Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Математика Гармонии

А.П. Стахов
Металлические Пропорции – новые математические константы Природы
Oб авторе

1. История проблемы

В свое время на нашем сайте были проведены жаркие дискуссии по поводу исследований российского исследователя Александра Татаренко [1-3]. В работах Татаренко речь шла о новом виде математических констант, которые были названы им «Золотыми Тm-гармониями». В процессе этой дискуссии, в которой я также принимал участие [4], было установлено, что Александр Татаренко не был единственным, кто пришел к открытию новых математических констант, что однако ни в коей степени не умаляет значение его работ. Независимо от него к подобным результатам пришли: аргентинский математик Вера Шпинадель [5], которая назвала новые математичские константы Металлическими Пропорциями, египетский ученый Мидхат Газале [6] и американский математик Джей Капрафф, автор широко известной в западном мире книги [7]. К этим же константам независимо пришел и украинский физик Николай Косинов [8]-[10]. В работах Косинова привлекает внимание попытка трактовать эти пропорции как новые математические и физические константы Природы. Справедливости ради, необходимо отметить, что о «металлических пропорциях» упоминает также С.Я. Ясинский в своей книге [11], опубликованной в 2004 г. В книге Ясинского меня смущает отсутствие ссылок на работы Газале, Татаренко, Капраффа, Косинова, которые опубликованы до книги [11]. Также отсутствует ссылка на книгу Веры Шпинадель [5]. В научном мире публикация результатов других ученых без ссылок на их авторов рассматривается как «плагиат». Поэтому, возможно, прав Борис Розин [12], который обвинил Ясинского в том, что последний злоупотребляет присвоением себе научных результатов других ученых.

Работы Шпинадель, Капраффа, Татаренко, Косинова вызвали у меня большой интерес. Развитие этих работ привело к важным математическим результатам – созданию общей теории гиперболических функций, введению нового класса «золотых» матриц и разработке нового метода криптографии – «золотой» криптографии [13]. Цель настоящей статьи состоит в том, чтобы привлечь внимание к новому классу «золотых» констант – «Металлическим Пропорциям», которые могут стать основой для дальнейшего развития теоретического естествознания.

2. Обобщенные m-числа Фибоначчи и «металлические пропорции»

«Металлические пропорции» возникают в результате следующих рассуждений. Зададимся положительным действительным числом m>0 и рассмотрим следующее рекуррентное соотношение:
Fm(n+2) = mFm(n+1) + Fm(n) (1)
Fm(0) = 0, Fm(1) = 1 (2)

где n=0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

При m=1 рекуррентное соотношение (1) при начальных условиях (2) порождает классические числа Фибоначчи. На этом основаниии числовые последовательности, порождаемые рекуррентным соотношением (1) при условии (2), были названы m-числами Фибоначчи [13].

Мы не будем углубляться в математические тонкости, изложенные в работе [13], а сразу перейдем к сути. В работе [13] показано, что рекуррентное соотношение (1) приводит к следующему алгебраическому уравнению:
x2mx – 1 = 0, (3)

которое при m=1 сводится к «уравнению золотой пропорции»:
x2x – 1 = 0. (4)

Положительный корень квадратного уравнения (3) имеет очень простое выражение:
(5)

Математические константы, задаваемые выражением (5), были названы Верой Шпинадель Металическими Пропорциями («Metallic Means») [5]. «Металлические пропорции», задаваемые (5), обладают следующими удивительными математическими свойствами:
(6)
(7)

Ясно, что при m=1 выражения (6), (7) сводятся к известным представлениям классической «золотой пропорции» в «радикалах» и в в форме «цепной дроби»:
(8)
(9)

Формулы (8), (9) всегда вызывали восхищение «золотой пропорцией», которая благодаря этим свойствам всегда считалась «уникальной» и «неповоторимой». Но такое же восхищение вызывают формулы (6), (7), то есть к константам, задавемым (5), также применимы определения: «уникальные» и «неповоримые». Но количество новых математических констант бесконечно! То есть существует не только «золотая пропорция», но и бесконечное число подобных же констант, обладающих «уникальными» и «неповторимыми» математическими свойствами (6), (7).

Если принять в (5) m=1, 2, 3, 4, то мы получим следующие математические константы, для которых Вера Шпинадель придумала специальные названия:
(10)

Далее у Веры Шпинадель не хватило «металлов» для названий других пропорций типа (5) и мы приведем выражения для некоторые из них без специальных названий:
(11)

Ряд (11) можно продолжить до бесконечности, то есть «металлических пропорций» типа (5), (10), (11) столько же, сколько натуральных и более того – сколько действительных чисел!

3. Формулы Газале

«Металлические пропорции» типа (5), (10), (11) вряд ли вызвали бы большой интерес, если бы они не стали основой для нового класса гиперболических функций – гиперболических m-функций Фибоначчи и Люка [13]. Для того, чтобы перейти к этим функциям, мы должны прежде всего рассмотреть замечательные формулы, введенные египетским исследователем Мидхатом Газале [6]. В честь Газале эти формулы были названы в [13] формулами Газале:
(12)

Представим теперь формулу (12) для отрицательных значений n:
(13)

Сравнивая теперь формулы (12) и (13) для четных (n=2k) и нечетных (n=2k+1) значений n, мы приходим к следующему заключению:
Fm(2k) = -Fm(-2k) и Fm(2k+1) = Fm(-2k-1). (14)

Это означает, что m-последовательности Фибоначчи, задаваемые рекуррентным соотношением (1) в бесконечном диапазоне n=0, ± 1, ± 2, ± 3, …, являются симметричными последовательностями относительно m-числа Фибоначчи Fm(0) = 0, учитывая при этом, что m-числа Фибоначчи Fm(2k) и Fm(-2k) согласно (14) противоположны по знаку.

Заметим,что при m=1 формула Газале (12) для m-чисел Фибоначчи сводится к знаменитой формуле Бине, выведенной французским математиком Бине еще в 19-м веке.

Следует отметить, что выведенная формула (12) задает бесконечное количество новых рекуррентных последовательностей, подобных числам Фибоначчи, так как каждому m соответствует своя числовая последовательность. Некоторые из них приведены в таблице ниже:

Последовательности m- чисел Фибоначчи для m=1, 2, 3, 4


n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

F1(n)

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

F1(-n)

0

1

-1

2

-3

5

-8

13

-21

34

-55

F2(n)

0

1

2

5

12

29

70

169

408

985

2378

F2(-n)

0

1

-2

5

-12

29

-70

169

-408

985

-2378

F3(n)

0

1

3

10

33

109

360

1189

3927

12970

42837

F3(-n)

0

1

-3

10

-33

109

-360

1189

-3927

12970

-42837

F4(n)

0

1

4

17

72

305

1292

5473

23184

98209

416020

F4(-n)

0

1

-4

17

-72

305

-1292

5473

-23184

98209

-416020


Заметим, что числа F1(n) и F1(-n) совпадают с классичекими числами Фибоначчи, в то время как числа F2(n) и F2(-n) совпадают числами Пелли.

Формула Газале (12) по праву может быть отнесена к разряду выдающихся математических формул наряду с формулами Эйлера, формулами Муавра, формулами Бине и т.д.

Именно формула Газале (12) вдохновила автора на получение новых математических результатов. Первым из них является формула Газале для m-чисел Люка:
. (15)

Из аналитической формулы (15) можно вывести рекуррентное соотношение для m-чисел Люка:
Lm(n+2) = mLm(n+1) + Lm(n), (16)

где n=0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

А если принять n равным 0 и 1, то мы получим начальные значения для вычисления членов m-последовательности Люка, задаваемых рекуррентной формулой (16):
Fm(0) = 2, Fm(1) = m. (17)

Непосредственно из формулы (15) вытекают следующие свойства m-чисел Люка:
Lm(2k) = Lm(-2k) and Lm(2k+1) = — Lm(-2k-1). (18)

Это означает, что m-последовательности Люка, задаваемые рекуррентным соотношением (16) в бесконечном диапазоне n=0, ± 1, ± 2, ± 3, …, являются симметричными последовательностями относительно m-числа Люка Lm(0) = 2, учитывая при этом, что m-числа Люка Lm(2k+1) и Lm(-2k-1) согласно (18) противоположны по знаку.

Заметим, что формула (15) задает бесконечное количество новых рекуррентных последовательностей, частными случаями которых являются классические числа Люка (m=1) и числа Пелли-Люка (m=2). Некоторые из этих числовых последовательностей приведены в таблице ниже:

Последовательности чисел Люка для m=1, 2, 3, 4


n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

L1(n)

2

1

3

4

7

11

18

29

47

78

123

L1(-n)

2

-1

3

-4

7

-11

18

-29

47

-78

123

L2(n)

2

2

6

14

34

82

198

478

1154

2786

6726

L2(-n)

2

-2

6

-14

34

-82

198

-478

1154

-2786

6726

L3(n)

2

3

11

36

119

393

1298

4287

14159

46764

154451

L3(-n)

2

-3

11

-36

119

-393

1298

-4287

14159

-46764

154451

L4(n)

2

4

18

76

322

1364

5778

24476

103682

439204

1860498

L4(-n)

2

-4

18

-76

322

-1364

5778

-24476

103682

-439204

1860498


Следующим новым математическим результатом является введение нового класса гиперболических функций Фибоначчи и Люка, основанных на формулах Газале [13]:

Гиперболический m-синус Фибоначчи

(19)

Гиперболический m-косинус Фибоначчи

(20)

Гиперболический m-синус Люка

(21)

Гиперболический m-косинус Люка

(22)

Заметим, что эти гиперболические функции являются обобщением симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка, введенными Стаховым и Розиным в 2005 г. в работе [14].

Доказано, что широко известные классические гиперболические функции
(23)

являются частными случаями гиперболических m-функций Люка (21) и (22). Для случая
, (24)

то есть, когда m=e-(1/e), эта связь выражается следующими простыми соотношениями:
and (25)

Возникает вопрос: какое отношение функции (19)-(22) имеют к m-числам Фибоначчи и Люка? Здесь нас ожидает сюрприз. Оказывается, что они связаны следующими изящными соотношениями:
; . (26)

Это означает, что m-числа Фибоначчи и Люка Fm(n) и Lm(n) совпадают с гиперболическими m-функциями Фибоначчи и Люка для дискретных значений переменной x=n =0, ± 1,± 2,± 3,…. При этом для четных значений n=2k m-число Фибоначчи Fm(n) совпадает со значением гиперболического m-синуса Фибоначчи sFm(n), а m-число Люка Lm(n) при этом совпадает со значением гиперболического m-косинуса Люка cLm(n). Для нечетных значений n=2k – все наоборот, то есть, m-число Фибоначчи Fm(n) совпадает со значением гиперболического m-косинуса Фибоначчи cFm(n), а m-число Люка Lm(n) при этом совпадает со значением гиперболического m-синуса Люка sLm(n).

Ниже приведены графики гиперболических функций Фибоначчи и Люка, взятые из работы [14].

Гиперболические функции Фибоначчи и Люка (m=1)

Таким образом, как вытекает из этих графиков, числа Фибоначчи и Люка как бы «вписываются» в графики соответсвующих гиперболических функций Фибоначчи и Люка в дискретных точках перменной x=n =0, ± 1,± 2,± 3,…

Связь нового класса гиперболических функций с последовательностями m-чисел Фибоначчи и Люка имеет фундаментальный характер. При этом m-числа Фибоначчи и Люка и гиперболические m-функции Фибоначчи и Люка выступают в роли «близнецов-братьев», то есть, каждой паре гиперблических m-функций Фибоначчи и Люка типа (19), (20) и (21), (22) соответсвует одна из m-последовательностей Фибоначчи и Люка, задаваемой формулами Газале (12) и (15). Этот факт имеет чрезвычайно важное значение при моделировании реальных физических, химических, биологических процессов и структур с использованием гиперболических m-функций Фибоначчи и Люка. При этом, как правило, «внешняя гармония» моделируемого объекта «в статике» проявляет себя в виде m-чисел Фибоначчи и Люка, которые обнаруживаются в тех или иных «статических» параметрах и характеристиках изучаемого объекта. Это является сигналом, который свидетельствует о том, что «внутрення гармония» данного объекта «в динамике» основывается на том или ином классе гиперболических m-функций Фибоначчи и Люка.

Эти общие рассуждения наиболее ярко проявляют себя в ботаническом явлении филлотаксиса. Как известно, на поверхности филлотаксисных объектов таких как сосновая шишка, ананас, кактус, головка подсолнечника и др. мы можем обнаружить «фибоначчиевые спирали». Но как показал украинский исследователь Олег Боднар [16], динамика, то есть процесс роста филлотаксисного объекта, моделируется с помощью гиперболических функций Фибоначчи. При этом в процессе роста происходит изменение порядка «динамической симметрии». Таким образом, с использованием гиперболических функций Фибоначчи (m=1) Боднару удалось раскрыть «скрытую гармонию» филлотаксисных объектов.

4. Выводы

Итак, мы можем сделать следующие выводы:

Геометрия Лобачевского – первый шаг в развитии «гиперболических представлений». Как известно, открытие неевклидовой геометрии, сделанное Николаем Лобачевским в первой половине 19-го века, считается важнейшим математическим открытием математики 19-го века (а может быть, даже важнейшим математическим открытием за всю историю математики!) и первым успешным проектом в развитии «гиперболических идей». Геометрия Лобачевского называется «гиперболической геометрией» на том основании, что для описания основных соотношений новой геометрии он использовал гиперболические функции (23), открытые в 18-м веке итальянским математиком Vincent Riccati (1707-1775). Почему Лобачевский использовал функции (23) в своей геометрии? Ответ чрезвычайно прост. Просто в тот момент других гиперболических функций не существовало. Начиная с работ Лобачевского, «гиперболические идеи» вместе с гиперболическими фунциями (23) начинают проникать в теоретическое естествознание, а математическая константа е (основание натуральных логарифмов) вместе с числом p (которое лежит в основе тригонометрии) возводятся в ранг едва ли не главных математичских констант Природы. С геометрии Лобачевского начинается победное шествие гиперболической геометрии в современной науке.

Геометрия Минковского – новый этап в эволюции пространственных представлений. Обсуждая эту проблему, Олег Боднар пишет в своей замечательной книге [16] следующее: «XX век стал новым этапом в эволюции пространственных представлений во всех сферах науки и искусства. Толчок глобальному процессу изменения представлений о геометрии пространства был дан физикой. Для физики вопрос связи с геометрией, с понятием пространства – это вопрос, обусловленный глубокой связью пространства, времени и материи... Но в разные периоды развития физики этому вопросу придавалось различное значение. До создания неевклидовых систем геометрии не было необходимости в доказательстве взаимодействия механики Ньютона и геометрии Евклида. Это считалось очевидным фактом. Такая необходимость возникла в конце XIX – начале XX-го веков, когда в физике было накоплено много новых наблюдений и фактов, не укладывающихся в систему классической концепции пространства. Из исследований Максвелла по электродинамике, Майкельсона-Мерли по измерению световой скорости, других научных данных непосредственно вытекал вопрос о сооответствии евклидовой модели пространста свойствам реального физического пространства. Объяснение противоречивых сведений, ставивших в тупик отношение физики с классической геометрией, дала теория относительности, одним из главных результатов которой стал вывод о неевклидовом характере геометрии реального пространства (пространства-времени)». В 1908 г., то есть спустя 3 года после обнародования специальной теории относительности, немецкий математик Герман Минковкий дал «гиперболическую интерпретацию» специальной теории относительности. Как подчеркивает Боднар [16], «геометрия Минковского оказывается иллюстрацией специальной теории относительности. В истории современной науки эта идея, как уже отмечалось, сыграла роль важного научного открытия, ознаменовавшего собой революционный прорыв геометрических представлений физики, выход на качественно новый уровень ее взаимоотношений с геометрией. Она позволила раздвинуть рамки геометрических исканий физиков при разработке общей теории относительности. Наконец, данное открытие положило начало общенаучноому процессу формирования новой философской концепции пространства – концепции «пространство-время». Геометрия Минковского основана на классичских гиперболических функциях (23) и вместе с этими функциями математическая константа е проникла и в специальную теорию относительности.

Идеи Вернадского и геометрия Боднара – прорыв в гиперболических представлениях о пространстве-времени живой Природы. Одним из первых ученых, который распространил «гиперболические идеи» на биологию, был В.И. Вернадский. Вернадский расширяет понятие пространства и времени с учетом биологической специфики их изучения. При этом он предполагет, «что существует специфика проявления этих законов в явлениях жизни и в физических процессах и явлениях. Он также предполагает, что законы формообразования живой природы должны отличаться от законов формоустрйства косных тел, соответствующих евклидовой геометрии» [16]. Украинский исследователь Олег Боднар является первым, кто нарушил монополию классических гиперболических функций в «гиперболических представлениях» о пространстве-времени [16]. Изучая ботаническое явление филлотаксиса и его законы, основанные на числах Фибоначчи», он сделал важное научное открытие. Он доказал, что геометрия филлотаксиса основана на так называемых «золотых» гиперболических функциях, основанных не на числе е, а на «золотой пропорции», которая является основной математической константой геометрического мира филлотаксиса.

Новые гиперболические функции – дальнейшее расширение «гиперболических представлений». Введенные в работе [13] новые гиперболические функции (19)-(22), основанные на «металлических пропорциях» (5), существенно расширяют количесво новых гиперболических моделей Природы. Трудно вообразить, что количество новых математических констант, задаваемых (5), теоретически бесконечно, но это действительно так, потому что каждое положительное действительное число m задает свою математическую константу типа (5). Все эти константы обладают удивительными математическими свойствами типа (6), (7). Каждая из математических констант, согласно формулам Газале (12) и (15), генерирует свой числовой ряд – ряд m-чисел Фибоначчи или m-чисел Люка, подобных по своим свойствам классическим числам Фибоначчи и Люка. Точно также трудно вообразить, что количество новых гиперболических функций, задаваемых (19)-(22), бесконечно. Но это действительно так, если учесть, что каждая математическая константа типа (5) задает свой класс гиперболических m-функций Фибоначчи и Люка (19)-(22). Этот результат имеет фундаментальное значение для дальнейшего развития гиперболической геометрии и ее приложений.

Утверждение о бесконечности гиперболических моделей Природы — главный вывод настоящего исследования. Итак, число новых гиперболических функций (19)-(22), основанных на новых математических константах (5), теоретичеси бесконечно! Это – главный вывод настоящего исследования. Конечно, Природа вряд в состоянии использовать все безграничное множество гиперболических моделей природы, задаваемых (19)-(22). Мы не имеем права указывать Природе, какой вид гиперболических функций ей использовать для конструирования того или иного природного объекта или явления. Решение – за Природой или за Высшим Разумом, который строит Природу по математическим законам. На основании исследований Боднара [16] мы можем сделать вывод, что кроме классических гиперболических функций, основанных на константе е, Природа использует и гиперболические функции Фибоначчи, соответсвующие значению m=1, то есть знаменитая «золотая пропорция», открытая древними греками («Начала» Евклида), является фундаментальной математической константой живой природы. Но Природа бесконечна в своем многообразии. И мы не имеем права запрещать Природе использовать другие гиперболические функции (19)-(22) при конструировании ее «гиперболичских миров». Мы вполне можем предположить, что дальнейшее развитие гиперболичской геометрии будет прежде всего связано с гиперболическими функциями, основанными на первых математических константах, задаваемым (10), то есть на золотой, серебряной, бронзовой и медной пропорциях. Эти новые математические константы и новые гиперболические функции представляют собой фундаментальный интерес для гиперболической геометрии и ее приложений в теоретическом естествознании и могут привести к созданию «Золотой» гиперболической геометрии Лобачевского» и «Золотой» геометрии Минковского как «золотой» гиперболической интерпретации специальной теории относительности Эйнштейна.

Приоритет Александра Татаренко в открытии новых математических констант Природы. В связи с вышеизложенным автор начинает понимать восторженный характер работ Александра Татаренко [1-3], который первым осознал значение новых математических констант (5) для будущего развития науки. В своей статье [1] Татаренко процитировал Николая Васютинского [15], одного из наиболее глубоко мыслящих специалистов в области «золотого сечения»: «Из всех пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами… Целое можно поделить на бесконечное множество неравных частей, но только одно из таких сечений отвечает золотой пропорции … Ведь не напрасно золотую пропорцию считают основным критерием гармонии Природы, а некоторые ученые даже одной из основных ее констант… Эта пропорция знаменует собой как бы вершину эстетических изысканий, некий предел Гармонии Природы.... ЕДВА ЛИ НАЙДЕТСЯ В МАТЕМАТИКЕ ВТОРОЕ ПОДОБНОЕ ЧИСЛО !». И вслед за цитатой Васютинского Александр Татаренко написал: «В 1995 году (точнее, 1-го января) в Ростове-на-Дону такое «…ВТОРОЕ ПОДОБНОЕ ЧИСЛО» нашлось. Мало того — было обнаружено бесконечное множество иррациональных чисел, обладающих той гипнотически завораживающей инвариантностью, какая тысячелетиями восторгала в числе Ф и физиков, и лириков». И если учесть, что Татаренко доложил о своем научном открытии в 1995 году, то есть раньше публикации работ Шпинадель, Газале и Капраффа, то мы должны признать приоритет российского ученого Александра Татаренко в открытии нового класса математических констант. И если еще в 2005 г. цитированное выше высказывание Александра Татаренко вызывало у меня раздражение, то сейчас, после создания новой теории гиперболических функций [13], основанных на математическом открытии Татаренко, мне не остается ничего другого, как снять шляпу перед Александром Татаренко, который не только сделал выдающееся математическое открытие, но и осознал его значение для будущего развития науки. В настоящее время процесс использования новых гиперболических функций для моделирования процессов, протекающих в живой природе, успешно развивается. И начало этому дали блестящие работы украинского исследователя Олега Боднара [16].

Литература:

1.Татаренко А.А. «Тm — принцип» — всемирный закон гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12575, 10.11.2005 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02320002.htm

2.Татаренко А.А. На пороге первого тысячелетия эры полигармонии Мира // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12658, 04.12.2005 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02320005.htm

3.Татаренко А.А. Золотые Тm – гармонии и Dm – фракталы — суть солитоно-подобного Тm – cтруктурогенеза мира // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12691, 09.12.2005 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02320010.htm

4. Стахов А.П. «Металлические Пропорции» Веры Шпинадель // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12532, 25.10.2005

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320029.htm

5. Vera W. de Spinadel. From the Golden Mean to Chaos. Nueva Libreria, 1998 (second edition, Nobuko, 2004).

6. Gazale Midhat J. Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999 (русский перевод, 2002).

7. Kappraff Jay. Beyond Measure. A Guided Tour Through Nature, Myth, and Number. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 2002.

8. Косинов Н.В. Золотая пропорция, золотые константы и золотые теоремы (http://314159.ru/kosinov/kosinov29.htm).

9. Косинов Н.В. Золотые инварианты гармонических последовательностей (http://314159.ru/kosinov/kosinov20.htm)

10. Косинов Н.В. Гармонические последовательности (http://314159.ru/kosinov/kosinov21.htm)

11. Ясинский С.Я. Прикладная «золотая» математика и ее приложения в электросвязи. Москва: Горячая линия – Телеком, 2004.

12. Борис Розин, Плагиат! По поводу книги С.А. Ясинского «Золотое» сечение в культурном и социально-экономическом развитии общества с приложениями в связи и логистике // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14711, 04.02.2008 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321082.htm

13. Стахов А.П. Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321063.htm

14. Stakhov A, Rozin B. On a new class of hyperbolic function. Chaos, Solitons & Fractals 2004, 23: 379-389.

15. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. Изд. «Молодая гвардия», М. 1990.

16. Боднар О.Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. Львов: Изд-во «Свит», 1994.


А.П. Стахов, Металлические Пропорции – новые математические константы Природы // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14748, 22.03.2008

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru