Аннотация

Статья посвящена изложению нового подхода к преобразованиям Лоренца, которые используются в специальной теории относительности Эйнштейна.

Исходя из «золотой» фибоначчиевой гониометрии и симметричных гиперболических функций Фибоначчи, основанных на «золотой пропорции» (или «золотом сечении») – древнейшей научной парадигме о гармонии и красоте, предложены преобразования, названные авторами преобразованиями Фибоначчи-Лоренца.

На основе этих преобразований в статье в зависимости от «фибоначчиевого поворота », условно названного «параметром самоорганизации», получена некоторая «космологическая интерпретация» изменения скорости света до-, в-,
и после бифуркации, названной авторами «Большим Взрывом», поскольку полученная картина качественно соответствует современным научным представлениям об эволюции Вселенной, основанных на таких физических явлениях, как Большой Взрыв, гравитация и антигравитация, реликтовое излучение, расширение Вселенной и так далее.

В статье приводятся также результаты авторов по построению бесконечного множества изометричных моделей плоскости Лобачевского, основанных на использовании гиперболических -функций Фибоначчи, где >0 — любое вещественное число, и, в частности, при=1 — симметричных гиперболических функций Фибоначчи, что имеет непосредственное отношение к четвёртой проблеме Гильберта.

Введение

1. 1.1. Геометрия Лобачевского и V-й постулат Евклида

23 февраля 1826 года российский математик Николай Иванович Лобачевский (1792 -1856) на заседании физико-математического факультета Казанского университета провозгласил о создании новой геометрии, названной им воображаемой геометрией«. Эта геометрия была основана на тех же традиционных постулатах и аксиомах геометрии, как и у Евклида (330-275 гг. до н. э.), но с заменой его V-го постулата о параллельных: «на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой, а все остальные прямые, проходящие через эту точку, пересекаются с данной прямой», на новый V-ый постулат о параллельных: «на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести две и только две прямые, параллельные данной, а также бесконечное множество прямых, которые не пересекаются с данной прямой и ей не параллельны, и бесконечное множество прямых, которые пересекаются с данной прямой».

Одновременно он представил рукопись своего доклада. Тогда рукопись не была опубликована. Впервые свою новую геометрию Н.И. Лобачевский опубликовал в 1829 году в работе «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник».

Независимо от Лобачевского к подобным идеям пришёл венгерский математик Янош Больяи ( 1802-1860) опубликовавший свою работу «Appendix...» на три года позже Лобачевского (1832) и выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), у которого после его смерти были найдены отдельные неопубликованные наброски начальных положений неевклидовой геометрии.

Полное признание и широкое распространение геометрия Лобачевского получила через 12 лет после его смерти, когда стало понятно, что научная теория, построенная на базе некоторой системы аксиом (исходных положений, принимаемых без доказательства) считается только тогда полностью завершённой, когда эта система аксиом удовлетворяет трём условиям: независимости, непротиворечивости и полноты.

Именно этим свойствам и удовлетворяет геометрия Лобачевского.

Окончательно это стало ясно, когда в 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835-1900) в своём мемуаре «Опыт толкования неевклидовой геометрии» показал, что в евклидовом пространстве R³ на псевдосферических поверхностях имеет место геометрия куска плоскости Лобачевского, если на них за прямые принять геодезические линии.

Далее немецкий математик Феликс Христиан Клейн (1849-1925) опираясь на исследования Эудженио Бельтрами и французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912) строго доказали непротиворечивость неевклидовой геометрии, построив соответствующие модели плоскости Лобачевского. Истолкование геометрии Лобачевского на поверхностях евклидова пространства решающим образом способствовало общему признанию идей Лобачевского.

Итогом такого неевклидового подхода явилось создание Георгом Фридрихом Бернхардом Риманом (1826-1866) римановой геометрии, развившей математическое учение о пространстве, понятие дифференциала расстояния между элементами многообразия и учение о кривизне. Введение обобщённых римановых пространств, частными случаями которых являются пространства Евклида и Лобачевского и так называемой геометрии Римана, открыло новые пути в развитии геометрии и нашли применение в физике (теория относительности) и других разделах естествознания.

Геометрию Лобачевского называют также гиперболической на том основании, что для описания математических соотношений данной геометрии были использованы гиперболические функции

, ,

(1)

введенные в 18-м веке итальянским математиком Винценто Рикатти (1707-1775),

где e2.71828-число, введённое Джоном Непером (1550-1617).

Перечислим наиболее известные классические изометричные (сохраняющие расстояние между точками) интерпретации плоскости Лобачевского, имеющую гауссову кривизну K=-1:

• интерпретация Бельтрами в круге;
  
• интерпретация Бельтрами гиперболической геометрии на псевдосфере;
  
• евклидова модель Кэли-Клейна;
  
• проективная модель Кэли Клейна;
  
• интерпретация Пуанкаре на полуплоскости;
  
• интерпретация Пуанкаре внутри круга;
  
• интерпретация Пуанкаре на гиперболоиде.
  

В частности, классическая модель плоскости Лобачевского в псевдосферических координатах (u,v), 0 < u <+, -<v<+, имеющую гауссову кривизну K= -1

(интерпретация Бельтрами гиперболической геометрии на псевдосфере) имеет вид:

(ds)2= (du)2+ sh2 (u) (dv)2,

(2)

где ds – элемент длины.

формате PDF (500Кб)