Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Акчурин И.А.
Концептуальные основания новой — Топологической Физики

Oб авторе
Хороший пример того, насколько глубоко основатели и творцы современной физической науки чувствовали тонкую диалектику локального и глобального, показывает следующая история, рассказанная В.Гейзенбергом в его творческой автобиографии, совершенно не случайно названной именно «Часть и целое». Большой любитель дальних пешеходных прогулок, он был приведен однажды Н.Бором к развалинам старого замка на берегу моря. Полюбовавшись вместе зеленью растительности, пробивавшейся между старых камней, и бликами солнца в волнах, Бор сказал Гейзенбергу: «Сейчас я скажу всего несколько слов. Ни один камень, ни одна веточка за это время не изменятся. Блеск солнца в волнах также останется тем же самым. Но все восприятие этого места полностью изменится». И после короткой паузы:
«Это — Эльсинор. Здесь жил Гамлет». Эффект был действительно потрясающим.
История эта является, по-видимому, почти дзеновским коаном, настраивающим даже эмоциональное восприятие современною исследователя именно на «прислушивание» к таким аспектам физической науки, которые до сих пор разрабатывались только фрагментарно, а еще чаще — просто оставались интересными и оригинальными физическими идеями, довольно слабо связанными с систематическим, концептуальным построением физики как научной теории. Сейчас, однако, становится ясным, что наиболее глубокие и фундаментальные физические понятия и идеи всегда связаны и с некоторым нетривиальным подходом к проблеме локального и глобального, целого и части в этой науке.
Введение калибровочных полей
Если мы хотим придать квантовой системе некоторую новую локальную динамическую степень свободы — ввести ее локальное динамическое взаимодействие с некоторым новым физическим нолем, нам новее не обязательно вводить это поле с самою начала в основные динамические законы – уравнения движения теории (или соответствующий им лагранжиан, характеризующий всю динамику интересующей нас системы). Мы можем ввести новые, добавочные полевые степени свободы любой квантовой системы и на некоторой последующей стадии ее динамического исследования, заставив локально изменяться от точки к точке пространственно-временною континуума фазу ее полной волновой функции. Такие локальные, определенным образом согласованные друг с другом — «координированные» но некоторому теоретико-групповому «закону» изменения фазы динамически, оказывается, полностью эквивалентны «включению» в нашей системе совершенно нового локального векторного поля, как бы «компенсирующего» своим действием локальные изменения фаз волновой функции (поэтому калибровочные поля часто и называют «компенсирующими»). Эта фундаментальная физическая идея и лежит в наши дни в основе всех современных теорий сильных (ядерных) и «электрослабых» взаимодействий на уровне элементарных частиц.
Подобного рода важную локальную инвариантность физических систем в качестве нового фундаментальною динамического принципа физики использовал впервые еще А.Эйшнтейн — при создании общей теории относительности. Это и позволило ему локально трактовать в принципе эквивалентности поле тяготения чисто кинематически — как переход в некоторую новую, локальную ускоренную (относительно исходной) систему отсчета. Тысячи и тысячи физиков многократно, но только чисто формально осуществляли переход (в конкретных расчетах) от одной калибровки волновой функции к другой, обусловленный включением внешнего электромагнитного поля. Но только Ч.Янг и Р.Миллс догадались в 1954 г., что всегда и повсюду любое изменение фазы волновой функции квантовых систем должно иметь место только локально и поэтому может распространяться только от одной окрестности точки к другой ее окрестности. А па языке квантовой теории поля это и означает появление совершенно новой динамической степени свободы, некоторого нового векторного поля нулевой массы.
До Ч.Янга и Р.Миллса считалось, что координированное (например, одинаковое) изменение фазы волновой функции можно произвести сразу — одновременно во всех точках пространства — и даже в таких, которые отделены друг от друга пространственно — подобным интервалом. Но это явно противоречит исследуемому нами в этом параграфе фундаментальнейшему физическому принципу локальности — принципу близкодействия, являющемуся, фактически, утонченной современной топологической экспликацией философского принципа причинности. Здесь надо особо подчеркнуть, что в современной его трактовке именно локальность изменения фаз волновой функции квантовых систем ведет к появлению совершенно новых типов полевых взаимодействий калибровочных. Глобальные свойства симметрии волновых функций в целом предполагают трансформации их, одинаковые (и постоянные) во всех точках пространства и времени, и не дают новых «сил» локального типа. Если же в различных пространственно- временных точках трансформации фаз волновой функции квантовой системы будут независимы и к тому же изменяться но определенным теоретико-групповым законам, это и будет локальная калибровочная симметрия, совершенно эквивалентная динамически введению нового локального безмассового векторного-компенсирующего эти изменения фаз волновой функции (калибровочного) поля.
Конечно, калибровочные «силы» не являются поэтому, строго говоря, совсем уж классически «локальными» — ведь они всегда обусловлены некоторой целостной, глобальной волновой функцией всей исследуемой квантовой системы. В каком-то смысле они, по-видимому, даже представляют собой промежуточный, гибридный тип «сил» — и не совсем локальных, но и не совсем уж глобальных. Более того, они как бы осуществляют «непрерывный переход» от чисто локальных взаимодействий (каковыми являются, например, обычные электромагнитные «силы», на которых впервые и была, как известно, обнаружена калибровочная инвариантность полной волновой функции квантовых объектов) к взаимодействиям системного, глобально- целостного типа, о которых подробно речь пойдет в следующем параграфе. Калибровочные поля, таким образом, позволяют провести наиболее основательный и тщательный анализ сложного взаимоотношения локальных и глобальных свойств в наиболее общих типах динамических взаимодействий, изучаемых современной физикой взаимодействий, имеющих место как на очень малых расстояниях, внутри адронов, так и протекающих на огромных дистанциях типа межгалактических расстояний.
Именно калибровочные (компенсирующие) поля, как уже говорилось выше, наиболее глубоко вскрывают некоторую совершенно новую, вообще говоря, уже обобщенно- пространственную, локальную природу внутреннего единства всех видов взаимодействия элементарных частиц между собой — сильных, электромагнитных, слабых и гравитационных. Как известно, и эксперимент, и теория физических процессов при очень больших энергиях показывают все более и более явно в последние годы, что ставшее уже традиционным разделение взаимодействий элементарных частиц по их силе имеет место только в области достаточно небольших энергий. С ростом же энергий слабые взаимодействия становятся все сильнее и сильнее и могут даже сравняться с электромагнитными, а сильные взаимодействия -«слабеют» и могут но порядку величины приблизиться к «усилившимся» при больших энергиях электромагнитным. Произойти это может, правда, только при совершенно гигантских концентрациях энергии на отдельных частицах в 1018 гэВ — таких энергий пока что не наблюдалось даже в космических лучах, самом высокоэнергичном источнике излучений, известном человеку.
Подобная, прямо скажем, совершенно дикая концентрация энергий на отдельных элементарных корпускулах имела место, по-видимому, только в самые первые доли секунды после гигантского «Большого Взрыва», породившего все многообразие известных нам сейчас объектов Вселенной. Так что глубокие теоретические проблемы внутреннего единства природы всех взаимодействий элементарных частиц переходят здесь и не менее глубокие космологические проблемы их общего, единого исторического происхождения: калибровочные ноля, оказывается, совсем не изменяют своей внутренней «природы» в совершенно колоссальном диапазоне энергий и промежутков времени, меняя, правда, иногда спонтанно свойства своей внутренней симметрии, что приводит при определенных критических значениях энергий, расстояний и промежутков времени к их довольно сильным трансформациям, перестройкам в отношении силы, радиуса действия и т.п. Но глубокая внутренняя — локальная природа калибровочных взаимодействий остается при этом неизменной.
Такие аспекты поведения калибровочных полей позволяют обнаружить некоторые новые и — очень глубокие стороны обобщенно- геометрического единства физики элементарных частиц и, например, теории твердого тела, квантовых жидкостей, плазмы и статистической физики вообще. Это обеспечивает весьма и весьма плодотворное взаимообобщение этих разделив современной физики унифицирующими идеями, едиными методам I и обобщающими концепциями.
Так еще в квантовой электродинамике «реальный» физический вакуум (в частности, и благодаря свойствам калибровочной инвариантности электромагнитных взаимодействий) оказывался подобным очень ярко выраженному «диэлектрику», весьма и весьма сильно «экранирующему» — благодаря интенсивной поляризуемости вблизи «самих» зарядов процессов виртуального рождения электронно-позитронных, протон-антипротонных и других пар заряженных корпускул — бесконечно большие «голые» (до перенормировки) заряды исходных частиц. И по мере роста энергий пробных корпускул — по мере «приближения» их взаимодействий к самым «центрам» исходных зарядов — постепенно росла и «сила» электромагнитных взаимодействий.
Иные локальные теоретико-групповые — калибровочные свойства сильных и слабых взаимодействий — в отличие от электромагнитных — ведут к тому, что физический вакуум этих полей в различных моделях и физических ситуациях калибровочных взаимодействий может вести себя и как сверхтекучая жидкость (модель Голдстоуна), и как сверхпроводник (модели Намбу и Иона-Ласинио, Вакса и Ларкина и др.) и даже как проводящая плазма (модели Хиггса и Вайнберга-Салама). В этом последнем случае, в частности, калибровочный аналог дебаевского экранирования дальнодействующих кулоновых сил зарядов и ведет к появлению в конце концов очень короткодействующих сил, физически проявляющих себя именно как слабое взаимодействие. А по мере роста энергий исследуемых процессов происходит — на определенном энергетическом рубеже восстановление полной группы локальных калибровочных симметрий физических полевых взаимодействий (спонтанно очень сильно нарушенных при малых энергиях).
Тем самым, чисто локальные свойства калибровочных симметрий определяют уже глобальные, справедливые для всей Вселенной в целом характеристики относительной «силы» сильных -ядерных, электромагнитных и слабых — распадных взаимодействий и самое главное — тенденции их изменений с ростом энергий. Так получается, что различие локальных калибровочных симметрий влечет сначала различие локальных свойств физического вакуума, электромагнитных и слабых взаимодействий на различных расстояниях: для процессов, разрывающихся на расстояниях до 10-13-10-16 см, вакуум калибровочных полей не меняет заметным образом своих свойств. Но на расстояниях менее 10-16 см очень резкое изменение его «экранирующих» свойств как реальной физической «сплошной» среды уже ведет к локальному отождествлению» друг с другом электромагнитных и слабых «сил» — на таких расстояниях они становятся физически неразличимыми и полностью превращаются друг в друга.
Аналогичное локальное изменение на еще меньших расстояниях экранирующих свойств физического вакуума калибровочных нолей, переносящих сильные — ядерные взаимодействия, ведет к тому, что образно говоря, пространство «внутри» адрона (нуклона или гиперона) становится подобным сверхпроводнику. Мы приводим для специалистов целый ряд возникающих при этом физически очень интересных аналогий:
Асимптотическая свобода: Взаимодействие электрона с кристаллической решеткой; Притяжение глюона к глюону: Притяжение электрона к электрону (благодаря этим взаимодействиям);
Нулевая масса «голого» глюона; Существование «голой» поверхности Ферми; Неустойчивость «голого» вакуума: Неустойчивость «голой» поверхности Ферми; Многоглюонные связанные состояния: Замкнутые петли токов Куперовых пар.
Исследования здесь еще продолжаются, но общее направление их подсказывает, что с ростом энергий физических процессов (и соответственно — с переходом ко все меньшим расстояниям) физический вакуум сильных калибровочных взаимодействий также постепенно меняет свои «экранирующие» свойства. Это ведет к постепенному, логарифмическому уменьшению (с ростом энергий и уменьшением исследуемых расстояний) эффективной константы сильных взаимодействий, которая где-то в области сверхгигантских энергий в 1015 гэВ и сверхкоротких расстояний 10-29 см делается равной растущей с энергией эффективной константе «электрослабых» взаимодействий. Если предложенные до сих пор варианты теории «Великого объединения» содержат хотя бы элементы истины, это означает, что единое для всей Природы, так сказать, «гранд-унифицирующее» калибровочное взаимодействие испытывает при таких длинах и энергиях еще одно очень сильное спонтанное нарушение локальных свойств калибровочной симметрии, приводящее к разделению сильных — ядерных и «электрослабых» сил во всем Космосе
Еще одна очень важная особенность калибровочных полей, физически очень отличающая их от всего, что до сих пор было исследовано в теории поля, — их нелинейность. Для уравнений компенсирующих калибровочных полей это значит что далеко не все их даже классические решения допускают достаточно однозначную квантовомеханическую интерпретацию, например, в виде определенных наборов элементарных частиц. Только специальные конфигурации калибровочных полей, имеющие так называемую плоскую асимптотику, могут быть ныне истолкованы -согласно принципу соответствия, — например, как определенные, локализованные, устойчиво распространяющиеся возбуждения поля (солитоноподобные решения). Еще более необычны физические свойства инстантонных квантовых состояний калибровочных полей, которые представляют собой результат подбарьерного — туннельного «просачивания» калибровочного вакуума нетривиальной топологической природы в наш обычный, считающийся (пока что) топологически тривиальным физический вакуум. Все известные нам сегодня элементарные частицы (или, по крайней мере, некоторые из них — адроны) могут оказаться связанными «локально» — «внутри» — с именно такими инстантонами — существенно квантовыми результатами глобального «влияния» (посредством квантовых калибровочных полей) на нашу Вселенную (считающуюся пока что имеющей топологически тривиальную структуру) других — топологически очень и очень не тривиальных Вселенных.
Новые аспекты локальности: «слоения» движения и локализации по Морнта
Важнейший — и даже несколько неожиданный результат физики последних лет — это то, что все ее основные динамические уравнения могуг быть получены как определенное следствие довольно самоочевидных предположений о «локально-глобальных» аспектах слоения общего многообразия динамических состоянии, «движения» исследуемой нами системы — о том, как оно «составлено», «выстроено» из каких-то своих «частей» — подмногообразий меньшей размерности. В этом можно видеть дальнейшее углубление и расширение нашего понимания очень разнообразных (и во многом определяющих детальную динамику любой физической системы) соотношений в пей локальных и глобальных аспектов детерминации обобщенно-причинного типа, — учитывающих не только метрические, по и другие, более общие способы задания, фиксации окрестностей, наиболее «близких» заданной, интересующей пас в том или ином отношении.
Образно говоря, динамические физические системы наших дней допускают локализации — разложение на составляющие их элементарные «части» несколькими совершенно различными и, главное — никак не сводимыми друг к другу способами. И каждое такое разложение — каждый новый тип топологической локализации «частей» в системе — выявляет некоторые совершенно новые стороны глубокого внутреннего единства всей физической науки, а возможно — и всего человеческого познания в целом. Динамические законы физики существенно связаны с объемлющими интересующие нас объекты расслоениями — более «вместительными» обобщенно-пространственными структурами, лишь «частями» которых являются исследуемые нами объекты и их возможные движения. Здесь же мы рассмотрим обстоятельнее разложение самих динамических систем физики на составляющие их «части».
Совсем недавно К.Тейтельбойм смог показать, что если мы выделим самые различные слоения четырехмерного пространственно-временного континуума на составляющие его «части» -трехмерные, только пространственные гиперповерхности, пересекающие ось времени под различными углами, то лишь очень малое число основных динамических уравнений остается инвариантными относительно следующего, довольно самоочевидного тополого-динамического преобразования. Возьмем две такие трехмерные пространственные гиперповерхности — исходную и конечную, разделенные определенными промежутком времени.
Само собой разумеется, что фундаментальные динамические уравнения физической теории должны давать на конечной гиперповерхности один и тот же физический результат, если мы будем переходить от исходной гиперповерхности к конечной двумя топологически несколько различными способами. В одном из них «левый фланг» гиперповерхности сначала как бы забегает немного вперед по сравнению с ее «правым флангом», а в другом случае наоборот — наша трехмерная пространственная гиперповерхность вперед заходит сначала как бы своим «правым плечом»: вперед сначала несколько вырывается ее «правый фланг». Но на кг печную гиперповерхность они «прибывают», так сказать, одновременно: в первом случае «левый фланг» гиперповерхности резко замедляет свое движение перед конечной гиперповерхностью (чтобы компенсировать свою, так сказать, излишнюю «резвость» на старте), а во втором — то же делает «правый фланг».
В итоге оказывается, что один и тот же результат на конечной гиперповерхности дают только те динамические уравнения физики, которые мы ныне, в наши дни, связываем с наиболее фундаментальными законами движения материи — уравнения электромагнитного поля Максвелла, уравнения сильных (ядерных) и слабых (распадных) взаимодействий — описанные выше кратко калибровочные (компенсирующие) уравнения Янга — Миллса и уравнения сильных полей тяготения — уравнения общей теории относительности Эйнштейна. Таким образом, основные динамические уравнения наиболее фундаментальных физических теорий наших дней являются в определенном смысле некоторого рода следствиями чисто топологической локальной «составленности», «выстроенности» полного многообразия динамических состояний исследуемой физической системы из каких-то ее «частей» — возможности локального однозначного разложения ее движения на динамические «слоения», подмногообразия меньшей размерности, все вместе, в сумме составляющие полное многообразие динамических состояний системы.
Динамическая «самосогласованиость» внутренней «составленности» движения исследуемой физической системы из самых различных его «частей» (в различные моменты времен) однозначно определяет — вполне естественным образом — конкретный вид основных законов «поведения» элементарных физических объектов (материальных точек, векторов напряженности и т.д.), составляющих эту систему. Топологические понятия и структуры впервые позволяют ныне исследовать эту внутреннюю самосогласованность «различных разложений движения на его части» исключительно эффективным образом — так, что исходя из нее можно получить основные динамические законы некоторых разделов современной физики.
Хотя чисто внешне, поведение какого-нибудь гироскопа в кардановом подвесе или сложного волновода поражает именно своей иногда даже полной непредсказуемой целостностью и системностью, на самом деле за всем этим ничего не стоит, кроме предельно локальных причинно-динамических законов и определенных граничных (и начальных) условий. «Системность» (подлинная) физических объектов здесь фактически почти полностью исключена — за счет осуществимого «полного и без остатка» погружения всех их даже только возможных состояний движения в обычное метрическое, евклидово пространство достаточно большого числа измерений. Эта предельная «разложимость» любых — даже и вполне системных структур и объектов классической физики на свои наиболее элементарные «части» (материальные точки, вектора напряженности поля и т.д.) — далеко не тривиальный физический факт, заслуживающий специального рассмотрения.
Выбор абстрактного математического пространства, «окрестностная» локализация в котором дает в физике наиболее плодотворные теоретические результаты, определяется, вообще говоря, новыми и важными понятиями так называемых теорем о Мори га — I, II и III — эквивалентности. Самый простой случай здесь — теорема о « Морита — I — эквивалентности», в которой рассматривается почти тривиальный пример эквивалентности друг другу многомерных векторных пространств и их обобщений модулей, в которых, образно говоря, по различным координатным осям «откладываются» уже не числа (как в векторных пространствах), а их алгебраические обобщения — абстрактные кольца. Так вот эти многомерные векторные пространства (и модули) оказываются, в определенном смысле, эквивалентными друг другу, если эквивалентны их системы эндоморфизмов (внутренних их преобразований самих в себя).
Физика уже на самых первых этапах своего становления неявно и неосознанно — использовала локально «Морита 1 — эквивалентность»: абстрактные пространства перемещений любых макроскопических тел оказываются локально тривиальным образом эквивалентны друг другу — и обычному трехмерному евклидову пространству — именно потому, что наиболее общей системой их внутренних преобразований являются эквивалентные галилеевы преобразования различных инициальных систем отсчета друг в друга. Далее, понятия фазового объема в статистической физике, векторов напряженности электрического и магнитного ноля в теории поля, непрерывно изменяющейся метрики четырехмерного пространственно-временного континуума в общей теории относительности, совершенно неклассической гильбертовой «геометрии» квантовых состояний и наблюдаемых в квантовой механике — как точные обобщения наших интуитивных повседневных пространственных образов столь много дают для единого локального-обобщенно-геометрического (и количественного) объяснении физических процессов именно потому, чти псе они, так сказать, «Морита I — инвариантны». Все они допускают локальное «погружение» и очень плодотворную для всей теоретической физики «окрестностную» локализацию в соответствующем многомерном (и даже бесконечномерном типе — гильбертовом, квантовомеханическом) пространстве только потому, что характеристические системы эндоморфизмов этих пространств, но крайней мере, локально, «отражают» основные физические свойства инвариантности исследуемых объектов (теорема Лиувилля о сохранении фазового объема в статистической физике, преобразования Лоренца в электродинамике, любые непрерывные преобразования координат в общей теории относительности, унитарные преобразования состояний в квантоиой теории).
Своего рода «следствием» теоремы о «Морита I — эквивалентности» можно считать тогда в этом аспекте и знаменитую теорему Веддерберна-Артина выявляющую, с нашей точки зрения, «физические условия» однозначного «погружения» локально всей совокупности каких-то новых физических явлений в некоторое конечномерное векторное пространство. Она в этом смысле является почти идеальным образом теорем «типа Морита»: очень немногие и очень абстрактные условия, накладываемые на произвольную алгебраическую структуру эмпирических соотношений, делают ее совершенно конкретной — такой, с которой каждый из нас повседневно сталкивается. (Теорема Веддерберна-Артина утверждает, как известно, что любое абстрактное кольцо изоморфно кольцу эндоморфизмов (внутренних преобразований в себя) векторного пространства конечной разномерности, если и только если особые структуры правых идеалов этого абстрактного кольца минимальны, а структура всех его идеалов вообще состоит только из двух элементов).
Таким образом, исследуя физические свойства инвариантности (при движениях или преобразованиях) некоторых новых природных процессов, мы можем заранее решить, можно ли вообще их объясняющие математические модели и теории локально «вложить», локализовать «окрестность» в том или ином конечномерном векторном пространстве (А все эти последние обычно связаны только с топологически тривиальными структурами классической физики). Структуры же физики наших дней чаще всего топологически весьма и весьма не тривиальны, и поэтому их приходится «погружать» уже не в векторные пространства любого — даже бесконечного — числа измерений, а в более общие «вместилища» всякого рода топологических патологий — в упоминавшиеся уже выше модули. Только к последним, рассматриваемым уже как категории, и относится вторая теорема Мориты об эквивалентности — «Морита II — эквивалентность», физический смысл которой состоит, образно говоря, в том, что она дает условия, при которых очень общая категория над абстрактым модулем оказывается эквивалентной некоторой достаточно конкретной, по крайней мере, лучше изученной. Эти условия физически можно истолковать как своего рода наличие в таких категориях локальных конечномерных линейных эквивалентностей, вполне сбалансированных «вблизи» каждой образующей и накладывающих определенные ограничения на систему идеалов кольца. А это, в конечном счете, и определяет физические свойства инвариантности системы эндоморфизмов (внутренних преобразований в себя) модуля как категории. Сейчас уже проводятся первые попытки применить теоремы о «Морита II — эквивалентности» к задаче о том, какого типа «патологичности» топологические пространства наиболее хорошо — лучше других, по крайней мере, приспособлены для «погружения» в них топологически не тривиальных физических процессов, определенного класса (типа инстантонов, кинков и т.п.).
Но ее достаточно обстоятельное и тем более — полное решение в современной физике (и математике) окажется возможным, по-видимому, только на основе использования еще более общих теорем — уже о «Морита III — эквивалентности» друг другу самых общих из известных нам категорий, локализуемых «пространственно» в наиболее абстрактных модулях с помощью линейных свойств особых функторов в категориях, описывающих алгебраические свойства соответствующих систем эндоморфизмов, характеризующих физическую инвариантность исследуемых объектов. В этом смысле даже наиболее фундаментальная в современной теоретико-категорной алгебре теорема Попеску- Габриэля, описывающая, как совершенно произвольная категория может быть изоморфно «моделирована», погружена полностью в определенную категорию модулей над некоторым кольцом, является также своего рода «локализационной» теоремой типа Мориты-111 — эквивалентности.
Неизбежная включенность любых средств наблюдения современной физики, в определенную (всегда) понятийную систему как раз и фиксирует, какие именно конкретные базовые (алгебраические) кольца будут использованы для построения (с помощью идеалов этих колец) абстрактного «локального» математического пространства теории и то, какие именно наблюдаемые только и имеют инвариантный физический смысл (даже локально) в этой теории. Базовое алгебраическое кольцо всякой физической теории выступает, в наши дни, таким образом, определенным аналогом меняющегося от точки к точке метрического тензора в общей теории относительности.
Последний изменяет локально (вследствие локальных изменений концентрации материи, описываемой тензором энергии -импульса) метрику, а с ней — и всю систему расстояний в каждой локальной окрестности исследуемой система объектов — сам тип геометрии (Лобачевского, Бойли или Римана), который имеет место в этой окрестности. Точно также базовые алгебраические структуры колец (и модулей над ними), применяемые для описания всего разнообразия физических опытных данных, (посредством локализационных теорем о Морита — I — II — III -эквивалентностях), определяют конкретный топологический тип локального пространства, в которое можно геометрически «погрузить» без какого-либо остатка («изоморфно») все эти опытные данные в некоторой физически целостной, обобщенно-наглядной картине — теории всех их взаимоотношений и взаимосвязей. Тем самым, в различных пространственных окрестностях определенных физических процессов теперь может очень резко изменяться в современной физике даже сам тип локального расслоенною пространства, которое необходимо для построения полной теории.
Топологическая двойственность и принцип Маха
Космологический принцип Маха — определяемости локальных характеристик объектов (их масс, зарядов и т.п.) полной совокупностью всех их возможных взаимодействий с лежащими вне их объектами внешнего мира — несет в себе, с точки прения единства физической науки, разумеется, весьма и весьма глубокое материалистическое содержание. Он указывает на постоянную необходимость все более и более утонченных поисков новых физических связей выделенных локально (и чем-то интересных нам) материальных структур со всем остальным материальным миром.
Вместе с тем, принцип Маха — один из немногих действительно фундаментальных принципов Западного естествознания, которые указывают конкретные пути реализации точными экспериментальными науками нашего времени глубоких, диалектических идей философии Востока о всеобъемлющей мировой гармонии, о совершенно новых принципах детерминации локальных процессов и явлений всей мировой тотальностью, всей космической целостностью. Идеи эти сейчас интенсивно и многосторонне обсуждаются многими ведущими пиками и методологами науки современности, однако, пути их конкретного, эвристического «внедрения» в физическую науку наших дней остаются пока что, к сожалению, достаточно неопределенными, неясными.
Нам кажется, что наиболее интересными и перспективными представляются сейчас здесь попытки истолковать космологический принцип Маха как физическую «экспликацию» чисто математических и, прежде всего, — топологических принципов и теорем двойственности, уже на уровне интуиции поражающих внушительной глубиной устанавливаемых ими связей целого и части, локального и глобального.
Эти весьма и весьма глубокие теоремы топологической двойственности в наши дни уже позволяют более основательно понять чисто физические «механизмы», благодаря которым наиболее существенные динамические свойства интересующего нас локального объекта (его индивидуальная масса, заряды — электрический, ядерный и тд.) определяется целостными, глобальными — топологическими характеристиками «всей» совокупности его взаимодействий со всеми остальными объектами в незанятой им — «остальной» части пространства. По самому своему физи-ческому, интуитивному смыслу любые индивидуальные динамические характеристики всякого локального объекта характеризуют, так сказать, «силу» его взаимодействий с «остальным» внешним миром и еще в каком-то плане — «скорость» его внутреннего отклика» на определенные изменения и этом внешнем мире.
Классические топологические теоремы двойственности Пуанкаре-Понтрягина, как известно, утверждают детерминацию определенных — и очень важных топологических характеристик геометрического объекта топологическими свойствами незанятой им, — «остальной» части пространства и наоборот. Например, замкнутая кривая на плоскости, грубо говоря, топологически подобна окружности только тогда, когда «незанятая» ею часть плоскости (плоскость «минус» ее часть, занятая кривой) распадается Ш(две (и только на две) несвязные друг с другом области («части»). Определенная топологическая характеристика этих последних — их нульмерная группа когомологий, — таким образом, однозначно детерминирует собой, грубо говоря, количество «дырок», которые может иметь данная кривая внутренне, сама по себе (характеризуемых несколько другим топологическим инвариантом кривой — рангом ее одномерной группы гомологии). Следствием теорем двойственности Пуанкаре-Понтрягина является также интуитивно, казалось бы, совершенно очевидный и общеизвестный факт: всякая плоская замкнутая кривая, гомеоморфная окружности, всегда разбивает плоскость.на две — и всегда только на две! — несвязные друг с другом части (знаменитая теорема К.Жордана). Однако, доказательство этого «очевидного» факта — вернее топологической инвариантности этого всем «ясного» и «наглядного» геометрического результата -занимает (со всеми необходимыми определениями и предварительными теоремами) несколько страниц очень серьезного математического текста, а многолетние размышления над ним целых нескольких поколений выдающихся исследователей и привели, по-видимому, сейчас к таким глубоким обобщениям топологических теорем двойственности, что они становятся пряменимыми уже к основным динамическим законам и характеристикам объектов и в физике (а возможно — и в биологии).
Обобщенные теоремы двойственности Серра-Гротендика позволяют — благодаря формулировке законов физики на языке топологии — аппроксимировать все физически важные взаимодействия «внешнего» мира и интересующего нас локально выделенного объекта с помощью специальной системы «покрытий» внешнего мира — так называемым дуальным топологическим комплексом. Этот последний является, вообще говоря,' очень сложной обобщенно-геометрической «моделью» всех возможных взаимодействий с внешним миром данного объекта — топологической конструкцией особого рода, которая, однако, в некоторых случаях в пределе — при все большем «измельчении» покрытий внешнего мира по определенному закону — становится, как это ни странно, очень простой. Если базовые алгебраические кольца всех покрытий внешнего мира (как топоса) и в пределе являются так называемыми кольцами Горенштейна, предельный дуальный топологический комплекс «внешнего мира» оказывается изоморфным нашему обычному евклидову пространству того или иного числа измерений, а вся совокупность связей интересующего нас объекта с внешним миром «вне его» оказывается сконцентрированной в один объект и суммарно выражается особым «комплексом вычетов».
В самом простом случае этот последний оказывается эквивалентным обычному вычету теории функций комплексного переменного, когда, например, дисперсионные соотношения позволяют представить амплитуду рассеяния элементарных частиц при данной энергии как некоторый интеграл в комплексной плоскости, и наиболее важный вклад в величину этого интеграла дают именно массы новых частиц, трактуемые просто как новые вычеты в комплексной плоскости. Тем самым, топологические теоремы двойственности Серра-Гротендика позволяют более глубоко понять причины и основания для существующей в физике элементарных частиц тенденции представлять массы вновь открываемых корпускул, прежде всего как новые «вычеты» некоторых комплексных интегралов (дисперсионных соотношений) и топологически очень сложно «устроенных» гиперповерхностях функций многих комплексных переменных, описывающих виртуальную динамику того или иного процесса взаимодействий элементарных частиц.
Следующий более сложный в концептуальном плане случай конкретного действия топологических «механизмов» двойственности, целостности, глобальности в современной физике представляет собой, по-видимому, принцип дополнительности квантовой теории. Операциональные измерительные установки, определяющие частицу или волну, мы будем наблюдать в том или ином конкретном физическом эксперименте, являются, с точки зрения топологических теорем двойственности, как раз чисто «внешними» границами той «части» трехмерного пространства, которую может «занимать» интересующий нас — уже гораздо менее локальный, чем классические корпускулы, — существенно квантовый объект.
Любые экспериментальные установки имеют строго определенные топологические характеристики (например, число щелей, через которые может пройти квантовый объект в классических опытах по выявлению его волновых или корпускулярных свойств, и т.п.). С точки зрения топологии устанавливаемая принципом дополнительности в квантовой теории детерминация именно числом щелей экспериментальной установки того «опытною факта» корпускулой или волной окажется исследуемый нами квантовый объект в данном конкретном эксперименте, также представляет собой пример чисто «онтологического» действия топологических теорем двойственности в современной физике. Дело в том, что с точки зрения тоносов, именно квантовая механика впервые показала, что классическое поле действительных чисел совершенно недостаточно для фиксации состояния квинтовых объектов, и исторически говоря, первая совершенно неклассическая топология Стоуна-Зариского была введена впервые именно в связи с тщательным анализом необычных топологических свойств алгебры состояний квантовых объектов первым автором еще в 1936 г.
Теперь, после успешного обобщения идей Стоуна-Зариского Гротендиком в пространственной теории тоносов, мы должны считать, что «полное» многообразие характеристических параметров, фиксирующих определенное состояние интересующего нас квантового объекта, представляет собой уже не классическое поле действительных чисел, а некоторое абстрактное алгебраическое кольцо, различные идеалы которого и соответствуют различным состояниям квантовых объектов. При этом конкретные математические характеристики экспериментальной установки (число щелей, их координаты, ширина и т.д. — в случае изучения волновых или корпускулярных свойств микрообъектов) осуществляют как бы автоматическое «разложение» этих идеалов абстрактного кольца квантовых наблюдаемых на его так называемые примар-ные компоненты.
Но если классическое ноле действительных чисел обладало очень и очень важным для физики свойством совершенно однозначного разложения идеалов па примарные компоненты (например, 10 можно представить ц поле действительных чисел только как произведение простых чисел 2х5), то уже следующее за ними (по простоте топологического и алгебраического «устройства») кольцо комплексных чисел теряет это свойство: 10 можно представить в этом кольце также еще и как (3+i) (3-i). Этот достаточно простой, по вместе с тем и весьма фундаментальный — в плане алгебры и особенно топологии — факт, по-видимому, и определяет, с современной точки зрения теории тоносов, всю специфику, всю необычность, поведения существенно квантовых объектов — в сочетании с кратко описанными выше теоремами двойственности Серра-Гротендика, разумеется. Грубо говоря, природа корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц связана именно с тем фактом, что не только 10=2х5, но и (3+i) (3-i) — именно неоднозначность разложения идеалов общих алгебраических колец квантовой теории на примарные компоненты — благодаря топологическим теоремам двойственности делает возможным, что в одних условиях данная конкретная экспериментальная установка своими двумя щелями глобально, целостно, «вырезает» из информационно очень «богатого» квантового объекта только волну, а в других топологических «условиях» Другая — «дополнительная» ей топологически (в определенном смысле) экспериментальная установка своей щелью «вырезает» из того же самого квантового объекта уже только корпускулу.
Это наше «путешествие» по свойствам дополнительности, топологической двойственности физических объектов — определяемости их наиболее важных и даже совершенно фундаментальных свойств (массы, корпускулярное или волновое представление и т.д.) топологически целостными, глобальными характеристиками «внешней» для них, «не занятой» ими части пространства можно продолжить. Оно, по-видимому, приводит в конце концов к установлению неожиданных и глубоких связей только что описанного кратко квантово-механического принципа дополнительности с другим фундаментально важным принципом, но уже не физической науки, а биологии — с принципом эволюции.
В каком-то смысле можно даже утверждать, что последний является, так сказать, топологическим «четырехмерным» обобщением первого. Нужно только сформулировать их обоих па языке еще более сложно устроенных алгебраических объектов — так называемых вложенных примарных идеалов общих алгебраических колец — базовых локально-алгебраических структур топосов как пространств с переменной, вариабельной топологией. Вложенные примарные идеалы — еще более патологически ведущие себя алгебраические объекты, появляющиеся в общих топосах в тех си -туациях, когда их топология локально задается уже не кольцом комплексных чисел, а самыми общими алгебраическими кольцами. В таких общих алгебраических кольцах «многозначность» разложения некоторого абстрактного объекта, сопоставляемого определенному идеалу кольца, может приобрести уже не только точечный характер (как в нашем примере выше — 10 =2х5 =(3+i) (3-i), но и, так сказать, многомерный — пространственный характер (в смысле неоднозначности разложения исследуемого пространственного объекта на составляющие его неприводимые кривые, поверхности, гиперповерхности и т.д.).
Топологические характеристики «внешней» по отношению к объекту — «не занимаемой им» части пространства могут в этом случае определять не только его «статическое», чисто геомерическое разложение на подобъекты меньшей размерности, но и динамическое «поведение» этих подобъектов во времени — существование, например, преимущественных траекторий их движения. Именно это имеет место, по-видимому, в отношении прямых линий всякого инерциального механического движения или концентрических «окружностей» магнитного (или электрического) поля, как бы «навивающихся» на всякий ток (или переменное во времени магнитное поле). Такого рода выделенные, преимущественные направления «канализации» всякого материально, о движения ча каждом конкретном уровне его пространственно-временной организации определяются, по-видимому, пока неизвестными нам еще (в самом общем и; виде) динамическими общефизическим:; принципами топологической двойственности.
В биологи.. существенная «креодичность (по Уоддингтону) -эффективная канализированность по определенным траекториям движения почти всех молекулярно-биофизических структур живой клетки — вероятно, также окажется проявлением действия именно таких динамических приципов физико-топологической двойственности. Формирование креодов в пространстве и особенно — удивительнейшую согласованность, когерентность их действия во времени нам еще предстоит исследовать и исследовать. Именно здесь, по нашему мнению, физика приобретает совершенно новые для псе, очень необычные для чистой «протяженности» измерения — измерения организации или даже символические, «предидеальные», так сказать.
Однако, тополого-динамические основы таких совершенно новых типов детерминации целым своим частей — с помощью топологических теорем двойственности — уже исследованы. Американский математик Дж.Макки смог показать, что структура электронной оболочки всех атомов, т.е. в сущности говоря, принципы организации всех атомов Вселенной в Периодическую систему Менделеева — определяются группами симметрии «внешнего» по отношению к данному атому пространства.
Это — в простейшем, статическом случае неизменных пространственных свойств «внешних» по отношению к данному атому «частей» пространства. Если же эти последние мы будем определенным образом — «целенаправленно» менять, изменяя их топологические инварианты, мы получим конкретную экспликацию возникновения принципиально новых «механизмов» передачи «целевых» — теленомических воздействий из будущего каких-то процессов в их прошлое, предсказанных еще Аристотелем. Они. конечно же. не могут иметь классическую — «силовую» (или «полевую») природу, а скорее обладают характером симметрии (или ее нарушения) — преимущественных направлений (или их ограничений) в движении объектов. В будущем (сознательно) изменяются вполне определенные топологические характеристики (инварианты, например, те же когомологии) внешних, граничных условий — и глобальная теория общих динамических систем показывает, что описанный кратко выше топологический принцип двойственности «заставляет», «вынуждает» заранее предсказуемым образом изменить в настоящем определенные топологические инварианты всех возможных движений исследуемой динамической системы (все фазовое пространство «минус» его часть, занятая сознательно, измененными — в будущем! — объектами).

Источник: Философские проблемы физики элементарных частиц (тридцать лет спустя) – М., 1995, 217 стр. — Российская Академия Наук, Институт философии


Акчурин И.А. Концептуальные основания новой — Топологической Физики // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.10704, 24.09.2003

[Обсуждение на форуме «Институт Физики Вакуума»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru