|
|
Алферов С.А.
«Геометрия есть познание всего сущего.»
| |
(Платон)
|
Вводное пояснение (предисловие)
Посмотрите на странный рисунок слева: гипотенуза одного треугольника «качнулась» вправо и стала катетом другого на том же основании. Последовательность таких качаний образует ряд углов «ai», который называется «линией качания». И этот рисунок так и остался бы странным, если бы мы не имели реальный объект, в геометрии которого реализуется это отношение. Это – пирамида.
|
|
Одна такая схема является как бы «модулем пирамиды». И эти преобразования (построения) есть иллюстрация расчета по поперечному сечению 4-х-угольной пирамиды сначала высоты ее боковой грани, а по нему — ребра (гребня) пирамиды. То есть иллюстрация перехода от вертикального сечения к треугольнику боковой грани. Получается переход от угла при вершине между гранями к меньшему углу при вершине на грани, переход от sin к равному tg.
И каждое подобное «качание» на одном основании есть «модуль» очередной пирамиды, есть сама пирамида. Давайте сделаем такие построения, имея началом угол, тангенс которого равен значению Золотой пропорции j1=0,61803… .
В последней схеме угол «перешел» за 45° . Больше качаний вниз (от катета на гипотенузу) сделать нельзя: длины катета не хватит, промахнется и ляжет на основание. Вдобавок в нашем случае тангенс последнего угла (i=0) равен 
котангенсу предыдущего (i=1), то есть две последние гипоте нузы образуют 90° , (где j2=1,618…) И мы получили на исходном модуле красивую развертку спирали – «Золотой спирали».
Здесь все красиво и понятно. А возвращаясь к последовательности исходных схем, — по какой закономерности менялись углы?
Легко видеть, как возрастает боковой катет:
И тогда 
(!)
Упустим красивые выкладки и аналогии и приведем сразу результирующие «практические» формулы.
| Формула восходящей линии углов (от большего угла к меньшему): для d=1 |
 |
|
Формула движения назад, от меньших углов
к предельно большому углу (здесь d=1, а cm= ctg am): |
 |
Понятно, что при «качаниях» навстречу – от большего угла (сi) и от меньшего (сj), — на встрече равных значений тангенсов получаем: j + i = m , где m = cm2 – c02 (целое число).
Теперь можно получить множество таких последовательностей углов, каждая в своей цепочке «качаний». И одним из звеньев такой цепочки может быть какой-то интересный характерный угол или какой-то взаимосвязанный с ним...
Назовем 3 интересные, 3 основные линии углов, в которых содержались все характерные углы и между которыми оказались определенные «мостки», зависимости…
|
Линия-1 (A) |
Линия-2 (B) |
Линия-3 (C) | |
|
Формула |
|
|
|
|
Исходный i=0 i=1 |
|
|
|
|
Первые углы |
A0’=90° -54° =36° ) |
|
|
|
Модуль i=2 i=1 |
Золотая пирамида 
|
Пирамида 
|
Пирамида шаров 
|
|
Поперечное
|
|
|
|
Перейдем к основному.
Каждая отдельная схема — это законченный расчет одной пирамиды. Когда мы двигаемся дальше, вверх, мы строим новую пирамиду уже на грани, как на поперечном сечении… Да, но, а почему реальные существующие пирамиды строятся, начиная с угла a1 в поперечном сечении, а не с исходного a0? Что-то не вспоминается реальная большая пирамида с углом 2a0 при ее вершине между противоположными гранями, даже с минимально возможным таким углом — 90° …
Возьмем поперечное сечение пирамиды по линии углов «A», а именно на углу «A1». Этот угол при вершине в прямоугольном полу-треугольнике поперечного сечения образуется соотношением высоты пирамиды к стороне основания: h:b=j1 . Или b/h=j2 . Такие отношения сторон формируют «золотой прямоугольник». Угол «A1» задает пирамиду-1.
Построим на поперечном сечении этой пирамиды-1 пирамиду-0. То есть исходное поперечное сечение будет служить боковой гранью пирамиды-0, а высота пирамиды-1 станет наклонной стороной поперечного сечения пирамиды-0. Треугольник-0 (поперечное сечение пирамиды-0) поднимется своим крылом выше поперечного сечения пирамиды-1. A0 будет 54° .
Из точки вершины пирамиды-1, как из центра проведем окружность, проходящую по основанию золотого прямоугольника. Она пройдет точно по точкам основания треугольников-0…
Продолжим стороны поперечных «золотых прямоугольников» вверх до пересечения с окружностью и соединим эти точки пересечения. И сразу же из этих точек к вершине окружности проведем два луча. Получился вписанно-описанный прямоугольник (ВО-прямоугольник), близкий к квадрату с треугольником на верхней стороне. Основание треугольника-0 равно основанию треугольника-1 (по условию); в таком случае полу-треугольник треугольника-0 равен треугольнику на горизонтальной оси ВО-окружности, образованному продолжением высоты треугольника-0 до пересечения с боковой стороной ВО-прямоугольника. Тогда продолженная высота, являющаяся гипотенузой образовавшегося треугольника равна высоте золотого прямоугольника (высоте золотой пирамиды) и равна радиусу окружности; значит, продолженная высота треугольника-0 проходит через верхний угол построенного ВО-«квадрата», и она же проходит через точку пересечения ВО-окружности и нижнего золотого прямоугольника.
Надо сказать, что это является характерным (исходным) свойством (признаком) всех ВО- прямоугольников: высота их треугольников-0 проходит через точки пересечения с ВО-окружностью.
Можно видеть теперь угол 36° между верхом золотого прямоугольника (0-уровнем) и лучом от центра окружности до верхнего угла достроенного «квадрата»; он в два раза больше угла поднятия треугольника-0 над 0-уровнем. Нетрудно определить все углы при вершинах нашего «квадрата». Они составили снизу вверх 27° , 27° , 27° +9° и 27° . Угол при вершине верхнего треугольника — 126° , то есть 90° +36° . Угол между симметричными точками этого треугольника с вершиной в центре окружности (между высотами треугольников-0) равен 108° .
Теперь можно определить все линейные размеры по вертикали; они проставлены на рисунке. Часть «квадрата» выше 0-уровня равна 0,363271…, а вся его высота (прибавив 0,6180339…) — 0,981305… Все линейные размеры этого близкого к квадрату ВО-прямоугольника связаны с Золотой пропорцией, с «j1». И еще более мы это увидим дальше. Назовем его «трансцендентный квадрат».
Поставим на вертикальной оси точку W вверх от центра ВО-окружности на расстоянии в половину нижней стороны «b» ВО-прямоугольника. Эта точка W и связанная с ней W -линия будут иметь дальше ключевое значение.
Плутарх: «Бог всегда действует геометрически»…
Трактовка — дело вкуса; соответственно — дело каждого. Но существует реальный интересный объект – «трансцендентный квадрат». Феликс Клейн, математик, именем которого названо тело с одной поверхностью – известная «бутылка Клейна» говорил: «…правильность образования новых понятий обусловливается не значением самих объектов, а отсутствием внутреннего противоречия…»
Мы не знаем всех свойств «трансцендентного квадрата». Дойдя до этого места, мы не знаем насколько и в чем он особенный в сравнении с другими прямоугольниками и, прежде всего с обыкновенным квадратом.
Нарисуем настоящий квадрат и окружность с касанием нижней стороны и верхних углов квадрата. Определить на какие части делится вертикаль квадрата срединной линией — нетрудно. Нижняя часть и радиус (при b=1) равняется 0,625, а верхняя — 0,375. Высота верхнего треугольника равна 0,25, а точка, соответствующая точке W , — ровно посередине ее. Но никаких знаменательных углов от точки W и от точек ее треугольника, что на окружности, получаемых построением 0-треугольника, не обнаружилось. Углы же при верхних вершинах квадрата, при центре окружности и центре нижней стороны квадрата получились состоящими из j ° и y ° . Это видно на рисунке.
|
| |
Получился как бы дом явленного мира с крышей верхнего треугольника, дом Яви, в котором основное восприятие строится на линейных размерах. Но создаются эти размеры трансцендентными углами (ведь сохранение пропорций заключается в сохранении прежде всего углов, углы задают и сохраняют пропорции). Значения углов j ° и y ° представлены в 1-ой таблице, а соотношение между ними видно из рисунка…
Мир явленный держится на мире трансцендентном. В «трансцендентном доме» присутствует гармония углов, гармония сфер. В нем основные каркасные углы кратны 9° =90° :10, и лишь один угол, непосредственно связанный с организацией «низа», равен j ° . (А есть ли y ° ?). Все же линейные размеры трансцендентны, и должно быть связаны с j1/j2.
Интересно также и то, что у квадрата линейные размеры связаны с числом 1,25=2R, а у трансквадрата — с Ц 1,25. Кроме того многие размеры ВО-квадрата являются степенью числа 2: 20=1, 2-1=0,5, 2-2=0,25, 2-3=0,125…
Ну, а как же остальные ВО-прямоугольники? Особенно интересных нам примечательных углов на их долю, кажется, не осталось. Но все это ВО-семейство объединяют удивительные общие свойства. Проиллюстрируем их на разных по «вытянутости» прямоугольниках. Обратите внимание, как с выявлением этих свойств становится всё явственней «неслучайность», «ненадуманность» горизонтальной линии, соединяющей крылья 0-треугольников, которая и задает эти свойства. Посмотрите: и эту красивую игру углов, когда все углы составлены 4+1 углом: a , b , k , m и l1 , — и эту красивую игру треугольников создает именно W -линия. Происходит такое с любыми прямоугольниками. Чудеса, да и только.
|
| |
На верхней схеме показаны общие для любых прямоугольников свойства углов; на ней углы l0 и l1 – начальные углы линии углов «качания» ВО-прямоугольника (с вершинами в ВО-центре).
Но вы посмотрите, как взаимосвязаны все углы внутри ВО-прямоугольников. А в основе этой гармонии находится именно W -линия. Вглядитесь. Вглядитесь внимательно в углы на этом рисунке… Составим следующие схемы.
На нижних 3-х схемах (с прямоугольниками: a:b=1, a:b>1, a:b<1) показаны равенства в «тройках» затемненных треугольников. Такие треугольники равны по трем «тройкам» во всех ВО-прямоугольниках. Обратите внимание, как движется линия подошвы W -треугольника.
Для последнего типа схемы (a:b<1) можно добавить, что при 
в прямоугольнике на верхней стороне образуется равносторонний треугольник (b=1, h=0,866…). В этом частном случае стороны всех характерных треугольников совмещаются в линиях данного равностороннего треугольника, в том числе и нижние линии двух верхних треугольников. Разрывы между треугольниками 1-ой схемы исчезнут, и они соединятся, образуя равносторонний треугольник. Все 3 треугольника 2-ой схемы также станут одним равносторонним треугольником. А треугольники 3-ей схемы сформируют правильный 6-угольник (соту)… W -линия описываемого случая проходит по верху ВО-прямоугольника.
Кстати, две левые схемы показывают два самых простых способа нахождения точек W -линии на ВО-окружности. Они находятся пересечением с нею окружностей, проведенных из точек касания с ВО-прямоугольниками: в средней схеме из верхних точек касания – радиусом, равном боковой стороне треугольников, в левой схеме из нижней очки – радиусом, равным «b» (горизонтальной стороне ВО-прямоугольника).
Вообще интересно посмотреть, как ведет себя эта конструкция при дальнейшем изменении (a:b). Уже можно заметить закономерность изменения положения точки W . Но мы этим займемся попозже…
Какие конкретно отличия ВО-трансквадрата перед ВО-квадратом, не считая того, что он трансцендентен в линейных величинах (кроме стороны b=1) и четок в углах (кроме трансформируемого 31,7° ), а простой квадрат — наоборот (кроме угла квадрата 90° ).
Первое отличие: W -треугольник, «разрываясь» вдоль W -линии, образует соседние углы одной линии «качания» (a2=31,7° , a3=27,7° ).
Второе отличие: все основные углы кратны 9° , или даже являются суммой углов, кратных 9° , и в том числе равных.
И должен быть угол y … Тогда будет третье отличие: только в ВО-трансквадрате присутствуют представители всех 3-х основных линий углов.
Мы видели исходную ВО-окружность и ее треугольник наверху (в котором она держалась). И может быть вторая окружность. Верхняя точка ее – «W », нижняя — низ трансцендентного квадрата… Возьмем исходный рисунок ВО-квадрата и попробуем построить такую окружность.
Окружность, построенная с центром «О2» в середине между этими точками прошла точно через нижние точки «W1» и «W2»… Тогда третья окружность может пройти именно через три точки W , W11 и W22?...
Поставьте ножку циркуля в центр О3 на вертикальной оси и проведите окружность через эти точки. Показательно то, что она прошла также и через точки пересечения продолжения низа квадрата и вертикальных линий от W11 и W22. Эти точки (назовем их W11’и W22’) «построились» в своё время при определении величины выхода «крыльев» 0-треугольников за квадрат. И вот сейчас через них прошла наша третья окружность (то есть точка О3 находится посередине между низом W -треугольника и низом транс-квадрата).
|
| |
Конечно, это — графическое построение. Надо проверить аналитически…
Углы известны, их тангенсы — также, причем не приблизительно, а в виде соотношений конкретных величин Можно считать... Сделанные расчеты привели к абсолютному: эти две окружности действительно проходят через означенные точки!
Получается, что центр О3 определяется также легко, как и О2. Через него проходит линия от угла «крыла» одного треугольника-0 до точки пересечения низа ВО-прямоугольника и вертикали от угла «крыла» другого треугольника-0.
Аналитические расчеты позволили обратить внимание и на угол y в ВО-трансквадрате. Он оказался расположен зеркально углу j и с лучом, уходящим в центр первой окружности (О).
Представим теперь все размеры ВО-трансквадрата.
|
| |
Посмотрите, перед нами лежат 4 листка, будто, кто обронил. Один рисунок, одна таблица и два – совсем маленькие, с формулами.
|
| |
|
«е е » |
4 основных угла линий «ВО» ui = u0 + iЧ e |
90° = |
Принадлежность sinli = tgli+1 |
ВО-прямоугольник a : b | ||||||
|
a:b |
l0= |
m (i=3) |
b (i=5) |
a (i=6) |
k (i=7) |
a0 |
e |
3u0 + | ||
|
0,5 |
90 |
90 |
45 |
22,5 |
0 |
157,5 |
-22,5 |
472,5 – 382,5 |
|
 |
|
~0,69 |
72 |
54 |
36 |
27 |
18 |
81 |
-9 |
243 – 153 |
|
 |
|
~0,87 |
60 |
30 |
30 |
30 |
30 |
30 |
0 |
90 – 0 |
|
 |
|
~0,98 |
54 |
18 |
27 |
31,5 |
36 |
4,5 |
4,5 |
13,5 + 76,5 |
Золотая пирамида Линия_1 (углы A) |
 |
|
1* |
53,1 |
d ° |
y ° |
j ° |
g ° |
0,80 |
5,15 |
2,41 + 87,59 |
Пирамида ВО-квадрата … |
1 |
|
~1,03* |
51,8 |
13,6 |
25,9 |
32,05 |
38,2 |
-4,85 |
6,15 |
-14,55 + 104,55 |
Пирамида Зол.cпирали Линия_2 (углы B) |
 |
|
~1,21 |
45 |
0 |
22,5 |
33,75 |
45 |
-33,75 |
11,25 |
-101,25 + 191,25 |
Пирамида шаров Линия_3 (углы C) |
 |
|
~1,54 |
36 |
-18 |
18 |
36 |
54 |
-72 |
18 |
-216 + 306 |
|
 |
|
*) Значения углов - округленные | ||||||||||
«Обобщенный ВО-прямоугольник» — такой рисунок мы уже видели выше. И тогда уже заметили красивую игру углов в ВО-прямоугольнике, когда все возможные углы составлены 4+1 углом: a , b , k , m и l1 . На этой схеме участников такой игры подмечено еще больше. На ней проставлено гораздо больше углов, и еще более выпукло представлена их взаимосвязь в образе ВО-прямоугольника с W -линией.
На этой схеме стали видны слева (возле осей) еще равнобедренные треугольники, целых три — с углами при вершине: 2k , 2k и 2b . Причем последний (с вершиной в центре ВО-окружности) имеет пару снизу и равен аналогичной паре наверху.
Мы помним также определенный вариант «a:b», когда разрывы (с углами 2(k -b )) совмещаются и когда треугольники 3-ей (правой) схемы (в тройном рисунке выше с тройками треугольников) формируют правильный 6-угольник (соту). Площадь этой соты составляется парами равнобедренных треугольников при исчезнувших симметричных разрывах (между верхней и 2-мя нижне-боковыми); k =b и 2b =60° . Вообще динамику ВО-прямоугольников можно как бы проиллюстрировать динамикой этих симметричных разрывов…
Сейчас мы можем уточнить, что все углы схемы образованы даже не 5-ю, а 4-мя углами с определенными зависимостями между ними. На первом листочке как раз приведены связывающие их формулы. И для каждой формулы даны суммы индексов этих углов — их индексов, как углов «системной линейки»: ui = u0 + iЧ e .
И вот на втором листочке – связь от системной линейки углов ВО-прямоугольника с первыми двумя «углами качания» (li) и соответственно задаваемой ими пирамидой. Помните, выше? А из них следует формула пропорции (a:b) ВО-прямоугольника…
А в таблице… В ней каждая строка, получается, – это отдельная линия углов, связанная с определенным ВО-прямоугольником. Интересно, как в этой таблице собрались и наши знаменитые пирамиды, и углы «линий качания», и углы «системных линеек» вписанно-описанных прямоугольников. Надо лишь пояснить, наверное, «принадлежности». Принадлежность к пирамидам – это ее поперечное сечение с углом 2l1 при вершине. Принадлежность к «линиям качания» — это их два первых угла: l0 и l1 .
Каждый ВО-прямоугольник образует такую «системную линейку» углов. «Роднят» их – общие, универсальные для них 2 формулы: о закономерности формирования линейки и о сумме в 90° (см. шапку таблицы).
Очень интересная таблица! Ясно, что любое значение угла имеет свою «системную линейку», находится в линейке и образует с какими-то углами этой линейки точную сумму в 90° . И на это «системное свойство» углов помогла выйти именно Золотая пропорция и главная (безусловно) системная линейка «j -y » ВО-квадрата. Именно Золотая пропорция явилась проводником к удивительным свойствам «вписанности-описанности»…
Показательны выделенные 2 строчки ВО-квадрата и ВО-трансквадрата.. Только у трансквадрата u0=e , а вся линейка углов существует в одном ритме между 0° и 90° ; и ритм этот кратен «целому» (1/20). В обе стороны от ВО-трансквадрата отношения u0 и e становятся противоположными. Интересны и оба вместе «квадрата». Они – как «рубикон». Нет, правильнее – как «двойная вершина» или как плато, к которому подходят с разных сторон свои «системы углов». С одной стороны после значения a:b<0,866.. становится e <0, а ряд углов – убывающим! С другой стороны становится u0<0. А для какого ВО-прямоугольника u0=0?! Совсем нетрудно посчитать: a:b» 1,004 при e =5,2941… и l0=52,94° … То есть фактически после квадрата находится «обрыв» в область отрицательных a0.
И где-то здесь рядом должна находиться p -пирамида — пирамида, построенная на углах «l1-l0», образующихся в ВО-прямоугольнике, периметр которого равен длине ВО-окружности… А она оказывается уже в отрицательной области «u0» – ее a:b» 1,0307.
И опять, что интересно. Именно между определенными смысловыми границами ВО-прямоугольников (a:b» 0,5ё 1,207) основная «четверка» углов находится в диапазоне ровно 0° ё 90° .
Далее. Формульные значения «a:b» представленных в таблице ВО-прямоугольников (последний столбец) все имеют «2» в знаменателе. На втором найденном на площадке листочке есть формула пропорции «a:b». Получается, что числитель (a/b) равен (1 + secl0). Именно в такой пропорции находятся слагаемые в нашей таблице, и в частности (1+j2) у ВО-прямоугольника пирамиды «Золотой спирали». (И у этого же ВО-прямоугольника отсекаемые осями ВО-окружности «четвертушки» — подобны.) Так как всегда l0 > 45° , второе слагаемое всегда больше первого. Здесь интересен случай a:b=0,5 , в котором пропорция слагаемых числителя становится (1+Ґ ) или (0+1). В который уже раз за путешествие появляются соотношения с бесконечностями, здесь — Ґ /Ґ =1. То есть понятие «бесконечности» вполне конкретно…
Отношения «вписанности-описанности» являются более общими над отношениями только «вписанности» или только «описанности». Отношения окружности и прямоугольника сами по себе – не равнозначны, не равны. Есть множество случаев вписанности в окружность разных прямоугольников и только 1 положение, когда именно квадрат держит в себе окружность. Последнее положение совпадает с положением ВО-прямоугольника «a:b=0,5». И оно же является начальным для вписанных прямоугольников, когда последний является горизонтальным отрезком. Поясняю. Все ВО-прямоугольники, как часть себя, отсекаемую ВО-окружностью, имеют некий вписанный прямоугольник. Так, например, известный случай ВО-прямоугольника «a:b» 1,207» имеет квадрат в своей вписанной части. Таким образом вписанный вертикальный отрезок совпадает с вертикальным ВО-отрезком, а вписанный горизонтальный отрезок является верхней стороной ВО-прямоугольника «a:b=0,5».
Единственное что – отношения вписанных прямоугольников и описанной окружности не отличаются разнообразием и интересными динамическими взаимосвязями… Не имеют эти отношения W -точки и W -линии. Но отношения «вписанности-описанности» не просто более общие. Они – более гармоничные…
Оглядываясь на эту площадку, хочется лучше понять эти формулы:
3u0+17e =90° (1) и 2ui+ui+n=90° (2).
Вспомним, что наборы таких углов образуются в бесконечном множестве ВО-прямоугольников. Получается, что любой (в т.ч. трансцендентный) угол (в принципе — в любом диапазоне, но достаточно и прежде всего — в 0° ё 90° ) обязательно образует 90° в паре со своим e . Получается также, что опять же любой угол имеет в своей системной линейке (и не одной!) парный угол, дающий в сумме 90° . Сумма индексов этих углов (3i+n) должна равняться 17: 3i+n=17 . (3)
Знак вариатора «n» может быть любым. При i=0, получается n=17, т.е. получается формула-1. Кроме этого значения «n» имеет ещё 5 положительных: 14, 11, 8, 5, 2. И дальше с этим же шагом «3» – череда отрицательных. В выражениях для углов,, а не их индексов, множитель перед кратным углом, будет ( за счёт того, что один индекс из под «3» перейдёт в парный угол) «2» – при суммировании углов (и таких выражений будет 8+1) и «4» – при разности углов.
То есть исходным смыслом является то, что каждый угол находится в нескольких системных линейках «ui=u0+iЧ e » с разным значением своего индекса в линейках. И при этом в нескольких системных линейках он составляет точно 90° в паре с другим углом этой линейки.
«90° » – это некое «целое», а все возможные углы – его кратные части...
И важное здесь то, что именно деление плоскости на 4 части дает элементарное целое, «единицу». Или по другому – что все пространство плоскости формируется 4-мя функциональными единицами.
Давайте еще посмотрим на таблицу. Не правда ли удивительно постоянство формирования внутреннего пространства ВО-прямоугольников с W -линией именно 4-мя углами! «Тройственная начальность» в формуле суммы в 90° — это так сказать «нераскрытая вещь в себе». А 4 угла формируют функциональное пространство ВО-прямоугольников. Они имеют общую функциональную последовательность, движение; имеют взаимосвязи; а источником имеют u0 , e и сумму в 90° .
Эти 4 угла дают попарно 4 «ортогональных» соотношения, то есть суммы и разности в 90° . Вот эти соотношения через индексы углов в их линейке: 2Ч 6+5=17, 2Ч 7+3=17, 4Ч 6 -7=17, 4Ч 5 -3=17. Да и количество шагов «e » в диапазоне этой «четверки» тоже «4»: 7–3=4.
Но ведь и другая подобная «четверка» той же линейки (например, с i= 2,4,5,6) будет, наверное, давать результат в 90° в аналогичных для них 4-х соотношениях? Нет, не будет! Как помните, чтобы выражение с углами «системной линейки» дали в итоге 90° , аналогичные выражения с их индексами должны дать «17». Мы видели при исследовании не случайность, но обязательность нумерации индексов с «0» и углов – с u0. Так вот: ни для какой другой «четверки» углов аналогичные 4 выражения (по взаимным позициям углов) не дают в итоге «17». Они дают другие, но одинаковые для каждой четверной группы углов значения. Для групп с первыми углами под индексами 0, 1, 2, 3, 4 такие значения равны соответственно 8, 11, 14, 17, 20. Только у нашей «четверки» это значение совпадает с множителем в сущностной формуле 90° = 3u0 + 17Ч e , в выражении «тройственного начала и 17 предельных шагов»...
Отсюда видна, как уникальность любой группы в 4 угла (i, i+2, i+3, i+4) в любой «системной линейке», так и уникальность именно 4-ой по счету такой группы, дающей 90° в соотношениях между углами группы.
Именно только в этой «четверке углов» все углы образуют суммы в 90° . Укажем еще раз эти углы через их индексы (в кавычках): «3»+2Ч «7»=90° , «5»+2Ч «6»=90° , 2Ч «5»+«7»=90° . Эти то отношения и выделяют нашу «замечательную четверку»…
Посмотрите – мало и этого! Посмотрите эту схему. В ней каждый вписанный (а точнее – ВО) прямоугольник формируется точками на сторонах так называемого 2b -треугольника. Эти точки образуются пересечением высот из углов основания (под углом b ).
Смотрите на примере линейки «ВО-квадрата». Вокруг прямоугольника b:a =1,5 описывается (по озвученным правилам) треугольник с углом 2y при вершине. Сам этот треугольник является вписанным в квадрат (a:b=1). В свою очередь вокруг квадрата описывается треугольник с углом 2j при вершине. А этот треугольник находится в прямоугольнике b:a=2j1 …
Вот так матрёшка!
Такие «матрешки» строятся и на других аналогичных системных «четверках углов» ВО-прямоугольников!
«Системные четверки углов» каждого ВО-прямоугольника строят 4 вложенные «матрешки» от большей к меньшей с индексами углов в таком порядке: «6» – «5» – «7» – «3». Поясню. Суммы в 90° строятся по порядку следующими углами: 6-ым и 5-ым, 5-ым и 7-ым, 7-ым и 3-им. Причем построить выше еще одну «системную матрешку» по общим правилам уже нельзя (из-за дробного индекса): 17 – 6 = 11 = 2Ч 5,5 . То есть 6-ой угол системной линейки ВО-прямоугольника – предельный верхний в «системной матрешке» и как бы центральный в линейке. А вот ниже построить еще одну «матрешку» можно: 17 — 2Ч 3 = 11, — это будет угол с i=11. И всё. Всего 5 вложеных матрешек, 4 из которых – системные по общему для них ВО-прямоугольнику. И диапазон этих 5-ти «матрешек»: 4e +4e …
В жизни всё происходит случайно… Я открыл книгу и увидел известный рисунок Леонардо да Винчи с обнаженным мужчиной, опирающимся расставленными руками и ногами на квадрат и круг. Этот рисунок пропорций человеческого тела называют ещё «Vitruvian». Надо сказать, что его часто приводят зеркально повёрнутым, то есть с поменявшимися левой и правой сторонами. Леонардо да Винчи был левшой и писал, говорят, справа налево…
Приведу здесь тот вид, который был найден. На нем надписи идут слева направо. Но для пропорций это – не важно.
|
| |
Я смотрел на знакомый образ составленных квадрата и круга… Но почему верхние углы квадрата заходят за окружность? Я не мог теперь не поискать «поверку гармонии Homoметрией»… Ниже – эта «поверка».
Предварительные замечания:
1.Леонардо да Винчи не нуждается в защите, опровержении или оправдании. Он явление, он данность.
Но поднятый им вопрос, затронутая им тема – это общая тема. Мы можем идти по предложенному им пути, рассуждать в его символах. Нам потому и важно, интересно разобрать этот рисунок, что это рука Леонардо.
2. Все описания положения и размеров тела нарисованного человека сориентированы и названы по отношению его самого (не по отношению зрителя). Рост человека принят за 1,0.
3. Замеры тел реальных людей проводились по недостаточно представительной выборке.
Безусловно, нужны уточнения антропологов, специалистов по механике человеческого тела.
4. Допустимыми, но требующими внимания считались расхождения до 3%.
Недопустимыми, указывающими на «натяжку» считались расхождения более 5%.
5. Человек — естественно, природно ассиметричен в определенных пределах; в этом его живость, прелесть. Мы же рассматриваем пропорции модели и адекватность её геометрической интерпретации. Модель должна быть симметричной.
Констатирующее описание рисунка:
1.Человек вписан в квадрат. На рисунке, которым я располагал, верхняя сторона квадрата короче остальных из-за смещения верхнего левого (по зрителю) угла на ~0,8%. Длина расставленных рук нарисованного человека равна росту. Насколько мне известно, современные антропологи утверждают, что длина по развернутым рукам в среднем чуть больше роста человека. Это соотношение зависит от преобладающей конституции тела в данной местности, да и от времени суток. И все же для общего случая (что подтверждают и замеры) надо признать, что отношение Lтела / Lрук находится между 1,0 и 0,98. То есть человек вписан в квадрат между обычным и трансцендентным.
2. Центр окружности (она немного вытянута по вертикали) находится в пупке. В эту же точку приходит ось правой отведенной ноги (с повернутым носком). Ось же левой отведенной ноги проходит выше.
Расстояние от пупка (центра окружности) до подошвы ног — 0,606 (рост человека — 1,0). Расстояние же до подошвы ног от точки пересечения оси левой отведенной ноги с вертикальной осью рисунка — ~0,618 (разница — 2%).
3. Вертикальная ось рисунка, проходящая через центр окружности и середину нижней стороны квадрата, располагается чуть (~0,4%) левее (по отношению зрителя) настоящей оси человека. Ощущение симметрии всего рисунка складывается относительно обеих этих линий. Между ними располагаются середины лба и подбородка, гребень носа, гортань, верх грудины.
Нижняя часть человека (по отношению пупка, пояса) повернута вправо. Верхняя часть отклонена чуть влево (отсюда расхождение в осях).
4. Длина левой отставленной руки от линии подмышек короче правой на ~3% (из-за смещённой линии подмышек). Оси поднятых рук проходят от верхних углов квадрата под большим пальцем и пересекается в середине грудины с линией низа расставленных рук (линией подмышек). Вторые (условные) оси поднятых рук можно провести из этой же центральной точки на грудине до касания средними пальцами с пересечениями окружности и верхней стороны квадрата. Углы подъема рук при этом составят 25° — 27° .
5. Ноги разведены на общий угол ~55° , правая – на 25° , левая – на 30° . (Хотя, если брать весь «массив ноги», то обе ноги расставлены на ~ 29° -30° , пересекаясь осями выше пупка.) Расставленные ноги длинее стоящих ног на ~1,5 %, что недостаточно (см. ниже). Визуально они кажутся короткими.
Описание поиска:
1. Тазо-бедренный сустав располагается выше промежности и в сторону от оси, примерно посередине отрезка между промежностью и верхом бедренного выступа таза (на рисунке – пересечением горизонтали «отметка 0,618» с боками). При повороте ноги внутренняя боковая поверхность ее должна увеличиваться, кожа должна растягиваться. Замеры показали, что при отводе ноги на ~30° длина по ее внутренней боковой поверхности увеличивается на 3-4%. Это значит, что на рисунке отведённые ноги должны быть длиннее ещё на ~2%. И тогда окружность, проходящая по точкам подошвы стоящих ног (середины нижней стороны квадрата) и расставленных ног должна быть большего радиуса. Окружность необходимого радиуса, проведённая из точки на оси над пупком, имеющей отметку 0,625 от низа проходит через верхние углы квадрата! Чтобы центр окружности с отметкой 0,625 (или 0,618) прошёл через пупок, ноги «Vitruvianа» должны быть чуть длиннее относительно туловища.
2. У реальных людей руки в верхнем поднятом положении задают точку, от которой до пупка на ~5% (до 10%) длиннее, чем от пупка до подошвы ног. У «Vitruvian»а этот параметр равен ~3-4%.
От верха головы до верхней точки поднятых (сильно) рук — 0,26; на рисунке расстояние от верха головых до верха окружности — 0,21 (разница — 24%). Между этими крайними положениями проходит «правильная» ВО-окружность (по п.1). Замеры показали, что если при поднятии рук не тянуть их вверх (вынос рук очень изменчив в этом положении из-за подвижности лопаток и плеч), то искомая величина составит 0,24-0,25. Чтобы пальцы поднятых рук касались «правильной» окружности, этот размер как раз и должен составить 0,25!
3. Оказывается очень интересной и важной «величина» расстояния от верха головы до уровня ключиц (плечей и верха разведенных рук). У человека «Vitruvian» этот размер — ~0,168.
В трансцендентном квадрате есть «величина» между верхом его и линией низа W -треугольника (что между точками «крыльев» 0-треугольников на окружности). Она равна 0,172. Аналогично построенная «величина» простого квадрата равна 0,2.
У трансквадрата расхождение с реальной линией нлючиц — 2% (ниже границы точности), а у простого квадрата — 19%. Вот кстати, как сказалось быстрое изменение пропорций внутри ВО-квадратов: разница высоты квадратов 1 — 0,981 = 0,019, а разница расстояний от их верха до их линии подошвы W -треугольника соответственно 0,028 !
Итак, «Vitruvian» по этому параметру (положения линии ключиц и W -линии) явно вписан в трансцендентный квадрат, а высота его головы с шеей должна быть чуть-чуть больше относительно общей длины.
Выводы:
1.Конечно же, этот рисунок отражает не механику (с множеством более сложных переходящих круговых траекторий), а пропорции. Но в пропорциях замирает механика! И если искать образ пропорции в сочетании одного квадрата и одной окружности, то более адекватен все-таки другой образ (со своими погрешностями, но более оправданными) — это вписанно-описанный трансцендентный квадрат. Человек — ноги вместе и руки в сторону – задает этот квадрат; человек — ноги разведены на 50° — 60° , руки подняты вверх – задает окружность, вписанную в нижней части транс-квадрата и описанную в верхней его части.
Мы сделали реконструкцию известного рисунка (за основу была взята ориентация по правой вертикальной стороне квадрата). Да простит нас великий Леонардо!
Я переводил взгляд то на левую, то на правую фигуру. Можно ли говорить, какая фигура правильнее? Ведь вкус у разных народов в разные эпохи разный... И все же, какая фигура сложена гармоничнее, пропорциональнее, ну просто — красивее?.. Во всяком случае, что бесспорно, такая фигура находится между этими двумя «положениями», между «квадратом с окружностью Леонардо» и «трансквадратом с ВО-окружностью».
Взгляд скользил влево-вправо, фигуры обретали движение... И все же правая фигура — фигура атлета, многоборца, каким он виделся в Древней Греции. И каких мы можем видеть сейчас. Перед глазами возникли фигуры 2-х современных бегунов: кубинца Альберто Хуанторена и американца Карла Льюиса. Вы помните их летящий бег и поднятую руку?..
И возникало еще одно странное ощущение: левая более коренастая фигура представлялась более мужской, от правой же «исходила» женственность. Может быть именно женская фигура «решила» бы выбор между «квадратом» и «трансквадратом» в построении гармоничной фигуры человека?!
И все же, и все же — у человека, построенного просто по геометрии ВО-трансквадрата, нет ни одного характерного элемента или положения, элемента пропорции, не совпадающего с характерными элементами ВО-трансквадрата и его W -треугольника!! (Посмотрите еще, как точно попадают локти на верх трансквадрата.) Вообще оказывается, у человека нет ни одного «несистемного», случайного элемента пропорции! Ну, не удивительно ли?
И заканчивая здесь и пока тему ВО-прямоугольников, надо сказать, что они обладают также удивительной динамикой и связанным с этим символизмом… Но об этом в другом тексте.
Алферов С.А. ВО-прямоугольники, трансцендентный квадрат и пропорции человека // «Академия Тринитаризма», М.,
 |