Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Школа Золотого Сечения

Стахов А.П.
Программа курса
«Математика Гармонии и Золотого Сечения»
для физико-математических факультетов
педагогических университетов
Oб авторе

Обоснование курса

Проблема Гармонии относится к разряду «вечных научных проблем», которые в течение многих тысячелетий находятся в центре внимания человеческой мысли. Впервые высказанная Пифагором и развитая в трудах Гераклита, Сократа, Платона, Аристотеля, эта идея в последующие эпохи возрождается в трудах великих ученых и мыслителей (Августина, Леонардо да Винчи, Луки Пачоли, Альберти, Дюрера, Кузанского, Аквинского, Спинозы, Бруно, Кеплера, Декарта, Ньютона, Лейбница, Канта, Гегеля и др.). Как пишет известный физик Л. Розенфельд, Ньютон свято верил в то, что «регулярность явлений природы не может быть делом случая, в ней проявляется наличие верховной мудрости и верховного интеллекта, которые все задумали в соответствии со своим назначением и великой гармонии всего творения». Великий Лейбниц представлял Гармонию, как некоторое состояние, предопределенное Богом. Свое отношение к Гармонии он выразил в следующих словах: «Преднамеренное устроение планет и животных более чем что-либо подтверждает мою систему предустановленной гармонии». И как признание власти Законов Гармонии над всем в природе звучат слова Эйнштейна: «Религиозность ученого состоит в восторженном преклонении перед законами гармонии».

В 19 в. идея Гармонии находит отражение в трудах немецкого исследователя Цейзинга, открывшего «Вееобщий Закон Пропорциональности», основанный на Золотом Сечении. В 20 в. идея всеобщей Гармонии Мироздания возрождается в трудах российского профессора архитектуры Гримма и французского исследователя Матилы Гика, а также в трудах российских мыслителей Лосева и Флоренского. В последние десятилетия активными проводниками этой идей являются такие представители славянской науки как российский архитектор И.Ш. Шевелев, белорусский философ Э.М. Сороко, украинский архитектор О.Я. Боднар, российский механик В.И. Коробко и многие другие.

Главной мерой Гармонии всегда считалось Золотое Сечение, которое по праву может быть названо «Главной Пропорцией Мироздания» или «Универсальным Кодом Природы». Золотое Сечение, называемое также числом PHI в честь великого древнегреческого скульптора Фидия (Phidius), который использовал это число в своих скульптурах, пронизывает всю историю искусства. Пирамида Хеопса, самая известная из Египетских пирамид, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптурных памятников, непревзойденная «Джоконда» Леонардо да Винчи, картины Рафаэля, Шишкина и современного русского художника Константина Васильева, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского и Бэллы Барток, «Модулор» Корбюзье, стихи Пушкина и Шота Руставли — вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией, основанной на Золотом Сечении.

Наиболее удачно выдающаяся роль Золотого Сечения в истории греческой культуры подчеркнута в следующем высказывании гениального российского философа и мыслителя Алексея Лосева: «С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления — Золотого Сечения... Их (древних греков – А.С.) систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьезный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия».

Гениальный астроном и математик Иоганн Кеплер выразил свое восхищение «задачей о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (так в старину называли Золотое Сечение) в следующих словах: «В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

Анализ современных программ математического образования и школьных учебников по математике в таких странах как США, Канада, Россия и Украина показывает, что в большинстве из них нет даже упоминания о Золотом Сечении, то есть имеет место полное игнорирование одного из важнейших математических открытий античной математики. Результат налицо: большинство так называемых «образованных» людей хорошо знают теорему Пифагора, но имеет весьма смутное представление о Золотом Сечении.

Но из высказывания Кеплера вытекает, что изучению уникальных свойств и применений Золотого Сечения в окружающем нас мире надо уделять в образовании не меньшее внимание, чем теореме Пифагора. И тогда вполне возможно, что изучение математики, которую в своем большинстве ученики рассматривают как сухую и неинтересную дисциплину, неожиданно могло бы превратиться в увлекательный поиск математических закономерностей окружающего нас мира. То есть введение Золотого Сечения в математическое образование поднимает интерес учащихся к изучению математики!

В 1996 г. автор настоящей программы прочитал лекцию «Золотое Сечение и Математика Гармонии» на 7-й Международной кронференции «Числа Фибоначчи и их приложения» (Австрия, Грац, июль 1996 г.). В апреле 1998 г. эта лекция была повторена автором на заседании Украинского математического общества. В 2001 г. автором был создан сайт «Музей Гармонии и Золотого Сечения» (http://www.goldenmuseum.com/). Особенность сайта состоит в том, что он создан на двух языках (русском и английском), что привлекло к нему внимание как русскоязычной, так и англоязычной аудитории. Сайт признан Российской информационной сетью «Лучшее в Интернете» одним из лучших музейных сайтов. В настоящее время сайт является одним из лучших в мире источников научной информации о Золотом Сечении и его приложениях в Природе, Науке и Искусстве.

В течение 2001- 2002 учебного года автор прочитал курс лекций «Математика Гармонии и Золотого Сечения» для студентов физико-математического факультета Винницкого государственного педагогического университета. В 2003 г. по инициативе и под научным руководством автора в Виннице была проведена Международная конференция «Проблемы Гармонии, Симметрии, Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве». На этой конференции был учрежден Международный Клуб Золотого Сечения, который является виртуальной ассоциацией ведущих славянских (Россия, Украина, Белоруссия) ученых, специалистов в области теории Золотого Сечения и его приложений в различных сферах современной науки и искусства.

Все перечисленные факты дают основание высказать предположение, что Золотое Сечение и связанные с ним числа Фибоначчи должны стать существенными элементами современной науке и культуры. И онидолжны стать также существенными элементами математического и общего образования. Более того, «принцип Золотого Сечения» должен стать важнейшей математической идеей, инструментом, с помощью которого в образование и должны внедряться «Научная доктрина о всеобщей числовой Гармонии Мироздания». «Отчуждение» Золотого Сечение от математического и общего образования нанесло такой же огромный вред образованию, как в свое время «отчуждение» религии от образования. Это привело к появлению нескольких поколений «однобоко образованных» людей, имеющих весьма смутное представление об истории тысячелетних поисков всеобщих законов Гармонии Мироздания, о Золотом Сечении и его приожениях.

Можно ожидать, что введение Математики Гармонии, Золотого Сечения и чисел Фибоначчи в современное математическое и общее образование приведет к следующим важным последствиям:

  1. Значительное повышение интереса учащихся к математике. Ее изучение превращается в увлекательный процесс поиска математических закономерностей в мире, который нас окружает.
  2. В общем образовании появляется некоторая цельная идея – Золотое Сечение, которое связывает в единое целое все учебные дисциплины.
  3. Золотое Сечение будет способствовать выработке у учащихся нового научного мировоззрения, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения, и откроет перед учащимися новые пласты человеческой культуры, связанные с Золотым Сечением.

Данный курс предназначен для студентов физико-математических факультетов педагогических университетов. Основная задача курса – ознакомить студентов, будущих учителей математики и физики, с новым междисциплинарным направлением, Математикой Гармонии и Золотого Сечения, которое может быть использовано учителями математики для преподавания дисциплины «Математика Золотого Сечения» в средних школах. Курс ставит своей главной задачей – внедрение нового научного мировоззрения, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения.

Основные темы курса

Тема 1. Проблема Гармонии в своем историческом развитии.

1.1.Проблема Гармонии в античной эстетике. Гармония в античном мифе. Числовая Гармония пифагорийцев. Гармония и мера в эстетике Платона. Учение Аристотеля о «золотой середине». Гармония и эстетика эллинизма.

1.2. Концепция Гармонии в эстетике Средневековья. Сочинения Дионисия Аеропагита, Аврелия Августина, Боэция. Гармония и «мировая музыка». Учение о гармонии в схоластической эстетике.

1.3. Учение о Гармонии в эстетике Возрождения. Критика средневекового понимания Гармонии. «Гармонический человек» в эстетике гуманистов. Эстетика Альберти. Гармония и грация в эстететике флорентийских неоплатоников. Гармония в музыкальной эстетике Возрождения. Поиски «соверешенной пропорции».

1.4. Семнадцатый век: между «Ренессансом» и «Просвещением». Эстетика барокко и кризис ренессансной гармонии. Гармония в эстетике классицизма. Возрождение пифагореизма в трудах Иоганна Кеплера. Учение Лейбница о «предустановленной Гармонии».

1.5. Учение о Гармонии в эстетике нового времени. «Мировая Гармония» Шефтсбери. Споры о природе музыкальной Гармонии. Учение Гегеля о гармонии и мере.

1.6. Развитие учения о Гармонии в 20-м веке. Книга проф. Гримма «Пропорциональность в архитектуре» (1935). Книга Матилы Гика «Эстетика пропорций в природе и искусстве» (1936). Гармония и Золотое Сечение в трудах русских мыслителей Лосева и Флоренского. «Гармония как эстетичесая категория» Вячеслава Шестакова (1973). «Структурная гармония систем» Эдуарда Сороки (1984). «Энергетично-геометрический код природы» Яна Гржездельского. «Золотое Сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве» Олега Боднара (1994). «Золотая пропорция и проблемы гармонии систем» Виктора Коробко (1998). «Метаязык живой природы» Иосифа Шевелева (2000). «Математика и искусство» Александра Волошина (2000).

Тема 2. Математика в своем историческом развитии.

2.1. «Элементарная» и «высшая» математика. Определение математики, связь математики с другими науками и техникой. Уточнение понятия «элементарная математика». Связь «элементарной» математики с «высшей».

2.2. История математики. Зарождение математики. Период элементарной математики. Период создания математики переменных величин.

2.3. Современная математика. Расширение предмета математики. Вопросы обоснования математики. Роль теории множеств и математической логики. История математики 19-го и 20-го веков.

2.4. Математика: утрата определенности. Становление математических истин. Математизация науки. Роль неевклидовой геометрии в истории математики. Парадоксы теории множеств и кризис оснований математики. Математика в изоляции. Куда идет математика? Авторитет природы.

Тема 3. Роль «элементарной математики» в школьном математическом образовании.

3.1. Позиционный принцип представления чисел и история развития систем счисления. Вавилонская 60-ричная система счисления. Двоичная система. Десятичная система. Система счисления майа. Нетрадиционные системы счисления.

3.2. Концепция натурального числа и элементарная теория чисел. Числовая мистика пифагорейцев. Евклидово определение натурального числа. Пифагорейская теория чисел. Простые и составные числа. «Дружественные» числа. «Совершенные» числа. Многоугольные числа. Основная проблематика элементарной теории чисел. Проблема простых чисел.

3.3. Математическая теория измерения и иррациональные числа. Открытие несоимеримых чисел и первый кризис в основании математики. Иррациональные числа. Теория измерения Евдокса. Современная теория измерения.

3.4. Геометрия и Теорема Пифагора. История возникновения геометрии. «Начала» Евклида. С какой целью Евклид писал свои «Начала»? Теорема Пифагора. «Египетский» или «священный» треугольник.

3.5. Число p и тригонометрия. Возникновение тригонометрии. История числа p. Тригонометрические функции и их роль в развитии математики.

3.6. Число е, логарифмы и элементарные функции. История логарифмов. Натуральные логарифмы и число е. Арифметическая природа числа е. Элементарные функции, основанные на числе е: экспоненциальная, логарифмическая, гиперболические. Роль гиперболических функций в истории математики.

Тема 4. Золотое Сечение и его приложения.

4.1. Алгебраические свойства Золотого Сечения. Задача о Золотом Сечении. Алгебраическое уравнение Золотого Сечения. Представление Золотого Сечения в виде цепной дроби. Представление в форме радикалов.

4.2. Геометрические свойства Золотого Сечения. Золотой прямоугольник. Пентаграмма. Декагон. Золотые треугольники. Золотые ромбы. Золотой эллипс.

4.3. Золотое Сечение в истории культуры. Тайны Египетских пирамид. Панели Хеси-Ра. Золотое Сечение в греческой культуре. Парфенон. Скульптуры Аполлона и Венеры. «Джоконда» Леонардо да Винчи. «Божественная пропорция» Луки Пачоли. Этюды Шопена и музыкальные произведения выдающихся композиторов в освещении ЗС. Золотое Сечение в поэзии Пушкина, Лермонтова и Шота Руставели. «Золотой кирпич» и его использование в готической архитектуре.

4.4. Золотое Сечение и Человек. Золотая пропорция как основа морфологического строения человека (тело, лицо, рука, зубы и др.). Римы сердца и мозга.

Тема 5. Числа Фибоначчи и Люка.

5.1. Математические свойства чисел Фибоначчи.Задача о размножении кроликов. Рекуррентное соотношение Фибоначчи. Числа Фибоначчи. Вариации на тему Фибоначчи. Числа Люка. Расширенные числа Фибоначчи и Люка. Алгебраические свойства чисел Фибоначчи и Люка. Формула Кассини. Числа Фибоначчи и теорема Пифагора. Прямоугольник Фибоначчи. Спираль Фибоначчи. Пифограммы Фибоначчи. «Железная таблица» Штейнхауза. Химия «по Фибоначчи».

5.2. Проявление чисел Фибоначчи в Природе. Размножение медоносных пчел. Симметрия природы и природа симметрии. Вездесущий филллотаксис. Числа Фибоначчи в сосновой шишке, кактусе, пальмовом дереве, головке подсолнечника. Использование филллотаксисных решеток в живописи. Петагональная симметрия живой природы. Спирали Фибоначчи в Природе. «Фибоначчиевые» резонансы генетического кода. «Золотой вурф».

Тема 6. Икосаэдро-додекаэдрическая доктрина.

6.1. Роль икосаэдро-додекаэдрической доктрины в развитии науки. Платоновы тела. Космология Платона. Золотая пропорция в икосаэдре и додекаэдре. Тайна Египетского календаря. Земля как кристалл. «Космический кубок» Иоганна Кеплера. Икосаэдр как главный геометрический объект математики.

6.2. Квазикристаллы. Симметрия кристаллов. Решетки Пенроуза. Квазикристаллы Шехтмана. Мир Тайи Крашек.

Тема 7. Треугольник Паскаля и Обобщенный принцип Золотого Сечения.

7.1. Треугольник Паскаля. История треугольника Паскаля. Математические свойства треугольника Паскаля. Формы представления треугольника Паскаля. Биномиальная теорема. Биномиальное распределение. Связь треугольника Паскаля с числами Каталана, числами Бернулли, полиномами Чебышева.

7.2. Обобщенные треугольники Паскаля. Обобщенные биномиальные коэффициенты. Треугольники Люка, Фибоначчи, Каталана и другие арифметические треуголники. Пирамиды Паскаля и триномиальные коэффициенты. Мультиномиальные коэффициенты и гиперпирамиды Паскаля

7.2. Диагональные суммы треугольника Паскаля. Обобщенные числа Фибоначчи. Математические свойства обобщенных чисел Фибоначчи.

7.3. Обобщенный Принцип Золотого Сечения. Обобщение задачи о Золотом Сечении. «Золотые» алгебраические уравнения. Общая теория формул Бине. Обобщенные числа Люка.

Тема 8. Золотое Сечение и Сакральная Геометрия.

8.1. Роль Сакральнаой Геометрии в истории культуры. Основные отношения Священной Геометрии. Число p. Квадратный корень числа 2. Квадратный корень числа 3 и Vesica Piscis («Рыбий пузырь»). Квадратный корень числа 5 и «двойной квадрат». Золотое Сечение. Золотой р-прямоугольник и его связь с квадратом, «двойным квадратом» и классическим «золотым» прямоугольником.

8.2. Основные источники сакральных знаний. Библия. Талмуд. Китайская «Книга Перемен».

Тема 9. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка.

9.1. Классические гиперболические функции. Гипербола и гиперболический поворот. Геометрическое определение тригонометрических и гиперболических функций. Геометрическая теория логарифмов. Вывод аналитических выражений для гиперболических функций. Роль гиперболических функций в развитии науки и математики. Гиперболическая геометрия Лобачевского. «Четырехмерный мир» Минкоского как гиперболическая интерпретация специальной теории относительности Эйнштейна.

9.2. Формулы Бине. Бине – французский математик 19-го века. Вывод формул Бине. Связь с Золотым Сечением, числами Фибоначчи и Люка.

9.3. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка. Определение гиперболических функций Фибоначчи и Люка. Связь с числами Фибоначчи и Люка. Исследование гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса Фибоначчи и Люка. Дифференцирование и интегрирование.

9.4. Симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка. Определение. Связь с числами Фибоначчи и Люка. Рекуррентные и гиперболические свойства гиперболических функций Фибоначчи и Люка.

Тема 10. Алгоритмическая теория измерения.

10.1. Роль измерения в развитии точных наук. Принцип дифференциации Науки об измерениях. Фундаментальная и прикладная теории измерений. Метрология как наука о технических измерениях.

10.2. Методологический базис физической теории измерения. Тезис о неизбежности погрешностей измерения. Противоречивый характер измерения. Содержание физической теории измерения. Принципы неопределенностей Гейзенберга и Бриллюэна. Нормальный закон закон распределения погрешностей измерения (закон Гаусса).

10.3. Методологический базис математической теории измерения. Теория шкал измерений. Теоретико-множественная теория измерения. Абстракция потенциальной и актуальной бесконечности. Аксиома Кантора. Аксиома Евдокса –Архимеда. Основное уравнение измерения. Констуктивный подход к математической теории измерения.

10.4. Историко-философский взгляд на теорию измерений. Три периода в развитии теории измерений. Роль измерения в возникновении геометрии. Открытие несоизмеримых отрезков и первый кризис в основаниях математики. Задача о выборе наилучшей системы гирь (Фибоначчи, 13 ст.). Двоичная и троичная системы счисления. Развитие метрологии как прикладного физического учения. «Кризисы» в физике и математике и их связь с измерением. Основные направления развития фундаментальной теории измерения.

10.5. Алгоритмическая теория измерения. Математическая модель измерения. Принцип асимметрии измерения. Классические алгоритмы измерения. Связь алгоритмов измерения с системами счисления. Оптимальные алогоритмы измерения, порождающие классические позиционные системы счисления. Оптимальные «фибоначчиевые» алгоритмы измерения. Оптимальные алгоритмы измерения, основанные на треугольнике Паскаля. Основной результат алгоритмической теории измерения и ее роль в развитии современной науки.

Тема 11. Системы счисления с иррациональными основаниями и новая теория действительных чисел.

11.1. Системы счисления с иррациональными основаниями. Система счисления Бергмана. Коды золотой пропорции.

11.2. Новая теория действительных чисел. Евклидово определение натурального числа. Представление действительных чисел в двоичной системе счисления. Определение Ньютона. Новое геометричское определение действительного числа, основанное на обобщенных Золотых Сечениях. Z-свойство натуральных чисел.

Тема 12. Новая компьютерная арифметика.

12.1. Коды и арифметика Фибоначчи. Коды Фибоначчи. Диапазоны представления чисел и избыточность. Связь с генетическим кодом. Арифметика Фибоначчи. Алгоритмы умножения и деления.

12.2. «Золотая» арифметика. Особенности сложения, вычитания, умножения и деления.

12.3. Троичная зеркально-симметричная арифметика. Классическая троичная симметричная арифметика. Троичный принцип Брусенцова и троичный компьютер «Сетунь». Троичное зеркально-симметричное представление. Диапазон представления чисел и избыточность. Троичное зеркально-симметричное сложение и вычитание. Троичное зеркально-симметричное умножение и деление.

Тема 13. Новая теория цифровой метрологии и измерительной техники.

Теория «золотых» цифровых делителей. Цифровые делители для троичного зеркально-симметричного кода. Избыточные алгоритмы аналого-цифрового преобразования.

Тема 14. Матрицы Фибоначчи, «золотые» матрицы и новая теория кодирования.

14.1. Матрицы Фибоначчи. Понятие Q-матрицы. Математические свойства Q-матрицы. Связь с числами Фибоначчи. Qp-матрица как обобщение Q-матрицы. Математические свойства Qp-матриц. Связь обобщенными числами Фибоначчи. Детерминант Qp-матрицы.

14.2. Новая теория избыточного кодирования. Алгоритм кодирования-декодирования. Принципы обнаружения и исправления ощибок. Избыточность и корректирующая способность.

14.3. «Золотые» матрицы и новая теория криптографии. Понятие «золотой» матрицы. Принцип шифрации и дешифрации.

Тема 15. Математика Гармонии как новое направление в «элементарной математике» и как основа реформы школьного математического образования.

15.1. Фундамент классической элементарной математики: концепция натурального числа; математическая теория измерения и иррациональные числа; фундаментальные математические константы p и е; классические элементарные функции; позиционные системы счисления.

15.2. Фундамент Математики Гармонии: обобщенные золотые сечения как новый класс иррацинальных чисел, вытекающих из треугольника Паскаля; системы счисления с иррациональными основаниями как новое определение действительного числа; алгоритмическая теория измерения; гиперболические функции Фибоначчи и Люка. Структура Математики Гармонии и ее основные приложения


Основная литература:

  1. Гримм Г.Д. Пропорциональность в архитектуре. Ленинград-Москва, ОНТИ, 1935 / 148 c.
  2. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. Москва, Изд-во Всесоюзной Академии архитектуры, 1936 / 310 c.
  3. Шестаков В.П. Гармония как эстетическая категория. Москва, Наука, 1973 / 256 c.
  4. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи, Москва, Наука, 1969 / 112 c.
  5. Дубнов Я.С. Измерение отрезков. Москва, Физматгиз, 1962 / 100 c.
  6. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. Москва, Наука, 1994 / 224 c.
  7. Клайн М. Математика. Утрата определенности.Москва, Мир, 1984 / 448 c.
  8. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва, Советское радио, 1977 / 288 c.
  9. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения. Москва, Знание, 1979 / 64 c.
  10. Стахов A.П. Коды золотой пропорции, Москва, Радио и связь, 1984 / 152 c.
  11. Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Минск, Наука и техника, 1984/264 c.
  12. Боднар О.Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. Львов, Изд-во «Свит», 1994 / 204 c.
  13. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. Москва, Молодая Гвардия, 1990 / 238 с.
  14. Коробко В.И. Золотая пропорция и проблемы гармонии систем. Москва, Изд-во Ассоциации строительных вузов, 1998 / 376 с.
  15. Волошинов А.В. Математика и искусство. Москва, Просвещение, 2000 / 399 c.
  16. Шевелев И.Ш. Метаязык живой природы, Кострома, Изд-во «Воскресенье», 2000 / 352 c.
  17. Неаполитанский С.М., Матвеев С.А. Сакральная геометрия. Санкт-Петербург, Изд-во «Святослав», 2003 / 632 c.
Дополнительная литература
  1. Stakhov A.P. The Golden Section in the measurement theory. An International Journal «Computers & Mathematics with Applications», Volume 17, No 4-6, 1989, 613-638.
  2. Стахов О.П. Золотий переріз і наука про гармонію систем. Київ, Вісник Академії наук Української РСР, 1991, №12, с. 8-15.
  3. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Киев, Доклады Академии наук Украины, 1993, том 208, № 7, с. 9-14.
  4. Stakhov, A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics, Applications of Fibonacci Numbers, Vol. 7, Kluwer Academic Publishers, 1998, 393-399.
  5. Stakhov A.P. A generalization of the Fibonacci Q-matrix, Киев, Доклады Академии наук Украины, 1999, No 9, с. 46-49.
  6. Stakhov, A.P. Brousentsov’s Ternary Principle, Bergman’s Number System and Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic, The Computer Journal (British Computer Society), 2002, Vol. 45, No. 2, p. 222-236.
  7. Stakhov A.P. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions: A New Mathematics for Living Nature. Винница, Изд-во «ITI», 2003 / 240 c.
  8. Stakhov A.P., Sluchenkova A.A. Museum of Harmony and the Golden Section: Mathematical connections in Nature, Science and Art. Vinnitsa, ITI, 2003 / 92 p.
  9. Стахов А.П. Сакральная геометрия и математика гармонии. Труды Международной конференции «Проблемы гармонии, симметрии и Золотого Сечения в природе, науке и искусстве», Винница, Изд-во Винницкого государственного аграрного университета, 2003, с. 8-
  10. Стахов А.П. Кодирование данных, основанное на фибоначчиевых матрицах. Труды Международной конференции «Проблемы гармонии, симметрии и Золотого Сечения в природе, науке и искусстве», Винница, Изд-во Винницкого госудврственного аграрного университета, 2003, с. 311-325.
  11. Стахов A.П. Обобщенные Золотые Сечения и новый подход к геометрическому определению числа, Киев, Украинский математический журнал, 2004, Vol. 56, No 8, с. 1143-1150.
  12. Stakhov A., Rozin B. On a new class of hyperbolic function — Chaos, Solitons & Fractals, 2005, V. 23, No.2, р. 379-389.
  13. Stakhov A. The Generalized Principle of the Golden Section and its Applications in Mathematics, Science and Engineering. — Chaos, Solitons & Fractals, 2005, V. 26, No.2, р. 263-289.
  14. Stakhov A., Rozin B. The Golden Shofar — Chaos, Solitons & Fractals Chaos, Solitons & Fractals, 2005, V. 26, No.3, р. 677-684.
  15. Stakhov A., Rozin B. Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers — Chaos, Solitons & Fractals (2005, in publication).
  16. Stakhov A., Rozin B. The «Golden» Algebraic Equations — Chaos, Solitons & Fractals (2005, in publication).
  17. Stakhov A., Fundamentals of a new kind of Mathematics based on the Golden Section — Chaos, Solitons & Fractals (2005, in publication).

Стахов А.П. Программа курса «Математика Гармонии и Золотого Сечения» для физико-математических факультетов педагогических университетов // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12437, 20.09.2005

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru