Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Математика Гармонии

А.П. Стахов
«Математика Гармонии» как новое междисцилинарное направление современной науки
Oб авторе
Обращение к российским математикам,
специалистам в области теоретического естествознания
и компьютерной науки

Уважаемые коллеги!


Недавно я познакомился с содержанием публичной лекции академика Владимира Арнольда «Сложность конечных последовательностей нулей и единиц и геометрия конечных функциональных пространств», прочитанной 13 мая 2006 г. на заседании Московского математического общества http://elementy.ru/lib/430178/430281. Протицирую некоторые положения этой статьи, которые мне особенно понравились: «По моему мнению, математика — просто часть физики, экспериментальная наука, которая открывает человечеству самые важные и простые законы природы» и «Начинать... следует с красивой математической теории. «Если она действительно красива,— говорит Дирак, — то она обязательно окажется прекрасной моделью важных физических явлений. Вот и нужно искать эти явления, развивать приложения красивой математической теории и интерпретировать их как предсказания новых законов физики», — так строится, по словам Дирака, вся новая физика, и релятивистская, и квантовая». Таким образом, из огромного количества математических моделей, которые могут быть созданы математиками, Дирак предлагает выбирать «красивые» математические теории, которые и должны использоваться физиками для моделирования реальных физических явлений. Следует отметить, что идеи Дирака полностью соответствуют идеям Пифагора, Платона и Евклида, которые в своих работах пытались найти гармонию и красоту в окружающем нас мире. Конечно, в определении «красоты» математики есть элемент субъективизма, но тем не менее большинство математиков сходятся во мнении, что «красивые» математические объекты все же существуют. Это – прежде всего «Треугольник Паскаля», который по праву считается символом комбинаторики, это — «Платоновы Тела», которые в течение нескольких тысячелетий вызывают всеобщее восхищение. Наконец, к этому разряду математических объектов мы можем отнести числа Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., которые порождаются простейшим рекуррентным соотеношением, открытым в 13 в. Итальянским математиком Леонардо из Пизы (Фибоначчи»):
Fn= Fn-1+ Fn-2; F0=0, F2=1 (1)

А разве не является «красивым» следующее алгебраическое уравнение:
x2=x+1. (2)

Уравнение (2) называется «уравнением золотой пропорции» на том основании, что корнем уравнения (2) является знаменитое иррациональное число
(3)

получившее много «красивых» названий: «золотое число», «золотая пропорция», «божественная пропорция» и др. Оказывается, что уравнение (2) и «золотая пропорция» (3) непосредственно связаны с числами Фибоначчи, поскольку предел отношения соседних чисел Фибоначчи Fn./ Fn-1 при устремлении n к бесконечности стремится к «золотой пропорции» (3). Считается, что это соотношение впервые было установлено Иоганном Кеплером.

Идеи Арнольда и Дирака полностью соответствуют моим представлениям о математике и ее роли в развитии науки. Более того. Вся моя научная работа последнего десятилетия была направлена на развитие «Математики Гармонии», которая ставит своей целью прежде всего создание «красивых» математических моделей явлений окружающего нас мира. Я уверен в том, что математические теории, созданные в рамках «Математики Гармонии», отвечают полностью критерию «красоты» и открывают новые перспективы для развития всего теоретического естествознания, включая физику, химию, ботанику, биологию и другие науки. Кроме того, прикладные математические теории, созданные в рамках «Математики Гармонии», могут стать основой для создания новых проектов в области компьютеров и систем коммуникации. Именно поэтому у меня возникло желание обратиться с этим открытым письмом к российскому научному сообществу, в частности, к математикам, физикам-теоретикам и всем специалистам в области теоетического естествознавния, компьютеров и теоретической информатики. Цель этого обращения — привлечь их внимание к новому междисциплинарному направлению современной науки, которое может способсьвовать развитию всего теретического естествознания.

Несколько слов о себе. Я – доктор технических наук в области компьютерной техники. В течение всей своей научной жизни я двигался к математике через компьютеры, кодирование, измерение, системы счисления и новые компьютерные арифметики. Я очень рано вошел в «большую науку», став доктором наук в 32 года (1972) и профессором в 34 года (1974), и моя научная карьера в Советском Союзе в общем-то складывалась успешно. Из нескольких сотен моих публикаций я выделил несколько наиболее важных, с моей точки зрения, работ [1-42]. В советский период мне удалось опубликовать несколько книг (Введение в алгоритмическую теорию измерения [1]; Алгоритмическая теория измерения [2]; Коды золотой пропорции [3]), вызвавших интерес у математиков и компьютерных специалистов. Я работал визитинг-профессором многих университетов мира, в частности, Венского технического университета (1976), Йенского унивекрситета (1986), Дрезденского технического университета (1988), Университета Аль Фатех (Ливия, 1995-1997), Университета Эдуардо Мондлане (Мозамбик, 1988-2000). После моего выступления на объединенном заседании кибернетического и компьютерного обществ Австрии (Вена, 1976) с докладом по своему научному направлению, на государственном уровне было принято о решение о патентованиии моих изобретений в области «Компьютеров Фибоначчи» за рубежом. Я – автор 65 патентов США, Японии, Англии, Франции, Германии, Канады и других стран и около 150 авторских свидетельств СССР, которые в совокупности защищают мой приоритет в области «Компьютеров Фибоначчи», на разработку которых я потратил около 20 лет своей жизни.

В 1996 г. я сделал доклад «The Golden Section and Modern Harmony Mathematics» на 7-й Международной конференции «Числа Фибоначчи и их приложения», организованной Американской Фибоначчи-ассоциацией (Австрия, Грац, июль 1996) [17]. В марте 1998 по инициативе академика Ю.А. Митропольского я прочитал публичную лекцию на эту тему на заседании Украинского математического общества. Начиная с конца 20-го столетия, все мои усилия были сконцентрированы на развитии «Математики Гармонии». 29 мая 2003 г. я прочитал в Московском университете публичную лекцию «Новый тип элементарной математики и компьютерной науки, основанных на Золотом Сечении» на совместном заседании семинара «Геометрия и Физика» кафедры теоретической физики Московского университета им. Ломоносова и Междисциплинарного семинара Симметрии в науке и искусстве» при Институте машиноведения РАН http://www.goldenmuseum.com/20ReportPres_rus.html.

В октябре 2003 г. по моей инициативе в Виннице (Украина) была проведена Международная конференция «Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве». Наиболее важные статьи, опубликованные мною в последние годы – это: «A generalization of the Fibonacci Q-matrix» [10], «Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа» [11], «Золотое сечение, священная геометрия и математика гармонии» [12], статья «Brousentsov’s ternary principle, Bergman’s number system and ternary mirror-symmetrical arithmetic» [19], «Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии [39].

С 2004 г. я живу в Канаде. В течение 2005-2007 гг. я опубликовал свыше 10 статей по «Математике Гармонии» в международном журнале «Chaos, Solitons and Fractals» (England) [20-28] и 2 статьи в международном электронном журанале «Visual Mathematics» [29, 30]. С 2005 г. я возглавляю Институт Золотого Сечения Академии Тринитаризма (http://www.trinitas.ru/rus/002/a0208001.htm), вокруг которого сгруппировались все лучшие «золотоискатели» России, Украины и Беларуси.

Благодаря моим публикациям в западных международных журналах, идеи «Математики Гармонии» привлекли внимание западных математиков и физиков-теоретиков. Мне удалось установить научные связи с ведущими специалистами в области «Золотого Сечения» различных стран (США, Канада, Англия, Германия, Бразилия, Чили, Аргентина). В 2007 г. Я был приглашен в качестве Invited Speaker of the Fifth International Conference «Mathematics & Design» (Brazil, University Blumenau, August 2008).

Однако основным достижением своего «канадского» периода я считаю написание книги «The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science» (600 с., 11 глав). Благодаря поддержке американских математиков эта книга в 2007 г была принята к публикации Международным издательством «World Scientific» http://www.worldscibooks.com/mathematics/6635.html, http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/981277582X/phipoint-20.

Эта книга подытоживает почти 40-летний период моих исследований по созданию «Математики Гармонии» как нового междисциплинароного направления современной науки. Расширенная аннотация книги опубликована электроннном журнале «Visual Mathematics» http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/sg/stakhov2008/index.html. Планируется, что книга будет опубликована во второй половине 2008 г.

В чем суть моей книги и в чем состоит ее междисциплинарное значение? В своих исследованиях я стою на следующих позициях. Идея Гармония Мироздания и связанная с ней идея «Золотого Сечения», восходящие к Пифагорейскому учению о числовой гармонии мироздания, являются древнейшей научной парадигмой, которая возникла в тот же период, как и сама наука. Эти идеи относится к разряду «вечных» проблем, интерес к которым никогда не угасал в науке, но особенно возрастал в периоды наивысшего расцвета человеческой культуры.

В подтверждение этого положения уместно привести высказываниям двух гениев – Иоганна Кеплера и Алексея Лосева, касающихся «проблемы гармонии» и роли «золотого сечения» в науке.

Иоганн Кеплер

«В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

Алексей Лосев

«С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления — Золотого Сечения... Их (древних греков) систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьезный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия».

Есть все основания полагать, что последняя четверть 20-го века и начало 21-го века стали периодами своеобразного Ренессанса этой древнейшей научной парадигмы в современной науке. Современная наука, в которой преобладают процессы дифференциации, нуждается в некоторой междисциплинарной, интегрирующей и синтезирующей научной дисциплине, которая объединила бы все направления науки, искусства и технологии. И такой междисциплинарной научной дисциплиной может стать «Математика Гармонии». В ее основе лежат следующие научные положения:

- Гармония царит во всем мире, она является упорядочивающим и творческим началом всей природы и космоса.

- Вся природа и искусство – это целесообразно и гармонично устроенное целое. И в природе и в искусстве отдельные вещи и явления существуют как часть целого, как момент в общей системе красоты и гармонии.

- «Математическая Гармония» является объективным и всеобщим свойством Природы в целом и любой ее части в отдельности. Все структуры природы стремятся к «гармоничному», то есть «оптимальному» (с некоторой точки зрения) состоянию.

Как известно, этой точки зрения придерживались многие исследователи. По словам Б.Г. Кузнецова, исследователя творчества Альберта Эйнштейна, великий физик свято верил в то, что наука, физика в частности, всегда имела своей извечной фундаментальной целью «найти в лабиринте наблюдаемых фактов объективную гармонию». О глубокой вере выдающегося физика в существование универсальных законов гармонии мироздания свидетельствует и еще одно широко известное высказывание Эйнштейна: «Религиозность ученого состоит в восторженном преклонении перед законами гармонии». Мнение Дирака по этому поводу приведено выше.

Почему же в современной математике идеи Гармонии и «Золотого Сечения» не получили должного отражения? Мне представляется, что в процессе развития математики было сделано несколько «стратегических ошибок», которые повлияли на развитие математики и ее структуру. Главная из них – это пренебрежение идеей Гармонии и «Золотым Сечением», что было едва ли не важнейшей идеей греческой науки (Пифагор, Платон, Евклид). Современные математики не уделили должного внимания утверждению греческого математика Прокла Диадоха, комментатора Евклида, об истинных целях написания «Начал» Евклида. Основываясь на том, что 13-я, то есть, заключительная книга «Начал» Евклида, была посвящена теории «Платоновых Тел», Прокл Диадох сделал заключение, что именно изложение теории этих тел, которые у Пифагора и Платона выражали «Гармонию Мироздания», и было главной целью Евклида. Все остальное математические результаты (аксиомы геометрии, теория чисел, теория иррациональностей), изложенное в предыдущих книгах «Начал» Евклида, было своеобразным «сопутствующим материалом», который был использован Евклидом для достижения «главной цели» — создания полной теории «Платоновых Тел». В этой связи особенно примечательной является Теорема 2.11, сформулированная Евклидом в Книге 2. В этой теореме речь идет о «задаче о делении в крайнем и среднем отношении», которое в современной науке называется «Золотым Сечением». Важно подчеркнуть, что без Теоремы 2.11 Евклид не смог бы дать осуществить геометрическое построение додекаэдра – одного из самых важнейших «Платоновых Тел», основанныом на «Золотом Сечении».

Все вышеизложенное означает, что современная математика, берущая свое начало в «Началах» Евклида, создана на «сопутствующих материалах» (аксиоматический подход, теория чисел, теория иррацинальности). При этом главная идея греческой науки — идея Гармонии и «Золотого Сечения», воплощенная в «Началах» Евклида, — позже были выброшены на свалку «сомнительных научных концепций» вместе с астрологией и другими эзотерическими науками. Если учесть, какую роль «Платоновы Тела» играют в современной науке (квазикристаллы Шехтмана, фуллерены – Нобелевская Примия по хими 1996 г.), то можно только удивляться гениальной прозорливости Пифагора, Платона, Евклида, а также Феликса Клейна, который более 100 лет назад предсказал ту роль, которую икосаэдр и додекаэдр могут сыграть в объединении различных частей математики.

«Стратегическая ошибка» была допущена и при изложении истории происхождения математики. Я считаю, что утверждение выдающегося математика А.Н. Колмогорова (Математика в ее историческом развитии. М: Наука, 1991) и других современных историков математики о том, что в своих истоках математика восходит только к двум «ключевым» проблемам – «Проблеме Счета» (натуральные числа и теория чисел) и «Проблеме Измерения» (иррациональные числа и теория иррациональностей) — является одностроннним и не соответствует исторической правде. В греческой науке существовала еще одна «проблема», которая лежала у истоков создания математики и науки в целом – «Проблема Гармонии», которая стимулировала развитие науки и математики не в меньшей степени, чем первые две проблемы. И если ввести «Проблему Гармонии» в состав «ключевых» проблем математики на этапе ее зарождения, то история математики и ее структура дожны выглядеть по-другому.

«Проблема счета» уже на раннем этапе развития человеческой культуры приводит к созданию первых арифметик (Вавилон, Египет). В рамках этой проблемы на этапе «зарождения математики» (Вавилон) было сделано выдающееся математическое открытие – позиционный принцип представления чисел, воплощенный в Вавилонской 60-ричной системе счисления. Этот принцип лежит в основе всех основных систем счисления, изобретенных человечеством в процессе своего развития, в частности, десятичной системы, которая, по мнению Остроградского, может быть сравнена с возникновеним письменности по своему влиянию на развитие человеческой культуры. Это же принцип лежит в основе «двоичной системы», которая лежит в основе современных компьютеров. Любопытно отметить, что методы умножения и деления двоичных чисел, используемые в компьютерах, открыты египетскими математиками («метод удвоения»). Конечным итогом длительного развития «проблемы счета» является формирование концепции натуральных чисел, для изучения которых в Древней Греции возникла теория чисел.

«Проблема измерения» является второй «ключевой» идеей, которая повлияла на развитие математики. С этой проблемой связано открытие геометрии, которая на ранннем этапе была связана с «измерением Земли». Открытие несоизмеримых отрезков, сделанное пифагорейцами, считается крупнейшим математическим открытием греческой математики. Оно привело к открытию иррациональных чисел – фундаментального математического понятия, без которого немыслимо существование математики.

Наконец, в рамках «проблемы гармонии» было открыто «золотое сечение» (Теорема 2.11 «Начал» Евклида) и разработана геометрическая теория «Платоновых Тел» (13-я Книга «Начал» Евклида).

Первые две проблемы привели к формированию двух фундаментальных понятий математики –натурального числа и иррационального числа, которые и стали основными понятиями «Классической Математики» и классического теоетического естествознания. Развитите «Проблемы Гармонии» и «Золотого Сечения» привело к созданию «Математики Гармонии» — нового междисциплинарного направления современной науки и математики.

Таким образом, начиная с древних греков, развитие математики осуществлялось в двух независимых направлениях: «Классическая Математика», которая достигла своего расцвета в 17-м – 19 веках, благодаря прежде всего созданию дифференциального и интегрального исчисления (Ньютон и Лейбниц), современной алгебры (Абель и Галуа) и неевклидовой геометрии (Лобачевский и Больяи). Параллельно с «Классической Математикой» осуществлялось и развитие «Математики Гармонии». В ее разработке принимали участие выдающиеся ученые и мыслители Пифагор, Платон, Евклид, Фибоначчи, Лука Пачоли, Иоганн Кеплер, Бине, Люка, Феликс Клейн и многие другие. В 20-м веке интерес к этому научному направлению значительно возрос в математической науке благодаря исследованиям российского математика Николая Воробьева и американского математика Вернера Хоггатта, создателя Фибоначчи-Ассоциации.

Что же может дать «Математика Гармония» современной науке? Прежде всего необходимо подчеркнуть, что основной осбенностью «Математики Гармонии» по сравнению с «Классической Математикой» является нацеленность на «красивые» математические теории, которые могут стать моделями реальных физических, химических, биологических и ботанических явлений. Хочу остановиться на некоторых из этих моделей:

1. Рекуррентные соотношения, вытекающие из Треугольника Паскаля. Как упоминалось выше, «Треугольник Паскаля» по праву считается одним из наиболее «красивых» математических объектов. В теоретическом естествознании широко используются комбинаторные соотношения, в частности, биномиальная теорема и биномиальные коэффициенты, группируемые в «Треугольнике Паскаля» согласно «Принципу Паскаля». И поэтому современных математиков и физиков-теоретиков не может не заинтересовать одно открытие, связанное с «Треугольником Паскаля». Во второй половине 20-го века сразу несколько математиков (Пойя, Гарднер и др.) обнаружили связь биномиальных коэффициентов с числами Фибоначчи. Изучая так называемые «диагональные суммы» треугольника Паскаля, автору еще в 70-е годы 20-го столетия удалось обнаружить новые числовые последовательности, названные р-числами Фибоначчи [1]. При заданном р=0, 1, 2, 3,... они задаются рекуррентной формулой
Fp(n) = Fp(n-1) + Fp(n-p-1). (4)

При начальных условиях
Fp(0) = 0; Fp(1) = Fp(2) =... = Fp(р) = 1 (5)

данное рекуррентное соотношение генерирует бесконечное число новых рекуррентных числовых последовательностей, частными случаями которых являются «двоичный ряд чисел» 1, 2, 4, 8, 16,... (р=0) и ряд Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... (р=1).

А теперь несколько примеров, касающиеся приложений р-чисел Фибоначчи в соременной науке. Проблема деления клеток является одной из фундаментальных в теоретической биологии. Еще в 90-е годы 20-го столетия украинский исследователь Борис Розин высказал гипотезу о «фибоначчиевом» характере процесса деления биологических клеток (см. Борис Розин. Плагиат! По поводу книги С.А. Ясинского «Золотое» сечение в культурном и социально-экономическом развитии общества с приложениями в связи и логистике http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321082.htm). В дальнейшем эта идея была развита в работе Spears C.P., Bicknell-Johnson M. Asymmetric cell division: binomial identities for age analysis of mortal vs. immortal trees, Applications of Fibonacci Numbers, Vol. 7, 1998, 377-391. В этой статье убедительно показано, что процесс деления биологических клеток, осуществляется на основе р-чисел Фибоначчи, задаваемых (4), (5). То есть, р-числа Фибоначчи являются математической моделью одного из важнейших биологических явлений – деления клеток.

Другой пример касается теоретической физики. В работе F. Byuykillic and D.Demirham «Cumulative diminuations with Fibonacci approach, golden section and physics», International Journal of theoretical physics (in press) разработан оригинальный подход к моделированию важного класса физических явлений (сumulative diminuations), основанный на р-числах Фибоначчи. В статье отмечается особая роль, которую может сыграть «Математика Гармонии» в современной математической физике.

Рекуррентное соотношение (4) порождает важный класс алгебраических уравнений
xp+1=xp+1, (6)

частным случаем которых является уравнение (2), приводящее к «золотой пропорции» (3) при р=1. На этом основании положительные корни уравнения (6) были названы «золотыми р-пропорциями» t р (р=0, 1, 2, 3,...). Почему уравнение (6) важно для теоретического естествознания? Дело в том, что оно непосредственно связано с р-числами Фибоначчи, которые представляют собой диагональные суммы «Треугольника Паскаля». Следовательно, золотые р-пропорции t р являются новыми математическими константами, выражающими глубинные и неизвестные ранее математические свойства «Треугольника Паскаля». Наиболее далеко в оценке роли «золотых р-пропорций» в современной науке пошел белорусский философ Эдуард Сороко, который в книге «Структурная гармония систем» (1984) сформулировал так называемый закон структурной гармонии систем:

«Обобщенные золотые сечения суть инварианты, на основе и посредством которых в процессе самоорганизации естественные системы обретают гармоничное строение, стационарный режим существования, стуктурно-функциональную... устойчивость».

Этих примеров достаточно, чтобы сделать вывод о том, что новые математические результаты, вытекающие из «Треугольника Паскаля (р-числа Фибоначчи, новый класс алгебраических уравнений, новые математические константы), действительно, являются «красивыми» математическими результатами, которые могут широко использоваться для моделирования различных явлений окружающей нас природы. И я призываю физиков-теоретиков и специалстов в области теоретического естествознания с вниманием отнестись к р-числам Фибоначчи!

2. Формулы Газале. Еще один математический результат, который может быть использован для моделирования физических явлений, — это m-числа Фибоначчи Fm(n) [39], которые задаются следующим рекуррентным соотношением:
Fm(n+2)=m Fm(n+1)+Fm(n), Fm(0)=0, Fm(1)=1, (7)

где m>0 — заданное действительное число. Заметим, что рекуррентное соотношение (7) порождает бесконечное число новых числовых последовательностей, так как каждое действительное число m>0 порождает свою числовую последовательность. При m=1 рекуррентное соотношение порождает классические числа Фибоначчи, а при m=2 – числа Пелли.

Важно подчеркнуть, что к рекуррентному соотношению (7) пришли практически одновременно и независмо друг от друга несколько исследователей из разных стран – аргентинский математик Вера Шпинадель, американский математик Джей Капрафф, египетский математик Мидхат Газале и российский исследователь Александр Татаренко.

Рекуррентное соотношение (7) приводит к следующему обобщению «уравнения золотой пропорции»:
x2mx – 1 = 0. (8)

Положительный корень указанного выше квадратного уравнения порождает бесконечное число новых «гармонических» пропорций – «золотых m-пропорций», которые выражаются следующей изящной формулой:
. (9)

Заметим, что при m=1 эта формула задает классическую «золотую пропорцию» (3).

Формула (9) задает бесконечное число новых математических констант, так как кажому m>0 соответствует своя константа типа (9). «Золотые m-пропорции» (9) обладают следующими математическими свойствами:

которые являются обобщениями подобных свойств для классической «золотой пропорции»:

Эти выражения являются «красивыми» математическими результатами и подчеркивают фундаментальный характер как классической «золотой пропорции», так и обобщенной «золотой m-пропорции».

В книге Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999 (русский перевод, 2002) египетский математик Мидхат Газале вывел следующую замечательную формулу, которая задает аналитически m-числа Фибоначчи Fm(n) в диапазоне значений n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,...:
(10)

Следует отметить, что выведенная формула задает бесконечное количество новых рекуррентных числовых последовательностей, подобных числам Фибоначчи, так как каждому m соответствует своя числовая последовательность. Некоторые из них приведены ниже.

m

F m

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

1

5

-3

2

-1

1

0

1

1

2

3

5

2

1+

29

-12

5

-2

1

0

1

2

5

12

29

3

109

-33

10

-3

1

0

1

3

10

33

109

4

305

-72

17

-4

1

0

1

4

17

72

305

Заметим, что второй ряд этой таблицы (m=1) задает классические числа Фибоначчи, в то время как третий ряд (m=2) задает числа Пелли.

Эта формула по праву может быть отнесена к разряду выдающихся математических формул наряду с формулами Эйлера, формулами Муавра, формулами Бине и т.д. В статье [39] автор назвал эту формулу формулой Газале. В этой же статье автор вывел «формулу Газале» для m-чисел Люка:
. (11)

Заметим, что эта формула задает бесконечное количество новых рекуррентных последовательностей, частными случаями которых являются классические числа Люка (m=1) и числа Пелли-Люка (m=2).

3. Новые гиперболические модели Природы. Важным научным результатом работы [39] является разработка общей теории гиперболических функций, вытекающих из «формул Газале» (10), (11).

Гиперболический m-синус Фибоначчи

(12)

Гиперболический m-косинус Фибоначчи

(13)

Гиперболический m-синус Люка

(14)

Гиперболический m-косинус Люка

(15)

Заметим, что эти гиперболические функции являются обобщением симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка, введенными Стаховым и Розиным в 2005 г. [21].

Как известно, в основе «геометрии Лобачевского» лежат гиперболические функции, которые выражаются через число е – фундаментальную математическую константу, основание натуральных логарифмов:
(16)

Именно поэтому «геометрию Лобачевского» называют также «гиперболической геометрией». Почему же Лобачевский использовал в своей геометрии функции (16), введенные итальянским математиком Vincenzo Riccati в 18-м веке. Все очень просто. На тот момент других функций, которые бы могли выразить «гиперболический характер» новой геометрии, просто не существовало. Именно с таких позиций необходимо оценивать гиперболичекие m-функции Фибоначчи и Люка, задаваемые (12)-(15). Прежде всего, необходимо отметить, что основанием гиперболических функций (12)-(15) является не число е, как принято, а некоторые новые математические константы , задаваемые общей формулой (9). Но поскольку каждому действительному числу m соответствует свое численное значение константы , то отсюда вытекает, что количество новых гиперболических функций, задаваемых (12)-(15), совпадает с количеством действительных чисел, то есть, число новых гиперболических функций, задаваемых (12)-(15), бесконечно!

В статье [39] показано, что если принять число m в формулах (9), (12)-(15) равным
m=e – (1/e) = 2.350040238…, (17)

то классичские гиперболические функции (16) сводятся к гиперболическим m-функциям Люка (14)-(15) и выражаются через них следующим образом:
и . (18)

Функции (12)-(15) обладают уникальными математическими свойствами [39]. С одной стороны, они обладают всеми «гиперболическими свойствами», подобными свойствами классических гиперболических функций (16). С другой стороны, они обладают всеми «рекуррентными свойствами», подобными свойставам m-чисел Фибоначчи и Люка, задаваемыми «формулами Газале» (10), (11).

На основании вышеизложенного, мы можем смело утверждать, что гиперболические m-функции Фибоначчи и Люка (12)-(15) – это фундаментальное математическое открытие, которое может привести к переосмысливанию всей гиперболической геометрии и ее приложений в теоретическом естествознании (например, геометрии Минковского в теоретической физике).

Можно предположить, что различным явлениям природы адекватно соответствуют гиперболические m-функции Фибоначчи и Люка, соответствующие различным значениям m. Например, геометрия филлотаксиса требует для своего описания гиперболические m-функции Фибоначчи и Люка, соответствующие значению m=1 [20, 29]. То есть, основанием таких гиперболических функций является классическая «золотая пропорция» (3). Именно такие функции были использованы украинским исследователем Олегом Боднаром для создания новой геометрической теории филлотаксиса (см. книгу Олега Боднара «Золотое Сечение и неевклидова геометрия в Природе и Искусстве». Львов: Свит, 1994). Исследования Боднара показывают, что гиперболические функции Фибоначчи и Люка, введенные в работах [5, 6, 20, 29, 39] являются «естественными» функциями Природы, которые лежат в основе ботанического явления филлотаксиса.

Таким образом, формулы Газале и вытекающие из них новые математические результаты в области гиперболических функций Фибоначчи и Люка открывают интересные перспективы для создания новых гиперболических моделей Природы (теоретическая физика). Из такого подхода вполне можно ожидать появление следующих новых научных теорий «космологического» характера: (1) «Золотая» геометрия Лобачевского; (2) «Золотая» геометрия Минковского как новая интерпретация специальной теории относительности Эйнштейна. То есть, новые гиперболические функции могут привести к пересмотру важнейших научных теорий современной науки.

К этим гиперболическим функциям мне хотелось бы привлечь особое внимание физиков-теоретиков!

4. Приложения «Математики Гармонии» в современной информатике

В этом письме нет возможности подробно осветить все оригинальные приложения «Математики Гармонии» в современной информатике. Я остановлюсь только на двух из них.

4.1. Троичная зеркально-симметричная арифметика. Компьютеры могут быть построены не только на «двоичном» принципе (двоичная система счисления, Булева логика, двоичный элемент памяти), но и на «троичном» принципе (троичная система счисления, троичная логика, троичный элемент памяти). Впервые «троичный» принцип был реализован в компьютере «Сетунь», разработанном на заре компьютерной эры под руководством Николая Брусенцова в Московском университете. В работе [19] автором предложена новая компьютерная арифметика, построенная на «троичном» принципе и названная троичной зеркально-симметричной арифметикой. Высокая оценка новой компьютерной арифметики «компьютерным патриархом» Николаем Брусенцовым и выдающимся американским ученым Дональдом Кнутом, почетным профессором Стэнфордского университета, вселяет надежду, что проект «Троичного зеркально-симметричного компьютера» будет реализован уже в ближайшее время.

4.2. Новая теория кодирования, основанная на матрицах Фибоначчи. В работах [4, 27] разработаны основы новой теории кодирования, основанной на матрицах Фибоначчи. Показано, что новые корректирующие коды, вытекающие из этого подхода, превышают известные корректирующие коды в 1 000 000 и более раз по корректирующей способности.

4.3. «Золотая» криптография. Все известные методы криптографии создавались для «идеальных» условий, то есть в предположении, что «кодер» осуществляет «идеальное» преобразование исходного сообщения («plaintext») в зашифрованное сообщение («ciphertext»). При этом «канал связи» также осуществляет «идеальную» передачу зашифрованного сообщения. Как известно, в реальных условиях это неосуществимо. Для ряда специальных приложений (космические и военные системы связи) проблема обеспечения надежного функционирования криптосистемы является особенно актуальной. В работах [28, 39] автором разработан новый метод криптографии, названный «золотой» криптографией. Метод основан на использовании так называемых «золотых» матриц [28, 39], обладающих уникальными математическими свойствами, связанными со свойствами гипеболических m-функций Фибоначчи (12), (13). Эти свойства могут быть использованы для обеспечения контроля процесса преобразования исходного сообщения в зашифрованное (в «кодере»), а также зашифрованного сообщения в исходное (в «декодере»), а также для контроля передачи информации в «канале связи», то есть на основе «золотой» криптографии могут быть созданы супернадежные «гибридные» криптосистемы, в которых осуществляется защита информации не только от «хакеров», но и от «шумов», «сбоев» и «отказов» в криптосистеме.

Таким образом, в рамках «Математики Гармонии» получено ряд «красивых» математических результатов (p-числа Фибоначчи, m-числа Фибоначчи, новые классы алгебраических уравнений и новых математических констант). Математиков и физиков-теоретиков не может не заинтересовать новая теория гиперболических функций, основанных на формулах Газале, которые являются обобщением знаменитых «формул Бине», открытых в 19-м веке. Я глубоко убежден в том, что новая теория гиперболических функций [39] открывает новые пути в развитии теоретической физики. Однако, новая теория кодирования и криптографии, основаннная на «матрицах Фиибоначчи» и «золотых матрицах», может стать основой для создания «золотой» информатики.

Я убежден, что изложенный выше подход к получению «красивых» математических результатов, принятый в «Математике Гармонии», соответствует духу и истории греческой науки и может оказаться весьма плодотворным в развитии современной математики, теоретического естествознания, компьютерной науки и математического образования. Изложенные выше идеи положены в основу моей новой книги «The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science» и статьи «Роль «Золотого Сечения» и «Математики Гармонии» в преодолении «стратегических ошибок» в развитии математики» [42], выставленной на Интернете http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321074.htm

Важнейшие публикации Алексея Стахова

  1. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва, Советское Радио, 1977 г.
  2. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения. Москва, Знание, серия «Математика и кибернетика», вып.6, 1979 г.
  3. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. Москва, Радио и связь, 1984 г.
  4. Stakhov A.P., Massingua V., Sluchenkova A.A. Introduction into Fibonacci Coding and Cryptography». Харьков, Изд-во «Основа» Харьковского университета, 1999 г.
  5. Stakhov A.P. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions: a New Mathematics for Living Nature. Vinnitsa, ITI, 2003.
  6. Стахов А.П. Новая математика для живой природы: Гиперболические функции Фибоначчи и Люка». Винница, Изд-во «ITI», 2003.
  7. Стахов А.П., Слученкова А.А., Щербаков И.Г. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. Санкт-Петербург: Питер, 2006.
  8. Stakhov A.P. The Harmony Mathematics. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. New Jersey. London. Singapore. Hong Kong: World Scientific (in press)
  9. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии наук УССР, том 208, № 7, 1993 г.
  10. Stakhov AP. A generalization of the Fibonacci Q-matrix. Доклады Академии наук Украины, 1999, №9, с. 46-49.
  11. Стахов А.П. Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа. Украинский математический журнал, том. 56, 2004 г.
  12. Стахов А.П. Золотое сечение, священная геометрия и математика гармонии. Сборник «Метафизика. Век XXI». Москва: БИНОМ, 2006, с. 174-215
  13. Стахов А.П., Розин Б.Н. Симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка. Number, Time, Relativity. Proceedings of International Scientific Meeting. Moscow, 10 August – 13 August, 2004.
  14. Стахов А.П., Розин Б.Н. Новый класс гиперболических функций. Труды Института прогрессивных исследований, вып. 4, Израиль, Арад, 2004 г.
  15. Стахов А.П. Коды и компьютеры Фибоначчи, матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования. Труды Института прогрессивных исследований, вып. 4, Израиль, Арад, 2004 г.
  16. .
  17. Stakhov A.P. The Golden Section in the measurement theory. An International Journal «Computers & Mathematics with Applications», Volume 17, No 4-6, 1989.
  18. Stakhov A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics. Applications of Fibonacci Numbers, Volume 7, 1998.
  19. Stakhov AP. Brousentsov’s ternary principle, Bergman’s number system and ternary mirror-symmetrical arithmetic. The Computer Journal 2002, Vol. 45, No. 2: 222-236.
  20. Stakhov A, Rozin B. On a new class of hyperbolic function. Chaos, Solitons & Fractals 2004, 23(2): 379-389.
  21. Stakhov A., Rozin B. The Golden Shofar. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 26(3); 677-684.
  22. Stakhov A., Rozin B. The «golden» algebraic equations. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1415-1421.
  23. Stakhov A., Rozin B. Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1162-1177.
  24. Stakhov A., Rozin B. The continuous functions for the Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals 2006, 28 (4): 1014-1025.
  25. Stakhov A. The Generalized Principle of the Golden Section and its applications in mathematics, science, and engineering. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 26 (2): 263-289.
  26. Stakhov A. Fundamentals of a new kind of Mathematics based on the Golden Section. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1124-1146.
  27. Stakhov A. Fibonacci matrices, a generalization of the «Cassini formula», and a new coding theory. Chaos, Solitons & Fractals, 2006, Volume 30, Issue 1, 56-66.
  28. Stakhov A. The «golden» matrices and a new kind of cryptography. Chaos, Solitons & Fractals 2007, Volume 32, Issue 3, 1138-1146.
  29. Stakhov A. Rozin B. The Golden Section, Fibonacci series and new hyperbolic models of Nature. Visual Mathematics, Volume 8, No. 3, 2006 (http://members.tripod.com/vismath/pap.htm)
  30. Stakhov A. Three «key» problems of mathematics on the stage of its origin, the «Harmony Mathematics» and its applications in contemporary mathematics, theoretical physics and computer science. Visual Mathematics, Volume 9, No.3, 2007 (http://members.tripod.com/vismath/pap.htm)
  31. Стахов А.П. Сакральная геометрия и математика гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.11176, 26.04.2004 (www.trinitas.ru/rus/doc/0202/010a/02020028.htm).
  32. Стахов А.П. Математика Гармонии как новое междисциплинарное направление современной науки // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12371, 19.08.2005(www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320001.htm)
  33. Стахов А.П., Розин Б.Н. «Золотые» гиперболические модели Природы // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12616, 22.11.2005 (www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320034.htm)
  34. Стахов А.П. Троичный принцип Брусенцова, система счисления Бергмана и «золотая» троичная зеркально-симметричная арифметика // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12355, 15.08.2005 (www.trinitas.ru/rus/doc/0232/003a/02320001.htm)
  35. Стахов А.П. Теорема Пифагора и числа Фибоначчи // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12403, 06.09.2005 (www.trinitas.ru/rus/doc/0232/003a/02320003.htm)
  36. Стахов А.П. Додекаэдр, тайна Египетского календаря, циклы Солнечной Системы и «Арифметика Вселенной» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13065, 10.03.2006 (www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320039.htm)
  37. Стахов А.П. Матричный подход в «теории Золотого Сечения» и «золотые» геноматрицы Сергея Петухова // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13439, 15.06.2006 (www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321050.htm)
  38. Стахов А.П. «Принцип Золотой Пропорции» в «Началах» Евклида и «Обобщенный Принцип Золотого Сечения» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13523, 06.07.2006 (www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321051.htm)
  39. Стахов А.П. Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006 (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321063.htm)
  40. Стахов А.П. Три «ключевые» проблемы математики на этапе ее зарождения и новые направления в развитии математики, теоретической физики и информатики // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14135, 12.01.2007 (www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321064.htm)
  41. Стахов А.П. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка: история и приложения // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14429, 31.05.2007 (www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321057.htm)
  42. Стахов А.П. Важнейшие научные открытия современной науки, основанные на «золотом сечении» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14575, 18.09.2007 (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321071.htm)

А.П. Стахов, «Математика Гармонии» как новое междисцилинарное направление современной науки // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14729, 08.03.2008

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru