|
В последние годы мне удалось опубликовать 12 статей в международном журнале «Chaos, Solitons and Fractals» [1-12] (часть из этих статей опубликована в соавторстве с Борисом Розиным). Эти статьи вызвали большую заинтересованность мировой научной общественности. Я получил много писем от ученых Бразилии, Аргентины, Турции, Китая, Ирана и др. стран с просьбой переслать им электронные копии этих статей. В двух письмах, написанных турецкими учеными, содержались предложения о научном сотрудничестве и написании совместных статей в развитие моих работ [1-12]. Я согласился на такое сотрудничество. Результатом была публикация новых работ с моим участием в том же журнале «Chaos, Solitons and Fractals» [13, 14]. Одна из этих работ [13] представляет общий научный интерес, так как касается обобщения чисел Фибоначчи, которое «тянет за собой» обощение чисел Люка, обобщение формул Бине, и, наконец, обобщение золотой пропорции.
Зададимся целым неотрицательным числом р=0, 1, 2, 3,... и положительным действительным числом m и рассмотрим следующее рекуррентное соотношение
Fp,m(n)=mFp,m(n-1)+ Fp,m(n-p-1) | (1) |
где
Заметим, что при начальных условиях
Fp,m(0)=a0, Fp,m(1)=a1, Fp,m(2)=a2, …, Fp,m(p)=ap, | (2) |
где a0, a1, a2, …,ap – целые, действительные или комплексные числа, рекуррентное соотношение (1) задает бесконечное количество новых рекуррентных числовых последовательностей.
В частности, мы можем выбрать начальные условия (2) следующим образом [13]:
Fp,m(0)=0, Fp,m(k)=mk-1, | (3) |
где k=1,2,3,…,p.
Рекурррентному соотношению (1) соответствует следующее характеристисеское уравнение:
xp+1-mxp-1=0. | (4) |
Это уравнение имеет единственный положительный корень F p,m, названный в [13] обобщенной золотой (p,m)-пропорцией. Из уравнения (4) непосредственно вытекает следующее замечательное свойство, которое связывает степени золотых (p,m)-пропорций:
(5) |
где n=0,±1,±2,±3,…
Из выражения (9) легко получить следующее свойство золотых (p,m)-пропорций:
. | (6) |
При m=1 рекуррентная формула (1) сводится к рекуррентной формуле
Fp(n)= Fp(n-1)+Fp(n-p-1), | (7) |
а начальные условия (3) при этом принимают вид:
Fp(0)=0, Fp(1)= Fp(2)=...= Fp(p)=1. | (8) |
Заметим, что рекурррентное соотношение (7) при начальных условиях (8) генерируют широко известные р-числа Фибоначчи, введенные мною с Игорем Витенько в 1970 г. [15]. Эти числа выражают некоторые удивительные свойства треугольника Паскаля и обнаруживаются при исследовании так называемых «диагональных сумм» треугольника Паскаля. Теория р-чисел Фибоначчи изложена в моей книге [16].
По этой причине рекуррентные числовые последовательности, генерируемые рекурррентной формулой (1), были названы в [13] «расширением» р-чисел Фибоначчи или просто (p,m)-числами Фибоначчи.
Рассмотрим теперь случай р=1. Для этого случая рекурррентное соотношение (1) сводится к рекурррентной формуле
Fm(n+2)=m Fm(n+1)+Fm(n). | (9) |
При этом начальные условия (3) принимают вид:
Fm(0)=0, Fm(1)=1. | (10) |
Заметим, что рекуррентное соотношение (6) при начальных условиях (7) генерирует бесконечное количество новых рекурррентных последовательностей, для которых я ввел в [17] название m-числа Фибоначчи. Хочу сразу подчеркнуть для тех, кто любит обвинять меня в плагиате, что m-числа Фибоначчи не являются моим изобретением. К этому математическому результату практически одновременно и независимо друг от друга пришли следующие ученые: аргентинский математик Вера Шпинадель [18],египетский математик Мидхат Газале [19], американский математик Джей Капрафф [20], российский ученый Александр Татаренко и другие исследователи.
Заметрим, что при m=1 рекуррентное соотношение (9) сводится к рекуррентной формуле Фибоначчи, а при m=2 – к рекурррентному соотношению
F2(n+2)=2F2(n+1)+ F2(n), | (11) |
которое при начальных условиях (10) генерирует знаменитые числа Пелли: 0, 1, 2, 5, 12,....
Как мне кажется, наибольший вклад в развитие теории m-чисел Фибоначчи внес Мидхат Газале, который в работе [19] вывел замечательную формулу:
(12) |
которая задает m-числа Фибоначчи (9) в аналитической форме через «золотую m-пропорцию F m, которая является корнем следующего характеристического уравнения:
x2-mx-1=0. | (13) |
В работе [17] я назвал эту формулу формулой Газале для m-чисел Фибоначчи.
Заметим, что при m=1 формула Газале сводится к знаменитой формуле Бине для классических чисел Фибоначчи
,
где - знаменитая «золотая пропорция».
Не углубляясь больше в математическую теорию (p,m)-чисел Фибоначчи, которая изложена в работе [13] и моей новой книге [21], мне хотелось бы отметить следующее:
Литература: