Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Математика Гармонии

Мартыненко Г.Я.
Математика гармонии: Средние века (V-XIII в.)
Oб авторе

Негоциант неутомимый Леонардо

Исколесил арабский мир.

И там, торгуя, он вкусил

Восточных мудростей изрядно.


Вернулся в Пизу. Все – не ладно.

Средь цифр – сплошной водоворот.

Доход никак не превзойдет расход,

Чтоб было на душе отрадно.


Он вышел в сад. А там крольчиха

Своих малюток теребит,

Папаша рядышком сидит,


Внучата в травке дремлют тихо.

И сменой поколений озадачен,

Купец прозрел в них числа Фибоначчи.

Чем же проявило себя Средневековье в развитии теории гармонии и в ее соединении с математикой? Вопрос не очень простой, так как идея гармонии в эту эпоху сохранила связи с античностью, хотя и весьма ослабленные, в виде христианских версий пифагореизма и платонизма. При этом математические аспекты гармонических изысканий практически погрузились в летаргический сон, если не считать некоторых общих и несложных эксерсисов, касающихся симметрии, пропорциональности и упорядоченности. Лишь на закате Средневековья появляется яркая фигура Фибоначчи, который о гармонии, как таковой не упоминает, но зато строит математическую структуру, которая через несколько столетий в математике гармонии займет центральное место как основа для прикладных и теоретических изысканий. Это лишний раз подтверждает тезис, что нет ничего практичней хорошей теории.

При написании данной статьи были использованы следующие основополагающие работы, относящиеся к философии (Мещеряков, 1981; Деев, 1999), эстетике (Гилберт, Кун, 1960; Махов, 2005) и истории математики (Юшкевич, 1970).


1.Христианизация пифагореизма и платонизма


Во II и III веках н. э. христианство активно боролось с язычеством. Языческое искусство и наука греков и римлян в представлении христиан ассоциировались с языческой ересью. Катарин Гилберт и Гельмут Кун в своей фундаментальной книге «История эстетики» (Гилберт, Кун, 1960, с. 139) о воззрениях христиан того периода пишут так: «Скульптура, по их мнению, напоминала об идолопоклонстве и безнравственном культе императоров; театр воспитывал в людях чувственность и жестокость. Тертулиан во II веке говорил, что театральное искусство находится под покровительством «двух дьяволов» страсти и вожделения – Бахуса и Венеры. Св. Иероним сообщал, что ангелы бичевали его до синяков за то, что он слишком любил Цицерона; св. Мария Египетская чувствовала угрызения совести оттого, что ей вспоминались песни ее детства; св. Василий пишет о предосудительности смеха, заявляя, что это, пожалуй, единственная телесная слабость, которой не испытывал Христос». Веком-двумя позднее св. Августин (354–430) – типичный представитель Средневековья, старея, становился все более нетерпимым к человеческим слабостям и утехам. Он считал драматические произведения «пустым миражем», удовольствие, получаемое от музыки, – «грубой утехой», представление на сцене – «сладострастным безумием», а увлечение зрелищами – «болезненным зудом» (Гилберт, Кун, 1960, с. 139–140).

Такое отношение к искусству в сущности можно рассматривать как неоплатонизм, ибо подобно тому как Платон в книге X «Государства» ставил искусство живописи и поэзии несравненно ниже искусства правителя и философа, так и средневековые мыслители считали, что подражательное искусство – это творение дьявола, профессионального обманщика и искусителя. Подобно тому как Платон говорил о том, что искусство ослабляет подлинные страсти, т. е. добродетели, присущие человеку, так и христианские мыслители ценили прежде всего истинные добродетели, к каковым они относили кротость, любовь, мир, скромность, умеренность, доброту, долготерпение. И наоборот, такие пороки, как лицемерие, чувственность, жестокость, связанные в сознании человека Средневековья с искусством, казались ему, как и в более ранние времена Платону, опасными в силу присущего им соблазнительного очарования.

Таким образом, мы видим, что в Средние века получает широкое распространение христианская версию платонизма.

Заслугой мыслителей раннего средневековья можно считать распространение смысла слова «музыка» на все, что часто имеет с ней весьма отдаленное сходство. Впрочем, такой перенос смысла был характерен и для последующих эпох. Но средневековые мыслители в такой метафоризации были первыми. Об этом вслед за немецким искусствоведом Вальтером Виорой (Wiora, 1972) говорит российский литературовед Александр Евгеньевич Махов (Махов, 2005), называя круг представлений, связанный с расширенным значением слова «музыка», трансмузыкальностью. А. Е. Махов выделяет две основные идеи, связанные с трансмузыкальностью: 1) музыка в своей космической ипостаси («музыка сфер») определяет структурную организацию любого художественного произведения, независимо от его принадлежности к конкретному виду искусства, т. е. музыка может рассматриваться как принцип, лежащий в основе всех искусств; 2) но музыка есть также и отражение внутреннего космоса человека, его души (Махов, 2005, с. 23).

Разделение трансмузыкального на «музыку мира» и «музыку человека» (musica mundana и musica humana) впервые четко осуществлено в трактате Боэция (начало VI в.) «О музыкальном установлении» (Махов, 2005, с. 24). Оба типа музыки он относил к разряду неслышимой, внезвуковой музыки, противопоставленной музыке реальной, обычной (musica instrumentalis). При этом в основе обеих внезвуковых музык лежит единый принцип – гармония, которая способна соединять различное, как это происходит и в звучащей инструментальной музыке. Но инструментальная музыка по Боэцию обладает не только надчеловеческой космической силой, но и свойствами, определяемыми «нравом» человека, его иррациональной сущностью. Таким образом, неслышимая музыка Боэция перекликается с неслышимой гармонией сфер, корреспондирующей с бесплотной абстрактной математикой античности.

Позднее, уже в начале второго тысячелетия космический характер музыки постепенно уходит на задний план: музыка космоса и музыка души все более расходятся, поскольку у музыки души появляется свой, особый источник – христианская добродетель. На первый план выходит musica humana, небесная музыка перемещается внутрь человека, т. е. космология Пифагора подвергается все большей христианизации.

В трудах св. Августина провозглашается, что сущность красоты и самого бытия – в числе. При этом эстетическое определение красоты как формальной гармонии становятся принципом космологии, религиозной практики и человеческого мышления. Существование человека на земле по св. Августину основано на числе-гармонии и на подражании звездам и ангелам.

Св. Августин обогащает идею гармонии идеями порядка, симметрии и пропорциональности, которые провозглашаются основой гармонии. По св. Августину Бог сотворил мир из некоего предвечного единства на основе трех формальных принципов: равенства, сходства, порядка (Gilbert, Kuhn, 1939, с. 149–158) 1. Таким образом, в мировосприятии св. Августина мы наблюдаем смесь пифагореизма с платонизмом.

Важно, однако иметь в виду, что искусства и эстетики, с которыми обычно связывается категория гармонии, в Средние века не было. Общая концепция искусства того времени выражено в определении, данном Квинтилианом: «Искусство – это методическое мастерство». Или более точно: «Искусство - это умение работать по какому-либо способу, то есть в определенном порядке» (Гилберт, Кун, с. 175). Такие искусства назывались механическими (шерстопрядение, строительство, мореплавание, сельское хозяйство, охота, медицина, театр), тогда как приверженцы свободных искусств (риторика, музыка, архитектура, живопись) именуются свободными – либо потому, что им нужен ум для свободных размышлений, либо потому, что лица, обычно им занятые, – благородные люди (там же, с. 176).

Вклад св. Августина, отвлекаясь от его симметрийно-числовых представлений в области гармонии, заключался преимущественно в том, что для него искусство художника – это частица сверхразумного начала и благороднее, чем создаваемое им произведение. Искусство – это божий дар, делающий художников богоподобными в отношении того, что они видят и создают.


2.Математико-гармонические представления


Не следует, однако, забывать о том, что в раннее средневековье греческая математика продолжала некоторое время существовать, пока совсем не угасла к середине первого тысячелетия.

В европейской математике вплоть до начала XIII было огромное зияние, хотя совсем рядом наблюдался блестящий расцвет арабской культуры.

Математика Востока, в отличие от древнегреческой математики, всегда носила более практичный характер. Для стран ислама наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными областями применения математики были торговля, ремесло, строительство, география, астрономия, механика, оптика. Но благодаря распространению идей греческой, а также китайской и индийской математики мусульманский мир начал проявлять интерес и к теоретическим проблемам.

В целом, эпоха исламской цивилизации в математических науках может быть охарактеризована не как эпоха поиска новых знаний, а скорее как как эпоха передачи и улучшения знаний, полученных от греческих математиков. Типичные сочинения авторов этой эпохи, дошедшие до нас в большом количестве, — это комментарии к трудам предшественников и учебные курсы по арифметике, алгебре, сферической тригонометрии и астрономии. Некоторые математики стран ислама виртуозно владели классическими методами Архимеда и Аполлония, но ими были получены и новые результаты.

Благодаря торговым связям христианский мир начал мало-помалу знакомиться с культурным наследием «античного Востока». Открывшийся мир не мог не ослепить своими красками и научными достижениями. В Европе все больше повышается спрос на арабские географические карты, учебники алгебры и астрономии, арабское зодчество. Через мусульманский мир опосредованно проникали математические идеи мыслителей Китая и Индии.

Именно в таких условиях сформировался выдающийся математик позднего Средневековья Леонардо Фибоначчи (1170–1250).

Отец Фибоначчи был купцом и государственным чиновником, представителем нового класса бизнесменов, порожденных «коммерческой революцией».

В то время Пиза, где родился Фибоначчи, была одним из крупнейших коммерческих центров, активно сотрудничавших с исламским Востоком. Отец Фибоначчи успешно торговал в одной из факторий, основанных итальянцами на северном побережье Африки. Благодаря этому ему удалось «пристроить» своего сына, будущего математика Фибоначчи, в одно из арабских учебных заведений, где он смог получить неплохое для того времени математическое образование.

Став купцом, Леонардо (иногда его называют Пизанским, поскольку он был из города Пизы) неоднократно путешествовал по странам Востока и в своей книге использовал труды арабских математиков (ал-Хорезми, Абу Камила, Омара Хаяма и других).

Фибоначчи был одним из наиболее ярких математических умов в истории западноевропейской математики и внес огромный вклад в ее развитие, а один из известных историков математики Морис Кантор назвал Фибоначчи «блестящим метеором, промелькнувшим на темном фоне западноевропейского средневековья».

Основной труд Леонардо – «Книга абака» написан в 2002 г. Под словом «абака» Фибоначчи понимал не счетную доску у римлян, а арифметику вообще. Эта великая книга явилась важнейшим средством распространения и пропаганды математических знаний в Европе. Фибоначчи сконцентрировал в ней огромное количество сведений, почерпнутых им из трудов исламских и античных математиков. Он творчески переработал эти сведения и присоединил к ним собственные достижения. По словам советского историка математики Адольфа Павловича Юшкевича (Юшкевич, 1970) Фибоначчи «арифметику и алгебру линейных и квадратных уравнений изложил с непревзойденной ни ранее, ни долгое время спустя полнотой и глубиной».

В главе XII «Книги абака» приводятся задачи на суммирование последовательностей – арифметической и геометрической прогрессий, последовательности квадратов, и, впервые в истории математики, рекуррентной последовательности. Последняя, играющая исключительную роль в математике гармонии, связана с задачей о размножении кроликов. Задача заключается в следующем: сколько пар кроликов родится в год от одной пары, если каждая пара приносит ежемесячно по паре, способной в свою очередь через месяц к размножению, и если ни одна пара не погибнет? Ответ дается в виде суммы последовательности: 1+1+2+3+5+… +144=376. Каждый член этой последовательности, кроме первых двух, равен сумме двух предыдущих.

«Книга абака» резко возвышается над арифметической и алгебраической литературой XII-XIV вв. богатством и мощностью методов, изобретательностью и логической последовательностью изложения.

В дальнейшим эта книга была неиссякаемым источником знаний и активизатором усилий для многих поколений исследователей. Задачи из этой книги и приемы их решений распространились в рукописной и печатной форме не только в Италии, но и во Франции, Германии, Англии, Польше и других странах. Задачи Леонардо вели «неустанную кочевую жизнь» в течение многих веков. Их можно встретить даже в знаменитой «Алгебре» (1768 г.) Леонарда Эйлера.

Фундаментальная роль Фибоначчи в математике гармонии заключается в следующем:

1. Задача о кроликах легла в основу теории рекуррентных последовательностей, которая стала разрабатываться значительно позднее.

2. Фибоначчи, строя свои последовательности, ввел европейскую математику в мир комбинаторики.

3. Последовательность Фибоначчи имеет динамический характер; в последующие столетия она была объединена с теорией золотого сечения и благодаря этому теория пропорций была выведена из состояния статики и стала динамической теорией. Гармония обрела динамику.

4. Последовательность Фибоначчи может рассматриваться как предтеча ветвящихся процессов, исследуемых в теории игр, теории случайных процессов, исследовании операций и др.

5. Последовательность Фибоначчи является моделью реальных процессов (например в явлениях филотаксиса), и может, по-видимому, использоваться как генератор искусственных феноменов, например, в теории фракталов.

6. Последовательность Фибоначчи рассматривалась Леонардо Пизанским не изолированно, а в кругу других последовательностей. При этом он не ограничился только правилом порождения последовательностей, но и акцентировал внимание и на сумме всех их членов.

7. Алгебраические исследования Леонардо обеспечили дальнейшее продвижение в решении квадратных уравнений и подготовили почву для решения кубических уравнений, явившихся в дальнейшем основой для построения сечений, связанных с золотым.

Итак, для Средних Веков характерны следующие основные тенденции, релевантные с точки зрения математики гармонии:

1. Распространение христианства в Европе привело к упадку математических знаний в Европе и перемещению центра математической мысли в исламский мир, где концентрировались знания не только античных математиков, но и математиков Индии и Китая.

2. В средневековой религиозной практике представления греческих мыслителей (Пифагора и Платона) были трансформированы в христианские версии пифагореизма и платонизма.

3. Чрезвычайно плодотворной идеей средневековья является идея трансмузыкального, распространявшая идею музыкальности не только на космос и духовный мир человека, но и на все виды искусств. Эта идея в том или ином виде воплощалась в те или иные представления последующих столетий вплоть до настоящего времени.

4. Серьезным достижением средневековья следует считать идеи, касающиеся «системных параметров искусства», таких как равенство, сходство, порядок, симметрия.

5. На фоне системного упадка европейской математики мрак Средневековья озаряется могучим интеллектом Леонардо Фибоначчи, который, с одной стороны, вернул Европе с помощью арабов и персов наследие античных математиков, обогащенное достижениями исламских, китайских и индийских ученых, а также достижениями самого Леонардо, а с другой – заложил основы теории рекуррентных последовательностей и ввел в научный оборот последовательность, которой впоследствии было присвоено его имя.


Литература


Гилберт К., Кун Г. История эстетики. Перевод с англ. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.

Деев А. Н. Категория «гармонии». Понимание и история эволюции. Новосибирск: ЦЭРИС, 1999.

Махов А. И. Musica literaria. Идея словесной музыки в европейской поэтике. М.: Intrada, 2005.

Мещеряков В. Т. Развитие представлений о гармонии в домарксистсткой и марксистко-ленинской философии. Л.: Наука, Ленинградское отделение, 1981.

Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука.

Шрейдер Ю. А., Шаров А. А. Системы и модели. М.: Советское радио, 1971.

Юшкевич А. С. История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т.1. С древнейших времен до начала нового времени. М.: Наука, 1970.

Wiora W. Die Musik im Weltbild der Deutschen Romantik. In: Wiora W.: Historische und Systematische Musikwissenschaft. Tutzing, 1972.


1. Поражает полное совпадение формальных принципов Св. Августина с перечнем основных структурных характеристик, вынесенных современным русским математиком и философом Ю. А. Шрейдером в заголовок одной из своих книг: Равенство, сходство, порядок (Шрейдер, 1971). Возникает предположение: не был ли Ю. А. Шрейдер католиком, знакомым с трудами св. Августина. Если да, то здесь наблюдается пререкличка между гармоническими представлениями христианских мыслителей раннего средневековья и взглядами современного математика. Если учесть, что Ю. А. Шрейдер считал гармонию и ритм системными параметрами (Шрейдер, 1974), то наше предположение не кажется столь уж беспочвенным.


Мартыненко Г.Я., Математика гармонии: Средние века (V-XIII в.) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15679, 02.12.2009

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru