Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Математика Гармонии

А.П. Стахов
«Стратегические ошибки» в развитии математики
Oб авторе
  1. Математика. Потеря определенности

Так называется книга [1], написанная Морисом Клайном, почетным профессором Курантовского Института Математических Наук Нью-Йоркского Университета. Книга посвящена анализу кризиса, в котором оказалась математика в 20-м столетии. Клайн пишет:

«История математики знает не только величайшие взлеты, но и глубокие падения... Осознание того, что сверкающая великолепием витрина человеческого разума далеко не совершенна по своей структуре, страдает множеством недостатков и подвержена чудовищным противоречиям, могущим вскрыться в любой момент, нанесло еще один дар по статусу математики. Но бедствия, обрушившиеся на математику, были вызваны и другими причинами. Тяжелые предчувствия и разногласия между математиками были обусловлены самим ходом развития математики за последние сто лет. Большинство математиков как бы отгородились от внешнего мира, сосредоточив усилия на проблемах, возникающих внутри самой математики, — по существу, они порвали с естествознанием».

И далее:

«Естествознание было кровью и плотью математики и питало ее живительными соками. Математики охотно сотрудничали с физиками, астрономами, химиками и инженерами в решении различных научно-технических проблем, а часто и сами являлись выдающимися физиками и астрономами. В 17-18 вв., а также на протяжении большей части 19 в. различие между математикой и теоретическим естествознанием отмечалось крайне редко. Многие ведущие математики, работая в области астрономии, механики, гидродинамики, электромагнетизма и теории упругости, получили здесь несравненно более важные результаты, чем в собственно математике. Математика была царицей и одновременно служанкой естественных наук (выделено А.С.)».

Клайн подчеркивает, что проблемы «чистой математики», которые выдвинулись на передний план в математике 20-го века, не очень сильно интересовали наших великих предшественников. По этому поводу Клайн пишет:

«Критику чистой математики – математики ради математики — можно найти в сочинении Френсиса Бэкона «О достоинстве и приумножении наук» (1620). Бэкон возражал против чистой, мистической и самодовольной математики, «полностью абстрагированной от материи и физических аксиом», сетуя на то, что таково уж свойство человеческого ума: не имея достаточных сил для решения важных проблем, он тратит себя на всякие пустяки».

В своем классическом труде «Аналитическая теория тепла» великий физик и математик Фурье подчеркивает важность математического подхода к решению физических задач:

«Глубокое изучение природы – наиболее плодотворный источник математических открытий. Такое изучение не только обладает преимуществами хорошо намеченной цели, но и исключает возможность неясной постановки задач и бесполезных выкладок. Оно является надежным средством построения самого анализа и позволяет открывать наиболее значительные идеи, которым суждено навсегда сохраниться в науке. Фундаментальны те идеи, которые отражают явления природы... (выделено А.С.)».

В 1895 г. Феликс Клейн, бывший в то время признанным главой математического мира, также счел необходимым выразить протест против тяги к абстрактной, чистой математики:

«Трудно отделиться от ощущения, что быстрое развитие современной математики таит в себе для нашей науки опасность все более усиливающейся изоляции. Тесная взаимосвязь между математикой и теоретическим естествознанием, существовавшая к вящей выгоде для обеих сторон, с возникновением современного анализа грозит прерваться».

Рихард Курант, возглавлявший Курантовский Институт Математических наук при Нью-Йоркском университете, также неодобрительно относился к увлечению чистой математикой. В 1939 г. Курант писал:

«Серьезная угроза самой жизни науки проистекает из утверждения, будто математика представляет собой не что иное, как систему заключений, выводимых из определений и постулатов, которые должны быть непротиворечивыми, а в остальном произвольными порождениями свободной воли математиков. Если бы подобное описание соответствовало действительности, то в глазах любого сколько-нибудь разумного человека математика не обладала бы никакой привлекательностью. Она была бы ничем не мотивированной бесцельной игрой с определениями, правилами и силлогизмами. Представление о том, будто разум по своему произволу может создавать осмысленные аксиоматические системы, — полуправда, способная лишь вводить неискушенных людей в заблуждение. Только сдерживаемый дисциплиной ответственности перед органическим целым свободный разум, руководствуясь внутренней необходимостью, может создавать результаты, имеющие научную ценность».

В настоящее время математики вновь обратились к решению задач, которые были в свое время поставлены великими математиками прошлого. Одной из них считается Великая теорема Ферма, которая формулируется очень просто. Доказать, что при n>2 никакие целые числа x, y, z не удовлетворяют соотношению xn + yn = zn. Теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было здесь поместить. Как известно, многие выдающиеся математики (среди которых можно назвать имена Эйлера, Дирихле и Лежандра) занимались решением этой задачи. Однако, последний шаг в доказательстве теоремы был сделан только в сентябре 1994 года английским математиком Эндрю Уайлсом. 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics».

Как известно, Гаусс считается одним из виднейших специалистов в теории чисел, что подтверждается его книгой «Арифметические исследования» (1801). В этой связи любопытно узнать мнение Гаусса по поводу Великой теоремы Ферма. В одном из своих писем Гаусс объяснил, почему он не занимался доказательством «проблемы Ферма». С его точки зрения, «гипотеза Ферма – это изолированная, ни с чем не связанная теорема и поэтому не представляет особого интереса (выделено А.С.. То есть, Гаусс не проявил к теореме Ферма того ажиотажного интереса, который возник к этой задаче в 20-м веке. Не следует забывать, что Гаусс всегда проявлял большой интерес к проблемам математики, возникавшим в 19-м веке, например, к неевклидовой геометрии. Несомненно, что мнение Гаусса несколько умаляет открытие Эндрю Уайлса. И в этой связи мы вправе поставить следующие вопросы: (1) Каково значение Великой теоремы Ферма для развития современной науки? (2) Можно ли сравнить решение этой задачи к открытием неевклидовой геометрии, сделанным Николаем Лобачевским в первой половине 19 в. или открытием «законов электромагнетизма», сделанным Максвеллом в конце 19-го века? (3) Не является ли Великая теорема Ферма «бесцельной игрой» ума и всего лишь демонстрацией могущества человеческого интеллекта – и не более того?

Таким образом, вслед за Френсисом Бэконом, Феликсом Клейном, Рихардом Курантом и другими знаменитыми математиками, Морис Клайн усматривает причину современного кризиса в математике в ее отходе от естествознания, которая в течение многих столетий была главным источником развития математики. Отход математики от теоретического естествознания является крупнейшей «стратегической ошибкой» математики 20-го века. Но в развитии математики существовали и другие «стратегические ошибки», которые привели математику в то состояние, в котором она находится сейчас. Их анализу и посвящена настоящая статья.

  1. «Стратегические ошибки» в развитии математики
2.1. Пренебрежение «началами»

А.Н. Колмогоров в предисловии к книге А.Лебега «Об измерении величин» [2] замечает, что «у математиков существует склонность, уже владея законченной математической теорией, стыдиться ее происхождения. По сравнению с кристаллической ясностью развития теории, начиная уже с готовых ее основных понятий и допущений, кажется грязным и неприятным занятием копаться в происхождении этих основных понятий и допущений. Все здание школьной алгебры и весь математический анализ могут быть воздвигнуты на понятии действительного числа без всякого упоминания об измерении конкретных величин (длин, площадей, промежутков времени и т.д.). Поэтому на разных ступенях обучения с разной степенью смелости проявляется одна и та же тенденция: возможно скорее разделаться с введением чисел и дальше уже говорить только о числах и соотношениях между ними. Против этой тенденции и протестует Лебег».

В этом высказывании Колмогоров подметил одну особенность математиков – стыдливое отношение к «началам» математической науки, а точнее — пренебрежение «началами» («на разных ступенях обучения и с разной степенью смелости»). Задолго до Колмогорова на эту тенденцию в развитии математики обратил внимание Николай Лобачевский:

«Алгебру и Геометрию постигла одна и та же участь. За быстрыми успехами вначале следовали весьма медленные и оставили науку на такой ступени, где она еще далека от совершенства. Это произошло от того, что Математики все свое внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою».

Но именно Лобачевский своими исследованиями показал, что именно «начала» математической науки, в частности, «Начала» Евклида, являются неисчерпаемым источником новых математических идей и открытий. Свои знаменитые «Геометрические исследования по теории параллельных линий» (1840) Лобачевский начинает следующими словами:

«В геометрии я нашел некоторые несовершенства, которые я считаю причиной того, что эта наука... до настоящего времени не вышла ни на один шаг за пределы того состояния, в каком она к нам перешла от Евклида. К этим несовершенствам я отношу неясность в первых понятиях о геометрических величинах, способы, которыми мы себе представляем измерение этих величин, и, наконец, важный пробел в теории параллельных линий...»

Как известно, Лобачевский, в отличие от других математиков, не пренебрегал «началами». Тщательное изучение 5-го постулата Евклида («важный пробел в теории параллельных линий») привело Лобачевского к созданию неевклидовой геометрии – наиболее крупного математического открытия 19-го века.

2.2. Пренебрежение «золотым сечением».

Пифагорейцы впервые выдвинули мысль о гармоническом устройстве всего мира, включая сюда не только природу и человека, но и весь космос. Согласно пифагорейцам, «гармония представляет собою внутреннюю связь вещей, без которой космос не смог бы существовать». Наконец, согласно Пифагору гармония имеет численное выражение, то есть, она интегрально связана с концепцией числа. Пифагорейцы создали учение о созидательной сущности числа. Аристотель в «Метафизике» отмечет именно эту особенность пифагорейского учения: «Так называемые пифагорейцы, занявшись математическим науками, впервые двинули их вперед и, воспитавшись на них, стали считать их началами всех вещей... Так как, следовательно, все остальное явным образом уподоблялось числам по всему своему существу, а числа занимали первое место во всей природе, элементы чисел они предположили элементами всех вещей и всю вселенную [признали] гармонией и числом».

Пифагорейцы признавали, что форма мира должна быть гармонической, а все элементы мироздания («стихии») связаны с гармоническими фигурами. Пифагор учил, что из куба возникла земля, из пирамиды (тетраэдра) – огонь, из октаэдра – воздух, из икосаэдра – вода, из додекаэдра – сфера вселенной (то есть эфир).

С таким представлением о гармонии связано и знаменитое пифагорейское учение о «гармонии сфер». Пифагор и его последователи считали, что движение светил вокруг центрального мирового огня создает чудесную музыку, воспринимаемую не слухом, а разумом. Учение о «гармонии сфер», о единстве микро- и макрокосмоса, учение о пропорциях – все эти идеи и составляют основу пифагорейского учения.

Главный вывод, который вытекает из пифагорейского учения, состоит в том, что гармония объективна, она существует независимо от нашего сознания и выражается в гармоничном устройстве всего сущего, начиная с космоса и заканчивая микромиром. Но если Гармония объективна, она должна стать предметом математического исследования.

Пифагорейское учение о числовой гармонии мироздания оказало огромное влияние на развитие всех последующих учений о природе и сущности гармонии и получило отражение и развитие в работах великих мыслителей, в частности, оно лежит в основе Космологии Платона. В своих работах Платон развивает пифагорейское учение, особенно подчеркивая космическое значение гармонии. Он твердо убежден в том, что мировую гармонию можно выразить в числовых пропорциях. Влияние пифагорейцев особенно прослеживается в «Тимее», где Платон вслед за пифагорейцами развивает учение о пропорциях и анализирует роль правильных многогранников («Платоновых тел»), из которых, по его мнению, Бог создал мир.

Особую роль в учении пифагорейцев, в том числе и Платона, играло «золотое сечение», которое в тот период называлось «делением в крайнем и среднем отношении». Алексей Лосев, гениальный российский философ и исследователь эстетики античной эпохи и Возрождения, выразил свое отношение к «золотому сечению» и «космологии Платона» в следующих словах:

«С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления — Золотого Сечения... Их (древних греков – А.С.) систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьезный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть, используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия».

Возникает вопрос: каким образом «золотое сечение» отражено в современной математике? Ответ однозначный – никак. Именно в математике идеи гармонии и «золотого сечения» считаются результатом «безудержной и дикой фантазии» пифагорейцев. И поэтому изложение «золотого сечения» и развитие его теории считается занятием, недостойным серьезного математика. К сожалению, пренебрежение «золотым сечением» мы находим и в теоретической физике. В 2006 г. издательство «БИМОН» (Москва) опубликовало уникальный научный сборник «Метафизика. Век 21» [3]. В предисловии составитель и редактор сборника профессор Ю.С. Владимиров (Московский университет) написал следующее:

«Третья часть сборника посвящена осмыслению многочисленных примеров проявления «золотой пропорции» в искусстве, биологии и в окружающей нас действительности. Однако, как это не парадоксально, в современной теоретической физике «золотая пропорция» никак не отражена. Чтобы убедиться в этом, достаточно пролистать 10-томник теоретической физики Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица. Назрело время заполнить этот пробел в физике, тем более, что «золотая пропорция» тесно связана с метафизикой, с тринитарностью».

В этой связи уместно вспомнить хорошо известное высказывание Кеплера, имеющее прямое отношение к «золотому сечению»:

«В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

Многие математики рассматривают сравнение «Теоремы Пифагора» — одной из величайших геометрических теорем – с «золотым сечением» как большое преувеличение для «золотого сечения». Однако, при этом не следует забывать, что Кеплер (в отличие о тех математиков, которые его критикуют) был не только гениальным астрономом, но и великим физиком и математиком. Кеплер был одним из первых ученых, который выдвинул проблему изучения гармонии в своей знаменитой книге Harmonices Mundi («Гармония Мира»). В этой книге он попытался объяснить пропорции естественного мира — в частности ее астрономические и астрологические аспекты – в терминах музыки. В центре книги лежит идея о «музыке сфер», которая изучалась Птоломеем задолго до Кеплера. Кеплер начал из исследования Правильных Многогранников и Правильных Тел, включая геометрические фигуры, которые известны в современной науке под названием Кеплеровых Тел. Отсюда он расширяет свой гармонический анализ на музыку, метеорологию и астрологию; гармония в астрономии основывается на звуках, производимыми небесными телами, а в случае астрологии, она представляет собой взаимодействие между звуками и человеческими душами.

Таким образом, пренебрежение «золотым сечением» и идеей Гармонии – еще одна «стратегическая ошибка» не только математики, но и теоретической физики.

Эта ошибка породила ряд других «стратегических ошибок» в развитии математики.

2.3. Одностороннее освещение «Начал» Евклида

Как известно, «Начала» Евклида являются главным трудом греческой науки, посвященным аксиоматическому построению геометрии. Такой взгляд на «Начала» наиболее распространен в современной математике. Однако существует и другая точка зрения на «Начала», высказанная Проклом Диадохом (412-485), который считается одним из наиболее блестящих комментаторов «Начал» Евклида. Как известно, 13-я, то есть, заключительная книга «Начал» Евклида посвящена изложению теории пяти правильных многогранников, которые играли главенствующую роль в «Космологии Платона» и в современной науке известны под названием «Платоновых тел». Именно на это обстоятельство и обращает внимание Прокл. Как подчеркивает Эдуард Сороко [4], по мнению Прокла, Евклид «создавал «Начала» якобы не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения пяти «Платоновых тел», попутно осветив некоторые новейшие достижения математики». Таким образом, «гипотеза Прокла» позволяет высказать предположение, что хорошо известные в античной науке «Пифагорейская доктрина о числовой гармонии Мироздания» и «Космология Платона», основанная на правильных многогранниках, были воплощены в величайшем математическом сочинении греческой математики, «Началах» Евклида. С этой точки зрения мы можем рассматривать «Начала» Евклида как первую попытку создать «Математическую теорию Гармонии», что было главной идеей греческой науки.

И эта гипотеза подтверждается геометрическими теоремами, изложенными в «Началах». Одной из них является Теорема 2.11, в которой описана «задача о делении в крайнем и среднем отношении». Это деление, которое было названо позже «золотым сечением», было использована Евклидом для геометрического построения равнобедренного треугольника с углами 72°, 72° и 36° («золотого» равнобедренного треугольника, пентагона и додекаэдра, основанного на золотом сечении, то есть современная математика отказывается замечать, что существенная часть «Начала» Евклида посвящена «золотому сечению» и связанным с ним геометрическим фигурам, а заключительная книга «Начал» посвящена изложению теории «Платоновых Тел», которые в космологии Платона символизировали основные элементы или «стихии» и Гармонию Мироздания.

Таким образом, мы можем констатировать, что оригинальный взгляд Прокла на «Начала» Евклида не воспринят современной математикой, что следует рассматривать как еще одну «стратегическую ошибку» в развитии математики, которая привела к искаженному взгляду на всю историю математики [5].

2.4. Односторонний взгляд на происхождение математики

Как известно, традиционный взгляд на происхождение математики [5] состоит в том, что в основе создания математики лежало две «ключевые» проблемы, которые возникли в науке на ранних этапах ее развития: «проблема счета» и «проблема измерения». Проблема счета привела к созданию первых способов представления чисел и выполнения над числами арифметических операций (Вавилонская 60-ричная система счисления, египетская десятичная арифметика и др). Главным итогом этого процесса было формирование понятия натурального числа – фундаментального понятия математики, без которого немыслимо существование математики. Проблема измерения лежит у истоков создания геометрии (измерение земли»). Открытие несоизмеримых отрезков считается важнейшим математическим открытием в этой области, которое привело к введению понятия иррационального числа - второго фундаментального понятия математики, без которого невозможно представить существование современной математики.

Концепции натурального числа и иррационального числа лежат в основе «классической математики» и «классического теоретического естествознания».

К сожалению, историки математики пренебрегли «проблемой Гармонии», которая существенно повлияла на развитие всей науки, включая и математику. В результате мы имеем односторонний взгляд на происхождение математики, что является еще одной «стратегической ошибкой» в развитии математики.

2.5. Величайшая математическая мистификация 19-го столетия

Крупные «стратегические ошибки» были сделаны и в последующие периоды развития математики. В 19-м веке такая ошибка состояла в том, что без достаточного критического анализа «Теория бесконечных множеств Кантора» была возведена на пьедестал «величайших математических открытий» 19-го века. В своем выступлении на Первом Международном Конгрессе Математиков в Цюрихе знаменитый математик Адамар подчеркнул, что главная привлекательная черта Канторовской теории множеств состоит в том, что впервые в математической истории дана классификация множеств на основе концепции «кардинального числа». Удивительные математические результаты, которые вытекают из теории множеств Кантора, вдохновляют математиков на новые открытия.

К сожалению, обнаружение парадоксов в Канторовской теории множеств и возникший при этом кризис в основаниях математики остудили энтузиазм математиков в оценке этой теории. Последнюю точку в оценке «Канторовской теории множеств» и введенного Кантором понятия «актуальной бесконечности» поставил российский математик Александр Зенкин, который показал, что в теории Кантора допущены грубые математические ошибки, а введенное им понятие «актуальной бесконечности» является внутренне противоречивым понятием («завершенная бесконечность»), которое не может быть положено в основу непротиворечивой математики.

Таким образом, «Канторовская теория бесконечных множеств» является ни чем иным, как величайшей математической мистификацией 19-го века, и ее принятие математиками 19-го века без должного критического анализа является еще одной «стратегической ошибкой» в развитии математики, следствием чего и стало возникновение современного кризиса в основаниях математики.

2.6. Недооценка формул Бине

В 19 в. в развитии теории «золотого сечения» было сделано важное математическое открытие. Речь идет о так называемых «формулах Бине», выведенных французским математиком Бине в 19-м веке. Рассмотрим формулу Бине для чисел Фибоначчи:

где - золотая пропорция; n=0, ±1, ±2, ±3,...

Подобная формула может быть выведена и для чисел Люка. Анализ формулы Бине дает нам возможность ощутить истинное «эстетическое наслаждение» и еще раз убедиться в мощи человеческого разума. Действительно, ведь мы знаем, что числа Фибоначчи всегда являются целыми числами. Уникальность «формул Бине» состоит в том, что они выражают связь между целыми числами и иррациональными. Действительно, любая степень «золотой пропорции» является иррациональным числом. Отсюда вытекает, что целые числа F(n) с помощью формулы Бине выражаются через «золотую пропорцию», то есть иррациональное число.

К сожалению, в классической математике «формулы Бине» не получили должного признания, подобно известным «формулам Эйлера», «формулам Муавра» и т.д. По-видимому, такое отношение к «формулам Бине» связано с «золотым сечением», которое всегда вызывало «аллергию» у математиков. Но главная «стратегическая ошибка» в оценке «формул Бине» состоит в том, что математики не усмотрели в «формулах Бине» прообраз нового класса гиперболических функций – гиперболических функций Фибоначчи и Люка, которые были открыты украинскими учеными Боднаром, Стаховым, Ткаченко и Розиным спустя 100 лет после открытия «формул Бине» [6-11]. Если бы «гиперболические функции Фибоначчи и Люка» были открыты еще в 19-м столетии, то гиперболическая геометрия и ее приложения в физической науке получили бы новый импульс в своем развитии.

2.7. Недооценка «икосаэдрической» идеи Феликса Клейна

В 19-м веке выдающийся математик Феликс Клейн попытался объединить все ветви математики на основе икосаэдра, Платонового тела, дуального додекаэдру [12]. По существу исследования Клена можно рассматривать как дальнейшее развитие так называемой «икосаэдро-додекаэдрической идеи», которая, начиная с Пифагора, Платона, Евклида и Кеплера, всегда волновала научную общественность. Клейн трактует икосаэдр, основанный на золотом сечении, как геометрический объект, из которого, по его мнению, вытекают ветви пяти математических теорий: геометрии, теории Галуа, теории групп, теории инвариантов и дифференциальные уравнения. Главная идея Клейна предельно проста: «Каждый уникальный геометрический объект так или иначе связан со свойствами икосаэдра». К сожалению, эта замечательная идея не получила развития в современной математике, что является еще одной «стратегической ошибкой» в развитии математики.

2.8. Недооценка математического открытия Джорджа Бергмана

В математике существует одна «странная» традиция. Математикам свойственно недооценивать математические достижения своих современников. Эпохальные математические открытия вначале подвергаются резкой критике и даже осмеянию со стороны даже известных математиков и только спустя примерно 50 лет, как правило, после смерти авторов крупных математических открытий, новые математические теории признаются и занимают достойное место в математике. Драматические судьбы Лобачевского, Абеля, Галуа и других математиков слишком хорошо известны, чтобы их подробно здесь описывать.

В 1957 г. американский математик Джордж Бергман опубликовал статью «A number system with an irrational base» [13] в известном математическом журнале Mathematics Magazine. В этой статье автор предложил весьма необычное расширение понятия позиционной системы счисления. Он предложил использовать в качестве основания системы счисления золотую пропорцию . Если теперь использовать последовательность чисел F i {i=0, ±1, ±2, ±3, …} в качестве «весов разрядов» некоторой двоичной системы счисления, использующей двоичные цифры 0 и 1, то мы получим «двоичную» (то есть использующую цифры 0 и 1) систему счисления, имеющую иррациональное основание F. Система счисления Бергмана может быть задана в виде следующего математического выражения:

где А – некоторое действительное число, ai – двоичные цифры 0 или 1, i = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …, F i вес i-й цифры в системе счисления (95), F — основание системы счисления.

К сожалению, статья Бергмана [13] не была замечена в тот период ни математиками, ни инженерами. Журналисты были удивлены только тем фактом, что Джордж Бергман написал свою статью в возрасте 12 лет, в связи с чем в журнале «TIMES» была даже опубликована статья о юном математическом даровании Америки. Но математики того времени, впрочем как и сам Бергман, не сумели оценить значение этого открытия для развития математической науки. Прошло 50 лет с момента публикации статьи Бергмана [13]. И в соответствии с «математической традицией» настала пора оценить роль «системы Бергмана» в развитии современной математики.

В [14] введены так называемые «коды золотой р-пропорции» — позиционные представления, подобные «системе Бергмана», с тем отличием, что их основанием является «золотая р-пропорция» — положительный корень алгебраического уравнения xp+1 = xp + 1 (р – заданное целое неотрицательное число). «Коды золотой р-пропорции» являются широким обобщением «системы Бегмана», включают ее в качестве частного случая (р=1) и порождают новый класс систем счисления – системы счисления с иррациональными основаниями.

«Стратегическое» значение «системы Бергмана» и ее обобщения – кодов золотой р-пропорции – состоит в том, что они переворачивает наши представления о системах счисления, более того, наши представления о соотношении между рациональными и иррациональными числами. Как известно, исторически первыми возникли числа натуральные, за ними – числа рациональные, как отношения натуральных чисел, и затем, после открытия «несоизмеримых отрезков», — числа иррациональные, которые не могут быть представлены в виде отношения двух натуральных чисел. Но в «системе Бергмана» и «кодах золотой р-пропорции» все получается как бы наоборот. Исходным числом в этих системах счисления является «золотая пропорция» («система Бергмана») или «золотая р-прпорция» (коды золотой р-пропорции). А затем из «золотой пропорции» (или «золотой р-пропорции»), согласно позиционному принципу, могут быть сконструированы все действительные числа (включая натуральные). Таким образом, «коды золотой р-пропорции» можно рассматривать как новое определение действительного числа – и этот вывод может иметь далеко идущие последствия для теории чисел и всей математики!

Такой подход сразу же вызывает к жизни новую теорию чисел, основанную на «золотой р-пропорции» [15, 16]. И в этой «новой теории чисел» могут быть получены далеко не тривиальные теоретико-числовые результаты. Одним из таких свойств является так называемое Z-свойство натуральных чисел.

Стратегический просчет математиков 20-го века состоит в том, что они просто не заметили математическое открытие юного американского математика Джорджа Бергмана, которое по праву может быть отнесено к разряду крупнейших математических открытий в области систем счисления (после открытия вавилонянами позиционного принципа представления чисел).

  1. Роль «Математики Гармонии» в преодолении «стратегических ошибок» математики

Пожалуй, главная цель развиваемой автором «Математики Гармонии» [18-24] — преодоление «стратегических ошибок», допущенных в математике в процессе ее исторического развития.

3.1. Три «ключевые» проблемы математики на этапе ее зарождения и новый взгляд на историю математики

В работе [24] автором развит новый взгляд на историю математики. Суть подхода состоит в том, чтобы к двум «ключевым» проблемам математики на этапе ее зарождения – «проблеме счета» и «проблеме измерения», которые лежат у истоков возникновения «классичской математики», добавить еще одну «ключевую» проблему – «проблему Гармонии», связанную с «золотым сечением» — одним из важнейших математических открытий античной математики (Теорема 2.11 «Начал» Евклида). Эта проблема, в конечном итоге, приводит к возникновению «Математики Гармонии» [18-24] — нового междисциплинарного направления современной науки, которое имеет отношение к современной математике, теоретической физике и компьютерной науке. Такой подход приводит к выводу, который может оказаться неожиданным для многих математиков. Оказывается, что параллельно с «классической математикой» в науке, начиная с древних греков, развивалась еще одно математическое направление – «Математика Гармонии», которая, как и классическая математика, восходит к «Началам» Евклида, но акцентирует свое внимание не на «аксиоматическом подходе», а на геометрической «задаче о делении в крайнем и среднем отношении» (Теорема 2.11) и на теории правильных многогранников, изложенной в 13-й книге «Начал» Евклида.

«Ключевые» проблемы античной математики и новые направления в математике, теоретической физике и информатике

3.2. Обобщение чисел Фибоначчи и «золотой пропорции» как новый уровень развития теории «золотого сечения»

В последние десятилетия многими авторами независимо друг от друга получены обобщения классических чисел Фибоначчи, чисел Люка и «золотой пропорции». Первое из них – это обобщенные р-числа Фибоначчи [25], которые при заданном целом р=0, 1, 2, 3,... задаются следующим рекуррентным соотношением:

Fp(n) = Fp(n-1) + Fp(n-p-1).

Нетрудно видеть, что при р=1 указанная рекуррентная формула сводится к рекуррентной формуле для классических чисел Фибоначчи:

F1(n) = F1(n-1) + F1(n-2),

откуда вытекает, что р-числа Фибоначчи выражают некоторые более сложные «гармонии», чем классические числа Фибоначчи.

Рекуррентное соотношение для р-чисел Фибоначчи приводят к следующему характеристическому уравнению:

xp+1 = xp + 1,

которое при р=1 сводится к уравнению для классической «золотой пропорции»:

x2 = x + 1.

Положительный корень уравнения xp+1 = xp + 1, названный «золотой р-пропорцией» [25], также выражает более сложные «гармонии», чем классическая «золотая пропорция». Если обозначить через Фр «золотую р-пропорцию», то легко доказать, что степени «золотой р-пропорции» связаны между собой следующими «божественными» свойствами:

Фpn = Фpn-1 + Фpn-p-1 = Фp ґ Фpn-1,

то есть каждая степень «золотой р-пропорции» связана с предыдущими как «аддитивным» соотношением Фpn = Фpn-1 + Фpn-p-1, так и «мультипликативным» соотношением Фpn = Фp ґ Фpn-1 (подобно классической «золотой пропорции»).

Существенно подчеркнуть, что рекуррентное соотношение для р-чисел Фибоначчи выражает глубинные математические свойства «Треугольника Паскаля» (диагональные суммы Треугольника Паскаля) и выражается через биномиальные коэффициенты с помощью следующей изящной формулы:

F1(n) = Cn0 + Cn-p 1 + Cn- 2p 2 + Cn-3p3 + Cn-4p4 +...

Другое обобщение чисел Фибоначчи – это обобщенные m-числа Фибоначчи (Spinadel, Gazale, Kappraff, Татаренко), которые для заданного положительного действительного числа m задаются следующим рекуррентным соотношением:

Fm(n) = mFm(n-1) + Fm(n-2).

Прежде всего, заметим, что это рекуррентное соотношение сводится к рекуррентному соотношению для классических чисел Фибоначчи при m=1. При остальных значениях m оно порождает бесконечное количество новых рекуррентных числовых рядов (их столько же, сколько существует действительных чисел!).

Из этого рекуррентного соотношения вытекает обобщенное уравнение «золотой пропорции»:

x2mx – 1 = 0,

которое при m=1 сводится к уравнению для классической «золотой пропорции». Положительный корень указанного выше квадратного уравнения порождает бесконечное число новых «гармонических» пропорций – «золотых m-пропорций», которые выражаются следующей изящной формулой:

Заметим, что при m=1 эта формула задает классическую «золотую пропорцию» . «Золотые m-пропорции» обладают следующими математическими свойствами:

которые являются обобщениями подобных свойств для классической «золотой пропорции»:

Эти выражения подчеркивают фундаментальный характер как классической «золотой пропорции», так и обобщенной «золотой m-пропорции».

3.3. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка

Открытие глубокой математической связи между гиперболическими функциями и числами Фибоначчи и Люка можно считать одним из важнейших математических достижений современной «теории чисел Фибоначчи». Впервые на эту связь обратил известный английский математик Стефан Вайда в своей замечательной книге [26]. Независимо друг от друга к этой идее подошли украинский архитектор Олег Боднар [27] и украинские математики А.П. Стахов и И.С. Ткаченко [7]. Строгая математическая теория гиперболических функций Фибоначчи и Люка впервые изложена в статье Стахова и Ткаченко [7] и в книге А.П. Стахова [28]. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Стахова и Розина [8-10]. Рассмотрим так называемые симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка, введенные в статье [8]:

Симметричный гиперболический синус и косинус Фибоначчи

;

Симметричный гиперболический синус и косинус Люка

где F = .

Числа Фибоначчи и Люка однозначно определяются через симметричные фибоначчиевые синусы и косинусы следующим образом:

;

Эти соотношения показывают, что гиперболические функции Фибоначчи и Люка отличаются от классических гиперболических функций той особенностью, что они имеют «дискретный» аналог в виде последовательностей Фибоначчи и Люка, которые как бы вписываются в графики гиперболических функций Фибоначчи и Люка в «дискретных» точках 0, ±1, ±2, ±3,.... Самое важное состоит в том, что любое «непрерывное» тождество для гиперболических функций Фибоначчи и Люка автоматически превращается в соответствующее «дискретное» тождество для чисел Фибоначчи путем простой подстановки x=k, где k = 0, ±1, ±2, ±3,.... Это означает, что «дискретная» до сих пор «теория чисел Фибоначчи» [26] как бы «вырождается», так как она заменяется более общей, «непрерывной» теорией гиперболических функций Фибоначчи и Люка [7-9, 28]. А это, в свою очередь, означает, что математикам-фибоначчистам надо «сушить весла» и искать другое приложение своих талантов, так как созданная ими «теория чисел Фибоначчи» просто становится частным случаем более общей «теории гиперболических функций Фибоначчи и Люка». А если говорить серьезно, то введение гиперболических функций Фибоначчи и Люка переводит «теорию чисел Фибоначчи» на новый уровень развития.

А теперь о практической применимости гиперболических функций Фибоначчи и Люка. Блестящий ответ на этот вопрос дал украинский исследователь Олег Боднар. В книге [27] он разработал новую геометрическую теорию филлотаксиса («геометрию Боднара»), основанную на гиперболических функциях Фибоначчи и Люка. Тем самым Боднар показал, что гиперболические функции Фибоначчи и Люка являются «естественными» функциями живой природы, то есть, эти функции не являются выдумкой Боднара, Стахова, Ткаченко и Розина. Они относятся к разряду «фундаментальных» идей природы, потому что они «отражают явления природы» (Фурье).

3.4. Формулы Газале и новая теория гиперболических функций

Недавно египетский математик и инженер Мидхат Газале [29], исследуя рекуррентное соотношение для m-чисел Фибоначчи Fm(n) = mFm(n-1) + Fm(n-2), вывел замечательные формулы, которые были названы в [11] формулами Газале. Для m-чисел Фибоначчи формула Газале выглядит следующим образом:

где m>0 –заданное действительное число, — «золотая m-пропорция», n = 0, ±1, ±2, ±3,.... Подобная же формула выведена [11] и для m-чисел Люка.

Прежде всего, заметим, что «формулы Газале» являются широким обобщением рассмотренных выше «формул Бине», которые совпадают с «формулами Газале» при m=1.

Но самое главное, что «формулы Газале» привели к разработке общей теории гиперболических функций [11]:

Гиперболический m-синус Фибоначчи

Гиперболический m-косинус Фибоначчи

Гиперболический m-синус Люка

Гиперболический m-косинус Люка

Эти формулы задают бесконечное число новых гиперболических моделей природы, так как каждое действительное число m порождает свой класс гиперболических функций. Как показано в [11], все эти функции обладают, с одной стороны, «гиперболическими» свойствами, подобными свойствам классических гиперболических функций, с другой стороны, «рекуррентными» свойствами, подобными свойствам m-чисел Фибоначчи, задаваемых рекуррентным соотношением Fm(n) = mFm(n-1) + Fm(n-2). В частности, классические гиперболические функции являются частным случаем гиперболических m-функций Люка и при связаны с гиперболическими m-функциями Люка следующими простыми соотношениями:

и .

В настоящее время пока трудно оценить значение новой теории гиперболических функций для развития современной науки, но мы вполне можем наметить направление этих исследований. Можно предположить, что различным явлениям природы адекватно соответствуют гиперболические m-функции Фибоначчи и Люка, соответствующие различным значениям m. Например, геометрия филлотаксиса требует для своего описания гиперболические m-функции Фибоначчи и Люка, соответствующие значению m=1. То есть, основанием таких гиперболических функций является классическая «золотая пропорция». При m=2 рекуррентное соотношение для m-чисел Фибоначчи превращается в рекуррентное соотношение F2(n) = 2F2(n-1) + F2(n-2), задающее так называемые числа Пелли: 1, 2, 5, 12, 29,.... При этом выражения для «золотой 2-пропорции» и гиперболических 2-функций Фибоначчи и Люка принимают следующий вид, соответственно:

Ф2 = 1+,

Из такого подхода вполне можно ожидать появление следующих научных теорий «космологического» характера: (1) «Золотая» геометрия Лобачевского; (2) «Золотая» геометрия Минковского как новая интерпретация специальной теории относительности Эйнштейна. То есть, новые гиперболические функции могут привести к пересмотру важнейших научных теорий современной науки.

3.5. Конструктивный подход к математической теории измерения и компьютеры Фибоначчи

В книге [25] развит конструктивный подход к математической теории измерения [2]. Суть подхода состоит в том, что теория строится на конструктивной идее «потенциальной бесконечности», согласно которой измерение рассматривается как процедура, заканчивающаяся за конечное, но потенциально неограниченное число шагов. При этом на передний план выдвигается задача синтеза оптимальных алгоритмов измерения. Основным результатом алгоритмической теории измерения является доказательство существования бесконечного количества новых, неизвестных ранее оптимальных алгоритмов измерения, в частности, фибоначчиевых алгоритмов измерения, основанных на р-числах Фибоначчи. Алгоритмическая теория измерения имеет прямое отношение к теории систем счисления и порождает бесконечное число новых, неизвестных ранее позиционных систем счисления, которые могут быть использованы для создания новых компьютеров – компьютеров Фибоначчи [30].

3.6. Новый подход к теории чисел и новые приложения в компьютерной науке

Системы счисления с иррациональными основаниями (система Бергмана [13] и «коды золотой р-пропорции» [14]), с одной стороны, могут стать источником новых компьютерных проектов, а, с другой стороны, началом новой теории чисел [15]. Из других компьютерных приложений «Математики Гармонии» следует также отметить создание новой теории кодирования и криптографии, основанной на матрицах Фибоначчи и «золотых» матрицах[11, 31-33].

В заключение автор хотел бы выразить огромную благодарность академику Юрию Алексеевичу Митропольскому, при поддержке которого были опубликованы важные статьи автора по теории чисел Фибоначчи и «золотого сечения» [7, 15, 34] в украинских академических журналах. Благодаря этим публикациям был защищен приоритет украинской науки в следующих направлениях:

(1) Теория гиперболических функций Фибоначчи и Люка [7]

(2) Теория матриц Фибоначчи [34]

(3) Новый подход к геометрическому определению числа, основанный на золотых р-пропорциях [15].



Литература

  1. Morris Kline. The Loss of Certainty. New York. Oxford University Press. 1980. (Русский перевод: М. Клайн. Математика. Потеря определенности. Москва: Мир, 1984)
  2. А. Лебег. Об измерении величин. Пер. с французского. Москва: Учпедгиз, 1960
  3. Метафизика. Век XXI (сост. и ред. Ю.С. Владимиров). Москва: БИНОМ, 2006.
  4. Э.М. Сороко. Структурная гармония систем. Минск: Наука и техника, 1984.
  5. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. Москва: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1961.
  6. Боднар О.Я. Золотое Сечение и неевклидова геометрия в Природе и Искусстве. Львов: Свит, 1994.
  7. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии науку Украины, 1993, том 208, No 7, 1993, с. 9-14.
  8. Stakhov A., Rozin B. On a new class of hyperbolic function. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, Volume 23, Issue 2, 379-389.
  9. Stakhov AP, Rozin BN. The «golden» hyperbolic models of Universe. Chaos, Solitons & Fractals, 2007, Volume 34, Issue 2, 159-171.
  10. Stakhov A.P., Rozin B.N. The Golden Section, Fibonacci series and new hyperbolic models of nature. Visual Mathematics, Volume 8, No 3, 2006 http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/stakhov/index.html
  11. Stakhov A.P. Gazale formulas, a new class of the hyperbolic Fibonacci and Lucas functions, and the improved method of the «golden» cryptography. Москва: Академия Тринитаризма, № 77-6567, публикация 14098, 21.12.2006 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321063.htm
  12. Ф. Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М., 1989.
  13. Bergman G. A number system with an irrational base // Mathematics Magazine, 1957, No 31: 98-119.
  14. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. Москва, Радио и связь, 1984 г.
  15. Стахов А.П. Обобщенные золотые пропорции и новый подход к геометрическому определению числа. Украинский математический журнал. 2004, том 56, №. 8, с. 1143-1150.
  16. Stakhov AP. The generalized golden proportions, a new theory of real numbers, and ternary mirror-symmetrical arithmetic. Chaos, Solitons & Fractals, 2007, Volume 33, Issue 2, 315-334.
  17. Stakhov A.P. The Golden Section in the Measurement Theory. An International Journal «Computers & Mathematics with Applications», Volume 17, No 4-6, 1989, 613-638.
  18. Stakhov A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics. Applications of Fibonacci Numbers, Volume 7, 1998, 393-399.
  19. Stakhov A.P. The Generalized Principle of the Golden Section and its applications in mathematics, science, and engineering. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, Volume 26, Issue 2, 263-289.
  20. Stakhov A.P. Fundamentals of a new kind of Mathematics based on the Golden Section. Chaos, Solitons & Fractals 2006, Volume 27, Issue 5, 1124-1146.
  21. Стахов А.П. Золотое сечение, священная геометрия и математика гармонии. В сб. «Метафизика. Век XXI». Москва: Бином, 2006. – с. 174-215.
  22. Стахов А.П. Математика Гармонии как новое междисциплинарное направление современной науки // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12371, 19.08.2005 (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320001.htm)
  23. Стахов А.П. Сакральная геометрия и математика гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.11176, 26.04.2004 (http://trinitas.ru/rus/doc/0202/010a/02020028.htm).
  24. А.П. Стахов, Три «ключевые» проблемы математики на этапе ее зарождения и новые направления в развитии математики, теоретической физики и информатики // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14135, 12.01.2007 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321064.htm
  25. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва, Советское Радио, 1977 г.
  26. Vajda S. Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications. — Ellis Horwood limited, 1989.
  27. Боднар О.Я. Золотое Сечение и неевклидова геометрия в Природе и Искусстве. Львов: Свит, 1994.
  28. Stakhov A.P. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions: A New Mathematics for the Living Nature. Vinnitsa: Publishing House «ITI», 2003.
  29. Gazale Midhat J. Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999 (русский перевод, 2002).
  30. Помехоустойчивые коды. Компьютер Фибоначчи. Москва: Знание, 1989
  31. Stakhov A, Massingue V, Sluchenkova A. Introduction into Fibonacci coding and cryptography. Харьков: Основа, 1999.
  32. Stakhov A. Fibonacci matrices, a generalization of the «Cassini formula», and a new coding theory. Chaos, Solitons & Fractals, 2006, Volume 30, Issue 1, 56-66.
  33. Stakhov A. The «golden» matrices and a new kind of cryptography. Chaos, Solitons & Fractals 2007, Volume 32, Issue 3, 1138-1146.
  34. Stakhov AP. A generalization of the Fibonacci Q-matrix. Доклады Академии наук Украины, 1999, №9, с. 46-49.



А.П. Стахов, «Стратегические ошибки» в развитии математики // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14555, 27.08.2007

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru