Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Математика Гармонии

Стахов А.П.
Формула Кассини
Oб авторе

Аннотация

Рассказано о знаменитом астрономе 17-18-го веков Джовани Доменико Кассини, который в дополнение к своим астрономическим открытиям первым вывел одну из наиболее знаменитых формул «Теории чисел Фибоначчи» F2(n) — F(n-1)ґ F(n+1) = (-1)n+1, которая связывает три соседних члена в последовательности Фибоначчи. В честь Кассини эта формула называется его именем.

Содержание

  1. Введение
  2. Великий астроном Джовани Доменико Кассини
  3. Овалы Кассини
  4. Формула Кассини
1. Введение


Кассини – это имя династии французских астрономов. Наиболее знаменитым из них считается основатель династии Джовани Доменико Кассини (1625-1712). Признанием его выдающихся заслуг в области астрономии являются следующие факты. Именем Джовани Кассини названы многие астрономические объекты: «Кратер Кассини» на Луне, «Кратер Кассини» на Марсе, «Щель Кассини» — промежуток в кольцах Сатурна, «Законы Кассини» — три открытые Кассини законы движения Луны. Именем Кассини-Гюйгенса назван космический аппарат, созданный совместно НАСА, Европейским космическим агентством и Итальянским космическим агентством, целью которого является изучение планеты Сатурн и её колец и спутников. Аппарат состоял из двух основных компонент: непосредственно самой станции Кассини Орбитер и спускаемого зонда Гюйгенс, который был отделён от станции и спустился на поверхность спутника Сатурна Титан. Кассини-Гюйгенс был запущен 15 октября 1997 и достиг системы Сатурна 1 июля 2004. Это первый искусственный спутник Сатурна.

Но оказывается имя Кассини широко известно не только в астрономии, но и в математике. Кассини принадлежит честь разработки теории замечательных геометрических фигур, известных под названием «овалы Кассини», а выведенная им «формула Кассини» является едва ли не самым важным математическим тождеством, связывающем числа Фибоначчи. Кассини посвящено несколько сайтов, выставленных на Интернете (http://arbuz.uz/u_cassini.html, http://www.zvezdi-oriona.ru/74086.htm). Именно материал этих сайтов и был использован автором при написании настоящей статьи.

Цель статьи ознакомить широкий круг читателей (прежде всего школьников и студентов) с удивительной биографией великого астронома Джовани Доменико Кассини и рассказать о его замечательных математических открытиях – «овалах Кассини» и «формуле Кассини».

2. Великий астроном Джовани Доменико Кассини

Джовани Кассиниродился 8 июня 1625 г. в небольшом итальянском городке Перинальдо (Генуэзская республика). Образование получил в иезуитском коллегиуме в Генуе и в аббатстве Сан-Фруктуозо. В 1644–1650 гг. работал в обсерватории маркиза Мальвазиа в Пандзано (близ Болоньи), продолжил астрономическое образование под руководством Дж.Б. Риччоли и Ф.М. Гримальди.
Джовани Кассини

В юности Кассини сильно увлёкся астрологическими теориями, что дало импульс и к занятиям астрономией. Вскоре он приобрёл известность как один из больших знатоков астрологии. Именно благодаря заслуженной репутации астролога началась его научная карьера. Маркиз Корнелио Мальвазия, богатый астроном-любитель и сенатор Болоньи, который составлял астрологические таблицы, пригласил Кассини на работу в свою обсерваторию в Пандзано близ Болоньи. Работая в этой обсерватории, Кассини сконструировал свои первые несколько астрономических инструментов, провёл первые научные наблюдения. Постепенно занятие астрономией вышло на первый план и стало доминирующим до конца его жизни. При этом отношение Кассини к астрологии становилось всё более критическим (большую роль здесь сыграло знакомство с трактатом Пико делла Мирандолы «Против предсказательной астрологии»), и в период после отъезда Кассини во Францию в феврале 1669 г. мы уже не находим никаких свидетельств занятий астрологией. Приоритеты Кассини окончательно утвердились в области научной астрономии и геодезии.

В 1650 г. Кассини получил место профессора математики и астрономии в Болонском университете, которое занимал до 1669 г. Основные научные работы Кассини относятся к наблюдательной астрономии, и прославился он, в первую очередь, как талантливый наблюдатель. Работая в Болонье, он первым в истории выполнил многочисленные позиционные наблюдения Солнца с меридианным инструментом и на основании этих наблюдений составил новые солнечные таблицы, опубликованные в 1662 году. Благодаря исследованиям Кассини был намечен парижский меридиан, и стало возможным появление знаменитой карты Франции, названной картой Кассини. В 1664 году он начал наблюдать поверхности планет с помощью больших телескопов с высококачественной оптикой. Следя за перемещением теней от спутников Юпитера по диску планеты и зарисовывая вид облачной поверхности планеты, Кассини впервые определил период вращения Юпитера: полученное им значение (9 час 56 мин) практически не отличается от современного (9 час 55 мин 30 сек). Он также описал систему полос на его поверхности и измерил «сплюснутость» планеты. В 1666 г. Кассини наблюдал детали на поверхности Марса и по ним весьма точно определил период его осевого вращения – 24 час 40 мин (современное значение – 24 час 37 мин 23 сек). В 1668 г. Кассини разработал теорию и составил таблицы движения спутников Юпитера. В ту эпоху это было чрезвычайно ценное пособие для мореплавателей, позволявшее им по наблюдаемому положению спутников определять время на меридиане обсерватории, а отсюда – географическую долготу своего корабля (других методов тогда не было, поскольку механические часы были несовершенны).

Слава Кассини, как астронома, была так велика, что в 1669 г. он был избран членом Парижской академии наук. Король Людовик XIV в том же году по рекомендации Ж.Пикара приглашает Кассини занять пост директора Парижской обсерватории, в то время ещё строившейся и законченной в существенных частях к 1671 г. С этого переезда Франция стала его второй родиной до конца жизни.
В Париже Кассини всецело отдался одной астрономии. В 1671 г., уже работая в Париже, он открыл второй спутник Сатурна – Япет и объяснил изменения его яркости тем, что этот спутник всегда обращён к планете одной стороной. В 1672 г. открыл третий спутник Сатурна – Рею, в 1684 г. – два других, Тетис и Диону. В 1675 г. обнаружил, что кольцо Сатурна состоит из двух частей, разделённых тёмной полосой (которую стали называть «щелью Кассини»). Размышляя над физической природой кольца Сатурна, Кассини предположил, что оно состоит из большого количества отдельных небольших частиц; в наше время эта гипотеза подтвердилась.

На протяжении 1671–1679 гг. учёный наблюдал детали лунной поверхности и в 1679 г. составил большую карту Луны. В 1693 г. Кассини сформулировал три эмпирических правила, описывающих движение Луны («законы Кассини»):

(1) Луна вращается вокруг своей оси с постоянной скоростью, равной одному обороту за орбитальный период

(2) Плоскость лунного экватора наклонена на постоянный угол (около 1,5 градуса) к эклиптике (плоскости земной орбиты)

(3) Восходящий узел лунной орбиты (т.е. точка, где орбита Луны пересекает эклиптику с юга на север) всегда совпадает с нисходящим узлом лунного экватора (т.е. точкой, в которой экватор Луны пересекает, под углом около 5,1 градуса, эклиптику с севера на юг). Таким образом, ось вращения Луны, ось лунной орбиты и ось эклиптики всегда лежат в одной плоскости.

Законы Кассини позволили точно вычислить величину лунных либраций («покачиваний») по долготе и широте, дающих возможность земному наблюдателю заглядывать на обратную сторону Луны.

В свое время Джованни Кассини написал историческую фразу, которую можно положить в основу всех его открытий: «Я полагаюсь исключительно на собственную интуицию, никакие расчёты не оправдывают себя, если за точностью не стоят эмоции».

Умер Кассини в Париже 14 сентября 1712 г. в возрасте 87 лет совершенно слепым и очень уважаемым человеком.

3. Овалы Кассини

Древние греки превозносили сферу, считая ее законченной самодостаточной идеальной формой, лежащей в основании мироздания. Широко известен так называемый «Космический кубок Кеплера» (Рис.1), в котором траектории небесных светил моделировались вписанными в сферу Платоновыми телами, что, по мнению Кеплера, выражало всеобщую гармонию мироздания.

Рисунок 1. Космический кубок Кеплера

В «Космическом кубке» планеты движутся по круговым орбитам. Исследуя соответствие своей модели экспериментальным данным, Кеплер понял ошибочность своей первичной модели Солнечной системы и позже открыл три астрономических закона, известных в современной науке как «законы Кеплера». Важнейшим из них считается «Первый закон Кеплера», согласно которому движение планет соттветстсвует не идеальной окружности, а другой геометрической фигуре — эллипсу. Законы Кеплера разрушили многовековую птоломееву идиллию, развенчали культ сферы. Сам Кеплер был в шоке от такого «варварства». Хотя до сих пор мы говорим по привычке «в высших сферах» или «сфера деятельности», отдавая дань античной красивости мира.

Напомним определение эллипса – это плоская фигура, у которой для каждой точки сумма расстояний от двух фиксированных точек (полюсов) постоянна. От соотношения расстояний между фокусами и этой суммы расстояний (или от соотношения полуосей) можно получить разные фигуры – от круга до вырождения в линию.

Исследование эллипса, у которого сумма расстояний каждой точки от двух фокусов постоянна, наталкивает на мысль, а что, если постоянным будет не сумма расстояний от двух точек, а их произведение?

И первым, кто задумался над такой идеей, был Джовани Кассини. В 1680 г. он начал изучать кривую, названной «овалом Кассини», которая является геометрическим местом точек, чье произведение расстояний от двух фиксированных фокусов постоянно.

Если обозначить через а половину расстояния между фокусами овала, а через b 2 – величину произведения расстояний от точек овала к фокусам, то легко вывести следующее выражение для «овала Кассини»:

После раскрытия скобок и приведения подобных членов мы получим уравнение овала Кассини в следующем виде:

Геометрические фигуры, соответствующие уравнению овала Кассини, имеют вид, предствленный на Рис. 2. Как следует из Рис. 2, овалы Кассини имеют четыре характерных формы, которая зависит от соотношения между a и b. Если bі 2a, то овал Кассини представляет собой выпуклую кривую (Рис. 2-a), подобную эллипсу. Если a<b<2a, тогда в овале Кассини возникает отрицательная кривизна (Рис. 2-b), то есть в овале Кассини возникает вогнутая перемычка. Если a = b, тогда перемычка смыкается и овал Кассини превращается в фигуру напоминающую цифру 8 (Рис. 2-с). Эта кривая в математике называется «лемнискатой Бернулли». Лемнискату Бернулли можно определить как геометрическое место точек, для которых произведение расстояний от двух фокусов равно квадрату половины расстояния между фокусами. Великий математик и физик Бернулли описал эту «похожую на 8 поверхность» в своей статье Acta Eruditorumon, вышедшей в 1694 году. К сожалению, он не знал, что его лемниската – частный случай овалов, описанных Кассини четырнадцатью годами ранее. Лемниската Бернулли обладает следующим замечательным математическим свойством. Если мы поинтересуемся, чему равна площадь одного крыла бабочки лемнискаты Бернули, то мы прийдем к следующему замечательному результату: S = a2, где а – половина фокусного расстояния лемнискаты.

Наконец, при a>b овал Кассини распадается на две независимые фигуры (Рис. 2-d).


(a) (b) (c) (d)


Рисунок 2. Овалы Кассини

Зададимся теперь следующим вопросом: какая фигура получится при разрезании тора (бублика)? Вы уже догадались, что это – овалы Кассини. Если вы посмотрите на картинки разрезанных торов, представленных на Рис. 3, то вы увидите там все варианты рассмотренных выше таких уже знакомых овалов Кассини.


Рисунок 3. Разрезы тора (бублика)

Возникает вопрос, с какой целью Кассини разработал теорию «овалов Кассини»? Оказывается, он заинтересовалмя этими кривыми, преследуя чисто практические цели. Он пришел к этим кривым, пытаясь найти оптимальную математическую модель движения Земли вокруг Солнца. При этом он показал, что эта кривая (Рис. 3-а) для планетарных орбит подходит больше, чем эллипс, предложенный Кеплером. Кто же все-таки прав: Кеплер или Кассини? По каким орбитам движутся планеты – «эллипсам Кеплера» или «овалам Кассини»? При маленьком эксцентриситете (у орбиты Марса полуоси отличаются на 1/11 часть, у орбиты Земли – на 1/65) линии эллипса и овала Кассини практически совпадают… И, все-таки, при всем восхищении перед идеями Кассини, мы должны признать, что согласно законам Ньютона и закону всемирного тяготения, траектории движения тел описывается эллипсом или параболой в зависимости от начальных условий.

В современной науке идея «овалов Кассини» привлекла внимание известного польского журналиста и ученого Яна Гржездельского, который был научным советником Станислава Лема. В своей замечательной книге «Энергетично-геометрический код природы» (1986) Гржездельский развивает весьма необычные идеи, связанные с «овалами Кассини». По мнению Гржездельского, геометрия Природы есть геометрия «овалов Кассини», которые изменяют свою форму при изменении фокусного расстояния. Такой подход позволяет дать логическое и энергетическое объяснение процессов деления, широко наблюдаемых в Природе. Многие физические или биологические объекты (например, биологическая клетка) имеют форму «кассиноиды», то есть объемного тела, которое получается из овала Кассини путем его вращения вокруг вертикальной оси. По мнению Гржездельского, причиной «кассиноидального» деления является изменения условий энергетического равновесия объекта. Геометрически это выражается в изменении фокусного расстояния «овала Кассини», лежащего в основе «кассиноиды». При превышении некоторого энергетического порога «кассиноидальный» объект стремится к стабильному состоянию, при этом этот процесс требует не только энергетических изменений, но и изменений формы, что хорошо моделируется «овалами Кассини» (Рис. 2).

Особое внимание Гржездельский уделяет «лемнискате Бернулли» (Рис. 2-с) и ее пространственному аналогу, называемому «лемнискатоидой», которая, по его мнению, выражает состояние термодинамического равновесия системы.

4. Формула Кассини

История науки умалчивает, почему Кассини увлекся числами Фибоначчи. Скорее всего, это было просто «хобби» великого астронома.

Рассмотрим ряд Фибоначчи F(n), расширенный в сторону отрицательных значений аргумента n (см. таблицу).

Расширенные числа Фибоначчи

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

F(n)

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

F(-n)

0

1

-1

2

-3

5

-8

13

-21

34

Заметим, что все члены ряда связаны одной и той же математической закономерностью: каждый член ряда равен сумме двух предыдущих.

Как вытекает из этой таблицы, члены расширенного ряда Фибоначчи F(n) и F(-n) обладают рядом чудесных математических свойств. Например, для нечетных n=2k+1 члены последовательностей F(n) and F(-n) совпадают, то есть F(2k+1) = F(-2k-1), а для четных n = 2k они противоположны по знаку, то есть: F(2k) = -F(-2k). Ясно, что такое предельно простое и тем не менее весьма удивительное свойство расширенного числового ряда Фибоначчи не могло не привлечь внимание Кассини. И далее Кассини, повидимому, попытался найти еще некоторые свойства этого замечательного числового ряда. Например, он мог попытаться найти связь между соседними числами Фибоначчи.

И, возможно, Кассини обратил внимание на следующую закономерность. Если взять произвольное число Фибоначчи, например, F(5) = 5 и возвести его в квадрат, то получим следующий результат: 52 = 25. А теперь сравним этот результат с произведением двух соседних чисел Фибоначчи F(4)=3 и F(6)=8, которые окружают число Фибоначчи F(5)=5, то есть 3ґ 8=24. Мы обнаруживаем, что сравниваемые числа отличаются на 1, то есть,

52 — 3ґ 8 =1.

А затем то же самое проделаем со следующим числом Фибоначчи F(6)=8, то есть сначала возведем его в квадрат (82= 64), после чего сравним этот результат с произведением двух соседних к 8 чисел Фибоначчи 5 и 13 (5ґ 13=65), которые окружают число 8. К нашему удивлению, мы обнаруживаем, что сравниваемые числа тоже отличаются на 1, то есть,

82 — 5ґ 13 = –1.

При этом полученная разность равна (-1).

Далее имеем: 132 — 8ґ 21 = 1; 212 — 13ґ 34 = – 1 и т.д.

В результате этих элементарных рассужений Кассини обнаружил удивительную закономерность, которую можно сформулировать так:

Квадрат некоторого числа Фибоначчи F(n) всегда отличается от произведения двух соседних чисел Фибоначчи F(n-1)и F(n+1), которые его окружают, на 1, причем знак этой единицы зависит от аргумента n числа Фибоначчи F(n); если индекс n является четным числом, то число 1 берется с минусом, а если нечетным, то с плюсом.

Указанное свойство чисел Фибоначчи Кассини выразил в виде следующей общей математической формулы:

F2(n) — F(n-1)ґ F(n+1) = (-1)n+1,

которая справедлива для любого целого n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Эта удивительная формула вызывает благоговейный трепет, если представить себе, что она справедлива для любого значения n (напомним, что n может принимать любое значение для целого числа в пределах от -Ґ до +Ґ), и истинное эстетическое наслаждение, потому что чередование +1 и –1 в указанном выше математическом выражении при последовательном прохождении всех чисел Фибоначчи от -Ґ до +Ґ вызывает неосознанное чувство ритма и гармонии.

Эта знаменитая математическая формула и называется «формулой Кассини» в честь великого астронома Джовани Доменико Кассини, который ее впервые вывел.


Стахов А.П. Формула Кассини // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12542, 01.11.2005

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru