 в. выдающимся французским математиком и физиком Блезом Паскалем. Во второй половине 20 в. известный американский математик Джордж Пойа в своей книге «Математическое открытие» [66] обнаружил связь чисел Фибоначчи с так называемыми диагональными суммами треугольника Паскаля. Развитие этих идей привело к обобщению «задачи о размножении кроликов» и введению так называемых р-чисел Фибоначчи [9].

Правильные многогранники, называемые Платоновыми телами, являются такими же эстетичными объектами математики, как и золотое сечение или треугольник Паскаля. В древнегреческой науке они ассоциировались с гармонией Мироздания. Платон использовал их в своей космологии и теории строения материи. Евклид, который был последователем Платона, поставил главной задачей своих «Начал» задачу создания завершенной теории Платоновых тел. Он же первым установил связь «золотого сечения» с двумя Платоновыми телами – додекаэдром и икосаэдром.

Изложению теории этих исключительно красивых математических объектов, интерес к которым не увядает на пртяжении столетий и даже тысячелетий, и посвящена часть 1 настоящей книги. Часть 1 состоит из 4-х глав.

Глава 1 «Золотое сечение в истории науки и культуры» начинается с анализа сенсационной гипотезы – гипотезы Прокла, которая переворачивает наши представления о «Началах» Евклида и всей истории происхождения математики. Согласно этой гипотезе «Начала» Евклида создавались под мощным влиянием «идеи Гармонии», которая лежала в основе древнегреческой науки. И главной целью «Начал» было создание завершенной геометрической теории Платоновых тел. Эта теория изложена Евклидом в заключительной (XIII-й) книге. Именно с этой целью Евклид уже в Книге II вводит задачу о «делении отрезка в крайнем и среднем отношении», которая в современной науке называется «золотым сечением». В главе рассматриваются: геометрический способ построения «золотого сечения», алгебраическое уравнение «золотого сечения», наиболее известные алгебраические тождества для «золотого сечения», а также геометрические фигуры, связанные с «золотым сечением» («золотые» треугольники, пентагон и пентаграмма, «золотой» эллипс, декагон и др.). Глава завершается примерами использования «золотого сечения» в произведениях искусства и культуры (пирамида Хеопса, искусство Древней Греции и эпохи Возрождения).

Глава 2 является популярным введением в «теорию чисел Фибоначчи и Люка», которая активно начала развивалаться во второй половине 20 в. в трудах советских и западных математиков [2-4]. В главе приводятся малоизвестные результаты и приложения чисел Фибоначчи и Люка, такие, как Q-матрицы Фибоначчи, «Железная Таблица» Штейнхауза, связь чисел Фибоначчи с «пифагоровыми треугольниками», нумерологические свойства чисел Фибоначчи и Люка. Приводятся примеры приложений чисел Фибоначчи в природе (пентагональная симметрия, спираль Фибоначчи, явление филлотаксиса). В заключение приводится сенсационная информация об использовании новейших достижений в области «теории чисел Фибоначчи» (Н.Н. Воробьев) для решения одной из сложнейших математических проблем – 10-й проблемы Гильберта. Эта проблема была решена в 1970 г. молодым советским математиком Юрием Матиясевичем.

В главе 3 изложена оригинальная «теория р-чисел Фибоначчи», которые были введены в работах автора настоящей книги в середине 60-х годов 20 в. Основы этой теории были изложены автором в книге [9]. Показана связь р-чисел Фибоначчи с треугольником Паскаля и биномиальными коэффициентами и выведена общая формула, задающая представление любого р-числа Фибоначчи в виде суммы биномиальных коэффициентов. В главе дано обобщение задачи о золотом сечении [55] и введено важное понятие «золотой р-пропорции», которая является положительным корнем алгебраического уравнения золотой р-пропорции. С использованием формул Виета рассмотрены свойства корней этого алгебраического уравнения и выведены обобщенные формулы Бине для р-чисел Фибоначчи и Люка. В главе излагается теория обобщенных матриц Фибоначчи, названных Q_p-матрицами Фибоначчи. Выведены формулы для детерминантов этих матриц и предложен способ получения обратных Q_p - матриц Фибоначчи. Изложен обобщенный принцип золотого сечения, основанный на понятии золотой р-пропорции. В заключении изложены основы «закона структурной гармонии систем», сформулированного белорусским философом Эдуардом Сороко в 1984 г. [13].

Глава 4 посвящена введению в теорию и приложения Платоновых тел, которые лежат в основе «космологии Платона». В главе приводится много интересной информации, касающейся Платоновых тел и других многогранников. В частности, рассматривается связь додекаэдра и икосаэдра с «золотым сечением». Рассматривается архимедовый усеченный икосаэдр и звездчатые многогранники. Излагается оригинальная гипотеза о происхождении Египетского календаря, основанная на додекаэдре. Рассматриваются приложения Платоновых тел в истории науки, в частности, использование Платоновых тел при создании «Космического кубка» - оригинальной геометрической модели Солнечной системы, разработанной Иоганном Кеплером. Рассматривается предложенная Феликсом Клейном концепция икосаэдра как главного геометрического объекта математики. Рассматриваются примеры использования правильных многогранников в искусстве. В заключение главы рассматриваются наиболее важные приложения правильных и полуправильных многогранников в современной науке. Среди них – квазикристаллы (Нобелевская Премия по химии - 2011) и фуллерены (Нобелевская Премия по химии - 1996).

формате PDF (8315Кб)