В последние годы мне удалось опубликовать 12 статей в международном журнале «Chaos, Solitons and Fractals» [1-12] (часть из этих статей опубликована в соавторстве с Борисом Розиным). Эти статьи вызвали большую заинтересованность мировой научной общественности. Я получил много писем от ученых Бразилии, Аргентины, Турции, Китая, Ирана и др. стран с просьбой переслать им электронные копии этих статей. В двух письмах, написанных турецкими учеными, содержались предложения о научном сотрудничестве и написании совместных статей в развитие моих работ [1-12]. Я согласился на такое сотрудничество. Результатом была публикация новых работ с моим участием в том же журнале «Chaos, Solitons and Fractals» [13, 14]. Одна из этих работ [13] представляет общий научный интерес, так как касается обобщения чисел Фибоначчи, которое «тянет за собой» обощение чисел Люка, обобщение формул Бине, и, наконец, обобщение золотой пропорции.

Зададимся целым неотрицательным числом р=0, 1, 2, 3,... и положительным действительным числом m и рассмотрим следующее рекуррентное соотношение

Fp,m(n)=mFp,m(n-1)+ Fp,m(n-p-1)

(1)

где

Заметим, что при начальных условиях

Fp,m(0)=a0, Fp,m(1)=a1, Fp,m(2)=a2, …, Fp,m(p)=ap,

(2)

где a₀, a₁, a₂, …,a_p – целые, действительные или комплексные числа, рекуррентное соотношение (1) задает бесконечное количество новых рекуррентных числовых последовательностей.

В частности, мы можем выбрать начальные условия (2) следующим образом [13]:

Fp,m(0)=0, Fp,m(k)=mk-1,

(3)

где k=1,2,3,…,p.

Рекурррентному соотношению (1) соответствует следующее характеристисеское уравнение:

xp+1-mxp-1=0.

(4)

Это уравнение имеет единственный положительный корень F _p,m, названный в [13] обобщенной золотой (p,m)-пропорцией. Из уравнения (4) непосредственно вытекает следующее замечательное свойство, которое связывает степени золотых (p,m)-пропорций:

(5)

где n=0,±1,±2,±3,…

Из выражения (9) легко получить следующее свойство золотых (p,m)-пропорций:

.

(6)

При m=1 рекуррентная формула (1) сводится к рекуррентной формуле

Fp(n)= Fp(n-1)+Fp(n-p-1),

(7)

а начальные условия (3) при этом принимают вид:

Fp(0)=0, Fp(1)= Fp(2)=...= Fp(p)=1.

(8)

Заметим, что рекурррентное соотношение (7) при начальных условиях (8) генерируют широко известные р-числа Фибоначчи, введенные мною с Игорем Витенько в 1970 г. [15]. Эти числа выражают некоторые удивительные свойства треугольника Паскаля и обнаруживаются при исследовании так называемых «диагональных сумм» треугольника Паскаля. Теория р-чисел Фибоначчи изложена в моей книге [16].

По этой причине рекуррентные числовые последовательности, генерируемые рекурррентной формулой (1), были названы в [13] «расширением» р-чисел Фибоначчи или просто (p,m)-числами Фибоначчи.

Рассмотрим теперь случай р=1. Для этого случая рекурррентное соотношение (1) сводится к рекурррентной формуле

Fm(n+2)=m Fm(n+1)+Fm(n).

(9)

При этом начальные условия (3) принимают вид:

Fm(0)=0, Fm(1)=1.

(10)

Заметим, что рекуррентное соотношение (6) при начальных условиях (7) генерирует бесконечное количество новых рекурррентных последовательностей, для которых я ввел в [17] название m-числа Фибоначчи. Хочу сразу подчеркнуть для тех, кто любит обвинять меня в плагиате, что m-числа Фибоначчи не являются моим изобретением. К этому математическому результату практически одновременно и независимо друг от друга пришли следующие ученые: аргентинский математик Вера Шпинадель [18],египетский математик Мидхат Газале [19], американский математик Джей Капрафф [20], российский ученый Александр Татаренко и другие исследователи.

Заметрим, что при m=1 рекуррентное соотношение (9) сводится к рекуррентной формуле Фибоначчи, а при m=2 – к рекурррентному соотношению

F2(n+2)=2F2(n+1)+ F2(n),

(11)

которое при начальных условиях (10) генерирует знаменитые числа Пелли: 0, 1, 2, 5, 12,....

Как мне кажется, наибольший вклад в развитие теории m-чисел Фибоначчи внес Мидхат Газале, который в работе [19] вывел замечательную формулу:

(12)

которая задает m-числа Фибоначчи (9) в аналитической форме через «золотую m-пропорцию F _m, которая является корнем следующего характеристического уравнения:

x2-mx-1=0.

(13)

В работе [17] я назвал эту формулу формулой Газале для m-чисел Фибоначчи.

Заметим, что при m=1 формула Газале сводится к знаменитой формуле Бине для классических чисел Фибоначчи

,

где - знаменитая «золотая пропорция».

Не углубляясь больше в математическую теорию (p,m)-чисел Фибоначчи, которая изложена в работе [13] и моей новой книге [21], мне хотелось бы отметить следующее:

1. Понятие (p,m)-чисел Фибоначчи существенно расширяет число рекурррентных числовых последовательностей. Такие широко известные рекурррентные числовые последовательности как классические числа Фибоначчи, р-числа Фибоначчи (7), m-числа Фибоначчи (9) и числа Пелли (11) являются частными случаями нового класса рекурррентных числовых последовательностей, задаваемых рекуррентным соотношением (1).
2. Понятие «золотой (p,m)-пропорции» вводит в математику более широкий класс новых математических констант. Частными случаями «золотых (p,m)-пропорций» являются классическая «золотая пропорция», «золотые р-пропорции» и «золотые m-пропорции».
3. Введенные в [13] новые математические понятия существенно расширяют теорию чисел Фибоначчи и нацеливают исследователей на поиск приложений введенных рекуррренных числовых последовательностей и новых математических констант в теоретическом естествознании и других областях.

Литература:

1. Stakhov A, Rozin B. On a new class of hyperbolic function. Chaos, Solitons & Fractals 2004, 23(2): 379-389.
2. A.P. Stakhov. The Generalized Principle of the Golden Section and its applications in mathematics, science, and engineering, 2005, Chaos, Solitons & Fractals, Volume 26, Issue 2: 263-289
3. Stakhov A., Rozin B. The Golden Shofar. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 26(3); 677-684.
4. Stakhov A., Rozin B. The «golden» algebraic equations. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1415-1421.
5. Stakhov A., Rozin B. Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1162-1177.
6. Stakhov A., Rozin B. The continuous functions for the Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals 2006, 28 (4): 1014-1025.
7. Stakhov A. The Generalized Principle of the Golden Section and its applications in mathematics, science, and engineering. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 26 (2): 263-289.
8. Stakhov A. Fundamentals of a new kind of Mathematics based on the Golden Section. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1124-1146.
9. Stakhov A. Fibonacci matrices, a generalization of the «Cassini formula», and a new coding theory. Chaos, Solitons & Fractals, 2006, Volume 30, Issue 1, 56-66.
10. Stakhov A. The «golden» matrices and a new kind of cryptography. Chaos, Solitons & Fractals 2007, Volume 32, Issue 3, 1138-1146.
11. Stakhov A. The generalized golden proportions, a new theory of real numbers, and ternary mirror-symmetrical arithmetic. Chaos, Solitons & Fractals, 2007, Volume 33, Issue 2: 315-334
12. Alexey Stakhov and Boris Rozin. The «golden» hyperbolic models of Universe
    Chaos, Solitons & Fractals, 2007, Volume 34, Issue 2: 159-171
13. E. Gokcen Kocer, Naim Tuglu and Alexey Stakhov. On the m-extension of the Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals (In Press), Available online 29 October 2007
14. E. Kilic and A.P. Stakhov. On the Fibonacci and Lucas p-numbers, their sums, families of bipartite graphs and permanents of certain matrices. Chaos, Solitons & Fractals (In Press), Available online 19 November 2007
15. Витенько И.В., Стахов А.П. Теория оптимальных алгоритмов аналого-цифрового преобразования. В кн. «Приборы и системы автоматики», вып. 2, Харьков, изд-во Харьковского унеиверситета, 1970.
16. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва, Советское Радио, 1977 г.
17. Стахов А.П. Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321063.htm
18. Vera W. de Spinadel. From the Golden Mean to Chaos. Nueva Libreria, 1998 (second edition, Nobuko, 2004).
19. Gazale Midhat J. Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999 (русский перевод, 2002).
20. Kappraff Jay. Beyond Measure. A Guided Tour Through Nature, Myth, and Number. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 2002.
21. Alexey Stakhov. The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. World Scientific (In Press) http://www.worldscibooks.com/mathematics/6635.html