Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Математика Гармонии

А.П. Стахов
«Принцип Золотой Пропорции» в «Началах» Евклида
и «Обобщенный Принцип Золотого Сечения»
Oб авторе

Аннотация

Проводится сравнительный анализ Евклидового определения «задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» и современного определения «задачи о золотом сечении». Показано, что эти задачи представляют собой разные формулировки одной и той же геометрической задачи, которая была использована Евклидом для построения «пентагона» и «додекаэдра». Поэтому утверждение о том, что Евклид не владел «Принципом Золотой Пропорции», не выдерживает критики. Проводится анализ «задачи о золотом р-сечении» (А.П. Стахов, 1977) с точки зрения Евклидового определения и дается ее новое определение с использований новых геометрических понятий: «прямоугольник Евклида», «прямоугольный параллелепипед Евклида» и др. Показано, что «золотой кирпич», использованный в качестве формы строительных блоков готических замков, основан на «прямоугольнике Евклида», в котором отношение сторон равно квадрату «золотой пропорции».

1. Введение

Как известно, знаменитая математическая задача «о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», более широко известная нам под названием «задачи о золотом сечении отрезка», пришла к нам из «Начал» Евклида. Однако Евклидова формулировка этой задачи отличается от общепринятой.

В 1977 г. автор обобщил «задачу о золотом сечении» и сформулировал «задачу о золотом р-сечении отрезка» (р=0, 1, 2, 3,...) [1], которая для частного случая р=1 совпадает с классической «задачей о золотом сечении».

Цель настоящей статьи – провести анализ Евклидового определения «задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» и рассмотреть «задачу о золотом р-сечении» с точки зрения Евклидового определения.

2. Евклидово определение задачи
«о делении отрезка в крайнем
и среднем отношении»
2.1. «Золотое сечение» в формулировке Евклида

В Книге II своих «Начал» Евклид сформулировал предложение 2.11, которое задает «деление отрезка в среднем и крайнем отношении»:

Предложение 2.11. Данную прямую разделить так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке.

Рассмотрим это определение более детально. Для этого возьмем отрезок АВ и разделим его точкой С на две неравные части АС и СВ (Рис.1)

Рисунок 1. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении («золотое сечение»)

Таким образом, Предложение 2.11 по существу представляет собой геометрическую задачу о построении прямоугольника, равновеликого квадрату. Подобные задачи были широко распространены в античной науке (вспомним знаменитую задачу о квадратуре круга). Евклид, однако, не указывает, какой именно отрезок (меньший или больший) должен быть выбран в Предложении 2.11 для того, чтобы сконструировать из него прямоугольник, равновеликий квадрату.

Легко доказать, что «задача Евклида», задаваемая Предложением 2.11, имеет решение только для случая, когда «одним из отрезков», образующим прямоугольник вместе с исходным отрезком, является меньший отрезок СВ. Действительно, если в качестве «одного из отрезков» выбрать больший отрезок АС, тогда Предложение 2.11 должно быть записано в следующем виде:
АВґ АС = СВ2 (1)

Если разделить обе части равенства (1) вначале на АВ, а затем на СВ, то получим следующую пропорцию:
(2)

Но эта пропорция приводит нас к противоречию. Действительно, отношение большего отрезка к меньшему (АС:СВ) всегда больше 1, в то время как отношение части отрезка ко всему отрезку (СВ:АВ) всегда меньше 1. Поэтому пропорция (2) является абсурдной. Отсюда мы можем сделать вывод, что Предложение 2.11 имеет решение только для случая, когда в качестве «одного из отрезков» выбирается меньший отрезок СВ.

Согласно Предложению 2.11 точка С должна быть выбрана таким образом, чтобы площадь прямоугольника со сторонами АВ и СВ равнялась площади квадрата со стороной АС. Запишем это утверждение в виде равенства:
АВґ СВ = (АС)2 (3)

А теперь разделим обе части равенства (3) вначале на СВ, а затем на АС. В результате получим следующую пропорцию:
(4)

А это – ни что иное, как «задача о золотом сечении» в современной формулировке. Из этих рассуждений вытекает однозначный вывод, что «задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» в формулировке Евклида и современная «задача о золотом сечении» — это разные формулировки одной и той же математической задачи!

Будем называть прямоугольник, который вытекает из Предложения 2.11 «прямоугольником Евклида». Если обозначить длины отрезков АВ, АС и СВ соответственно: АВ = а, АС = b и СВ = с, то выражение (3) может быть переписано в следующем виде:
аґ с = b2 (5)

С учетом введенного определения мы можем представить «прямоугольник Евклида», как показано на Рис.2.


Рисунок 2. Прямоугольник Евклида

Как следует из Рис. 2, в «прямоугольнике Евклида» отношение большей стороны к меньшей равно отношению длины исходного отрезка к длине меньшего отрезка в Предложении 2.11; при этом согласно (5) его площадь равна квадрату длины большего отрезка.

Если в качестве исходного выбрать единичный отрезок (а=1), то длины большего (b) и меньшего (c) отрезков, возникающих при деления единичного отрезка в крайнем и среднем отношении, всегда будут правильными дробями и тогда выражение (1) может быть записано в виде:
с = b2. (6)

Из выражения (6) вытекает следующая формулировка Предложения 2.11 для случая единичного отрезка:

Предложение 2.11 для единичного отрезка. Разделить единичный отрезок на две неравные части в такой пропорции, чтобы длина меньшего отрезка равнялась квадрату длины большего отрезка.

Обозначим пропорцию (4) через x. Тогда, учитывая, что АВ = АС + СВ, пропорцию (4) можно записать в следующем виде:

,

откуда вытекает следующее алгебраическое уравнение для вычисления искомой пропорции x:
x2 = x + 1 (7)

Из «геометрического смысла» пропорции (4) вытекает, что искомое решение уравнения (7) должно быть положительным числом, откуда вытекает, что решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении является положительный корень уравнения (7), который мы обозначим через t, то есть

t = .

Если исходный отрезок АВ в задаче на Рис. 1 будет единичным отрезком, то есть АВ = 1, то тогда отрезок АС = t -1, а отрезок СВ = t -2. С учетом этого замечания «прямоугольник Евклида» на Рис. 2 будет представлять собой «золотой» прямоугольник с отношением сторон АВ:СВ = t 2. Из этих рассуждений вытекает, что Евклид своим Предложением 2.11 не только сформулировал «задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» («золотое сечение»), но и открыл новый вид «золотого» прямоугольника с отношением сторон t 2 (Рис.2).

Заметим, что сформулированное выше Предложение 2.11 для единичного отрезка выражает следующее широко известное свойство «золотой пропорции»:
1 = t -1 + t -2 = 0,618 + 0,382 (8)

Заметим, что тождество (8) выражает знаменитый «Принцип Золотой Пропорции», который, начиная с античного периода, пронизывает человеческую науку и культуру.

В споре о том, знал ли Евклид «золотое сечение», необходимо четко различать математическое понятие «золотого сечения» и его название (то есть необходимо различать «суть» и «термин»). Сразу же отметим, что Евклид не пользовался термином «золотое сечение», предпочитая ему термин «деление отрезка в крайнем и среднем отношении». Но поскольку, как показано выше, задача о «делении отрезка в крайнем и среднем отношении», сформулированная Евклидом и выражаемая соотношением (3), и задача о «золотом сечении» в современной формулировке, выражаемая пропорцией (4), — это просто разные формулировки одной и той же геометрической задачи, то отсюда вытекает, что Евклид хорошо был знаком с «Принципом Золотой Пропорции» (8). И поэтому попытки некоторых современных исследователей доказать, что Евклид не был знаком с «золотым сечением», не выдерживают критики.

2.2. Конструирование «золотого» равнобедренного треугольника, пентагона и додекаэдра

С какой целью Евклид ввел Предложение 2.12? Ответ на этот вопрос мы находим в статье [2]. Как показано в [2], Евклид использовал «Принцип Золотого Сечения», заложенный в «задаче о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», для конструирования «золотого» равнобедренного треугольника, а затем «пентагона» и «додекаэдра».

Евклид конструирует «золотой» прямоугольный треугольник следующим образом (Рис.3). Возьмем отрезок AB и найдем на нем точку C, которая делит отрезок в «золотом сечении». После этого проведем дугу радиусом AB с центром в точке А. Найдем на дуге такую точку D, чтобы AC = CD = BD. Тогда треугольник ABD и будет искомым «золотым» равнобедренным треугольником, в котором углы при основании BD (72°) будут равны удвоенному значению угла при вершине А (36°).

Рисунок 3. Геометрическое построение «золотого»
равнобедренного треугольника

Используя это геометрическое построение, Евклид затем строит «пентагон». Исходным для построения «пентагона» является «золотой» равнобедренный треугольник ABD (Рис. 3). Проведем окружность через точки A, B и D (Рис.4). Проведя биссектрису угла ADB до пересечении с этой окружностью в точке Е, мы найдем четвертую вершину Е «пентагона». Заметим, что биссектриса DE проходит через точку С, которая делит отрезок AB в «золотом сечении». Аналогично, проведя биссектрису BF угла ABD до пересечения с окружностью в точке F, мы найдем пятую вершину F «пентагона», после чего можно нарисовать «пентагон» (Рис.4)

Рисунок 4. Геометрическое построение пентагона

Используя «пентагон» на Рис.4, Евклид затем строит «додекаэдр» (Рис.5). Важно подчеркнуть, что Евклид строит две «сакральные» фигуры, которые играли важную роль в учениях Пифагора и Платона. Как известно, «пентаграмма», которая лежит в основе «пентагона», являлась главным «сакральным» символом Пифагорейского союза, а «додекаэдр» в космологии Платона считался главным из пяти «Платоновых тел» и символизировал Гармонию Мироздания. Как подчеркивает Э.М. Сороко [3], «представление о «сквозной» гармонии бытия неизменно связывалось с ее воплощением в этих пяти симметричных геометрических телах, выражающих идею повсеместного совершенства мира вследствие совершенства каждой из составляющих его «стихий», «начал».

Рисунок 5. Додекаэдр

Как известно, геометрическую теорию Платоновых тел Евклид разместил в последней, то есть XIII-й книге своих «Начал». Многие комментаторы считают, что это не является случайным совпадением. Обычно принято размещать наиболее важный материал научного сочинения в заключительной части книги. В частности, древнегреческий математик Прокл, который был одним из наиболее известных комментаторов Евклида, на том основании, что теорию «Платоновых Тел» Евклид разместил в заключительной части своего знаменитого сочинения, утверждает, что Евклид создавал «Начала» не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения пяти «Платоновых Тел», попутно осветив некоторые новейшие достижения математики. А поскольку в космологии Платона, «правильные многогранники» символизировали Гармонию и Принципы Мироздания, то из утверждения Прокла вытекает, что «Начала» Евклида можно рассматривать как исторически первый вариант «Геометрической Теории Гармонии», основанной на «золотом сечении» и «Платоновых Телах».

В настоящее время большинство комментаторов Евклида сходятся в том, что «Начала» Евклида не представляют собой, однако, оригинальное сочинение. Поэтому возникает вопрос: кто изучал «золотое сечение» до Евклида? Как утверждается в статье [2], «книга II Начал содержит материал, впервые изучавшийся Теодором из Кирены (Theodorus of Cyrene), в то время как другие историки приписывают этот материал Пифагору или, по крайней мере, пифагорейцам». По словам Ван-дер-Вардена [4], «Начала» Евклида на 2/3 написаны пифагорейскими математиками. Как подчеркивается в книге [3], Евклид разместил в своих «Началах» наиболее значительные математические результаты своего времени, и потому его «Начала» являются своеобразным «нерукотворным» памятником Пифагору, Гиппократу (Хиосскому), Евдоксу (Книдскому), Архиту, Теэтету и другим древнегреческим математикам. И это мнение Ван-дер-Вардена и Сороко является дополнительным свидетельством того факта, что Предложение 2.11, задающее «задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», скорее всего, принадлежит пифагорейцам, то есть пифагорейцы также были знакомы с «Принципом Золотой Пропорции».

Уже сам факт, что пифагорейцы выбрали «пентаграмму», нашпигованную «золотыми сечениями», в качестве главного символа своего союза, является еще одним свидетельством того, что пифагорейцы знали и почитали «золотое сечение». Именно такой вывод делает в одной из своих книг [5] доктор философских наук, кандидат физико-математических наук, профессор А.В. Волошинов, возглавляющий кафедру культурологии Саратовского государственного технического университета. В статье «Пифагор» [5] он пишет следующее:

«Особое внимание пифагорейцы уделяли пентаграмме – пятиконечной звезде, образованной диагоналями правильного пятиугольника. В пентаграмме пифагорейцы обнаружили все известные в древности пропорции: арифметическую, геометрическую, гармоническую, а также знаменитую золотую пропорцию, или золотое сечение. Совершенство математических форм пентаграммы находят отражение в совершенстве ее формы. Пентаграмма пропорциональна и, следовательно, красива. Видимо именно благодаря совершенной форме и богатству математических форм пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа здоровья и тайного опознавательного знака. С легкой руки пифагорейцев пятиконечная звезда и сегодня является символом многих государств и реет на флагах едва ли не половины стран мира».

Таким образом, по мнению проф. Волошинова, которого трудно обвинить в дилетантизме и незнании «первоисточников», «принцип золотого сечения» был известен пифагорейцам.

2.3. «Золотой» кирпич готической архитектуры

Рассмотрим «прямоугольник Евклида», в котором большая сторона равна t («золотая пропорция»), а меньшая сторона — t -1 (Рис.6). Проведем в «прямоугольнике Евклида» диагональ DB (Рис. 6).



Рисунок 6. Вычисление диагонали «Прямоугольника Евклида»

Используя Теорему Пифагора, мы можем записать:
DB2 = BC2 + DC2 = t 2 + t -2 (9)

Используя так называемую «формулу Бине» для чисел Люка [6], мы можем записать:

DB2 = 3,

откуда вытекает численное значение диагонали

DB =

Как показано в [7], «Прямоугольник Евклида» на Рис. 6 вместе с классическим «золотым» прямоугольником, в котором отношение сторон равно «золотой пропорции» t, может быть использован для конструирования прямоугольного параллелепипеда, известного под названием «золотой кирпич» (Рис. 7).



Рисунок 7. «Золотой» кирпич

Грани «золотого кирпича» на Рис. 7 представляют собой прямоугольники, геометрические соотношения которых основаны на «золотой пропорции», а именно, грань ABCD представляет собой классический «золотой» прямоугольник с отношением сторон АВ:ВС = 1: t -1 = t, грань ABGF также представляет собой классический «золотой» прямоугольник с отношением сторон AF:AB = t: 1 = t, наконец, грань BCHG представляет собой «прямоугольник Евклида» с отношением сторон BG:BC = t: t -1 = t 2.

Используя теорему Пифагора, легко вычислить диагональ CF «золотого кирпича»:

.

В книге [7] обращается внимание на тот факт, что именно «золотые кирпичи» широко использовались в качестве формы для основных строительных блоков готических замков. При этом выдвигается гипотеза о том, что удивительная прочность готических замков связана с использованием «золотых кирпичей» при строительстве архитектурных монументов готики.

3. Трактовка золотых р-пропорций
с Евклидовой точки зрения
3.1. Обобщение задачи о «золотом сечении»

Классическая задача о «золотом сечении», основанная на пропорции (4), допускает следующее обобщение [1]. Зададимся целым неотрицательным числом р=0, 1, 2, 3,... и разделим отрезок точкой C в следующей пропорции:
(10)

Если теперь обозначить и учесть, что АВ = АС + СВ, то отношение можно представить в виде:
(11)

Учитывая введенное выше обозначение и пропорцию (10), выражение (11) можно записать в виде:

,

откуда непосредственно вытекает следующее алгебраическое уравнение:
xр+1 = xр + 1. (12)

Исследуем частные случаи пропорции (7) и задающего ее алгебраического уравнения (12). Ясно, что при p = 0 уравнение (12) сводится к тривиальному уравнению:
x = 2. (13)

Это уравнение имеет единственный корень t 0=2. При этом деление отрезка в пропорции (10) сводится к «дихотомии», то есть, к делению отрезка пополам.

Рассмотрим теперь случай p = 1. Ясно, что для этого случая уравнение (12) сводится к уравнению (7), положительный корень которого t 1 совпадает с «золотой пропорцией», то есть, t 1 = t = . Заметим, что для этого случая деление отрезка в пропорции (10) сводится к классическому «золотому сечению». На этом основании все деления отрезка в пропорции (10) были названо «золотыми р-сечениями», а положительные корни алгебраического уравнения (12) – «золотыми р-пропорциями» [1].

При остальных значениях р мы получаем бесконечное число некоторых делений отрезка в пропорции (10). В частности, легко доказать, что при р® Ґ «золотая р-пропорция» t р ® 1.

С учетом вышеизложенного можно привести значения золотых р-пропорций для некоторых значений р.

Золотые р-пропорции

р

0

1

2

3

4

...

Ґ

t р

2

1,618

1,465

1,380

1,324

...

1

Таким образом, между двумя числовыми константами 2 и 1 на числовой оси находится бесконечное число новых иррациональных чисел, «золотых р-пропорций», которые выражают более сложные «гармонии», чем классическая «золотая пропорция» t = 1,618.

3.2. Некоторые алгебраические свойства золотой
р-пропорции

Подставляя «золотую р-пропорцию» t р вместо x в уравнение (12), получим следующее тождество для «золотой р-пропорции»:
. (14)

Разделив все члены тождества (14) на , получим следующие замечательные свойства «золотой р-пропорции»:
(15)

или
. (16)

Заметим, что для случая р=0 (t 0=2) тождества (15) и (16) вырождаются в следующие тривиальные тождества:

и 2 – 1 = .

При р=1 , а тождества (15), (16) вырождаются в следующие хорошо известные тождества:


t = 1 + t -1 и t — 1 = t -1.

Будем теперь многократно умножать и делить все члены тождества (15) на t р; в результате получим следующее замечательное тождество, связывающее степени золотой р-пропорции:
, (17)

где n принимает значения из множества: {0, ± 1, ± 2, ± 3, …}.

В частности, при n = 0 тождество (17) принимает следующий вид:
(18)

Таким образом, введенное выше понятие «золотой р-пропорции» представляет общематематический интерес, а теория «золотой р-пропорции» включает в себя в качестве частных случаев теорию двоичных чисел и теорию классической «золотой пропорции».

Заметим, что тождество (18) представляет собой математическое выражение «Обобщенного Принципа Золотого Сечения» или «Принципа Золотой р-пропорции», сформулированного в [8].

3.3. Евклидова интерпретация задачи
о «золотом р-сечении»

Как упоминалось, «задача о золотом р-сечении», задаваемая пропорцией (10), является обобщением классической «задачи о золотом сечении». Представляет интерес рассмотреть эту задачу с точки Евклидового определения «задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». Начнем с частного случая р=2. Для этого случая пропорция (10) принимает следующий вид:
(19)

Если обозначить длины отрезков АВ, АС и СВ в задаче о делении отрезка в золотом 2-сечении соответственно: АВ = а, АС = b и СВ = с, то выражение (19) может быть представлено в следующем виде:
а2ґ с = b3. (20)

Мы можем дать выражению (20) следующую геометрическую интерпретацию. Правая часть равенства (20) может быть интерпретирована как объем куба со стороной, равной b, то есть, длине большего отрезка АС, возникающего при деления отрезка АВ в «золотой 2-пропорции» (19). Левую часть равенства (20) можно интерпретировать как объем прямоугольного параллелепипеда, построенного на квадрате со стороной а, равной длине исходного отрезка АВ, и высотой с, равной длине меньшего отрезка СВ, возникающего при делении отрезка АВ в «золотой 2-пропорции» (19).

Тогда, учитывая (19) и (20), мы можем сформулировать новую геометрическую задачу о делении отрезка в золотой 2-пропорции, которая является обобщением Евклидового Предложения 2.11.

Задача о делении отрезка в «золотой 2-пропорции». Заданный отрезок АВ разделить на две неравные части АС и СВ так, чтобы прямоугольный параллелепипед, построенный на квадрате со стороной, равной исходному отрезку АВ, и высотой, равной меньшему отрезку СВ, был бы равен кубу со стороной, равной большому отрезку АС.

Прямоугольный параллелепипед, возникающий в указанной задаче, состоит из шести граней. Нижняя и верхняя грани представляют собой квадраты со стороной, равной длине исходного отрезка; боковые грани представляют прямоугольники, подобные «прямоугольнику Евклида» на Рис.2, с тем отличием, что отношение сторон a:b для данного случая равно квадрату «золотой 2-пропорции» t 2, то есть,
(21)

Будем называть указанную геометрическую фигуру «прямоугольным параллелепипедом Евклида». Таким образом, согласно (21) в «прямоугольном параллелепипеде Евклида» отношение стороны основания к высоте равно квадрату «золотой 2-пропорции» t 2; при этом согласно (20) его объем равен кубу длины большего отрезка в пропорции (19).

Ясно, что эта задача может быть рассмотрена как задача о построении прямоугольного параллелепипеда, равновеликого кубу. Она является обобщением Предложения 2.11, сформулированного Евклидом.

Если исходный отрезок имеет единичную длину (АВ=1), тогда равенство (20) принимает следующий вид:
с = b3. (22)

И тогда мы можем сформулировать следующую геометрическую задачу для деления единичного отрезка в «золотой 2-пропорции».

Задача о делении единичного отрезка в «золотой 2-пропорции». Разделить единичный отрезок на две неравные части в такой пропорции, чтобы длина меньшего отрезка равнялась кубу длины большего отрезка.

Заметим, что сформулированное выше задача выражает следующее свойство «золотой 2-пропорции»:
= 0,6823 + 0,3177 (23)

которое является частным случаем тождества (18).

Для общего случая р пропорция (10) может быть представлена в следующем виде:
арґ с = bр+1. (24)

На языке геометрии выражение (24) можно интерпретировать следующим образом. Правая часть равенства (24) представляет собой объем гиперкуба в (р+1)-мерном пространстве со стороной, равной длине b большего отрезка в «задаче о делении отрезка в золотой р-пропорции». Левая часть равенства (24) представляет собой объем «прямоугольного гиперпараллепипеда Евклида» в (р+1)-мерном пространстве, в котором р сторон равны длине а исходного отрезка в задаче о делении отрезка в золотой р-пропорции, а (р+1)-я сторона («высота») равна длине с меньшего отрезка в задаче о делении отрезка в золотой р-пропорции.

По существу указанная выше интерпретация является другой формулировкой «задачи о золотой р-пропорции», которая является обобщением Евклидового Предложения 2.11.

Наконец, рассмотрим эту задачу для случая единичного отрезка (а=1). Тогда выражение (18) принимает вид:
с = bр+1. (25)

С учетом (25) мы можем сформулировать следующую задачу о делении единичного отрезка в золотой р-пропорции.

Задача о делении единичного отрезка в «золотой р-пропорции». При заданном целом р=0, 1, 2, 3,... разделить единичный отрезок длиной а на два неравных отрезка — больший длиной b и меньший длиной с — в такой пропорции, чтобы длина с меньшего отрезка равнялась (р+1)-й степени длины b большего отрезка.

Заметим, что сформулированное выше задача выражает свойство «золотой р-пропорции», выражаемое тождеством (18).

Заметим также, что при р=0 равенство (24) принимает тривиальный вид:
с = b. (26)

Этот случай соответствует «дихотомии».

При р=1 равенство (24) сводится к равенству (6), которое задает условия Евклидового Предложения 2.11 («золотое сечение» единичного отрезка).

При р=2 равенство (25) сводится к равенству (22), которое задает условие задачи о делении единичного отрезка в золотой 2-пропорции.

При остальных значениях р мы имеем бесконечное количество вариантов деления единичного отрезка в золотой р-пропорции.

3.4. Обобщенный Принцип Золотого Сечения (Принцип Золотой р-пропорции)

Как упоминалось, тождество (18) в компактной форме выражает «Обобщенный Принцип Золотого Сечения» или «Принцип Золотой р-пропорции», сформулированный в [8].

Принцип Золотой р-пропорции

р

Аналитическое выражение

Численное выражение

1

1 = t -1 + t -2

1 = 0,6180 + 0,3820

2

1 = 0,6823 + 0,3177

3

1 = 0,7245 + 0,2755

4

1 = 0,7549 + 0,2451

5

1 = 0,7781 + 0,2219

6

1 = 0,7965 + 0,1883

Заметим также, что тождество (18) лежит также и в основе «Закона структурной гармонии систем», сформулированного Э.М. Сороко [3]:

«Обобщенные золотые сечения суть инварианты, на основе и посредством которых в процессе самоорганизации естественные системы обретают гармоничное строение, стационарный режим существования, структурно-функциональную... устойчивость».

Заключение

Таким образом, проведенное в настоящей статье исследование позволяет сделать следующие выводы:

1. Сформулированная в «Началах» Евклида «задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (Предложение 2.11) и современная «задача о золотом сечении» — это разные формулировки одной и той же геометрической задачи, которая была использована Евклидом в своих «Началах» для построения «золотого» равнобедренного треугольника, «пентагона» и «додекаэдра». Поэтому утверждение о том, что Евклид не владел «Принципом Золотой Пропорции», не выдерживает критики.

2. Оригинальная формулировка Евклида «задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», которая сводится к построению прямоугольника, равновеликого квадрату, может быть использована для развития сформулированной автором «задачи о золотом р-сечении» [1]. Такой подход привел автора к введению таких понятий, как «прямоугольник Евклида», «прямоугольный параллелепипед Евклида» и «прямоугольный гиперпараллелепипед Евклида», и формулировке новых геометрических «задач о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», которые являются обобщением Евклидового Предложения 2.11.

3. Показано, что «прямоугольник Евклида», в котором отношение сторон равно квадрату «золотой пропорции», лежит в основе прямоугольного параллелепипеда, известного под названием «золотой кирпич» [7], который широко использовался в качестве основной формы для строительных блоков готических замков.

4. Проведенное исследование еще раз подтверждает фундаментальность понятия «золотого р-сечения», которое в своих истоках восходит к Евклидовой «задаче о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». Эта задача выражает неизвестные ранее свойства треугольника Паскаля («диагональные суммы» треугольника Паскаля и р-числа Фибоначчи [1]) и привела к формулировке «Обобщенного Принципа Золотого Сечения» [8], разработке теории «золотых» алгебраических уравнений [9], обобщению формулы Бине и нового класса рекуррентных последовательностей – р-чисел Люка [10], к «фибоначчиевым» алгоритмам измерения [1], кодам Фибоначчи [1], кодам золотой р-пропорции [11], «золотым» резистивным делителям [8], матрицам Фибоначчи [12], новой теории кодирования [13], а также к «Закону структурной гармонии систем» [3].

Литература

1. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва, Советское радио, 1977 / 288 c.

2. O'Connor J.J., Robertson E.F. Историческая тема: Золотая пропорция (History topic: The Golden ratio) (Перевод и Предисловие А.П. Стахова) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13453, 19.06.2006

3. Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Минск, Наука и техника, 1984 / 264 c.

4. Ван-дер-Варден. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции: (Пифагорейское учение о гармонии): Пер. с голланд. М.: Физматгиз, 1959.- 459 с.

5. Волошинов А.В. Венок мудрости Эллады. Москва, Дрофа, 2003. – 256 с.

6. Стахов А.П., Слученкова А.А., Щербаков И.Г. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. Санкт-Петербург, Питер, 2005. – 320 с.

7. Grzedzielski Jan. Energetyczno-geometryczny kod przyrody. Warszawa, 1986/ — p. 140.

8. Stakhov A. The Generalized Principle of the Golden Section and its Applications in Mathematics, Science and Engineering. — Chaos, Solitons & Fractals, 2005, V. 26, No.2, р. 263-289.

9. Stakhov A., Rozin B. The «golden» algebraic equations — Chaos, Solitons & Fractals, 2006, 27, 1415-1421.

10. Stakhov A., Rozin B. Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers — Chaos, Solitons & Fractals, 2006, 27, 1162-1177.

11. Стахов A.П. Коды золотой пропорции, Москва, Радио и связь, 1984 / 152 c.

12. Stakhov A.P. A generalization of the Fibonacci Q-matrix, Киев, Доклады Академии наук Украины, 1999, No 9, с. 46-49.

13. Stakhov A.P. Fibonacci matrices, a generalization of the «Cassini formula», and a new coding theory. Chaos, Solitons and Fractals, 2006, 30, 56-66.


А.П. Стахов, «Принцип Золотой Пропорции» в «Началах» Евклида и «Обобщенный Принцип Золотого Сечения» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13523, 06.07.2006

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru