Еще древним был известен закон гармонии, выраженный в бесконечном ряде чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., задающем пропорцию «золотого сечения» (1:1,618 или 0,618:1) и названном в наше время ряд Фибоначчи. В соответствии с этой гармонией строятся и развиваются системы Природы, в том числе все живое. Они, как часть всеобщего, повторяют гармонию Первоначальной Реализации: 1-1-2-3. Эта последовательность отражает Самораскрытие, именно 1-1-2-3, а не 1-2-3. В Первопроявлении закон «1-1-2-3» устанавливался Единым, Неразделенным, и потому не из отдельных слагаемых, а каждый раз как новая сумма тех же составляющих. Здесь важно начало цепочки, эта связка «1-1» и факт проявления Первичной Триады. Любовь Бога безусловна, но не слепа… Родитель остается Родителем, остается Личностью.

«Как сверху, так и снизу». Всё устроено на «равенстве, сходстве и порядке»…

Много раз приходилось слышать о задаче Фибоначчи. Нашел я ее в Интернет. И вот – общая и короткая формулировка «Задачи о размножении кроликов». «Как будет увеличиваться численность кроликов, если каждая пара становится способной к размножению через 1 месяц после рождения и приносит по одной паре 1 раз в месяц».

Давайте сравним в нижних таблицах этот процесс и процесс «постоянного размножения» «Постоянное размножение» (правая таблица) – это когда нет паузы на развитие новой пары; она приступает к размножению сразу, так сказать «не задумываясь».

В чем разница этих 2-х процессов?!

Процесс правой таблицы — это деление отдельных клеток без целевой функции, без управления генетическим кодом, некая механическая цепная реакция. Это процесс, когда актом размножения пропадает Родитель; у него нет истории, он только звено. Родитель, уравниваясь, выпадает из иерархической структуры, потому что не имеет самостоятельного становления. Родителя нет, Родитель теряется в 2-х новых объектах. Это процесс обезличенности.

В процессе левой таблицы есть наследование, есть Родитель. Это и есть начало «1-1». Ряд Фибоначчи получается за счет «паузы», становления, созревания… Фаза роста – это когда включается (может включаться) специфика конкретного развития, когда строится разнообразие организма, функциональное и структурное, когда строится целое из индивидуальных частей. Фаза «самостоятельного определения» — это «пауза», когда работает верхнее управление, работает общий генетический код. В этом отличие живого, от неживого. Это – системный мета-смысл, мета-значение ряда, известного как Фибоначчи.

Наличие и личности, и общего смысла – это общий природный, системный онтологический принцип. Это так для любых сообществ, организмов: и биологических, и социальных. Ряд «1-1-2-3» узаконивает для существующего «родительский принцип». И этот «родительский ряд» указывает на то, что содержимое (сущее) каждого нового шага вмещает предыдущее; и вместе с тем – это новое существование, и новое содержание частей…

В общем случае размножение живого происходит, как известно, по показательной функции (по экспоненте). Это можно увидеть даже в графическом образе заполненных ячеек верхних таблиц (возьмите строки и столбцы, как координаты). В правой таблице более крутая экспонента, она в точности соответствует y=2^x. Можно предположить, что экспонента левой таблицы развивается по y=j ₂^x. А как на самом деле? То есть, какой показательной функцией можно аппроксимировать «родительский ряд»?

Введем следующие обозначения: и .

В нижней таблице представлены эти значения (с точностью до 7-го знака).

В каждом столбце (при каждом «i») вместе с уходящим в бесконечность значением «n» табличные значения будут стремиться к некоторой предельной своей величине, все ближе и ближе колеблясь вокруг нее, на каждом шаге «n» то превышая его, то не достигая.

В таблице видны следующие закономерности:

И сам процесс, и формулы заставляют вспомнить взаимоотношения степенных значений над «j ₂» и «j ₁». Вспомним для сравнения и аналогии. Основной аддитивный «1-1-2-3», сумма членов которого через один дает средний член его дополнительного ряда, умноженный на «5», имеет формулу для своих i-тых членов:

.

Дополнительный (см. ниже) ему ряд «1-3-4-7», сумма членов которого через один дает средний член основного ряда, имеет формулу для своих i-тых членов:

.

Значения таблицы можно проиллюстрировать следующим графиком:

Показательная функция «j ₂ⁿ» всегда отстает от значений «F_n-2» в 1,17… раз. Это самые близкие линии. Но и для любых «i» при k>j ₂ экспонента где-то пересечет снизу вверх линию значений родительского ряда. При k<j ₂ экспонента будет отставать все больше и больше...

Число «1,17…» есть обратная величина к «j _1t ²»… Видя значения таблицы и графика можно сказать, что значения родительского ряда колеблются вокруг экспоненты:

или . Можно также записать следующую зависимость: .

Эти соотношения и есть ответ на вопрос об экспоненте «родительского ряда».

В теме «родительского ряда» можно увидеть интересное продолжение. Есть в алгебре объект, который напоминает спираль. Если соответствующие параметры в уровнях этого объекта одинаковы, то объект «своим поведением», развитием имеет аналогию в логарифмической спирали, бесконечно уходящей в центр и в то же время имеющей конечную длину. Речь идет о цепных (или непрерывных) дробях. О дробях с бесконечно углубляющимся знаменателем, которые выражают в пределе некоторые иррациональные числа.

Обычно, когда ее строят, в числителе задаются некоторым целым числом, а знаменатель подбирают, как сумму целого числа, дающего отдельно с числителем ближайшее большее верхнего числа, и второго слагаемого из следующего иррационального числа, которое также разлагают, как и выше. На каждом шаге углубления мы как бы переворачиваем дробь предыдущего уровня, задаваясь определенным целым числителем. То есть углубление в цепных дробях – это движение по временным «кочкам» взаимообратных величин (исчезающим лишь только сойдешь с нее). Мы не видим этих величин, но они незримо задают процесс. Чтобы как-то их «уловить», назовем соседние по уровню вложения дроби – «пост-обратные».

Вот пример конечной цепной дроби для периодического иррационального числа:

А это бесконечное разложение Эйлера числа «e»:

К сожалению, последовательность чисел из аддитивного ряда в подобной цепной дроби ничего особенно интересного не дала…

Давайте-ка представим формирование цепной дроби (c<1) следующим образом:

Введем для любого уровня такое обозначение:

, где d _i=a _i/b _i, причем a _i=b _{i-1- b i}, а b _i=a _i-1.

И теперь продолжим разложение в таблице «Общего алгоритма оформления простых цепных дробей».

Итак, чередование пост-обратных величин в цепной дроби связано с «родительским рядом». Ему соответствуют все числа таблицы. А жирные числа являются членами ряда по одному индексу «i». То есть пост-дробь каждого уровня «d _i» формируется такой схемой: . Это общее выражении будет не схематичным, а точным, если перед каждым членом «родительского ряда» проставить выражения для определения чередующихся знаков:«-(-1)ⁿ». Это не сделано, чтобы не утяжелять восприятие основного смысла. А правило простое: нечетный член «родительского ряда» идет с «+», а четный – с «–».

Вообще, в таблице представлен процесс, когда каждая внутренняя дробь d _i<1, и тогда k_i+1=1. Но когда b _i-1>2b _i, тогда . И тогда сделается k_i+1>1 с восстановлением d _i+1<1 …

Эта таблица отображает также процесс, когда в уровнях N_i=1. При желании можно сделать N_i>1. Кратное увеличение N_i (то есть a _i) означает кратное увеличение b _i, которое передается на этапе «i+1» в числитель внутренней дроби этого этапа. «Табличные отношения» при этом просто переводятся на этапе «i+1» в другой «родительский ряд»…

Сравните с исходной «иллюстрацией формирования цепной дроби» иллюстрацию этой ситуации:

Или так на другом этапе:

Среди цепных дробей есть интересная группа, связанная со значениями «родительского ряда» «1-3-4-7-11-18-29-», имеющего формулу: . Эти числа через один образуют последовательность цепных дробей:

и дальше по нечётным степеням и соответствующим значениям ряда

Для полноты приведем формулу для членов ряда «1-3-4-7», участвующих в бесконечных дробях для j ₁ и j ₂ в нечетной степени: . Эти выборочные члены ряда образуют как бы свой ряд. И в нем тоже главными (имеющими определенное значение) являются первые 4 члена: 1, 4, 11, 29, – для соответствующих j₁¹, j₁³, j₁⁵ и j₁⁷. Кстати, именно эти значения ряда мы встречаем в вариантах разложения в цепную дробь знаменитого tg4e =[0,376068], которое приведено выше.

Напомню, что такое этот угол «e» (обозначения в фигурных скобках – это «arctg»):

Это угол-дельта, формирующий все 4 внутренних угла во вписано-описанном квадрате по формуле u_i = u₀ + i_*{j ₁⁵}° при системных значениях «i»: 3, 5, 6, 7.

У каждого ВО-прямоугольника свой «e» , своя линейка углов по формуле общего вида, свои 4 внутренних угла. Вот их формулы (подробнее – см. текст «ВО-прямоугольники, трансцендентный квадрат и пропорции человека»): 3u₀+17e =90° и 2u_i+u_i+n=90°; и 4 основных угла линеек углов «ВО-прямоугольников»:u_i = u₀ + iЧ e. Любой (в т.ч. трансцендентный) угол (в принципе — в любом диапазоне, но достаточно и прежде всего – в диапазоне 0° ё 90°) обязательно образует 90° в паре со своим «e ». Любой угол имеет в своей системной линейке (и не одной!) парный угол, дающий в сумме 90°. Сумма индексов этих углов (3i+n) должна равняться 17: 3i+n=17 …

Но вернемся к цепным дробям. Первая цепная дробь из верхней последовательности давно известна и задает Золотую пропорцию «j ₁». А вот Э.М.Сороко ставит задачу разложения в цепные дроби обобщенных золотых сечений (ОЗС), тех уже знаменитых корней «континуумного уравнения» xⁿ+x=1: 0,682… (n=3), 0,724… (n=4), 0,754… (n=5) и т.д. И это действительно очень, очень интересно…

И закончим эту тему, вспомнив, как отражаются в цепных дробях квадратные уравнения. Мне известно пока то, что структура простого квадратного уравнения x²—bx—c=0 сразу задает свое решение, один из своих корней: .
Как видим, здесь знаки уравнения меняются на противоположные. Для полного квадратного уравнения ax²—bx—c=0 тогда можно записать: . Здесь может образоваться структурное дерево из цепных дробей… Корни других (неквадратных) уравнений не имеют выражение корней в таких обобщенных формах цепной дроби из параметров самого уравнения.

Квадратные уравнения (и вообще, 2 взаимообратных действия: «квадратные корни» и «квадраты выражений») оказываются взаимосвязаны через многие отношения, свойства с «родительским рядом» и «Золотой пропорцией». Продолжение этой темы можно увидеть в тексте «О среднем геометрическом».

Параметры многих системгармонизируются по среднему геометрическому. Отношения Золотой пропорции реализуются в геометрической прогрессии. Именно этим она отвечает многим природным отношениям. Средне-геометрическое соотношение: Ц ab=1 или a=1/b, - является исходным. Дополняясь (конкретизируясь) отношением «a–b=1» эта прогрессия становится уникальной, Золотой.

И вот, пройдя по порядку, возвращаемся к аддитивным рядам.

Родительский ряд не основан на свойствах чисто арифметической или геометрической прогрессии, но он содержит их правила:

1. правило суммирования и

2. правило наличия коэффициента (пусть и в пределе).

Его суммирование — не одной величины, а каждый раз предыдущей новой. А в этом то как раз и есть переход от сложения к умножению (так как предыдущие суммируемые величины повторяются несколько раз). И в результате ряд стремится (с двух сторон: большей и меньшей) к одному коэффициенту между своими членами (как коэффициенту геометрической прогрессии) – к Золотой пропорции. Родительский ряд является как бы промежуточным между арифметической и геометрической прогрессией. Он как бы соединяет 2 прогрессии. В том числе и в этом — уникальность его свойств.

И в заключение обратимся к некоторым, так сказать, «онтологическим» свойствам «родительского ряда». Мне известно пока два свойства такого уровня.

«Свойство дополнительности». То есть то, что любой «Родительский ряд» имеет пару, являясь в этой паре или основным, или дополнительным.

Для любых пар рядов можно записать следующие выражения для взаимоотношений их членов: дополнительный ряд , основной ряд .

Отсюда, кстати, мы сможем определить правила начала «Родительских рядов». Условимся, что начало – это 1-ый член; и есть еще – «нулевой», далее которого идет «обратный ряд».

Сначала – триединое условие для основных и дополнительных рядов.

1. В основном ряду сумма 2-х членов через один не кратна «5».

2. В дополнительном ряду сумма 2-х членов через один кратна «5».

3. Члены пары основного и дополнительного рядов располагаются по отношению друг друга так, что выполняются 2 приведенных выше соотношения.

Для пары основного и дополнительного рядов имеются следующие свойства-следствия:

1. Основной ряд всегда начинается с меньшего члена (или равного второму).

2. Члены рядов за «нулевым членом» (в обратном ряду) имеют переменные знаки. У соответствующих членов основного и дополнительного рядов они – разные.

3. Сумма основного и дополнительного ряда дает удвоенный основной ряд, сдвинутый к началу на один член.

4. Все ряды, начинающиеся с «1» — основные, кроме рядов «1-3-4-7» и «1-8-9-17» (о последнем — см. ниже). Это единственные исключения, связанные с тем, что им соответствуют более «сильные» (онтологические) ряды: «1-1-2-3» и «2-5-7-12»!...

5. Кратные ряды являются такими же в своей паре, как и исходный им.

По этим правилам ряд «1-8-9-17» начинается на самом деле не с «1», а с «8». Вот где заявило о себе императивно и абсолютно верно «триединое правило начала родительских рядов».

Но вообще, чем можно объяснить, что основным в этой паре является ряд, начинающийся не с «1», как в других парах? Ряд «1-8-9-17» ничем не выделяется, а ряд «2-5-7-12» — главный «музыкальный ряд» (см. «Гармония звуков,…»). Объяснить это можно только тем, что ряд «2-5-7-12» имеет б’ольшую «сущностную силу», б’ольшее онтологическое значение. А иначе – нечем…

Есть несколько моментов, которые говорят о том, что ряд «1-1-2-3» - это ряд рядов. Сходу могу назвать два: через него выражаются члены всех других рядов, есть формула; и он единственный отличается от других в своей обратной части. И он же участвует во всех основных формулах с аддитивными рядами. Но и здесь он - единственный, который имеет дополнительный ряд, начинающийся с «1»…

Поражают отношения, возникающие в просто числах.

Свойство целостности.

Свойство отношений «F_n», «j ₁ⁿ» и «1», формула отношений «Родительского ряда» и «Золотой пропорции» в рамках целостности, то есть «1-цы». Здесь выражена гармония 2-х соседних пар. Словами это можно выразить так: сумма 2-х произведений из члена «родительского ряда» и значения j ₁ в степени соседнего порядкового номера члена ряда, обменивающихся номерами в слагаемых есть «1».

Этой красивой формулой и закончим наш виток: