1. О проектах «нетрадиционных» компьютеров
2. Числа Фибоначчи и «золотое сечение»
3. Алгоритмическая теория измерения, обобщенные числа Фибоначчи и обобщенные золотые сечения
4. Системы счисления с иррациональными основаниями

Представление Цекендорфа
Р-коды Фибоначчи
Система счисления Бергмана
Коды золотой пропорции

5. Основные этапы в развитии проекта «Компьютер Фибоначчи»

Арифметика Фибоначчи

6. Перспективы развития «фибоначчиевого» направления в компьютерной науке

Новые результаты в фибоначчиевом направлении
Цифровая обработка сигналов

7. Матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования

Q-матрица
Обобщенные «фибоначчиевые» матрицы
Новая теория кодирования

8. Связь кода Фибоначчи с генетическим кодом

1. О проектах «нетрадиционных» компьютеров

Хотя современная компьютерная наука и технология, казалось бы, давно уже четко определились в своих теоретических основаниях («Неймановские Принципы»: двоичная система счисления, булева логика, двоичный элемент памяти) и на этой основе сделала потрясающие успехи в своем развитии, тем не менее, поиски новых принципов построения компьютеров продолжаются. Авторы таких «нетрадиционных» подходов с упорством, достойным, казалось бы, другого применения, доказывают преимущества предложенных ими проектов и, как потом оказывается, во многих из этих проектах, действительно, существует рациональное зерно.

К разряду таких «нетрадиционных» компьютерных направлений относится и проект «Компьютера Фибоначчи», предложенный автором настоящей статьи в середине 70-х годов прошлого века. Истории этого направления и перспективам его развития и посвящена настоящая статья.

2. Числа Фибоначчи и «золотое сечение»

«Компьютеры Фибоначчи» — откуда такое оригинальное название? Фибоначчи — это прозвище знаменитого итальянского математика 13-го столетия Леонардо из Пизы, который получил образование в арабских учебных заведениях и был поклонником арабской культуры и математики. И хотя Фибоначчи внес огромный вклад в развитие математики, но, по иронии судьбы, его имя стало известным в истории математики в основном только благодаря знаменитой «задаче о размножении кроликов» [1], которая привела его к открытию интересной числовой последовательности

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,

(1)

в которой каждое число равно сумме двух предыдущих [1,2]. Если i-е число Фибоначчи в последовательности (1) обозначить через F_i, тогда закон построения числовой последовательности (1) можно задать с помощью следующей рекуррентной формулы:

(2)

Ряд (1) мы получим, если воспользуемся следующими начальными условиями:

(3)

Числа Фибоначчи обладают удивительной особенностью возникать в самых неожиданных местах. В частности, они лежат в основе ботанического явления «филлотаксиса», законы которого определяют внешние формы сосновой шишки, кактуса, ананаса, пальмового дерева и т.д.

Если взять отношение соседних чисел Фибоначчи, то есть построить числовой ряд: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, … (который, собственно, и составляет суть «закона филлотаксиса») и устремить эту последовательность в бесконечность, то мы придем к знаменитому иррациональному числу названному «золотой» или «божественной» пропорцией. Задача о «золотом сечении» пришла к нам из «Начал Евклида», где она описана под названием «деления отрезка в крайнем и среднем отношении». Как известно, решение этой задачи сводится к алгебраическому уравнению:

x2 = x+1,

(4)

положительный корень которого и равен золотой пропорции. Заметим, что уравнение (4) называется уравнением золотой пропорции. Непосредственно из уравнения (4) вытекает следующее замечательное свойство золотой пропорции:

(5)

где n=0, ±1,±2, ±3,…..

На протяжении многих тысячелетий «золотое сечение» и связанные с ним геометрические фигуры, в частности, «пентаграмма», «додекаэдр» и «икосаэдр», были предметом пристального внимания ученых, художников и мыслителей древности и новейшего времени. Среди них — гениальные греки Пифагор, Платон, Евклид и Фидий, великие итальянцы Фибоначчи, Леонардо да Винчи и Лука Пачиоли, гениальный астроном Иоганн Кеплер, знаменитые французские математики Люка и Бине, знаменитые немецкие ученый Цейзинг и геометр Феликс Клейн. В 20-м веке числа Фибоначчи и «золотое сечение» становятся увлечением Алана Тьюринга, создателя теоретической информатики, а также выдающихся русских мыслителей Флоренского и Лосева. Начиная с Древнего Египта, художники, архитекторы, скульпторы и даже музыканты широко использовали «золотую пропорцию» в своих гениальных творениях (Пирамида Хеопса, античный Парфенон, «Джоконда» Леонардо да Винче, «Аппасионата» Бетховена и «Модулор» Корбюзье», картины Шишкина и Константина Васильева), а сама «золотая пропорция» в античной науке и в эпоху Возрождения становится «эстетическим каноном».

3. Алгоритмическая теория измерения, обобщенные числа Фибоначчи и обобщенные золотые сечения

Моей первой математической теорией, изложенной в моей докторской диссертации (1972 г.), была так называемая «алгоритмическая теория измерения» [5, 6]. Одним из ее неожиданных математических результатов, стали так называемые «фибоначчиевые» алгоритмы измерения, основанные на обобщенных числах Фибоначчи или р-числах Фибоначчи.