1. Система счисления Бергмана

В 1957 г. американский математик Джордж Бергман ввел в рассмотрение позиционную систему специального типа, названную им «системой счисления с иррациональным основанием» или «t -системой» [1]. Он доказал, что любое действительное число А может быть представлено в виде следующей суммы:

(1)

где a_i – двоичные цифры, 0 или 1 (i = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …), t ⁱ – вес i-й цифры в системе счисления (1), t = — основание системы счисления (1).

На первый взгляд может показаться, что не существует никакой особенности в выражении (1) по сравнению с известными позиционными системами счисления, в частности, по сравнению с двоичной системой счисления:

,

(2)

которая лежит в основе современных компьютеров. Но это только на первый взгляд. Главная особенность состоит в том, что Бергман использовал иррациональное число t = («золотая пропорция») в качестве основания своей системы (1).

Рассмотрим систему счисления (1) с вычислительной точки зрения. Ее основание t определяет все необычные свойства системы счисления (1). Мы знаем, что «золотая пропорция» обладает следующим фундаментальным свойством:

t n = t n-1 + t n-2,

(3)

где n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Рассмотрим представления чисел в «t -системе» (1). Ясно, что сокращенная запись числа A в «t -системе» (1) имеет следующий вид:

A = anan-1 … a1a0, a-1a-2 … a-m.

(4)

Мы видим, что сокращенная запись числа A (4) представляет собой двоичную кодовую комбинацию, разделенную запятой на две части, левую часть a_na_n-1 … a₁a₀, соответствующую «весам»: t ⁿ, t ^n-1, … t ¹, t ⁰=1, и правую часть a_-1a_-2 … a_-m, соответствующую «весам»: t ^-1, t ^-2, … t ^--m. Заметим, что «веса» t ⁱ (i =0, ± 1, ± 2, ± 3, …) связаны между собой математическим выражением (3).

Рассмотрим, например, двоичную кодовую комбинацию 100101. Ясно, что в системе счисления (1) она представляет собой следующее действительное число:

А = 100101 = t 5 + t 2 + t 0.

(5)

В теории чисел Фибоначчи и «золотого сечения» хорошо известна следующая формула, связывающая числа Фибоначчи F_n и числа Люка L_n с золотой пропорцией t:

(6)

где n принимает значения из множества целых чисел, то есть, n = 0, ±1, ±2, ±3,.... Сама по себе формула (6) весьма необычна, если напомнить, что степень «золотой пропорции» t ⁿ является иррациональным числом, а числа Фибоначчи F_n и числа Люка L_n являются целыми числами. Таким образом, формула (6) является своеобразным связующим звеном между целыми и иррациональными числами. Формула Бине (6) по праву считается одной из наиболее значительных математических формул и ее по праву можно поставить в один ряд с формулой Эйлера, формулами Муавра и другими математическими открытиями, без которых невозможно представить существование математики.

Заметим, что в формуле (6) речь идет о так называемых «расширенных» числах Фибоначчи и Люка, в которых индекс n принимает значения n = 0, ±1, ±2, ±3,....

Используя формулу Бине (6), мы можем установить, что число A, задаваемое суммой (5), равно:

A = 100101 = + + 1 = = 8 + 3.

Заметим, что число A =100101 = 8 + 3 является иррациональным числом. Это означает, что нам удалось представить некоторое иррациональное число A в «t -системе» (1), используя кодовую комбинацию 100101, состоящую из конечного числа бит!

Но из нашего школьного опыта в области систем счисления мы знаем, что невозможно представить иррациональное число с использованием конечного числа цифр. Именно поэтому возможность представления некоторых иррациональных чисел (степеней «золотой пропорции» и их сумм) с использованием конечной совокупности двоичных цифр есть первый неожиданный результат «t -системы» (1), который вступает в противоречие с нашими традиционными представлениями о системах счисления. Заметим, что это – первое неожиданное свойство системы счисления Бергмана по сравнению с традиционными системами счисления, в частности, с двоичной системой (2).

Заметим, что основание «t -системы» (1), то есть «золотая пропорция» t, представляется в (1) традиционным образом, то есть: t = = 10. Напомним, что число 2 (основание двоичной системы) представляется в системе счисления (2) точно также, то есть, 2 = 10.

2. Представление натуральных чисел

Покажем теперь, как можно получить все «золотые» представления натуральных чисел. Начнем с числа 1. Оно может быть представлено через 0-ю степень «золотой пропорции» следующим способом:

1 = t ⁰.

Но, используя «t -систему» (1), мы можем представить число t ⁰ = 1 следующим образом:

1 = t 0 = 1,00.

(7)

Заметим, что в «золотом» представлении 1,00 запятая отделяет 0-й разряд от разрядов с отрицательными индексами.

Согласно фундаментальному свойству (3), мы можем представить 0-ю степень «золотой пропорции» t в следующем виде:

1 = t 0 = t -1 + t -2

(8)

Это означает, что число 1 в «t -системе» (1) может быть представлено в виде:

1 = t 0 = 1,00 = 0,11.

(9)

Заметим, что в представлении (9) мы заменили бит 1 в 0-м разряде на два соседних единичных бита в (-1)-м и (-2)-м разрядах. В общем виде такое преобразование «золотого» представления, основанное на (3), мы будем называть «разверткой», а обратное преобразование – «сверткой»:

(10)

(11)

А теперь добавим бит 1 в 0-й разряд «золотого» представления 0,11, задаваемого (9). В результате мы получим «золотое» представление числа 2:

2 = 1,11.

(12)

Применяя операцию «свертки» к старшим разрядам «золотого» представления (12), мы получаем новое «золотое» представление числа 2:

2 = 10,01 = t ¹ + t ^-2.

Добавляя бит 1 в 0-й разряд «золотого» представления числа 2, мы получаем «золотое» представление» числа 3:

3 = 11,01.

Применяя операцию «свертки» к старшим разрядам «золотого» представления числа 3, мы получаем новое «золотое» представление числа 3:

3 = 100,01 = t ² + t ^-2.

«Золотые» представления чисел 4 и 5 имеют следующий вид:

4 = 101,01 = t ² + t ⁰ + t ^-2;

5 = 1000,1001 = t ³ + t ^-1 + t ^-4.

Продолжая этот процесс, можно получить «золотые» представления всех натуральных чисел в «t --системе». Это означает, что мы доказали следующую теорему.

Теорема 1. Любое натуральное число может быть всегда представлено в виде конечной суммы степеней золотой пропорции.

Утверждение Теоремы 1 представляет собой второй (при этом весьма неожиданный) результат, вытекающий из рассмотрения «t -системы» (1).

3. Новые свойства натуральных чисел

Натуральные числа изучаются из античных времен. Для их изучения создана теория чисел, которая считается одной из фундаментальных математических теорий и называется «царицей математики». И, казалось бы, все тайны натуральных чисел уже давно раскрыты. И поэтому многие с большим недоверием отнесутся к утверждению, что натуральные числа хранят в себе еще нераскрытые тайны. И некоторые из этих тайн можно обнаружить, если посмотреть на натуральные числа с позиций системы счисления Бергмана (1). В работе [2] автором было проведено детальное исследование системы счисления (1) и открыты новые свойства натуральных чисел, излагаемые ниже.

Рассмотрим представление натурального числа N в системе счисления Бергмана:

(13)

Такое представление числа N в форме (13) будем называть t -кодом натурального числа N.

Заметим, что дискретная переменная i принимает свои значения из множества {0, ± 1, ± 2, ± 3, …}.

Согласно Теореме 1 любое натуральное число N может быть представлено в виде конечной суммы типа (13), что само по себе уже является некоторой «тайной» натуральных чисел.

А теперь обратимся к формуле Бине (6). Напомним, что числа Фибоначчи и Люка в формуле Бине (6) представляют собой две бесконечные числовые последовательности, простирающиеся от -Ґ до +Ґ, то они задаются как для положительных, так и для отрицательных значений своих индексов n (см. Табл. 1).

Таблица 1. «Расширенные» числа Фибоначчи и Люка

Исследуя Табл. 1, нетрудно установить следующие математические соотношения, связывающие числа Фибоначчи и Люка:

2 F_i+1 = L_i + F_i

или

Fi+1 = ,

(14)

а также

Li+1 = Fi+1 + 2Fi

(15)

А теперь подставим выражение (6) вместо t ⁱ в выражение (13). В результате получим следующее выражение:

N = (A + B),

(16)

A = ;

(17)

B = .

(18)

Выражение (16) может быть также записано в виде:

2N = A + B.

(19)

Заметим, что двоичные цифры в выражениях (17), (18) всегда совпадают с соответствующими двоичными цифрами в выражении (13), задающем t -код натурального числа N.

Рассмотрим теперь выражение (19). Это выражение весьма необычное. Действительно, поскольку любое число Фибоначчи является целым числом, то любая сумма чисел Фибоначчи, взятых с двоичными коэффициентами, всегда является целым числом, то есть, выражение (18) всегда задает некоторое целое число. То же самое мы можем сказать и о сумме (17), представляющую сумму чисел Люка с двоичными коэффициентами. Но тогда согласно (19) удвоенное (т.е. четное) число 2N равно сумме целого числа A и произведения целого числа B на иррациональное число . И это согласно (19) должно выполняться для любого натурального числа N! Возникает вопрос: при каких условиях это возможно в общем случае? Ответ очень простой: это возможно только в том случае, если член A является четным числом, равным 2N, а член B в выражении (19) тождественно равен 0, то есть:

A = = 2N;

(20)

B = = 0.

(21)

Сравнивая выражения (20) и (21) с выражением (13) для t -кода натурального числа N и учитывая, что двоичные цифры a_i (i=0, ± 1, ± 2, ± 3, …) во всех этих выражениях совпадают, мы можем констатировать, что нами обнаружены новые свойства натуральных чисел, которые задаются с помощью следующих теорем [2].

Теорема 2 (Z-свойство натуральных чисел). Если в t -коде натурального числа N все степени «золотой пропорции» t ⁱ заменить соответствующими числами Фибоначчи F_i (i=0, ± 1, ± 2, ± 3, …), то возникающая при этом сумма тождественно равна 0 независимо от исходного натурального числа N, то есть,

= 0.

(22)

Теорема 3 (D-свойство натуральных чисел). Если в t -коде натурального числа N все степени «золотой пропорции» t ⁱ заменить соответствующими числами Люка L_i (i=0, ± 1, ± 2, ± 3, …), то возникающая при этом сумма тождественно равна удвоенному натуральному числу N, то есть,

= 2N.

(23)

4. F- и L-коды натуральных чисел

Принимая во внимание тождество (21), выражение (16) может быть представлено в следующей форме:

N = (A + B),

(24)

где A определяется выражением (20), а B — выражением (21).

Принимая во внимание выражения (20), (21), а также тот факт, что все двоичные коэффициенты в выражениях (20), (21) совпадают, мы можем представить выражение (24) в следующем виде:

.

(25)

А теперь мы можем воспользоваться выражением (14) и представить (25) в следующем виде:

.

(26)

Выражение (26) называется F-кодом числа N, то есть, F-код представляет собой двоичное позиционное представление натурального числа N, в котором весами разрядов являются числа Фибоначчи F_i+1, выбираемые из Табл. 1.

А теперь сравним выражения (26) и (13). Так как двоичные цифры a_i в выражениях (26) и (13) совпадают для любого i=0, ± 1, ± 2, ± 3, …, то отсюда вытекает, что F-код числа N может быть получен из t -кода (13) того же самого натурального числа N путем простой замены степеней золотой пропорции t ⁱ в формуле (13) на соответствующие числа Фибоначчи F_i+1.

Представим теперь F-код числа N (26) в следующей форме:

+ 2B = + 2,

(27)

где член B определяется выражением (21). Тогда выражение (27) может быть представлено в следующем виде:

.

(28)

Принимая во внимание тождество (15), выражение (28) может быть представлено в следующей виде:

.

(29)

Выражение (29) называется L-кодом числа N, то есть L-код представляет собой двоичное позиционное представление натурального числа N, в котором весами разрядов являются числа Люка L_i+1.

. Так как двоичные цифры в выражениях (29), (13) совпадают, отсюда вытекает, что L-код числа N может быть получен из t -кода этого же числа N, задаваемого (13), путем замены степеней золотой пропорции t ⁱ в формуле (13) на соответствующие числа Люка L_i+1, где i = 0, ± 1, ± 2, ± 3,.... Ясно, что L-код числа N может быть получен также из F-кода того же самого числа N путем замены чисел Фибоначчи F_i+1 в формуле (26) на числа Люка L_i+1.

5. Примеры t -, F- и L-кодов

Теперь рассмотрим цифровые записи сумм (13), (26) и (29) в виде двоичного кода. Поскольку для заданного N все двоичные коэффициенты в суммах (13), (26) и (29) совпадают, то это означает, что цифровые записи для t -, F- и L-кодов одного и того же натурального числа N совпадают и могут быть записаны в следующем виде:

N = am am-1... a1 a2 a0, a-1 a-2... a-(m-1) a-m.

(30)

Таким образом, исследуя t -код натурального числа N, задаваемый выражением (13), мы неожиданно пришли к двум новым позиционным представлениям этого же натурального числа N; в первом из них, задаваемом выражением (26), в качестве весов разрядов выступают числа Фибоначчи F_i+1, а во втором, задаваемым выражением (29), – числа Люка. Заметим, что по форме цифровой записи (30) невозможно определить, какой из сумм (13), (26) или (29) данная цифровая запись соответствует.

Рассмотрим теперь еще раз цифровую запись (30). Мы можем видеть, что она разделяется запятой на две части: левую часть, состоящую из разрядов с неотрицательными индексами, и правую часть, состоящую из разрядов с отрицательными индексами. В качестве примера рассмотрим «золотое» цифровое представление числа 10 (основание десятичной системы счисления):

10 = 1 0 1 0 0, 0 1 0 1.

(31)

Интерпретируя «золотую» цифровая запись (31) как t -код (13), мы можем записать следующую сумму:

10 = t 4 + t 2 + t -2 + t -4.

(32)

Чтобы убедиться в справедливости выражения (32), достаточно воспользоваться формулой Бине (6) для представления соответствующих степеней золотой пропорции в (32):

10 = t 4 + t 2 + t -2 + t -4 = + + + .

(33)

Если мы примем во внимание следующие соотношения, связывающие числа Фибоначчи и Люка, (см. Табл. 1)

L_-2 = L₂; L_-4 = L₄; F_-2 = — F₂; F_-4 = — F₄

после проведения соответствующих преобразований мы получим:

10 = .

Заметим, что все иррациональности в выражении (33) взаимно уничтожаются, благодаря чудесным свойствам чисел Фибоначчи и Люка. И этот факт справедлив для любого натурального числа N!

Рассмотрим теперь алгебраические интерпретации «золотой» цифровой записи (31) как F- и L-кодов. Для этого мы воспользуемся выражениями (26) и (29):

10 = F₅ + F₃ + F_-1 + F_-3 = 5 + 2 + 1 + 2;

10 = L₅ + L₃ + L_-1 + L_-3 = 11 + 4 — 1 -4.

6. Заключение

Настоящая статья написана в поддержку «Математики Гармонии», развитой автором в работах [2]-[13]. Ее главная цель показать, что «Математика Гармонии» не есть «досужий вымысел» автора и не какой-то «западный проект», а вполне реальная математическая теория, которая, как и всякая математическая теория, является «интернациональной» теорией, не привязанной к России, Украине, Канаде, Китаю, Израилю или какой-либо другой стране.

В настоящей статье получены следующее математические результаты, имеющее непосредственное отношение к теории чисел:

1. Во-первых, настоящей статьей автор хотел бы привлечь внимание к математическому открытию американского математика Джорджа Бергмана, сделанном в 1957 г. [1]. Чтобы понять значение этого открытия для истории математики, необходимо напомнить, что в течение многих тысячелетий, начиная с Вавилонской 60-ричной системы счисления, наибольшее распространение получили позиционные системы счисления, основанием которых является некоторое натуральное число (60 — в Вавилонской 60-ричной системе счисления, 10 — в десятичной системе, 2 – в двоичной системе). Все остальные числа (в частности, дробные как отношения двух натуральных чисел и даже иррациональные как пределы отношений натуральных чисел) выражались через основание системы (натуральное число) с помощью таких систем счисления. Этим негласно подчеркивалась главенствующая роль натуральных чисел в математике и человеческой практике. И это полностью соответствовало основной доктрине пифагорейцев «Все есть число», потому что в этом высказывании речь шла, прежде всего, о натуральных числах и их отношениях. Система счисления Бергмана переворачивает все наши представления о системах счисления. В этой системе счисления «главным числом», «числом-генератором» и «основанием» всех чисел является «золотая пропорция», а все остальные числа, включая натуральные, дробные и иррациональные, как было показано Бергманом, могут быть представлены через «золотую пропорцию» в виде суммы (1). Уже этих рассуждений достаточно, чтобы отнести открытие Бергмана к разряду «стратегических» математических открытий. Согласно открытию Бергмана, на передний план выдвигается «золотая пропорция», а все остальные числа с помощью (1) сводятся к «золотой пропорции». Мы можем сделать следующее смелое утверждение: возможно, система счисления Бергмана (1) является наиболее крупным математическим открытием в теории систем счисления после открытия вавилонянами «позиционного принципа представления чисел», открытия древними китайцами «двоичной системы счисления», лежащей в основе современных компьютеров, и открытия древними индусами «десятичной системы счисления»! К сожалению, как это часто бывало в математике (вспомним Лобачевского, Абеля или Галуа), современные математики оказались неспособными оценить историческое значение системы счисления Бергмана для развития теории чисел (да и сам Бергман не сумел этого понять). В статье [2], опубликованной в «Украинском математическом журнале», автор попытался показать, что это открытие может быть положено в основу нового геометрического определения действительного числа, в основу новой теории действительных чисел и в основу нового направления в компьютерах («золотые» компьютеры).

2. Согласно Теореме 1 любое натуральное число может быть представлено в виде конечной суммы степеней «золотой пропорции». Если учесть, что любая степень «золотой пропорции» есть иррациональное число, результат Теоремы 1 является далеко не тривиальным, более того – ошеломляющим. И если теперь возвратиться на 2,5 тысячелетия назад к началам математики и теории чисел (греческий период), то можно представить себе реакцию пифагорейцев на Теорему 1. Согласно главной доктрине пифагорейцев «Все есть число» в основе мироздания лежат натуральные числа и их отношения, так как любую вещь в природе можно выразить в виде отношения двух натуральных чисел. Но если любое натуральное число может быть выражено через «золотую пропорцию» в виде (13), то из Теоремы 1 с необходимостью вытекает новая доктрина, которую пифагорейцы немедленно сформулировали бы, если бы знали о Теореме 1: «Все есть «золотая пропорция»! Таким образом, Теорема 1 является логическим завершением многотысячелетней истории «золотого сечения», потому что она возводит «золотую пропорцию» в ранг «главного числа», с помощью которого в математике может быть представлен любой математический объект.

3. Но главным научным результатом, полученным в работе [2] и воспроизведенным в настоящей статье, является открытие новых свойств натуральных чисел, в частности, Z-свойства. В этом открытии особую роль играют числа Фибоначчи, которые путем простой их подстановки вместо степеней «золотой пропорции» в t -код натурального числа N (13) превращают любое натуральное число N в 0. И таким свойством обладают только натуральные числа! Как упоминалось, Z-свойство легко доказывается с помощью знаменитой формулы Бине (6). Это доказательство, однако, оказывается настолько простым, что вполне доступно любому школьнику. Эта простота вызывает некоторый скептицизм по поводу утверждения, что Z-свойство, действительно, является новым фундаментальным свойством натуральных чисел. Здесь уместно провести аналогию с открытием несоизмеримых отрезков, сделанным в научной школе Пифагора. Доказательство этого открытия также под силу каждому современному школьнику. Однако это ни в какой степени не умаляет значение этого открытия пифагорейской науки для развития математики. Оно считается едва ли не главнейшим открытием греческой математики, которое привело к введению в математику иррациональных чисел, одного из фундаментальных математических понятий. Именно с таких позиций необходимо относиться к Z-свойству, весьма необычному свойству натуральных чисел. Можно сразу же найти практическое применение этого уникального свойства – «золотые» компьютеры, использующие для представления натуральных чисел систему Бергмана. В таких компьютерах Z-свойство играет роль основного контрольного свойства, которое позволяет идентифицировать натуральное число, то есть обнаруживать ошибки в кодовом представлении любого натурального числа. В заключение необходимо еще раз подчеркнуть, что открытие новых свойств натуральных чисел не могло быть сделано только после открытия системы счисления Бергмана (1), то есть, системы счисления, основанной на «золотой пропорции». И это является еще одним аргументом в пользу «Математики Гармонии» [13], как оригинального математического направления, являющегося источником новых математических идей и открытий.

Литература

1. Bergman G. A. A number system with an irrational base. Mathematics Magazine, 1957, No. 31, 98-119.
2. Стахов А.П. Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа. Украинский математический журнал, 2004, Том 56, №. 8, с. 1143-1150.
3. Стахов А.П. Сакральная геометрия и математика гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.11176, 26.04.2004 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320028.htm
4. Стахов А.П. Математика Гармонии как новое междисциплинарное направление современной науки // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12371, 19.08.2005 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320001.htm
5. Стахов А.П. Гармония Мироздания и Золотое Сечение: древнейшая научная парадигма и ее роль в современной науке, математике и образовании. Часть 1 // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12840, 19.01.2006 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320036.htm
6. Стахов А.П. Гармония Мироздания и Золотое Сечение: древнейшая научная парадигма и ее роль в современной науке, математике и образовании. Часть 2 // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12855, 23.01.2006 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320037.htm
7. А.П. Стахов, Три «ключевые» проблемы математики на этапе ее зарождения и новые направления в развитии математики, теоретической физики и информатики // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14135, 12.01.2007 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321064.htm
8. Stakhov A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics. Applications of Fibonacci Numbers, Volume 7, 1998, 393-399.
9. Stakhov A.P. The Generalized Principle of the Golden Section and its applications in mathematics, science, and engineering. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, Volume 26, Issue 2, 263-289.
10. Stakhov A.P. Fundamentals of a new kind of Mathematics based on the Golden Section. Chaos, Solitons & Fractals 2006, Volume 27, Issue 5, 1124-1146.
11. А.П. Стахов, Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006. http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321063.htm
12. Стахов А.П. Золотое сечение, священная геометрия и математика гармонии. Сборник «Метафизика. Век XXI». Москва: Бином, 2006. – с. 174-215
13. А.П. Стахов, Еще раз о «Математике Гармонии» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14249, 22.02.2007 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321066.htm