Отзыв академика Ю.А. Митропольского
о научном направлении украинского ученого
доктора технических наук, профессора
Алексея Петровича Стахова

Я слежу за научным творчеством проф. Стахова очень давно, наверное, с момента публикации его первой книги «Введение в алгоритмическую теорию измерения» (1977), которая была представлена ее автором в 1979 г. на научном семинаре Института математики Академии наук Украины. Но особенно мой интерес к научным исследованиям проф. Стахова повысился после его блестящего выступления в 1989 г. на заседании Президиума Академии наук Украины, в котором проф. Стаховым доложил о научных и инженерных разработках в области «компьютеров Фибоначчи», выполненных под его научным руководством в Винницком политехническом институте.

Я достаточно хорошо знаком с научными работами проф. Стахова, потому что благодаря моим рекомендациям многие из его статьей были опубликованы в украинских академических журналах, в таких, как «Доклады Академии наук Украины» и «Украинский математический журнал». В апреле 1998 г. по моей инициативе профессор Стахов выступил с обширным докладом по своему научному направлению на заседании Украинского математического общества, и этот доклад вызвал весьма положительную реакцию членов математического общества. По просьбе проф. Стахова я написал «Вступительное слово» к его небольшой книге «Математика живой природы: гиперболические функции Фибоначчи и Люка», опубликованной в 2003 г. небольшим тиражом. В последние годы вплоть до отъезда проф. Стахова в Канаду в начале 2004 г. мы поддерживали активные творческие контакты, часто встречались. В процессе этих встреч я сумел убедиться в высокой научной квалификации проф. Стахова и его обширных познаниях в различных областях современной науки, в частности, я был удивлен его прекрасными познаниями в области истории математики. Проф. Стахов подарил мне свои последние книги, в частности, манускрипт книги «Новый тип элементарной математики и компьютерной науки, основанных на Золотом Сечении» (до сих пор, к сожалению, не опубликованной) и свою автобиографическую книгу «Под знаком Золотого Сечения: Исповедь сына студбатовца» (2003). Так что все это дает мне полное основание высказать достаточно квалифицированное мнение о научном творчестве проф. Стахова.

Основная особенность научного творчества А.П. Стахова состоит в необычном взгляде на ряд старинных математических задач. Начну с книги «Введение в алгоритмическую теорию измерения» (1977). Благодаря этой книге проф. Стахов стал признанным ученым в области современной теоретической метрологии. Для современной математики важно, что в этой книге изложено новое математическое направление в теории измерения – алгоритмическая теория измерения, которая является первой оригинальной математической теорией, созданной проф. Стаховым. Эта теория берет свое начало в старинной математической задаче «О выборе наилучшей системы гирь», сформулированной известным итальянским математиком Фибоначчи еще в 13 в. И с 13-го века об этой задаче мало кто вспоминал. Проф. Стахов обнаружил в этой задаче одну особенность, которую не увидел Фибоначчи. Он назвал эту особенность, это новое свойство измерения «Принципом асимметрии измерения». Введя этот принцип в «задачу о гирях», А.П. Стахов пришел к ее широкому обобщению. «Алгоритмическая теории измерения», которая вытекает из этого обобщения, была положена в основу его докторской диссертации «Синтез оптимальных алгоритмов аналого-цифрового преобразования», которая, кстати, была защищена А.П. Стаховым в возрасте 32 года (!).

Первой статьей А.П. Стахова, которую я рекомендовал для публикации в журнале «Доклады Академии наук Украины»(1993, №7), была статья «Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи» (авторы А.П. Стахов и И.С. Ткаченко). В статье была изложена теория нового класса гиперболических функций – гиперболических функций Фибоначчи и Люка. Эта статья еще раз показала оригинальный характер научного мышления проф. Стахова. Действительно, классические гиперболические функции широко известны. Они были положены Н.И. Лобачевским в основу его не-Евклидовой геометрии. И вот в конце 20-го века украинские ученые Стахов и Ткаченко открывают новый класс гиперболических функций, основанных на Золотом Сечении, числах Фибоначчи и Люка! И эти функции могут привести в перспективе к созданию геометрии Лобачевского-Стахова-Ткаченко, в которой ее основные математические соотношения будут описываться с помощью нового класса гиперболических функций. Уже этого примера достаточно, чтобы убедиться в том, что новый класс гиперболических функций имеет «стратегическое» значение для развития современной математики и теоретической физики.

В 1999 г. согласно моей рекомендации в журнале «Доклады Академии наук Украины» (1999, № 9) была опубликована статья А.П. Стахова «A generalization of the Fibonacci Q-matrix» (статья представлена автором на английском языке). В этой статье проф. Стахов обобщает и развивает теорию Q-матрицы, разработанную американским ученым Вернером Хоггатом, создателем американской Фибоначчи-Ассоциации. Стахов вводит понятие Q_р-матриц (р=0, 1, 2, 3,...), под которыми понимается новый класс квадратных матриц (число таких матриц бесконечно), задаваемый с помощью так называемых р-чисел Фибоначчи (еще одного математического открытия проф. Стахова, к которому он пришел, исследуя «диагональные суммы» треугольника Паскаля). Стахов доказывает ряд весьма необычных свойств введенных им Q_р-матриц. В частности он показывает, что детерминант Q_р-матрицы и любой ее степени равен либо +1 либо -1. У меня нет сомнения, что теорию Q_р-матриц можно, без сомнения, отнести к разряду классических результатов теории матриц и эта теория в ближайшее время войдет в учебники по теории матриц.

В 2004 г. «Украинский математический журнал» (№ 8) опубликовал статью А.П. Стахова «Обобщенные Золотые Сечения и новый подход к геометрическому определению числа». В этой статье проф. Стаховым получено ряд математических результатов фундаментального характера, к числу которых относятся:

(1) Обобщение задачи о Золотом Сечении. Суть этого обобщения предельно проста. Если задаться неотрицательным целым числом р=0, 1, 2, 3,... и разделить отрезок АВ точкой С в такой пропорции, чтобы было:

то мы приходим к алгебраическому уравнению

x^p+1 = x^p + 1,

корни которого называются обобщенными Золотыми Пропорциями или Золотыми р-пропорциями t _p. Давайте вдумаемся в этот результат. В течение нескольких тысячелетий, начиная с Пифагора и Платона, человечество пользовалось широко известным классическим Золотым Сечением, которое считалось единственным, уникальным и неповторимым. И вот в конце 20-го века украинский ученый Стахов обобщает эту задачу и доказывает существование бесконечного числа Золотых Сечений! И все они имеют такое же право на существовние, как и классическое Золотое Сечение. Более того, Стахов показывает, что Золотые р-пропорции t _p (1Ј t _p Ј 2) представляют собой новый класс иррациональных чисел, которые выражают некоторые неизвестные нам до этого математические свойства треугольника Паскаля. Ясно, что такой математический результат имеет фундаментальное значение для развития современной науки и математики.

(2) Коды Золотой р-пропорции. Используя понятие Золотой р-пропорции, Стахов затем вводит новое определение действительного числа в виде:

(a_iО {0,1}),

которое он назвал «Кодом Золотой р-пропорции». Стахов показывает, что это понятие, которое является развитием известного «Ньютоновского определения» действительного числа, может быть положено в основу новой теории действительных чисел. Далее он показывает, что этот результат имеет важное прикладное значение и может привести к созданию принципиально новой компьютерной арифметики и новых компьютеров, компьютеров Фибоначчи. И Стахов не только провозглашает идею «компьютеров Фибоначчи», но и возглавляет и организует инженерные проекты по созданию таких компьютеров в Виницком политехническом институте (1977-1995). 65 зарубежных патентов на изобретения в области «компьютеров Фибоначчи», выданных государственными патентными ведомствами США, Японии, Англии, Франции, Германии, Канады и др. стран, подтверждают приоритет украинской науки (и приоритет проф. Стахова) в этой важной компьютерной области.

В последние десятилетия область научных интересов проф. Стахова все больше сдвигается в область оснований математики и компьютерной науки. Об этом, например, свидетельствует его лекция «Золотое Сечение и современная Математика Гармонии», прочитанная им на заседании 7-й Международной конференции «Числа Фибоначчи и их приложения» (Австрия, Грац, 1996) и затем повторенная в 1998 г. на заседании Украинского математического общества. Эта лекция произвела большое впечатление на украинских математиков и вызвала оживленную дискуссию.

В настоящее время проф. Стахов является активно работающим ученым, публикующим статьи в известных международных журналах. Благодаря хорошему знанию аглийского языка ему за короткий срок (1 год) удалось опубликовать 8 (!) фундаментальных статей в Международном междисциплинарном журнале «Chaos, Solitons and Fractals» (England). Это – несомненно огромный успех не только проф. Стахова, но и всей украинской науки. Благодаря проф. Стахову о научных достижениях украинской науки узнала научная общетвенность Запада.

Этими статьями проф. Стахов по существу завершил цикл многолетних исследований по созданию нового направления в математике – Математики Гармонии. Возникает вопрос, какое место в общей теории математики занимает созданная Стаховым Математика Гармонии? Мне представляется, что в последние столетия, как выразился когда-то Н.И. Лобачевский, «математики все свое внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою». В результате между «элементарной математикой», лежащей в основе современного математического образования, и «высшей математикой» образовался разрыв. И этот разрыв, как мне кажется, и заполняет Математика Гармонии, разработанная А.П. Стаховым. То есть «Математика Гармонии» — это большой теоретический вклад в развитии прежде всего «элементарной математики», и отсюда вытекает важное значение «Математики Гармонии» для математического образования.

Следует отметить также большую организационную работу проф. Стахова по стимулированию исследований в области чисел Фибоччи и Золотого Сечения и распространению знаний о Золотом Сечении среди широких кругов научной общественности. В 2003 г. по инициативе и под руководством проф. Стахова в Виннице была проведена Международная конференция «Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве». На этой конференции проф. Стахов был избран Президентом Международного Клуба Золотого Сечения, то есть в настоящее время проф. Стахов имеет официальный статус главы нового научного направления по теории Золотого Сечения, активно развиваемого в современной науке. И это избрание является, безусловно, международным признанием выдающихся заслуг проф. Стахова в области теории чисел Фибоначчи и Золотого Сечения.

Я с интересом познакомился с программой математического курса «Математика Гармонии и Золотого Сечения», предлагаемой проф. Стаховым для физико-математических факультетов педагогических университетов. По существу эта программа – ни что иное, как начало реформы математического образования, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения. И если учесть, что такой курс уже прочитан проф. Стаховым в течение 2001-2002 года для студентов физико-математического факультета Винницкого государственного педагогического университета, то можно считать, что такая реформа уже началась в Украине (в Винницком педагогическом университете). У меня нет никаких сомнений в полезности этого курса для будущих учителей математики и физики. Я думаю, что проф. Стахов имеет огромный научный потенциал, чтобы написать учебник по этому курсу для педагогических университетов, а также учебник «Математика Золотого Сечения» для средних школ и тем самым завершить предложенную им реформу современного математического образования.

Я не сомневаюсь, что созданное проф. Стаховым новое научное направление, названное им «Математикой Гармонии», имеет огромное междисциплинарное значение, так как затрагивает основания многих наук, включая математику, теоретическую физику, компьютерные науки, а предложенный им проект реформы математического образования на основе идей Гармонии и Золотого Сечения, открывает новые пути в развитии математического и общего образования. И это будет способствовать выработке у учащихся нового научного мировоззрения, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения.

Ю.А. Митропольский
Доктор технических наук в теоретической механике, профессор
Академик Национальной Академии наук Украины
Академик Российской Академии наук
Почетный директор Института математики Национальной Академии наук Украины
Главный редактор «Украинского математического журнала»
Герой Социалистического Труда
Лауреат Ленинской Премии