Аннотация

В статье дается исторический обзор развития древнейшей научной парадигмы — Учения о гармонии и Золотом Сечении, восходящего к пифагорейской доктрине о числовой гармонии мироздания. Обсуждается его роль в современной науке. Излагаются основы «Математической теории гармонии» — нового междисциплинарного направления современной науки. Обсуждается роль древнейшей научной парадигмы в современном образовании.

Содержание

1. Введение
2. Учение о гармонии в своем историческом развитии
3. Эволюция Золотого Сечения
4. Уникальные математические свойства Золотого Сечения
5. «Золотые» гиперболические модели Природы
6. Математическая теория гармонии
7. «Металлические средние» или числа Шпинадель-Татаренко
8. Новая теория чисел

9. Алгоритмическая теория измерения
10. Матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования
11. «Золотые» матрицы и криптография
12. Троичная зеркально-симметричная арифметика
13. «Золотые» резистивные делители и метрология
14. Древнейшая научная парадигма в современной науке и математике
15. Роль древнейшей научной парадигмы в современном образовании
16. Заключение

Литература

9. Алгоритмическая теория измерения

Алгоритмическая теория измерения является первой математической теорией, в которой автор совершенно неожиданно для себя пришел к «оптимальным алгоритмам измерения», основанным на р-числах Фибоначчи. Собственно с этого научного открытия и началось увлечение автора числами Фибоначчи и золотым сечением. Эта теория достаточно подробно описана в книгах автора [8-10], изданных большими тиражами, и каждый желающий может ознакомиться с этими книгами в технических библиотеках. Значение «алгоритмической теории измерения» для математики состоит в том, что эта теория развивает и расширяет «математическую теорию измерения», которая считается второй (после теории чисел) фундаментальной теорией математики.

10. Матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования

Q-матрица

В последние десятилетия «Теория чисел Фибоначчи» дополнилась новыми математическими результатами. Одним из них является теория матрицы специального типа, названной Q-матрицей [79]. Последняя представляет собой простейшую квадратную матрицу размером 2ґ 2 следующего вида:

(110)

Заметим, что детерминант Q-матрицы равен -1, то есть,

Det Q = -1.

(111)

Но какое отношение имеет Q-матрица к числам Фибоначчи? Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно возвести Q-матрицу в n-ю степень. Тогда мы получим [79]:

(112)

где F_n-1, F_n, F_n+1 числа Фибоначчи.

Используя (111), легко доказать, что детерминант матрицы (112) задается выражением:

Det Qn = (-1)n,

(113)

где n – целое число.

С другой стороны, детерминант матрицы (112) можно вычислить непосредственно из матрицы (112). Тогда с учетом (113) можно записать следующее выражение для детерминанта:

Det Qn = Fn-1Fn+1 — = (-1)n.

(114)

Напомним, что тождество (114), задающее связь трех соседних чисел Фибоначчи, было выведено еще в 17-м веке знаменитым астрономом Кассини; поэтому формула (114) называется также «формулой Кассини» [65]. Отсюда вытекает, что Q-матрица выражает одно из наиболее важных свойств чисел Фибоначчи, задаваемое (114), а свойство Q-матрицы, задаваемое (113), можно рассматривать как компактную запись «формулы Кассини»!

Обобщенные матрицы Фибоначчи

Можно использовать идею «фибоначчиевой» Q-матрицы (110) для получения обобщенных матриц Фибоначчи. В работе [48] ведена в рассмотрение квадратная матрица специального типа, которая названа Q_p-матрицей:

(115)

где индекс p принимает следующие значения: 0, 1, 2, 3, ….

Заметим, что Q_p-матрица представляет собой квадратную матрицу размером (p+1)ґ (p+1). Она содержит единичную (pґ p)-матрицу, ограниченную последней строкой типа 100...00, и первым столбцом типа 100..01. Для случаев p = 0, 1, 2, 3, 4 Q_p-матрицы имеют следующий вид соответственно:

Q₀ = (1); ; ;

; .

Основным результатом работы [48] является доказательство следующего выражения для Q_p-матрицы, возведенной в степень n:

(116)

где р =0, 1, 2, 3, …, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …, а элементами матрицы являются р-числа Фибоначчи, задаваемые рекуррентным соотношением (45) при начальных условиях (46).

В работе [48] доказано также, что детерминант матрицы (116) задается следующим выражением:

Det = (-1)pn,

(117)

где p = 0, 1, 2, 3, …; n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Таким образом, в работе [48] разработана теория квадратных матриц, обладающих уникальным математическим свойством: согласно (117) детерминант любой такой матрицы всегда равен по абсолютной величине 1, а знак единицы зависит от произведения двух целых чисел pґ n (р =0, 1, 2, 3, …, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3). Если это произведение является четным, то детерминант матрицы (116) равен +1, в противном случае детерминант равен -1.

Обобщение формулы Кассини

Ясно, что матрица (116), обладающая уникальным математическим свойством (117), представляют фундаментальный интерес для теории матриц и могут быть использованы для расширения «фибоначчиевых» исследований. При этом выражение (117) можно рассматривать как обобщение «формулы Кассини» (113). Например, для случая р=2 обобщенная «формула Кассини» выглядит следующим образом:

Det= F2(n+1)[F2(n-2) F2(n-2)- F2(n-1)F2(n-3)] + +F2(n)[F2(n)F2(n-3)- F2(n-1)F2(n-2)] + + F2(n-1)[F2(n-1) F2(n-1)- F2(n)F2(n-2)] = 1.

(118)

Подобно «формуле Кассини» (114), задающей связь между тремя соседними числами Фибоначчи, формула (118) связывает пять соседних 2-числа Фибоначчи F₂(n-3), F₂(n-2), F₂(n-1), F₂(n) и F₂(n+1) для любого заданного числа n (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …).

Подчеркнем еще раз, что обобщенных «формул Кассини», подобных (118) и основанных на (117), теоретически бесконечно, причем их столько же, сколько существует натуральных чисел, поскольку р=1, 2, 3,....

Новая теория кодирования

Матрицы Фибоначчи (116) привели к созданию новой теории кодирования, описанной в книге [14]. Суть метода кодирования, основанного на использовании матриц Фибоначчи (116), состоит в представлении исходного сообщения в виде матрицы М размером (р+1)ґ (р+1) и ее умножении на кодирующую матрицу типа (116); при этом декодирование состоит в умножении кодовой матрицы Е на декодирующую матрицу .

Исходная матрица М связана с кодовой матрицей Е следующим свойством. Вычислим детерминант исходной матрицы М, равный числу Det M, а затем найдем детерминант кодовой матрицы Det Е. Согласно теории матриц, эти детерминанты связаны соотношением:

Det Е = Det (Mґ ) = Det Mґ Det

(119)

Если теперь воспользоваться тождеством (117), то мы получаем следующее тождество, связывающее детерминанты матриц М и Е:

Det Е = Det Mґ (-1)pn,

(120)

где p = 0, 1, 2, 3, …; n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Тождество (120), связывающее детерминанты матриц М и Е, является «основным контрольным соотношением», что приводит к весьма эффективному способу обнаружения и коррекции ошибок в кодовой матрице Е.

11. «Золотые» матрицы и криптография

«Золотые» матрицы

Представим матрицу (112) в виде двух матриц, задаваемых для четных (n=2k) и нечетных (n=2k+1) значений степени n:

(121)

(122)

Используя соотношение (29), мы можем записать матрицы (121), (122) в терминах симметричных гиперболических функций Фибоначчи (27):

(123)

(124)

где k – дискретная переменная, k=0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Если теперь заменить дискретную переменную k в матрицах (123), (124) непрерывной переменной x, то мы придем к двум необычным матрицам, которые являются функциями от переменной x:

(125)

(126)

Ясно, что матрицы (125), (126) являются обобщением Q-матрицы (112) на непрерывную область. Они имеют ряд необычных математических свойств. Например, для матрица (125) принимает следующую форму:

(127)

Невозможно вообразить, что означает «корень квадратный из Q-матрицы», но именно такая «фибоначчивая фантазия» вытекает из выражения (127)!

Для вычисления детерминантов матриц (125), (126) мы можем воспользоваться следующими свойствами симметричных гиперболических функций Фибоначчи, доказанными в [49]:

[sFs(x)]2 - cFs(x+1)сFs(x-1) = -1

(128)

[cFs(x)]2 - sFs(x+1)sFs(x-1) = 1

(129)

Если мы теперь вычислим детерминанты матриц (125), (126), то с учетом (128) и (129), мы придем к весьма необычным математическим тождествам для матриц (128), (129), которые справедливы для любого значения непрерывной переменной x:

Det Q2x = 1

(130)

Det Q2x+1 = - 1

(131)

Вновь обращаясь к «формуле Кассини», задаваемой (114), мы приходим к неожиданному заключению, что необычные формулы (130), (131) являются ни чем иным, как обобщением «формулы Кассини» (114) на непрерывную область!

«Золотая» криптография

Можно предложить следующий метод шифрации-дешифрации, основанный на использовании «золотых» матриц (125), (126).

Здесь M – исходная матрица размером 2ґ 2, представляющая собой исходное сообщение, подлежащее шифрации; E₁(x), E₂(x) – кодовые матрицы; Q^2x, Q^2x+1 – кодирующие матрицы, представляющие собой «золотые» матрицы (125), (126) соответственно. Мы можем использовать непрерывную переменную x в качестве секретного ключа. Это означает, что в зависимости от значения x существует бесконечное число вариантов преобразования исходной матрицы M в кодовое (зашифрованное) сообщение E(x). Это обстоятельство может быть использовано в криптографии, то есть, рассматриваемый метод шифрации-дешифрации может рассматриваться как новый криптографический метод. Заметим, что элементы кодовой матрицы E(x) для данного случая уже не являются целыми числами. Это означает, что при практической реализации элементы кодовой матрицы E(x) будут задаваться с некоторой погрешностью, и поэтому дешифрация кодовой матрицы также будет осуществляться с некоторой погрешностью. Это замечание ограничивает область применения предлагаемого метода криптографии: он применим для обеспечения криптографической защиты «цифровых сигналов», где наличие незначительной «погрешности» не влияет существенно на качество передачи информационного сообщения. Примерами таких систем могут быть цифровые системы связи непрерывных сигналов (цифровая телефония, цифровое телевидение, цифровые измерительные системы и т.д.).

Вычислим теперь детерминанты кодовых матриц E₁(x), E₂(x):

Det E1(x) = Det Mґ Det Q2x

(132)

Det E2(x) = Det Mґ Det Q2x+1

(133)

Используя тождества (130), (131), мы можем записать выражения (132), (133) в следующем виде:

Det E1(x) = Det M

(134)

Det E2(x) = — Det M

(135)

Мы можем рассматривать тождества (134), (135) как основные контрольные соотношения для «золотого» криптографического метода.

Таким образом, криптографический метод, основанный на «золотых» матрицах, позволяет решить одновременно две проблемы, возникающие в информационных системах:

(1) защита сообщения от «хакеров», что достигается с помощью использования переменной x в качестве криптографического ключа;

(2) защита сообщения от «помех» в канале связи, что достигается с использованием «контрольных соотношений» (134), (135). Это дает нам основание высказать предположение, что метод «золотой» криптографии может быть использован для создания супернадежных криптосистем специального назначения.

12. Троичная зеркально-симметричная арифметика

Троичная зеркально-симметричное представление

В 2002 г. известный международный журнал «The Computer Journal», официальный орган Британского компьютерного общества, опубликовал большую статью автора «Brousentsov’s Ternary Principle, Bergman’s Number System and Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic» [48]. Статья вызвала большой интерес западных компьютерных специалистов. И первым ученым, кто откликнулся на эту публикацию, стал выдающийся американский ученый Дональд Кнут, широко известный в мире своими книгами по «искусству программирования». В своем письме к автору он высоко оценил новую компьютерную арифметику, а также сообщил, что он намерен включить ссылку на эту статью в новое издание своей знаменитой книги «Искусство программирования».

Для пояснения сути нового троичного способа представления чисел и новой троичной арифметики рассмотрим последовательность четных степеней золотой пропорции, то есть:

…t ⁶, t ⁴, t ², t ⁰, t ^-2, t ^-4, t ^-6, …,

где t — «золотая пропорция».

Эту последовательность мы будем использовать в качестве весов разрядов для необычного «троичного» представления целых чисел в виде:

(136)

где c_i – троичные цифры ` 1, 0, 1; t ²ⁱ – вес i-го разряда позиционного представления (136).

Из анализа выражения (136) вытекает, что основанием данной системы является иррациональное число

» 2,618.

(137)

Анализ троичных представлений целых чисел, проведенный в [48], показал, что цифровая запись каждого целого числа в системе счисления (136) обладает следующим необычным свойством. Цифровая запись целого числа нулевым разрядом разбивается на две части: левую и правую. При этом левая часть числа является зеркальным отражением правой части числа относительно нулевого разряда! Это неожиданное свойство цифровых изображений целых чисел в системе счисления (136) было названо свойством зеркальной симметрии, а сама система счисления (136) — зеркально-симметричной.

В работе [48] разработана троичная зеркально-симметричная арифметика, то есть правила выполнения арифметических операций над целыми числами, представленными в системе счисления (136). При этом оказалось, что свойство «зеркальной симметрии» является «инвариантом» относительно всех арифметических операций над числами, выполняемыми в зеркально-симметричной системе счисления. А это означает, что найден новый универсальный способ контроля всех арифметических операций в компьютере, который может быть построен на основе зеркально-симметричной системе счисления.

13. «Золотые» резистивные делители и метрология

Возникает вопрос: имеют ли золотые р-пропорции какой-либо физический, а не только математический смысл. В работе [54] показана тесная связь золотых р-пропорций с теорией электрических цепей. В измерительной технике, а также в технике связи широкое распространение получили так называемые резистивные делители, с помощью которых осуществляется деление электрических токов или напряжений в заданном отношении. Ниже приведен пример такого резистивного делителя, состоящего из 5 секций. В общем виде число секций может быть равно n (n=1, 2, 3, …).

«Золотые» резистивные делители

Выберем резисторы в делителе таким образом, чтобы значения их сопротивлений были связаны с золотой р-пропорцией:

,

(138)

где t _р – золотая р-пропорция. Доказано [54], что в этой электрической цепи реализуется соотношение золотой р-пропорции, в частности, коэффициент передачи по напряжению между соседними точками 4-3, 3-2 и т.д. обратно пропорционален золотой р-пропорции t _р. Заметим, что при р=0 значения сопротивлений (138) принимают вид:

(139)

и тогда делитель вырождается в классический «двоичный» делитель, получивший широчайшее применение в современной измерительной технике.

А вот если все резисторы в делителе выбрать таким образом, чтобы R1= R2 = R и R3=t R, где t — золотая пропорция, то, к нашему изумлению, в такой простейшей электрической цепи коэффициент передачи по напряжению между соседними точками 4-3, 3-2 и т.д. станет равным величине, обратно пропорциональной квадрату золотой пропорции . Как показано в [48], такой делитель может использоваться для преобразования так называемого троичного зеркально-симметричного кода в электрическое напряжение.

Заметим, что указанные «золотые» резистивные делители являются основой для создания самоконтролирующихся и самокоррректирующихся измерительных устройств и систем – и это направление приложений «Математики Гармонии» стало началом весьма оригинальных инженерных проектов, выполненных в советской науке еще в 80-е годы 20-го столетия [12].

14. Древнейшая научная парадигма в современной науке и математике

«Математическая Гармония» как всеобщее свойство Мироздания

Первый вывод, который мы можем сделать из пифагорейского учения о числовой гармонии Мироздания и его эволюции в последующие эпохи, состоит в следующем. Все исследователи понятия «Математическая Гармония Мироздания», начиная от Пифагора и Платона и заканчивая Лейбницем, Шефтсбери, Гегелем, Лосевым и Флоренским, сходятся в одном:

1. Гармония царит во всем мире, она является упорядочивающим и творческим началом всей природы и космоса.
2. Вся природа и искусство – это целесообразно и гармонично устроенное целое. И в природе и в искусстве отдельные вещи и явления существуют как часть целого, как момент в общей системе красоты и гармонии.
3. «Математическая Гармония» является объективным и всеобщим свойством Мироздания в целом и любой ее части в отдельности. Все структуры природы стремятся к «гармоничному», то есть «оптимальному» (с некоторой точки зрения) состоянию.

Иерархический принцип организации Мироздания

Как известно, природа широко использует «иерархический принцип» при создании своих структур. Согласно Платону, все в Природе создается путем «смешивания» первичных элементов. Что такое смешивание? «Элементы 1-го уровня», например, «элементарные частицы», вступая друг с другом в некоторые комбинаторные соотношения, образуют более сложные «устойчивые» структуры, которые называются «элементами 2-го уровня». Примерами «элементов 2-го уровня» могут быть атомы. «Элементы 2-го уровня» также вступают в комбинаторные соотношения и образуют более сложные «устойчивые» структуры, которые называются «элементами 3-го уровня» и т.д. Их примером могут быть молекулы. Далее таким же путем могут быть образованы более сложные структуры природы: кристаллы, растения, живые организмы, звезды, галактики и т.д. Таким образом, каждый «элемент n-го уровня» есть некоторая «устойчивая» комбинация элементов предыдущего уровня. Налицо «иерархический принцип» построения Мироздания.

В любом научном анализе бесконечное количество раз употребляются такие термины как «симметрия», «равновесие», «уравновешенность», «устойчивость», «баланс», «полнота», «целостность», «единство», «простота», «сложность» и т.д. И мы не всегда отдаем отчет в том, что все эти категории представляют собой модификацию более общей категории – гармонии. Учение о гармонии основывается на следующих важнейших положениях:

1. Для того, чтобы иерархическая система была устойчивой, каждый ее элемент на любом уровне ее организации должен быть «гармоничным» — это главное положение научной парадигмы, восходящей к Пифагору и Платону.

2. Не всякое сочетание элементов создает «гармоничную», то есть, «устойчивую» структуру. Для этого каждый элемент должен быть образован по «законам гармонии». Удивительное постоянство, с каким проявляются числа Фибоначчи и золотое сечение на всех уровнях организации природы (генетический код, фуллерены, квазикристаллы, филлотаксисные структуры, морфология человека, форма Земли, «золотая» спираль Галактики и др.) дают основания высказать гипотезу, что «Законы Гармонии» одни те же на всех уровнях организации природы.

3. «Математическая теория гармонии» или «Математика Гармония», направленная на поиск «Математических Законов Гармонии», носит универсальный характер, то есть, приложима ко всем структурам природы на любых уровнях ее организации.

Важнейшие научные открытия 20-го века, связанные с Золотым Сечением

Квазикристаллы Дана Шехтмана. 12 ноября 1984 г. в небольшой статье, опубликованной в авторитетном журнале «Physical Review Letters» израильским физиком Даном Шехтманом, было предъявлено экспериментальное доказательство существования металлического сплава с исключительными свойствами. При исследовании методами электронной дифракции этот сплав проявил все признаки кристалла. Его дифракционная картина составлена из ярких и регулярно расположенных точек, совсем как у кристалла. Однако эта картина характеризуется наличием «икосаэдрической» или «пентангональной» симметрии, строго запрещенной в кристалле из геометрических соображений. Такие необычные сплавы были названы квазикристаллами. Менее чем за год были открыты многие другие сплавы подобного типа. Их было так много, что квазикристаллическое состояние оказалось намного более распространенным, чем это можно было бы представить.

Понятие квазикристалла представляет фундаментальный интерес, потому что оно обобщает и завершает определение кристалла. Теория, основанная на этом понятии, заменяет извечную идею о «структурной единице, повторяемой в пространстве строго периодическим образом», ключевым понятием дальнего порядка. Как подчеркивается в статье «Квазикристаллы» известного физика Д Гратиа [89], «это понятие привело к расширению кристаллографии, вновь открытые богатства которой мы только начинаем изучать. Его значение в мире минералов можно поставить в один ряд с добавлением понятия иррациональных чисел к рациональным в математике».

Фуллерены. Термином «фуллерены» называют замкнутые молекулы типа С₆₀, С₇₀, С₇₆, С₈₄, в которых все атомы углерода находятся на сферической или сфероидальной поверхности. В этих молекулах атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников или пятиугольников, которые покрывают поверхность сферы или сфероида. Центральное место среди фуллеренов занимает молекула С₆₀, которая характеризуется наибольшей симметрией и как следствие наибольшей стабильностью. В этой молекуле, напоминающей покрышку футбольного мяча и имеющую структуру правильного Архимедового усеченного икосаэдра, атомы углерода располагаются на сферической поверхности в вершинах 20 правильных шестиугольников и 12 правильных пятиугольников, так что каждый шестиугольник граничит с тремя шестиугольниками и тремя пятиугольниками, а каждый пятиугольник граничит с шестиугольниками.

Ключевая идея открытия Jean-Claude Perez, названного ДНК SUPRA-кодом, состоит в следующем. Рассмотрим любой отрезок генетического кода, состоящий из базисов типа Т, С, А, G, и пусть длина этого отрезка равна числу Фибоначчи, например, 144. Если число оснований типа Т в рассматриваемом отрезке ДНК равно 55 (число Фибоначчи) и суммарное число оснований типа А, С и G равно 89 (число Фибоначчи), то рассматриваемый отрезок генетического кода образует резонанс, то есть, резонанс есть пропорция между тремя соседними числами Фибоначчи (55-89-144). Открытие состоит в том, что каждая ДНК образует множество резонансов рассмотренного вида, то есть, как правило, отрезки генетического кода длиной, равной числу Фибоначчи F_n, разбиваются золотым сечением на множество оснований типа Т (число которых в рассматриваемом отрезке генетического кода равно F_n-2) и суммарное множество остальных оснований (число которых равно F_n-1). Если произвести систематическое исследование всех возможных «фибоначчиевых» отрезков генетического кода, тогда получим некоторое множество резонансов, называемое SUPRA-кодом ДНК.

Начиная с 1990 г., указанная закономерность была многократно проверена и подтверждена многими выдающимися биологами. Несомненно, что рассматриваемое открытие относится к разряду «стратегических» открытий в области ДНК, определяющих развитие генной инженерии. По мнению автора открытия Jean-Clode Perez SUPRA-код ДНК является универсальным био-математическим законом, который указывает на высочайший уровень самоорганизации нуклеотидов в ДНК согласно принципу «Золотого Сечения».

Удивительное открытие Jean-Clode Perez позволяет сделать интересный вывод, касающийся аналогии между музыкой, поэзией, рыночными процессами («волны Эллиотта») и генетическим кодом. Несомненным является тот факт, что «гармония» этюдов Шопена, стихов Пушкина или «волн Элиотта», в которых «Золотое Сечение» наблюдается многократно, сходна «гармонии» генетического кода, в котором «фибоначчиевые резонансы», лежащие в основе ДНК SUPRA-кода, многократно наблюдаются как во всей молекуле ДНК, так и в каждой ее части.

Закон структурной гармонии систем. Одним их крупнейших современных научных открытий не только в области «Теории Золотого Сечения», но и науки вообще, является «Закон структурной гармонии систем», сформулированный в конце 20-го века белорусским философом Эдуардом Сороко [75].Главная идея Сороко состоит в том, чтобы рассмотреть реальные системы с «диалектической точки зрения». Как известно, всякий объект природы может быть представлен как диалектическое единство двух противоположных сторон A и B. Это диалектическая связь может быть выражена в следующем виде:

A + B = U (univesum)

Указанное равенство является наиболее общей формой выражения так называемого закона сохранения. В процессе самоорганизации система переходит в некоторое гармоничное состояние, когда между противоположными частями A и B устанавливается некоторое количественное отношение, выражаемое числом, равным «обобщенной золотой пропорции». Суть этого закона в формулировке Сороко состоит в следующем: «Обобщенные золотые сечения суть инварианты, на основе и посредством которых в процессе самоорганизации естественные системы обретают гармоничное строение, стационарный режим существования, структурно-функциональную... устойчивость».

Сороко приводит в своей книге «Структурная гармония систем» [75] много интересных примеров из различных областей науки, демонстрирующих действие своего закона. Например, рассматривая такой «естественный» объект как «сухой воздух», который является основой жизни на земле, он доказывает, приведенная энтропия «сухого воздуха» равна 0,683, что с высокой точностью равно обратной величине золотой 2-пропорции 1,465. Это означает, что в процессе самоорганизации «сухой воздух» приобрел оптимальную, то есть «гармоничную» структуру. Этот пример является весьма показательным в том отношении, что «теория Сороко» может быть уже сейчас использована для контроля за состоянием биосферы, в частности, воздушного и водного бассейна. Ясно, что практическое использование «закона структурной гармонии систем» может принести уже сейчас существенный выигрыш при решении многих технологических, экономических, экологических и других задач, в частности, совершенствовать технологию изготовления структурно-сложных продуктов, контролировать биосферу и т.д.

В чем принципиальная особенность «Закона Сороко»? Начиная с Пифагора, ученые связывали понятие гармонии с единственной золотой пропорцией . «Закон Сороко» утверждает, что «гармоничное состояние» системы, соответствующее классической золотой пропорции, не является единственным и что для одной и той же системы может существовать бесконечное количество «гармоничных» состояний, соответствующих «золотым р-пропорциям t _р.

Но самое главное, что «теория Сороко» полностью согласуется с основными математическими результатами «Математической теории гармонии», согласно которой существует бесконечное число «гармонических пропорций», в соответствии с которыми Природа осуществляет конструирование своих объектов.

Математическая теория гармонии

«Математическая теория гармонии» представляет собой математическую дисциплину, которая отвлекается от качественной свойств эстетической гармонии, присущей произведениям искусства, и исследует «гармонию» с количественной точки зрения. Основой «математической теории гармонии» является комбинаторный анализ, в частности, треугольник Паскаля как главный математический объект комбинаторного анализа. Именно из треугольника Паскаля вытекают основные понятия «математической теории гармонии» такие как р-числа Фибоначчи, включающие числа Фибоначчи в качестве частного случая (р=1), р-числа Люка, включающие числа Люка в качестве частного случая (р=1), золотые р-пропорции, включающие классическую золотую пропорцию в качестве частного случая (р=1), «золотые» алгебраические уравнения, включающие классическое уравнение золотой пропорции в качестве частного случая (р=1).

В работе [54] представлена следующая иерархия математических понятий и теорий, образующих в совокупности «Математику Гармонии».

Биномиальная теорема, биномиальные коэффициенты,
треугольник Паскаля
→ Числа Фибоначчи, Золотое Сечение
→ Числа Шпинадель-Татаренко
→ Р-числа Фибоначчи и Золотые р-сечения
→ Обобщенный принцип Золотого Сечения
→ «Золотые» алгебраические уравнения
→ Формулы Бине и гиперболические функции Фибоначчи и Люка
→ Теория формул Бине для р-чисел Фибоначчи и р-чисел Люка
→ Теория матриц Фибоначчи, основанная на р-числах Фибоначчи
→ Теория «золотых» матриц, основанная на гиперболических функциях Фибоначчи
→ Алгоритмическая теория измерения
→ Р-коды Фибоначчи и коды Золотой р-пропорции
→ Новая теория действительных чисел
→ Новая компьютерная арифметика и компьютеры Фибоначчи
→ Новая теория кодирования и криптографии, основанная на матрицах Фибоначчи и «золотых» матрицах

«Золотые» проекты

Из приведенной выше иерархии вытекает, что Математика Гармонии, несомненно, является новой междисциплинарной теорией современной науки, которая может стать источником следующих «золотых» проектов современной науки и культуры:

1. Теория вероятностей. Невозможно переоценить методологическое значение глубокой математической связи обобщенных чисел Фибоначчи и «Обобщенного Принципа Золотого Сечения» с треугольником Паскаля и биномиальными коэффициентами. Ясно, что эта связь может стать началом переосмысливания многих разделов математики и теоретической физики, в которых комбинаторные соотношения играют определяющую роль, в частности, теории вероятностей и статистических законов.
2. Теория чисел. Как упоминалось выше, новое «конструктивное» определение действительного числа, задаваемое (96), имеет «стратегическое» значение для развития теории чисел. Выражение (96) задает бесконечное число «конструктивных» определений действительного числа, основанных на понятии золотой p-пропорции. И каждое из определений (96), соответствующих различным р (р=0, 1, 2, 3,....), «генерирует» свою оригинальную теорию действительных чисел. Z-свойство натуральных чисел является примером новых теоретико-числовых результатов, которые следует ожидать из такого подхода.
3. Теория измерения. Как известно, теория измерения, основанная на аксиомах Евдокса-Архимеда и Кантора, является одной из фундаментальных теорий математики. В этой связи алгоритмическая теория измерения, изложенная в работах автора [8-10] представляет фундаментальный интерес для развития математики.
4. Теория систем счисления. Созданные в рамках Математики Гармонии системы счисления с иррациональными основаниями или коды золотой р-пропорции являются принципиально новым классом систем счисления, переворачивающим наши представления о теории систем счисления, которая является одной из наиболее древних математических теорий.
5. Теория элементарных функций. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка являются новым классом «элементарных функций» и имеют «стратегическое» значение для развития современной математики и теоретической физики. Можно ожидать появление следующих математических теорий «космологического» характера из этого подхода: (1) «Золотая» геометрия Лобачевского; (2) «Золотая» геометрия Минковского как «золотая» интерпретация специальной теории относительности Эйнштейна.
6. Теория чисел Фибоначчи. Математика Гармонии создает новые стимулы для развития «теории чисел Фибоначчи». Прежде всего, понятия р-чисел Фибоначчи и р-чисел Люка значительно расширяют класс рекуррентных числовых рядов. С другой стороны, гиперболические функции Фибоначчи и Люка превращают теорию чисел Фибоначчи в «непрерывную» теорию, что позволят применить здесь математический аппарат «непрерывной» математики, в частности, дифференцирование и интегрирование. Наконец, новая теория формул Бине для р-чисел Фибоначчи и р-чисел Люка значительно расширяют направление «фибоначчиевых» исследований.
7. Теория матриц. Матрицы Фибоначчи (116) и «золотые» матрицы, задаваемые (125), (126), обладают уникальными математическими свойствами. Ясно, что изучение нового класса квадратных матриц («матриц с единичным детерминантом») и поиск их приложений в современной науке может стать интересным направлением в теории матриц.
8. Физика, кристаллография, астрономия. Анализ литературы свидетельствует о повышенном интересе современной теоретической физики, кристаллографии и теоретической астрономии к золотому сечению [89-97]. Работы Шехтмана, Бутусова, Mauldin и William, El Naschie, Владимирова и других физиков показывают, что невозможно вообразить дальнейшее развитие теоретической физики и космологических исследований без Золотого Сечения. В этой связи особый интерес представляет статья проф. Ель Нашие [95], в которой показано, что все основные физические константы могут быть выражены через Золотую Пропорцию. Известный российский физик-теоретик проф. Владимиров Ю.С. заканчивает свою книгу «Метафизика» [97] следующими примечательными словами: «Таким образом, можно утверждать, что в теории слабых взаимодействий возникает соотношение Золотого Сечения, которое играет важную роль в различных сферах Науки и Искусства».
9. Ботаника. Новая геометрическая теория филлотаксиса, изложенная в книге доктора искусствоведения, профессора О.Я. Боднара «Золотое Сечение и неевклидова геометрия в Природе и Искусстве» [81], является блестящим подтверждением эффективности приложения гиперболических функций Фибоначчи и Люка для моделирования ботанического явления филлотаксиса. В этой книге Боднар подтвердил гипотезу В.И. Вернадского о неевклидовом характере геометрии живой природы.
10. Биология. Деление клеток является одной из актуальных проблем биологии. В ряде совремннных работ доказано, что деление клеток является «асимметричным» и основано на p-числах Фибоначчи. В этой связи фундаментальный интерес представляет изложенный [54] «Принцип асимметрии живой природы», основанный на p-числах Фибоначчи. Этот результат может стать началом новой математической теории деления биологических клеток и развития биологических популяций.
11. Медицина. Российский биолог Виктор Цветков в своей книге «Сердце, Золотое Сечение и Симметрия» (1997) показал, что сердечная деятельность млекопитающихся подчиняется закону Золотого Сечения. В этой связи необходимо привлечь внимание к активизации медико-биологических исследований в современной науке. В работах докторов медицинских наук Субботы А.Г. (Санкт-Петербург), Шапаренко П.Ф. и Гуминского Ю.И. (Винница) выполнен широкий комплекс исследований по приложению обобщенных золотых сечений в морфологии человека.
12. Компьютеры. «Арифметика Фибоначчи» и «золотая» арифметика, изложенные в многочисленных публикациях автора, в частности, книге «Коды Золотой Пропорции» [10] и статьях [21, 23, 25, 28, 29, 33, 44, 48], могут стать началом новых компьютерных проектов (помехоустойчивый процессор Фибоначчи, троичный самоконтролирующийся зеркально-симметричный процессор и т.д.). 65 зарубежных патентов, выданных патентными ведомствами США, Японии, Англии, Германии, Франции, Канады и других стран, являются юридическими документами, подтверждающими приоритет советской науки в этой важной компьютерной области.
13. Измерительные системы. Новая теория измерения, цифровой метрологии и «золотых» резистивных делителей, изложенные в работах автора [8, 27, 30, 54], является теоретической основой для создания «золотых» измерительных систем и устройств. Эффективность такого подхода подтверждена рядом инженерных разработок, выполненных под руководством автора в Винницком политехническом институте [12]. Разработанный еще в 80-е годы самокорректирующийся 18-разрядный АЦП для преобразования звуковых сигналов на тот период являлся одной из лучших разработок в этой области не только в СССР, но и за рубежом.
14. Системы связи. Выше показано, что матрицы Фибоначчи и «золотые» матрицы являются математической основой новой теории кодирования [14, 41, 60], которая может эффективно использоваться для обнаружения и коррекции ошибок и криптографической защиты цифровых сигналов. Следует отметить, что в последние годы значительные результаты в применении золотого сечения и чисел Фибоначчи в теории систем связи получены проф. Н.Ф. Семенюта (Гомель) и полковником С.А. Ясинским (Санкт-Петербург), автором книги «Прикладная «золотая» математика и ее приложения в электросвязи» (2004).
15. Философия. Закон структурной гармонии систем, сформулированный белорусским философом Э.М. Сорокой в его книге «Структурная гармония систем» [75], можно рассматривать как одно из значительных достижений современной философии. По существу, «Закон Сороки» является блестящим подтверждением эффективности приложения «Обобщенного Принципа Золотого Сечения» к теории самоорганизующихся систем
16. Психология. Густав Фехнер (1801-1887) был одним из тех немногочисленных немецких ученых, чьи исследования, выполненные в XIX в., заложили фундамент современной экспериментальной психологии. Знаменитые «Опыты Фехнера» были направлены на выявление у взрослых людей чувства прекрасного, гармонии. Всем участникам опыта (228 мужчин и 119 женщин) предлагалось оценить эстетические качества десяти белых прямоугольников с отношением сторон от 1:1 (квадрат) до 2:5. Опыты оказались чрезвычайно благоприятными для «золотого» прямоугольника. В современной науке идеи Фехнера развивает американский психолог Владимир Лефевр. Теория Лефевра весьма оригинально объясняет нам появление Золотого Сечения в «задаче выбора», когда субъект автоматически, то есть без участия сознания, всегда делает свой выбор в соответствии с принципом Золотого Сечения! Этот парадоксальный вывод может иметь весьма неожиданные приложения к так называемым «бихевиористским», то есть, «поведенческим» наукам. Одной из таких теорий является «Теория волн Эллиотта», активно развиваемая в американской науке.
17. Триалектика. Современное стремление к синтезу, к целостности знаний привело к появлению интереса к идее тринитарности или триалектики [98], корни которой уходят далеко вглубь тысячелетий. Архетип триединства, проявляясь в разных формах, становится объединяющим ядром новой парадигмы. В многочисленных работах российского философа П.Я. Сергиенко, с которыми можно познакомиться на сайте «Академия Тринтаризма» (Институт Золотого Сечения-Философия Гармонии http://www.trinitas.ru/rus/002/a0232010.htm), убедительно показана глубокая связь триалектики с Золотым Сечением. Развитие этой идеи может иметь «стратегическое» значение для развитии современной науки.
18. Технология структурно сложных продуктов. «Закон структурной гармонии систем», сформулированный белорусским философом Эдуардом Сороко [75], имеет прямое отношение к Технологии, в частности к технологии производства структурно-сложных продуктов. Поскольку большинство веществ, используемых в быту и производстве, представляют собой структурно сложные составы, смеси, соединения простых компонентов, то «закон структурной гармонии систем» может оказать огромное «оптимизирующее» воздействие на развитие этой области технологии (производство металлических сплавов, пищевая промышленность, парфюмерия, виноделие, производство табачных изделий, фармацевтика и др.).
19. Экономика и системный анализ. В работах многих современных авторов, в частности, в книге А. С. Харитонова [99], предприняты попытки системного единства природы, человека и общества с использованием «Принципа Золотого Сечения». Весьма характерной в этом отношении является статья Забродоцкого Ю.Н. «Теория наступления и контр-наступления в финансово-экономической войне – фондирование и контр-фондирование» [100]. Обсуждая фундаментальные основы фондо-рыночных механизмов хозяйствования, Забродский подчеркивает: «Только вопрос жизни и смерти здесь решается путем обеспечения конкурентоспособности и жизнеспособности, в том числе за счет тех, у кого эта наука хуже. Именно поэтому находки и открытия этой науки стараются сохранить в тайне. Главные из этих тайн находятся в области энергоинформационных обменов в Природе и обществе. Вот одна из этих тайн: Произведение двух иррациональностей в виде Фґ ф = 1= Фⁿф^-n= 1ⁿ.(Ф= 1,618, ф=0, 618 – Золотое Сечение – А.С.). Иначе говоря, масштаб системы не имеет значения. Более того, иррациональное так относится к рациональному, как рациональное к иррациональному! Верно и обратное. Это — Закон Единого». Таким образом, одна из тщательно сохраняемых тайн фондо-рыночных механизмов хозяйствования – это «Закон Золотого Сечения»!
20. Музей Гармонии и Золотого Сечения. Проект такого Музея в 2001 г. выставлен на Интернете [56] (авторы Алексей Стахов и Анна Слученкова). Музей Гармонии и Золотого Сечения является уникальным научным, историческим, природным и художественным музеем, которому нет аналогов в мировой культуре. Музей представляет собой коллекцию всех созданий природы, науки и искусства, основанных на Золотом Сечении.
21. Наука о Гармонии Систем. Математика Гармонии является математической основой для развития Науки о Гармонии Систем, которая может стать главной интегрирующей наукой 21-го века, который, как известно, является «веком Гармонии». В этом направлении следует отметить упомянутый выше цикл фундаментальных исследований, выполненных в последние годы российским философом П.Я. Сергиенко, опубликованных на сайте «Академия Тринитаризма».

15. Роль древнейшей научной парадигмы в современном образовании

Учение о гармонии — в образование

Проанализируем основные положения статьи проф. Боднара «Учение о гармонии – в образование» [7]. Боднар обращает внимание на резкое изменение научно-технической ситуации в начале 21-го века по сравнению с научно-технической ситуацией в начале 20-го века: «Оптимизм доминировал в общем эмоциональном настроении науки начала ХХ столетия, лидерами которой хорошо осознавалась «взрывная мощь» выдвигаемых ими идей и яркие перспективы научно-технического обеспечения общества.... Но сто лет спустя положение дел резко изменилось. На смену романтичности и оптимизму пришли тревога и беспокойство. На рубеже третьего тысячелетия наука столкнулась с проблемами такого рода и масштаба, предвидеть которые в начале ХХ века не удалось бы, видимо, даже в случае специальной мобилизации научного внимания. Научно-технический прогресс привел к противоречиям, поставившим под сомнение сам смысл подобного прогресса, который с некоторых пор стал постепенно оборачиваться против движущих его сил и среды его протекания – против природы и общества».

Каковы реальные возможности решения этой проблемы? В принципе, концептуальных предложений, направленных на преодоление внутреннего кризиса науки, вызванного ее длительной ориентацией на задачи НТП, выдвигается немало. Среди наиболее известных, например, идея т.н. экологизации науки, предполагающая возможность изменения общего содержательного развития науки за счет перевода ее главного вектора на проблемы экологии. Следующей является идея, ориентирующая внимания ученых на задачу интеграции знания. Близка к последней идея гуманизации научного знания, состоящая в намерении увеличить удельный вес гуманитарных наук в общей структуре знаний.

Главная идея статьи Боднара состоит в привлечении внимания к возрождению в системе науки и образования «идеологической доктрины, которая уже доказала свое благотворное влияние на культурное развитие общества. Это – идеология гармонии, доминировавшая в истории Древней Греции и эпохи Ренессанса. В самом деле, философия гармонии, культ идеалов красоты, преобладание интереса к искусству в наибольшей мере характерны именно для этих периодов развития общества, которые в наилучшую сторону выделяются из панорамы истории. Этот факт общеизвестен.

... Тезис о целостности многосложного мира и взаимосвязанности процесса его всестороннего познания сегодня актуален как никогда ранее. Современная наука, страдающая от разброса направлений и их непрерывного разветвления, узкой специализации и расстройства внутренних взаимосвязей, крайне нуждается в упорядочивающих идеях и стимулировании синтезирующих процессов. На такую роль в наиболее широком предназначении, бесспорно, претендует идея всеобщей гармонии мира, провозглашенная древними греками. Она, конечно же, актуальна и чрезвычайно полезна именно сегодня, несмотря на идеалистичность и давнеисторическое происхождение.

... Идея гармонии, заимствованная из исторического прошлого, должна быть «раскручена» в современных проблемных условиях с учётом нового уровня научной информации, а также всех других обстоятельств, которые отличают состояние и условия функционирования современной науки от древнегреческого периода. С уверенностью можно говорить также, что главный путь идеологии гармонии в массовое сознание должен пролегать через систему образования. В связи с этим возникает вопрос информационно-содержательного и методологического построения теории гармонии как образовательной дисциплины, от качества которого зависит её реальная эффективность».

Каким же должно быть содержание «Теории Гармонии» как образовательной дисциплины? Для ответа на этот вопрос проф. Боднар предлагает вспомнить «опыт древнегреческой истории, привлекающий внимание ещё одним непревзойдённым результатом – идеей золотого сечения. Эта идея с самого начала сознательно связывается с понятием гармонии. В толковании древних греков эти два понятия, две идеи, в сущности, идентичны. Золотое сечение, представляемое, как результат деления отрезка в т.н. среднем и крайнем отношении, рассматривается ими как образная иллюстрация гармонии, как геометрическая интерпретация взаимосвязи целого и его частей.

Факт этой связи действительно очень важен, и не случайно древние греки придали ему столь глубокий смысл. Сегодня, спустя две с половиной тысячи лет, хорошо известно, что золотое число Ф лежит в фундаменте целого математического направления, важность которого подтверждена, в частности, результатами изучения и моделирования формообразования в живой природе. Золотое сечение обрело статус характерной геометрической закономерности природы.

Но не только природы. Об уникальных свойствах пропорции золотого сечения свидетельствует исторический опыт искусства и архитектуры. Золотая, иногда называемая божественной, пропорция, признана наиболее совершенной эстетической закономерностью, играющей особую роль в методике гармонизации художественных форм».

Далее Боднар пишет: «Современные учёные обращают внимание на то, что наука постепенно теряет критерии своей истинности, в частности, простоту, что она, тем самым, отрывается от человеческой сути и становится понятной только самим учёным. Проблема в целом усугубляется ростом взаимонепонимания внутри науки, вызывающим «эффект Вавилонской башни» и ставящим науку перед угрозой полной декоординации.

На этом фоне чрезвычайную ценность представляют такие качества идеи золотого сечения, как простота и воспринимаемость, универсальность и всесторонняя привлекательность, т.е. качества, которые гарантируют ей широкую доступность и высокие синтезирующие возможности. История, вновь-таки, убедительно это подтверждает. В этом контексте ещё раз укажем на вездесущесть золотого сечения, проявляющегося в наиразнообразнейших явлениях природы и творчества, в науке и технике. Золотое сечение, как никакая другая идея (число, явление) интриговала и продолжает интриговать исследователей из самых разных областей знаний – математики и физики, биологии, философии, архитектуры, музыки, изобразительного искусства. Среди учёных, в разное время занимавшихся изучением золотого сечения, имена Леонардо да Винчи, Кеплера, Гете, Ле Корбюзье, Вейля, что весьма красноречиво свидетельствует о нем как многосторонней, междисциплинарной проблеме.

Тема золотого сечения всегда объединяла, позволяла находить общий язык и достигать взаимопонимания исследователям разной отраслевой принадлежности и профессионального профиля, но преследующих цель познания сущности гармонии».

... Подчеркнём, теория золотого сечения ровесница науки. Перерывы в истории развития не помешали ей войти в число наиболее устойчивых теорий, не потерявших идейных целей в самых неблагоприятных условиях. Теорию золотого сечения, благодаря неизменной ориентированности на идеалы красоты и совершенства, на связь с искусством, вполне можно отнести к идеологиям социального значения. Тем самым мы указываем на ещё одну важную грань этой теории, делающую её актуальной в условиях преобладания технократических ценностей».

Новые курсы по Гармонии и Золотому Сечению в современном образовании

Очевидно, что «Курс Гармонии и Золотого Сечения» должен быть предложен системе образования для школ всех ступеней, как это делают с физикой или математикой, — дифференцируя его по уровням сложности. На каждом уровне концентрически разворачивается глубина изложения, математизация, вводится новый аппарат и новые области приложений. Рассмотрим, как это положение могло бы быть реализовано в системе современного образования, начиная со средней школы и заканчивая университетским образованием.

Курс «Начала гармонии». Этот курс рекомендуется ввести в качестве обязательной дисциплины, изучаемой в средней школе. Цель курса – это выработка у учащихся нового восприятия Природы и Искусства, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения. При составлении программы этого курса и его изложении должен быть использован главный принцип изучения нового материала в средней школе: курс должен возбудить интерес школьника, а это может удасться только в том случае, когда курс будет излагаться в наглядной, доступной форме. Предмет курса открывает широкие возможности для реализации этого принципа. Уровень математики, используемый в этом курсе, должен быть предельно элементарным. Достаточно ознакомить учащихся с тремя математическими открытиями античной и средневековой науки:

1. Золотое сечение и его замечательные алгебраические и геометрические свойства (пентграмма, золотой прямоугольник и золотые треугольники)
2. Ряды Фибоначчи (включая числа Фибоначчи и числа Люка) и их связь с золотым сечением.
3. Платоновые тела и их связь с золотым сечением (додекаэдр и икосаэдр)

Проведем анализ математического аппарата, который предлагается к изучению в средней школе. Нет никаких сомнений, что замечательные математические свойства золотой пропорции, задаваемые (15)-(19), будут с интересом восприняты учащимися. Но наибольший интерес вызовут геометрические свойства золотого сечения. Рассмотрим некоторые из них.

Золотой прямоугольник. Мы начнем наше путешествие по геометрическим свойствам Золотого Сечения с золотого прямоугольника, который имеет следующее геометрическое определение. «Золотым» называется прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции, то есть

АВ: ВС = t = .

Если в «золотом прямоугольнике» ABCD вычленить квадрат AEFD, то оставшаяся часть EBCF, оказывается, является новым «золотым прямоугольником», который снова может быть разделен на квадрат GHCF и меньший «золотой прямоугольник» EBHG. Повторяя многократно эту процедуру, мы получим бесконечную последовательность квадратов и золотых прямоугольников, которые в пределе сходятся к точке O. Заметим, что такое бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур, то есть квадрата и золотого прямоугольника, вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство ритма и гармонии. Считается, что именно это обстоятельство является причиной того, что многие предметы прямоугольной формы, с которыми человек имеет дело (спичечные коробки, зажигалки, книги, чемоданы), зачастую имеют форму золотого прямоугольника. Например, мы широко пользуемся кредитными карточками в нашей повседневной жизни, но не обращаем внимание на то, что во многих случаях кредитные карточки имеют форму золотого прямоугольника.