Дискуссии - Технологии

Никитин А.В.

1. Зачем всё это надо? *

Зачеркнутая история Великих Идей 20 века.
И все же … снова – Разум?
Назад, к основам … — работа над ошибками.

2. Цель — жизнь.

Машинная жизнь.
Цель жизни.
Эволюция управления живых организмов.
Самостоятельность автоматических систем.
Внимание.
Образ.
Цель.
Выбор.
Связи.
Решения еще нет, а ответы – уже есть.

3. Чуть-чуть математики …

Математика природы.
Системы счисления.
Число.
Пространственные структуры развития числа.

4. Счетная логика.

Причины и история появления счетной логики.
Понятия есть, но...
Основы для построения логического пространства.
Основания счетной логики.
Задачи, задачи…

5. Функциональные и электронные схемы.

Игры с числами.
Изображение элементов и их моделей.
Схемы логических элементов счетной логики.
Схемы узлов и счетчиков …

6. Управляемая эволюция.

Электронная Эволюция.
Программа «Управляемая Эволюция».
А почему бы и нет?

Литература:

3. Чуть-чуть математики …

Куда же без математики? Хоть и трудно с ней, но без неё совсем невозможно.

В этом разделе я попробовал показать некоторые несложные, но основные сведения, без которых невозможно понять смысл дальнейших действий.

Мне кажется, что мы немного замкнулись в применении систем счисления. Что и говорить, хорошие системы. Двоичная, десятичная, восьмеричная и их комбинации. Но, и на солнце есть пятна. Эти системы имеют и недостатки.

Сегодня основным достоинством двоичной системы счисления считается бинарная запись. Это когда есть только 0 и 1. Но бинарную запись можно применить не только в двоичной системе счисления. Есть и другие. Их применение, возможно, сдерживается неизвестностью в широких кругах. Несколько таких систем я здесь показал.

Некоторые основные понятия математики, такие как число, разряд, настолько привычны и очевидны, что забывается их изначальное предназначение. Позиционная система записи возникла из графического понимания. Из лунок на песке, корзин…, вот тут возьмем, а сюда положим. Давайте вернемся к геометрии числа, где каждый разряд, это место в пространстве или на плоскости. И это место определяется формулой только той системы счета, в рамках которой и существует число. Разные системы, и числа разные, и их геометрия различна.

И вдруг оказывается, что запись числа, даже в рамках принятой позиционной системы может быть неоднозначной. Графическая форма отображения числа, богаче принятой – линейной. У чисел есть несколько путей развития, но линейная форма записи не дает этого увидеть.

Вот такие мелочи мы и посмотрим.

Математика природы.

Существует ли математика Природы? Вопрос насколько странный, настолько же закономерный. С одной стороны она создала сложнейшие, с математической точки зрения, явления и объекты. Одно из ее творений — человек.

С другой, она не умеет считать. Ее счет заканчивается на цифре 1. Дальше уже – много. Она понимает, что такое часть, но только как 1 в соотношении с «много». Вся ее математика крутится у 1. Ничего нет (0) Есть что-либо (1) Много. Все, что дальше, уже за пределами определения. Оно есть, но все это уже снова только констатация, что оно есть(1) и оно – часть чего-то большего (0,111…).

Природа почти не понимает равенства. В общем случае, одинаковых единиц не должно быть. Все единицы имеют и должны иметь индивидуальные отличия. Не должно быть и двух равных половин, это нарушает счет. В составе целого все части разные и всегда одна будет больше остальных. Симметрия возможна только в пределах правил счета.

Соотношения эквивалентности.

Вот эти основные соотношения:

1 0,1(11111…) 1(0) 1,1 1+0,1 1(0) 1+0,1(111…) 1+1 1+1+…+1 0,1111… …11110,1111…

(2)

Эквивалентность — соотношение двухстороннее. Один и тот же объект или явление следует рассматривать сразу с двух сторон: Объект или явление, как единичный и самостоятельный. И, как часть, более общего единичного объекта другого уровня.

Рассмотрим их чуть подробнее.

0,1111… Рост взаимовходящих объектов любой иерархии все равно, и, прежде всего, единичный объект. Сложение и умножение, только различные пути роста единичной структуры.

Применяемые системы счисления.

Разговор о системах счисления применяемых природой сводится к применению законов счета различных систем в количественном диапазоне от 0 до 2. Количество в 2 единицы взято только из соображений, что это первое целое число больше 1. Уже из категории «много».

Собственно, что необходимо для счета? Единица счета, входящая в какую-либо систему. И единица системы счисления. Это различные понятия. Но, обе они – единицы. Только первая имеет рациональное содержание, выражаемое целым числом, а вторая, единица системы счисления и ее основание, может иметь и иррациональность. Как число Ф= 1,618…, основание системы Бергмана и кодов Фибоначчи [16,17].

Соотношение 1= 0,11111… справедливо в двоичной системе.

Соотношение 1(0)= 0,11111…, справедливо в системе Бергмана, т.е. сумма всех разрядных единиц дробной части равна основанию счета – единице системы.

Соотношение 1(0) = 1+0,1= 1,1 справедливо в системе Бергмана. Это несимметричные единицы сложения. Например, правая и левая. Их сумма дает единицу нового разряда, что эквивалентно единице с качествами единиц, ее составляющих.

Соотношение …111= 0,111… справедливо в единичной системе счисления. Из этого соотношения следует, что: 1+1+1…= 0,111…, сумма разных событий, явлений или объектов всегда составляют один объект или явление.

Таким образом, идет постоянное перетекание систем счисления из одной в другую, от единичной до двоичной, только с одной целью – сохранить единичность каждого отдельного события, при сохранении его же, как составной части события более крупного масштаба. Многообразие отдельных единиц в составе одного целого, а какая при этом будет система счета — неважно.

Но, это важно для нас. Здесь начинается вся математика. В этих нечетких соотношениях.

Системы счисления.

Нет хороших или плохих систем счисления, есть хорошее или плохое их применение. Разговор пойдет о системах счисления, не очень знакомых широкой публике.

Единичная система счисления, это техническая форма решения задачи выбора и формализации простейшего принципа движения единиц в составе конструкции числа.

Уникальные свойства имеют системы счисления на основе числа Ф. Они стоят на первом месте в борьбе с ошибками, возникающими при передаче и хранении информации. Для разработчиков компьютеров и компьютерных сетей это качество в выборе системы счисления является решающим. Но, все в мире относительно…

Система Бергмана.

Разработана Джорджем Бергманом в 1957 году в США.

Классическая система счисления Бергмана, кроме традиционного формирования разрядов, использует свойство степенной функции Ф:

(3)

Где:

(4)

Это число Фидия, или «золотое сечение».

Система Бергмана – полномасштабная позиционная система счисления с иррациональным основанием Ф. Она позволяет проводить с числами все арифметические действия в принятом порядке, с учетом свойств и правил счета этой системы. Складывать, вычитать, умножать и делить.

Каждое новое значение функции может быть получено сложением двух предыдущих и, соответственно, единица нового разряда получается сложением единиц двух предыдущих заполненных разрядов числа. Основное правило роста разрядности числа 011 =100, т.е. старший разряд — это сумма двух предыдущих, а не только произведение, как во всех остальных системах счисления. Основной формой записи числа является запись единицами старших разрядов 100, а число 011 — эквивалентная, временная форма записи, которая при окончании операции вычисления должна быть переведена в основную. Пример: Число 11111, исходя из основного правила, существовать не может и может рассматриваться только как временная эквивалентная запись числа перед преобразованием его в нормальную форму, т.е. 11 111 = 100111 = 101001.

Еще одна особенность: 100+100 = 100+011 = 111= 1001. Вот какие преобразования надо провести, чтобы сложить два одинаковых числа или единиц в одинаковых разрядах этих чисел. Для правильного сложения одно из чисел должно быть представлено во временной эквивалентной форме..011…, как мы делаем при вычитании из пустого разряда в любой системе счета, занимая единицы из соседнего разряда. Здесь это постоянная операция и при сложении одинаковых разрядных единиц и при вычитании из пустого разряда. Давайте посмотрим, как будет выглядеть запись первых чисел натурального ряда в этой системе счисления:

1= 1

2=10,01=1+1

3=100,01=10,01+1=11,01

4=101,01=100,01+1

5=1000,1001=101,01+1=110,1001=

6=1010,0001= 1000,1001+1=1001,1001

7=10000,0001=1010,0001+1=1011,0001

8=10001,0001=10000,0001+1 и т.д.

Видите, как быстро растет число? Такое положение возникает в результате того, что десяток не содержит целого числа единиц, т.к. он меньше 2, и сложение 1+1>Ф, дает следующий разряд с переполнением. А так как, мы складываем единицы нулевого разряда, у нас одинаково быстро нарастает как целая часть числа, так и дробная. С другой стороны, такое быстрое нарастание разрядности может иметь и свои плюсы. Хорошо отслеживается динамика изменения числа. Каждая новая добавленная единица вызывает значительные преобразования результата. Часто возникает симметричность числа. Это видно на примере натурального ряда. Числа 2,3,4,7,8 имеют симметричное отображение относительно запятой, или относительно первого разряда. Подробнее об этой системе счисления можно узнать в книгах А.П Стахова, или на его сайте в Интернете. Там все строго и научно.

Коды Фибоначчи.

Эта система представления числа была предложена бельгийским врачом Эдуардом Цекендорфом в 1939 г., а теоретическое обоснование у нас она получила в работах А. П. Стахова.

Последовательность Фибоначчи: 1,1,2,3,5,8,13,…

Число Ф здесь присутствует, как предел отношения соседних членов последовательности. Общая формула этой последовательности:

С n= C n-1+ C n-2

(5)

Это означает, что каждый новый член последовательности, это сумма двух предыдущих.

Из последовательности можно сделать систему счисления. Вот как выглядят в ней первые числа натурального ряда:

1 = 1= 0+1

2 = 10=1+1

3 = 100=10+1=11

4 = 101=100+1

5 = 1000=101+1= 110

6 = 1001=1000+1

7 = 1010=1001+1

8 = 10000=1010+1=1011=1100

9 = 10001=10000+1 и т.д.

Единица старшего разряда в числе – сумма единиц двух соседних младших разрядов.

А потому число этой системы счета в развернутой форме не может иметь две единицы подряд в соседних разрядах: 10+1=011= 100. Это основное правило формирования числа в этой системе счета. Такая система, строго говоря, системой счисления называться не может. Она не имеет дробной части. Для нее специально разрабатывались правила умножения и деления. Это система представления числа. Что и отражено в названии системы – коды Фибоначчи.

Разработка такой счетной системы вызвана необходимостью. Нужна была система счета, которая бы обладала свойствами счета Бергмана, но не давала иррациональных и дробных чисел при переводе в нее целых чисел из другой системы счета. Посмотрите, как выглядят целые числа натурального ряда в системе Бергмана, и вам сразу будет понятно, о чем я говорю. Сегодня, на основе кодов Фибоначчи разработаны новые системы счета.

Даже я приложил к этому руку. Чуть-чуть. Добавил еще один единичный разряд в позиционное представление числа. Получились числа с лишним разрядом, если сравнивать с кодами Фибоначчи. Вот мои основания для этого шага:

Счетная единица, попадая в эту систему счета, становится десятком, потому что большей счетной образующей у нас нет. Если рассмотреть любую систему счета, то можно увидеть, что постоянной величиной является десяток. Он задает систему счета. По количеству единиц в десятке чаще всего и называют систему счисления: десятичная, двоичная и т.д. А так как любое число в нулевой степени равно единице, то она и принята за счетную единицу. Счетные единицы набираются в нулевом разряде числа до его заполнения и потом образуют основную единицу формирования системы — десяток. Десяток является постоянным коэффициентом в системе и определяет пересчет количества счетных единиц в число, сформированное по правилам этой системы. В нашей системе счета нет другой постоянной величины, кроме единицы, так как разряды неравномерны и не содержат общего постоянного множителя для расчета веса единицы следующего разряда. Единица нового разряда образуется сложением единиц двух предыдущих разрядов. И первый разряд должен отличаться от единицы, да и нулевой разряд должен быть выделен. А в нем, в нулевом разряде умещается только одна единица. И в первом тоже, но переполнения нет. Но единица у нас – десяток. Первая же счетная единица заполняет нулевой разряд, и переводится в первый разряд, т.е. в разряд десятков. Так мы это и записываем 0+1=10. Но, мы помним, что единица первоначально помещается в нулевой разряд, а лишь потом переходит в первый разряд. Полная запись такая: 00+1=01=10. Если первый разряд уже заполнен, то следующая единица задержится в нулевом разряде на период преобразования числа в основную форму записи или на период проведения счетной операции. А потому: 1 = 10, 2=100, 3= 1000 и т.д.

Но, придуманное мною, никак не меняет расчеты, а лишь все усложняет и запутывает, хотя и формально верно. Я бы не стал и вспоминать об этом, если бы не … два единичных разряда. Это обстоятельство стало отправной точкой геометрического представления числа.

Иррациональная система счисления.

Никаких данных о разработке этой системы счисления кем-либо у меня нет. Так что, пока это моя вариация на тему.

Нечетные степени числа Ф могут быть основой системы счисления. Разрядная шкала системы:

Ф⁽²ⁿ⁺¹⁾,…., Ф⁵, Ф³, Ф¹, Ф^-1, Ф^-3, Ф^-5,…., Ф^-(2n+1)

Как видно, разрядная шкала системы счисления не содержит разряда счетных единиц – Ф⁰, и единица счета не является счетной единицей в этой системе. В этой системе, представление единицы счета выглядит так: 0,1111111111…

Единицей счета в этой системе становится Ф, а основанием – Ф².

Представление числа неоднозначно. Как и во всех системах счисления с основанием Ф, есть свернутая и развернутая форма представления числа: 021111…=100000…. Или 02220 … = 10101…

Например: 2,11111… =10,0. Это вытекает из соотношений:

Ф+1=Ф2

(6)

и

Ф2+Ф= (Ф+1)+Ф= 2Ф+1=Ф3

(7)

Число Ф, это счетная единица для данной системы счисления и ее основание:

Ф=1,0

2Ф=2,0

3Ф=10,1

4Ф=11,1

5Ф=12,1

6Ф=20,2

7Ф=21,2

8Ф=101,01 и т.д.

Числа натурального ряда 1,2,3, выглядят гораздо сложнее:

1= 0,111111…

2= 1,01111…

3= 1,2011111…

4= 2,1011111…

5=10,10111111…

Основные правила преобразования числа в этой системе счисления:

0220 =1001

(8)

и

020+ 010= 030=101

(9)

такая ситуация возникает при суммировании разрядной единицы с полным разрядом.

Все правила преобразования справедливы для всех разрядов числа в этой системе счисления.

И еще:

1,1111..*1 = 10

(10)

Это следствие из:

(Ф+1)Ф= Ф3

(11)

Ф в этой системе, это счетная единица и умножать на 1 – нормальная операция.

Система счисления обладает повышенной иррациональностью. Но, с другой стороны, это дает некоторую свободу в трактовке получаемых чисел.

Пока я не вижу применения такой системы счета в вычислениях. Она представляет интерес в большей степени, с философской точки зрения. Все числа этой системы счета иррациональны. Или по форме записи, или по содержанию.

Взаимообратные числа и их применение в счетных системах.

С формулой, примененной А.А. Татаренко [36] для получения чисел, символизирующих по его мысли Гармонию, я знаком с 2003 года. Я не очень большой сторонник разного рода поисков всеобщей Гармонии на основе какого-то одного принципа или закона. Эстетический и художественный взгляд на Гармонию, допустим, через призму «золотого сечения», это одно, а разного рода философские и не очень, теории Гармонии – другое. И потому, на формулу, предложенную А.А. Татаренко, я смотрел большим недоверием. Я и сейчас не очень верю в ее «гармоничность».

Но, формула есть. И на числа я смотрю не в первый раз. Раздумывал, прикидывал, а потом время от времени записывал свои зарисовки на эту тему. Интересные, взаимообратные числа…

Вот что получилось в первом приближении…

Способ получение взаимообратных чисел,
предложенный А.А. Татаренко.

Формула нахождения корней линейного квадратного уравнения типа ax²+bx+c=0:

(11)

При а = 1; b = — 1; c = -1 эта же формула вырождается в:

(12)

Теперь осталось заменить –b на переменный фактор, предложенный А.А. Татаренко, видимо, имеющий название «модуль», и обозначенный как m, для получения взаимообратных чисел Т_m.

Получаемые числа представляют собой корни линейных квадратных уравнений. Эти уравнения и сами числа, видимо, еще предстоит анализировать.

Формула (12) принимает вид:

(13)

Где изменение m задается. Например, m = 1,2,3, …

Придание величине m статуса «модуля» вызвано важностью этого параметра. Для этого стоит только посмотреть на числа, генерируемые по формуле (13). Числа приведены в таблице 1. Формула дает пару чисел, отличающихся только целой частью.

m	Tm1	Tm2 =	Tm — в виде дроби	Название числа
1	1.6180339….	0,6180339….		Золотое сечение
2	2,4142135….	0,4142135…	1+
3	3,3027756…	0,3027756…
4	4,2360679…	0,2360679…	2+
5	5,1925824…	0,1925824

Модуль m соответствует целой части получаемых чисел. Дробная часть может иметь название «мантисса» по аналогии с числами логарифмов. Это самостоятельная и определяющая часть взаимообратных чисел. Очень возможно, что формулировки и мои названия вскоре будут изменены, но пока, за неимением других, я буду пользоваться этими. Таким образом полное взаимообратное число имеет целую часть, определяемую модулем, и соответствующую дробную часть _m:

Tm = m+

(14)

Мне кажется, что эти числа еще будут исследоваться, и потому, больше на их структуре мы останавливаться в этой работе не будем. Единственное, что следует выделить особо, так это:

Tm =1

(15)

Это свойство и дает главный признак для признания подобия основных свойств взаимообратных чисел свойствам единственного, известного до этого момента числа Ф, числа Фидия или «золотого сечения», и объединения этих чисел в особый класс.

Числовые последовательности на базе взаимообратных чисел.

Взаимообратные числа в силу подобия их свойств свойствам числа Ф, позволяют сформировать числовые последовательности на основе каждого такого числа. В этом смысле последовательности Фибоначчи и Люка могут служить эталонами и технической основой. Эти последовательности различаются способом формирования.

Числовые последовательности типа последовательности Люка.

Последовательность Люка сформирована на базе округления очередного значения Фⁿ до ближайшего целого числа по формуле:

Ln=Фn+(-1)nФ-n

(16)

Как последовательность, она имеет вид:

1,3,4,7, ….

Возьмем этот механизм формирования за основу и сформируем последовательности для некоторых взаимообратных чисел.

Например, для числа T₂ = 2,4142135 такая последовательность буде представлена так:

…2,6,14,34,82, ….

Подобным образом можно сформировать целочисленные последовательности для любого числа Тm. Остается нерешенным вопрос о формировании начала последовательности.

Числовые последовательности типа последовательности Фибоначчи.

Основное отличие этого типа последовательностей от последовательности Люка в механизме получения следующего члена последовательности из значений предыдущих. Механизм раскрыт в формуле:

Kn = Kn-1 + Kn-2

(17)

Механизм получения последовательностей для любого Tm должен быть подобен (17). Очередной член последовательности представляет собой сумму двух предыдущих,… но, в формуле должен быть учтен и модуль m числа Tm. Это можно сделать так:

Kmn = m K mn-1 +Kmn-2

(18)

Где: Km – член числовой последовательности на базе числа Tm.

m — модуль числа Tm.

Например, сформируем последовательность чисел от Т₂:

1, 2,5,12,29,60, ….

Вариации в начале последовательности, естественно, еще будут уточняться, и, поэтому, сформированная последовательность такого типа, не единственная для этого числа. Но, как пример, вполне показательна…

Счетные системы на базе взаимообратных чисел.

Вполне естественным будет и здесь использовать давно разработанные аналоги для Ф – систем. Основными, для наших построений, можно взять систему Бергмана и коды Фибоначчи.

Начнем мы с полномасштабных систем типа системы Бергмана.

В качестве основания системы может быть использовано любое число Tm. В качестве основы для формирования счетной системы по канонам позиционного принципа изображения числа используется степенная функция:

Y = (Tm)n

(19)

Число, как и в классических системах, будет суммой разрядных единиц. Максимальную емкость разряда в разрядных единицах таких систем определяет модуль m. Это необходимый эквивалент основания рациональных систем. Для числа T₂ = 2,4142… каждый разряд имеет емкость 2 разрядных единицы.

Делаем счетную систему.

Первым шагом определяется величина разрядной единицы для каждого разряда системы:

1=1 = (T₂)⁰

10= T₂

100= (T₂)² и т.д.

Теперь определяем механизм получения новой разрядной единицы при заполнении разрядов числа. В системе Бергмана действует механизм, названный А.П.Стаховым — «свертка – развертка».

Это:

100 = 011

Т.е. каждая новая разрядная единица формируется при заполнении двух соседних разрядов. Этот механизм справедлив для всех счетных систем на базе числа Ф. Он отражает и механизм формирования последовательности Фибоначчи по формуле (7). В таком случае механизм образования новой разрядной единицы для счетной системы на базе T₂ = 2.4142…. будет иметь основой формулу (8). А операция преобразования числа «свертка – развертка» примет вид:

100 = 021

Остается только вывести общую формулу «свертки – развертки» для любого Тm:

100 = 0 m 1

(20)

Где m — модуль взаимообратного числа, используемый в качестве показателя емкости разряда.

Теперь механизм действия счетной системы становится понятным. Можно показать первые числа натурального ряда в записи системы, например, Т₂:

1 =1

2= 2

Т₂ =10

3= 10.0100010001… в периоде

4=11,010001000100…

5 = 12,010001…

(Т₂)² = 100

6= 100,0000010001 …

7 =101,0000010001…

8 =102,0000010001…

9=110,1000000010…

10= 111,1000000010…

И т.д. Такое резкое появление и расширение дробной части числа при суммировании счетных единиц – характерная особенность таких счетных систем. Я не показываю самого механизма преобразования, но он прост.

Интересно, что, например в числе 3 =10,01000… мы получили такой вид числа от переполнения нулевого разряда при операции 3 =2+1= 10,001000…

В системе Бергмана этот момент выражается в виде 2=1+1=10,1. Принцип разложения очередной счетной единицы по разрядам дробной части числа вместе с формированием новой разрядной единицы при переполнении разряда сложения – характерная особенность таких счетных систем. С увеличением основания участие дробной части в формировании числа только усиливается.

Эта особенность и диктовала когда-то необходимость использования в качестве основы для формирования счетной системы какой-либо числовой последовательности, например, последовательности Фибоначчи для отображения количества счетных единиц рациональным числом.

Можно использовать тот же путь для формирования системы представления числа по типу кодов Фибоначчи.

За основу возьмем последовательность по m =2:

1,2,5,12,29,….

Все механизмы изменения и преобразования числа нам известны и можно приступать к формированию счетной системы:

1=1

2=10

3=11

4=20

5=100

6=101

7=110

8=111

9=120

10=200

11=201

12=1000 и т.д.

Примерно так идет счет. Эта система потому и названа системой представления числа, что она имеет «маленькие хитрости» организации счета. Например, в этой системе нулевой разряд имеет емкость наполнения только одну единицу. Это результат исключения дробной части из формирования числа. К сожалению, в подобных системах она отсутствует.

***

Я не даю больших выкладок в описываемом материале. Для этого будет другое время и другие возможности. И может быть, не у меня …

Не так это важно. Важно, что и формула А.А. Татаренко и взаимообратные числа позволяют существенно расширить математические горизонты, далеко за единственное когда-то в своем роде число Ф, известное с давних времен. Число Ф останется «золотым сечением» навечно, но, возможно, уже не уникальным числом, а только первым в ряду подобных.

Единичная система счисления.

Необходимость разработки единичной системы счисления.

Все началось с вопроса. Как можно считать, если счетной системы нет? Но, какая-то система упорядочивания все равно должна быть. Надо же как-то обеспечить равный доступ ко всем единицам и местам их размещения. Самое простое – выставить все единицы в линию…

Есть линия счета, хоть как-то упорядочивающая количество. На ней находятся места для единиц счета. Можно ставить единицы на эти места в каком-то порядке, что и покажет их количество.

Формализация числовой записи с определением порядка установки единиц на линии счета и потребовала формирования единичной системы счисления. Сначала казалось, что все просто. В записи N = 1111111… для получения количества надо просто суммировать единицы.

Принцип отображения взят самый понятный сегодня – позиционный. Законы формирования позиционных счетных систем хорошо известны.

При более детальном рассмотрении оказалось, что равенство 1 = 1ⁿ при n0 в единичной счетной системе существовать не может. Потом выявились и другие трудности. Задача перешла в теоретическую плоскость. Можно ли, вообще, такую счетную систему создать, и при каких условиях она будет существовать и работать?

Чем отличаются 1, 1⁰ и, допустим, 1³? С точки зрения математики – ничем. Но, записи, почему-то отличаются? Надо эти различия как-то закрепить. Хотя бы формально. Не выходя за рамки той же математики.

Практическая необходимость в такой системе возникает при подходе к электронным способам вычислений, коммутации множества одинаковых счетных каналов и т.д. Когда нет предварительной нумерации и кодирования. Как и в каком порядке их выбирать? Можно в любом, нам всё равно. Можно. Но, этот «любой» порядок должен быть хоть как-то формализован. На уровне 0 и 1. Дальше счет только мы знаем, а машина? Счетный импульс номера не имеет.

Единичная система счисления, видимо, разрабатывалась уже неоднократно. В этом я, кажется, далеко не первый. Известна разработка Таганрогского радиотехнического института. И вполне возможно, что они тоже не первые. Ну что же, жизнь требует.

Единичная система изначально искусственная. Для ее создания потребовалось применить «маленькие хитрости», впрочем, хорошо известные не только математикам. И формальные, ну, очень формальные правила…

Основы единичной системы счисления.

Основание счетной системы – 1.

Разрядная шкала:

1^-n,…1^-1,1⁰, 1¹,… 1⁺ⁿ

где n – любое целое число.

Позиционное представление числа подразумевает, что число — это сумма разрядных единиц разных весов. Так как, у нас основание содержит только одну единицу, но, формально, по аналогии с другими системами полный разряд должен содержать количество единиц на одну единицу или на ее долю, хоть малую, но меньше основания системы счисления.

Число при выполнении равенства 1=1ⁿ и n 0, в рамках этой системы счисления не может существовать. Возникает бесконечное переполнение, переходящее из одного разряда в другой, в сторону увеличения. Таким образом, единица, попавшая в любой разряд единичного числа, сразу начинает движение в сторону увеличения степени основания и не может остановиться. При этом ее вес как-то изменяется в соответствии с каждым новым разрядом, оставаясь, формально, постоянным по абсолютной величине.

Разделение единицы счета и разрядной единицы.

Для того чтобы число могло существовать в этой системе, надо разделить единицы счета и разрядные единицы системы.

Формально они разделены по определению. Мы лишь зафиксируем их различия:

• Разрядная единица в разных разрядах числа имеет разный вес.
• Единица счета обладает только одним весом. Этот вес принят за вес единицы нулевого разряда числа в этой системе счисления.

Введем формальное различие в написании этих единиц.

Единица со степенью — это разрядная единица, а единица без степени – это единица счета.

Единица счета формально должна иметь минимальный вес. Она должна быть меньше всех целых положительных разрядных единиц. Или емкость нулевого разряда должна быть больше счетной единицы. Соответственно, вес разрядной единицы должен быть меньше емкости разряда, иначе разрядная единица не сможет в нем удержаться.

Это приводит к определению единицы счета:

1= n0

(21)

где n- любое число, не равное 0.

Полная емкость нулевого разряда:

1+q=11

(22)

q- разность между весом единицы и полной емкостью разряда.

Она может быть сколь угодно малой, но должна существовать. Это основа устойчивости единичной счетной системы. О ней чуть позже…

А так же:

11n

(23)

при n 0

Формальные различия в записи правой и левой частей неравенства говорят о том, что неравенство формально может существовать, и чуть ниже мы закрепим справедливость этого неравенства определением различий.

Величина q.

Введем малую величину q:

q =1/

(24)

Величина q 0, потому для нее будут справедливы выражения:

q*n =q,

(25)

qn =q,

(26)

при n , n , n0.

Теперь введем эту величину, уже как определенную, в общую формулу (22) емкости нулевого разряда числа. Это необходимо для существования единичной системы и справедливо по отношению к другим системам счисления.

Воспользуемся формулой (22) для определения веса единицы счета:

1= 11-q

(27)

Соответственно:

q = 11-1

(28)

Таким образом, емкость нулевого разряда числа отличается от веса размещаемой в нем единицы счета на величину q. Это позволяет существовать нулевому разряду числа в рамках единичной системы счисления.

Получение веса единиц нового разряда числа.

Для формирования веса единиц следующих разрядов единичной системы счисления, подходит способ умножения.

Формально вес разрядной единицы в разряде 1⁰ составляет 1, а полная емкость разряда, соответственно:

1*(1+q) = 1*11 = 11

(29)

Десяток или основание единичной системы счета:

11=101

(30)

Это следствие из формулы (22), так как:

11 =1+q

(31)

Далее емкость разрядов числа равна:

11*11=12 11*12=13 и т.д.

(32)

Вес единиц каждого, более старшего разряда увеличивается в 1¹ раз.

Недостача величины q в каждом разряде удерживает разрядную единицу в рамках разряда, без его переполнения. Система счисления оказывается стабильной и работоспособной.

Число в единичной системе.

Одна единица счета может разместиться в нулевом разряде. Появление второй единицы вызывает переполнение разряда и перенос части содержимого в виде новой разрядной единицы в новый разряд. Переполнение разряда большое и остаток от суммы единиц остается в разряде.

0+1 = 1

1+1 = 11

1+11=111 и т.д.

Способы получения числа.

Число, полученное простым суммированием по формуле N=1+1+1+…, изначально будет иметь полную структуру:

1=1=0+1

2=11= 1+1

3=111= 11+1 и т.д.

Постепенно заполняются разряды числа в сторону увеличения веса, при сохранении полной структуры типа: 1111…

Число можно получить, например, умножением:

1*1⁵ = 10000

11*100= 1100

Более сложные действия, применяемые при получении числа, приводят к общей форме числа в этой системе счисления:

10111000110; 0,111011 или 100010 и т.д.

Как и во всех рациональных системах счисления, разряд числа этой системы обладает свойством независимости, т.е. изменение его состояния, если оно не приводит к переполнению, не отражается на состоянии соседних разрядов. Это, и хорошо, и плохо. В системах цифровой техники это свойство – основная причина головной боли специалистов по надежности и достоверности обработки, передачи и хранения информации.

Действия над числами.

Проведение математических операций с числами этой системы ничем не отличается от общепринятых. Не стоило бы на них и останавливаться. Сложение, вычитание, умножение, деление и т.д. проводятся обычным порядком с учетом системы счета.

Но, …

В числе единичной системы счисления форма отображения и его количественное наполнение расходятся окончательно. С точки зрения количественного наполнения числа: 1001 = 11=1100= 0,0101. Это противоречит позиционной форме отображения. Все эти числа имеют количественное наполнение по две единицы.

Количественное наполнение единичного числа, содержащего десятичную дробную часть в этой системе, к сожалению, может быть только целым.

Под десятичной дробной частью здесь и далее понимается дробная часть единичного числа в долях основания системы счета или его степени, полученная по формуле:

К = n1*101-m = n1/101m

(33)

Где: 10₁ =1¹

n₁- единичное целое число с полным нулевым разрядом;

m0

И потому, перевод дробного числа любой другой системы в полный единичный эквивалент с десятичной дробью невозможен. Например:

0,5=1/2₁₀=1/11₁

Всё. На этом можно остановиться. Так как дальнейшие преобразование простой дроби в десятичную затруднительны. Нет такого дополнительного множителя, способного превратить число 11₁ в число10₁ⁿ в знаменателедроби. По крайней мере, я не нашел.

Десятичная дробь в этой системе существует отдельно от простых дробей. Она отражает только преобразование числа в процессе умножения и деления на 10₁ⁿ.

С другой стороны, это и большое преимущество. Десятичная дробная часть единичного числа, это вторая ветвь развития числа. И к тому же совершенно независимая.

В данной системе счисления число становится самодостаточной величиной. Число, оно само по себе — число. Для него первичным становится процесс его получения, а количественная оценка вторична. Количество счетных единиц, составляющих наполнение этого числа, может быть одним, а форм отображения этого количества – сколько угодно. Число, в единичной системе, фиксирует порядок его получения, а количественное наполнение — какое получится. Форма явно превалирует над содержанием.

***

Показанные системы счисления могут быть применены для вычислений. Но считают они, прямо скажем, не очень. Семь потов сойдет, пока одно действие закончишь. Для этого дела есть более привычные и удобные счетные системы.

Но, все относительно. Двоичная система появилась еще в 19 веке, как курьез. Как абсурд, показывающий предел упрощения вычислительной системы. Её так и воспринимали до появления счетных машин.

Область применения этих систем не вычисления, а контрольные, регистрирующие и сравнительные функции. И технологические. Проверить, выбрать, сдвинуть, изменить, передать и принять с наименьшими потерями, … вот для чего эти системы. Для них число не результат вычислений, а только предмет обработки.

Число.

Давайте-ка, поподробнее разберемся с числом. Что есть – число?

Сегодня понятие числа включает в себя наполнение числа и его изображение. Об этом уже сложно говорить, настолько эти понятия привычны. И всё же …

Человек считает давно. Начиналось все, наверное, с камешков, палочек…

Чтобы как-то запомнить полученное количество, надо как-то это изобразить…

и назвать. Собственно, количество и стало основным критерием в понятии числа. Для нас число и обозначает количество чего-либо…. Результат счета. Вернее, форма запоминания этого количества. А привычное 1,2,3,… — первый счетный процесс. Любое число можно представить суммой единиц. N=1+1+1+1+…

Сколько палочек в коробке? Начнем вынимать по одной и считать. Можно наоборот, складывать палочки в коробку. В любом случае на последней палочке счет кончается. Это и будет количеством палочек в коробке или результат счета. Можно все единицы выставить в одну длинную цепочку, а можно сложить кучками — кому как удобнее. А как удобнее? И для чего…?

Изображение числа неразрывно связано с применяемой системой счисления. И требует организации. Постепенно были придуманы цифры и разработаны формы записи числа. Они и образовали различные системы. Сегодня изображение числа и определяется этими понятиями.

Итак, число – результат счета. В какую бы систему мы не вкладывали этот результат, количество единиц от этого не изменится. Меняется только форма записи. Числа получаются разные, а смысл их один и тот же — количество единиц.

Основная применяемая сегодня форма записи числа – позиционная. Т.е. число состоит из разрядов и в каждом разряде цифра. А разряд – новая степеньоснования счетной системы. Такая запись числа и определила название систем счисления. Позиционные. Каждый разряд имеет свое место в составе числа.

Форма записи числа и система счисления определяет применение и решаемые задачи. И наоборот, конкретная задача определяет применение той или иной системы счисления. Это две стороны одной медали. Очевидно, это определяется требованиями, которые мы предъявляем к форме записи числа и возможностями проведения дальнейших действий. Вот как определяет число Ньютон: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу».

Рис. 14. Число на разрядной оси.

Видимо, это основное определение числа. Число — это количество или отношение….

Алгебра дает расширение понятия числа и вводит его кодирование. Под числом А, например, понимается какое-либо число из известных нам. Под числом Х, У, неизвестные, которые надо найти решением. Алгебра же ввела понятие постоянной и переменной величины для числа.

Число стало и величиной, переменной, постоянной, кодированной, известной и неизвестной, но все так же — это количество и отношение….

На рис.8. показано число, установленное на разрядной оси, в соответствии с позиционным представлением, неизвестной системы счисления, неизвестной разрядности и наполнения разрядов. Какое-то число, какой-то системы счисления установлено на разрядную ось….

Под неизвестными Х скрываются разряды числа установленного на разрядную ось. Фактически, одну неизвестную Х мы заменили ее разрядным эквивалентом на разрядной оси. Теперь, по мере роста числа разрядные неизвестные фиксируют заполнение очередного разряда числа, не определяя его. Каждому разряду можно было бы дать свою неизвестную, но это нецелесообразно, т.к. таким изображением мы определяем только изменение разрядного состава числа. С ростом числа растет и количество используемых разрядов на разрядной оси.

Число стало цепью переменной длины из связанных разрядов неопределенного наполнения.

Будет ли такое изображение числа соответствовать его определению?

Очевидно, будет. Только надо многое уточнить, чтобы это число стало определенным и конкретным. Но, такое изображение числа может раскрыть некоторые его свойства, ранее невидимые.

Представленный вариант изображения числа позволяет отказаться от его конкретного количественного наполнения, но оставить позиционную форму представления и изображения.

Разряды числа

Число состоит из разрядов. В разрядах, как в корзинках, находятся единицы соответствующего «веса». Количество единиц в разряде может быть любым, но не больше «вместимости» этой корзины — разряда. Если разряд уже «полный», то попадание в него очередной единицы вызывает его «переполнение» и «обнуление», т.е. перебрасывания всего содержимого в следующий разряд, как очередной единицы счета, теперь уже «веса» этого разряда. Понятно и привычно. Но если отбросить понятие «вес», такой процесс представляется как движение единицы по разрядам числа. Такое движение возможно только при определенных условиях, в частности при переполнении разряда. Процесс переполнения и обнуления разрядов может начаться только с разряда сложения и продолжаться до незаполненного разряда. Под разрядом сложения мы понимаем тот разряд числа, в котором производится операция сложения.

Уточним понятия заполнение и переполнение разряда.

Пустой разряд – отсутствие единиц в разряде.

Неполный разряд – в разряде имеются единицы, но их количество, более чем на одну единицу меньше основания счетной системы.

Разряд можно считать полным, если количество единиц в разряде на единицу или ее долю меньше основания счетной системы.

Разряд можно считатьзаполненным, если в нем находится количество единиц, равное основанию системы. Это состояние кратковременное и заполнение разряда предполагает последующую операцию — обнуление. При этом из всего содержимого разряда формируется единица следующего и передвигается туда, а этот разряд остается пустым.

Переполнение разряда возникает, если в нем находится количество единиц больше, чем основание системы счисления. Понятно, что это такое же кратковременное состояние, как и заполнение разряда. Далее формируется единица с весом следующего разряда числа, а остаток или остается в этом разряде, если есть целые единицы этого разряда, или он распределяется в младших разрядах по весу единиц остатка. Как, например, в системах счета с иррациональным основанием.

Видимо, к разрядным математическим операциям следует отнести только две — сложение и вычитание. Остальные математические действия производятся над числами, а на разрядах лишь отражаются. Как результат вычислений. Или как методика и программа действий по программе изменения числа. Умножение, деление, возведение в степень и т.д. – действия над числами.

Числовая цепь.

Цифровая запись применима для нескольких конструкций. Самая распространенная – число в позиционной форме. Каждая цифра – разряд.

Следующая форма цифровой записи – цифровая последовательность. Такая последовательность не имеет разрядов, и не может называться числом, просто последовательное расположение цифр. Например, номер телефона. Она может быть ограничена в количестве мест, а может и не иметь ограничений по длине. Цифровая последовательность фиксированной длины часто называется словом, машинным словом, байтом и т.д. Термин меняется в зависимости от длины цифровой последовательности. Иногда, под эти обозначения попадают и числа фиксированной длины или разрядности. Но это уже издержки терминологии.

В общем случае, длина числа ничем не ограничена. И если нам всё равно, какой вес имеют единица самого старшего разряда этого числа, тем более, что мы намеренно рассматриваем число в режиме постоянного роста, то имеет прямой смысл рассматривать только ограниченную часть неограниченно растущего числа. Например, только первые десять разрядов. Все остальные разряды числа, хоть и имеются, но нас они уже не интересуют. Нас интересует только эта часть числа, ограниченная первыми десятью разрядами.

Если, вместо чисел мы рассматриваем их отдельные части, которые единого числа уже не представляют, но состоят из последовательности цифр, составляющих часть какого-то бесконечно большого числа, то эту часть числа и можно назвать числовой цепью. Числовая цепь может иметь ограничения.Смысл ограничения заключается в ограничении влияния единицы переполнения движущейся по числовой цепи в процессе преобразования числа. Введем ограничение контроля. Ну, например – С – «стоп контроля». Всё, что далее, нас не интересует и не влияет на этот ограниченный участок.

Если единица переполнения при движении влево, за пределы установленного нами контрольного разряда, перестает влиять на числовую цепь, и не изменяет ее состояния, то мы говорим, что числовая цепь ограничена слева или сверху и записываем ее как С1010101010 ….

Если единица переполнения при движении вправо, за пределы установленного нами контрольного разряда, перестает влиять на числовую цепь, и не изменяет ее состояния, мы говорим, что числовая цепь ограничена справа или снизу и записываем ее как …10101010С.

Мы можем принять и двухстороннее ограничение, в записи это может выглядеть так: С10101…010101С. В этом случае число ограничено целой частью, косвенно определяет единичный разряд и не включает дробную часть. В любом случае число, образующее числовую цепь, может быть и бесконечно большим. Введение в запись числовой цепи дополнения … 0,0…говорит о том, что число включает и возможную дробную часть после запятой, и дополнительно говорит о направлении увеличения разрядности числа. Мы так и напишем: С1010 …0,00 …С. Ограничение числовой цепи до единичного разряда может быть сделано и таким способом …01010,С.

На числовых цепях удобнее рассматривать процесс переноса и обнуления, т.к. мы рассматриваем динамику этих процессов. Этот процесс не рассматривался ранее отдельно по простой причине — во всех, применяемых сегодня, системах счета этот процесс не является основным. Он рассматривался как необходимая и естественная форма увеличения числа при счете, вместе с процессом заполнения разряда.

Структура числа

Частота заполнения разряда при счете зависит от применяемой системы счета. И здесь уместно ввести понятие структуры числа. Если посмотреть заполнение разрядов какого-либо числа, можно построить какую-то кривую, отражающую это заполнение, изменяющуюся от разряда к разряду. Сразу можно выделить две конечные картинки этой кривой — «нулевое» и «полное» заполнение.

Полученную кривую заполнения разрядов и можно определить как структура числа. А два полярных ее положения, как нулевая и полная структура числа. Эти понятия мы и будем использовать в дальнейшем.

Счет и движение разрядных единиц

С точки зрения математики простейший счет, это — N= 0+1+1+1+1+… — последовательное сложение счетных единиц. Где N и есть число, как результат сложения. Оно меняется с каждой новой единицей. Меняется результат, меняется и его изображение. И так после каждой единицы. Число все время изменяется. Интересно как?

Рис. 15. Движение разрядных единиц от разряда суммирования

Давайте посмотрим на изменение числа в процессе счета. Теперь нас не интересует результат, мы будем смотреть на процессизменения числа. Вот заполнился один разряд,и единица перепрыгнула в следующий разряд. Вот снова прыгнула…,вот заполнился и другой.Теперь сразу две единицы в разных разрядах перепрыгнули в соседние… и т.д. Если отвлечься от «веса» разрядных единиц, то этот процесс можно назвать движением единиц по разрядамчисла. Как на рис.15.

А тем временем, счетные единицы, как палочки в коробку, все поступают и поступают. Процесс счета идет, число изменяется и растет.Все число уже и не определить, … остается следить лишьза частью числа или за числовой цепью.

Вот числовую цепь мы можем определить. Указать количество разрядов в контролируемой цепи, определить разряд, в который и поступают единицы счета, степень влияния на эту цепь разрядов, не попавших в контролируемый участок и т.д. Счет продолжается, … бегут единицы по разрядам числа. Насмотрелись? Остановим счет и подумаем. А что же мы наблюдали? Мы наблюдали динамику изменения числа. Интересовал нас результат? Если честно, то не очень. А изменения числа? Да, интересно. Нас даже не очень интересовало текущее состояние разрядов. Ну, заполняется и ладно. А вот момент обнуления разряда и прыжок единицы интереснее. Кто из нас не ждал момента… 999, … вот сейчас, есть…1000! И чем длиннее это преобразование числа и движение единицы, тем интереснее.…

Оказывается, понимание счета может быть разным.

Рост и развитие числа

Рост числа – направление увеличения числа.

Развитие числа – увеличение его разрядности в направлении движения единиц по разрядам числа. Это увеличение может совпадать с направлением роста, а может и не совпадать.

Во время счета при переполнении разряда сложения мы формируем единицу следующего разряда и передвигаем в следующий, старший разряд. Теперь разберемся с остатком. Если остались целые единицы этого разряда, то оставим их здесь, а если только мелочь, то поищем ей место в подходящих младших разрядах. Нашли подходящий разряд – передвигаем в него остаток, но так чтобы не мешал. А он может, если разряды зависимые. Откуда же мелочь, если складывали только целые единицы? Она появляется, если основание системы счисления не кратно единице. В процессе суммирования счетных единицэти остатки и образуют второй поток разрядных единиц — в сторону дробной части. Движение разрядных единиц в сторону дробной части числа- это результат иррациональности основания системы счисления.

Таким образом, в рациональных системах счисления есть только одно направление движения единиц, а в иррациональных – два.

В системе счета Бергмана число развивается сразу в двух направлениях. И в сторону увеличения числа, и в сторону расширения его дробной части.

Число – физическая величина.

При таком подходе можно рассматривать число, как величину, имеющую направление увеличения и вектор развития. Число, как переменная величина, получило динамические свойства. Оно может появляться, увеличиваться, расти и развиваться в разных направлениях…

И хотя мы все так же говорим о позиционных системах счисления, положение числа на разрядной оси стало неопределенным. Мы можем говорить лишь о разряде сложения наших счетных единиц, как о постоянной точке в составе числа. И все, пожалуй.

Давайте вспомним такую лесенку — точка, линия, плоскость, объем,… Она имеет к этим трансформациям числа прямое отношение. Все, известные мне сегодня, системы счисления — позиционные. Может быть, существуют и другие, но нас вполне устроят и эти.

Число представляет собой набор разрядов, а каждый разряд формируется по правилам системы счета и представляет собой особый знак — цифру. Цифра в разряде — это число разрядных единиц, попавших в этот разряд в процессе счета, при образовании числа. В формировании числа, разряд, наиболее постоянная величина. Количество единиц в разряде может меняться, а разряд остается. Разрядная шкала — величина постоянная, для любой системы счисления. Число, лишь занимает нужное место на этой шкале. Иногда мы задаем постоянную разрядность чисел, в этом случае все лишние, неиспользованные в формировании числа разряды, мы заполняем нулями. Но это уже тонкости.… Для нас, многоразрядное число — большое! Мы больше себя пугаем, чем даем реальную оценку числу! Длинное — не значит большое, это немного разные вещи.… Давайте не будем рассматривать абсолютную величину числа и будем рассматривать только разрядность числа, как самостоятельную величину, не зависящую от эмоциональных факторов — большое, маленькое.… И примем понятие — длинные числа, не особо утруждая себя учетом реального количества единиц, составляющих его величину. Длина, как физическая величина, должна чем-то измеряться и из чего-то складываться. Уместно, применить геометрические понятия — линия, отрезок, точка... Если задать точке какой-либо размер, то линию вполне уместно измерять и определятьточками. В наших рассуждениях длина отрезка линии измеряется количеством размещенных на ней точек. Итак, точка — одноразрядное число или один любой разряд в числе.

Линия- вся шкала разрядов или разрядная ось, какой — либо системы счисления. Это — из «бесконечных»…

Отрезок — число, в нашем обычном понимании, каждая точка которого — разряд.

Если вместо понятия отрезок, использовать понятие вектор, то стрелка показывает направление роста или направление изменения числа. Вектор, даже лучше отражает наши построения. Разрядная ось — натуральный ряд:1;2;3;4;5…- номер разряда числа. Теперь число может быть точно установлено на этой координатной оси. Дальше, формирование системы координат уже не представляет большой трудности. Напомним самим себе, что упомянутая «лесенка», это результат перемещения каждого нового получаемого «объекта», параллельно самому себе в одном из направлений заданной системы координат. Это понятно и естественно. Теперь дело за малым….

Возьмем точку, сделаем из нее отрезок, переместим отрезок и получим плоскость…, и так далее, по лесенке многомерности вверх. Таким образом, число может быть точечным, линейным, плоским, объемным. На таких построениях удобно рассматривать их взаимодействия и его результат в процессе счета.

Пространственные структуры развития числа.

Теперь попробуем построить пространство развития числа для разных систем счисления. И посмотрим, как в нем будет происходить развитие числа в результате счета.

При счете, сложение как форма математической операции предполагает и геометрический сдвиг при совпадении каких-то условий. Набралось счетных единиц на новую разрядную единицу – сдвигаем. Чем быстрее набирается, тем быстрее идет сдвиг. Счет определяет движение единиц на геометрическом пространстве числа. Скорость движения определяется системой. Чем меньше основание системы, тем быстрее идет движение единиц. Позиционная система представления формализует отображение такого движения. Мы фиксируем точки и шаг перемещения. Не куда попало, а в следующую точку. Позиционное представление системы счисления сделано на предельно сжатом пространстве одномерной оси. Такое представление формирует только одну возможную форму оси – разрядную. Тут вам и шаг перехода, и вес движущейся единицы.

Двоичная система.

Но, если попробовать показать процесс и законы сбора единиц в число в любой системе счета, применяя позиционный принцип, то нам придется использовать плоскость или даже объем. Например, рис.16. Треугольники — это плоскости сложения. В основания этих треугольников попадают счетные единицы, и после заполнения основания — разряда они складываются и формируют единицу старшего разряда в вершине, переходя в следующий разряд уже в виде его разрядной единицы. В принципе, порядок и очередность заполнения не установлен. Заполняется любое свободное место.

Рис.16. Плоскость сбора двоичного числа. Параллельный сбор.

Видно из чего состоит двоичное число. Сколько и каких разрядов надо заполнить в основании этой пирамиды, чтобы счетные единицы из своих знакомест перекочевали в вершину. И собрались в эквивалентную им одну единицу вершинного разряда.

При введении нового разряда числа необходимо достроить симметричную ветвь такой же пирамиды и поставить новый вершинный разряд.

В основании любого треугольника плоскости сложения два знакоместа. Ну, так и система – двоичная. И все бы хорошо, но в такой системе отображения надо контролировать свободные и уже занятые пути наверх.

Рис.17. Одномерное двоичное число на разрядной оси. Последовательный сбор.

Чтобы не путаться в путях движения наверх была придумана система последовательного сбора. Она разместилась на одномерной разрядной оси, как на рис.17.

Подобным образом можно построить число в любой рациональной системе счисления. Возрастет лишь количество связей. Количество треугольников плоскостей сложения соответствует основанию системы счисления. Для двоичного счета их два, для десятичной – десять. Все треугольники плоскостей сложения разрядных единиц одного веса выходят из одного основания. Основание треугольника, это и есть разряд — место сбора разрядных единиц.

Заполнились все места основания – следует операция сложения по одной из плоскостей сложения в одно из свободных мест такого же основания следующего разряда. Вроде бы так было всегда. Двигай последовательно единицы по оси, собирай число… или сразу установи его. Тут сложно ошибиться. Порядок строгий. Всё по линеечке…

И, хоть плоскости сложения все равно присутствуют в структуре последовательного сбора двоичного числа позиционного отображения, но мы их как бы «не замечаем». Они остались там, в структуре параллельного сбора. Зато считать стало значительно проще. Заполнилось основание – разряд, ну и двигай новую единицу на любое свободное место в новом разряде. Ось движения одна. Тут не ошибешься и не перепутаешь пути. Вперед и вверх, а там…, и двигали. И в любой системе счисления. Пока не появились машины.

До машинной эры самой распространенной уже была десятичная система. И для машин сразу попробовали применить отработанный десятичный счет. Не тут-то было. Оказалось, что машине трудно объяснить, как это — «на любое свободное…». Не понимает.

Потому и применили двоичную систему. Для ее применения нашлось счастливое свойство. При механизации вычислений второго знакоместа в разряде числа двоичной системы может и не быть. Достаточно одного. Как только оно заполнится, так вторая единица, пришедшая в этот разряд, возвращает этот разряд в нулевое состояние, а сама уходит в следующий, уже с новым весом. Происходит автоматическое суммирование разрядных единиц без самой операции. При таком техническом решении больше одной единицы в разряде быть уже просто не может. Или единица есть или ее нет. И не надо ломать голову, куда разместить вторую счетную единицу, чтобы потом обе сложить, а затем результат сложения перевести в новый разряд.

Решение оказалось настолько удачным, что о первоначальном понимании разряда, как месте сбора единиц просто забыли. Есть 0 и 1. И достаточно. А почему же система – двоичная? Теперь, чаще слышишь ответ: А потому, что 0 и 1. Два состояния.

Даже термин появился – бинарная запись. Это когда только 0 и 1. Число состоит только из этих цифр.

Всё так. Но, система-то так и осталась — двоичная. Значит, заполненный разряд всё же предполагает наличие двух единиц. Хоть на один миг, но – двух. Это отражено и на разрядной оси этой системы: 1;2;4;8; и т.д. Что означает: 2⁰; 2¹; 2²; 2³; и пр.

Разрядная ось определяет принадлежность числа к той или иной системе счисления и позиционную форму его одномерного изображения. Во всех рациональных системах счисления число, полученное последовательным сложением счетных единиц, совпадает с числом, установленным в это пространство на разрядной оси, но не отражает законы получения числа. Это можно увидеть только при построении форм параллельного сбора числа. В общем, или смотри, как устроена система или смотри результат – число. Или – или.

Но для некоторых систем счисления оказалось возможным совместить на одной плоскости и разрядную ось числа, и законы построения системы. И, как следствие таких действий возникли новые свойства числа. Они связаны с появлением пространства числа в координатах разрядных осей. Ведь, даже две координатных оси – это уже плоскость. А если осей много?

Система Бергмана.

Функция:

Y=Фn

(33)

объединяет значения:

Y=Ф2n

(34)

и

Y=Ф2n-1

(35)

В выражении:

Ф2n+1 = Ф2n-1 + Ф2n

(36)

Собственно, мы имеем две разных системы счисления, основанных на четных и нечетных значениях степенной функции Ф, связанных соотношением (37). В этих системах счисления соседние разряды числа имеют некоторую независимость, аналогично рациональным системам счисления. Мы строим пространство для системы, основанной на соотношении (33). Она имеет аналогичное построение, но разряды зависимы. Чтобы сохранить независимость разрядов, надо разделить зависимые разряды и разместить их на разные разрядные оси. У нас любой соседний разряд зависим. Значит каждый разряд – на свою ось. Но мы же помним про две разные системы счисления. Учтем и это условие. Сначала устанавливаем параллельные разрядные оси этих систем. Место разрядов определено. Теперь выполняем условие общей системы счисления Бергмана. И начнем устанавливать для этого числа разрядную ось. Соединим все разряды доминантой. Это и есть собственная ось числа. Пространство между осями четных и нечетных разрядов разбилось на осевые треугольники. В каждой вершине разряд. Разряды связаны соотношением (36).

Рис. 18. Пространственная структура числа системы Бергмана.

Полученное пространство развития числа соответствует законам системы Бергмана. Рассмотрим его внимательно. Оно, на рис.18. Координатное пространство можно расширить во все стороны. Справа и слева от показанных осей можно установить новые вертикальные оси, соответственно, четных (34) и нечетных значений функции (35). Здесь мы впервые сталкиваемся с симметричными пространствами развития числа, ограниченными вертикальными осями. Каждый разряд числа принадлежит двум пространствам развития. Сложением единиц в одном разряде мы можем получить два направления увеличения и развития числа.

Установка числа на одну любую разрядную ось Фⁿ приведет к тому, что разряды одного числа окажутся в разных пространствах развития. И дальнейшее изменение этого числа сложением единиц в разряде сложения приведет к фрагментированию числа. Каждый фрагмент числа находится в своем пространстве развития и, соответственно, представляет самостоятельное число.

В этой системе только один нулевой разряд для размещения счетных единиц для двух ветвей числа.

Сложение двух одинаковых разрядных единиц в любом разряде сложения сразу приводит к образованию третьего вектора развития числа. Он направлен вниз от разряда сложения. Образуется дробная часть. Вектор развития дробной части не совпадает с доминантой числа. Это говорит о том, что дробная часть числа в системе Бергмана имеет свои законы развития, не совпадающие с общими законами системы.

Если провести аналогию с элементами построения двоичного счета, то мы видим, что треугольное пространство плоскости переноса и здесь выполняет аналогичную роль. При заполнении основания разрядными единицами идет сложение и перенос новой разрядной единицы в вершину. Только разрядные единицы в его основании – разные.

Система кодов Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи: 1,1,2,3,5,8,13,21,…

Формула получения любого члена последовательности:

С n= C n-1+ C n-2

(37)

В графическом представлении (рис.19.) эта формула выражается стрелкой от основания треугольника. Она и показывает что, суммируя два члена последовательности, находящиеся в основании мы получаем следующий член последовательности в его вершине.

Фигурными стрелками показан сдвиг дробной части при сложении двух единиц одного веса. Он идет по четным или по нечетным разрядам. Как и в системе Бергмана.

Рис.19. Разрядное пространство числа кодов Фибоначчи.

Такое представление последовательности позволяет увидеть симметричное построение числа, выходящее из одного и того же единичного основания. Уберем вспомогательные оси. Они теперь будут только мешать. И покажем общие направления роста симметричных ветвей числа в системе кодов Фибоначчи. На рис.20. вторая ветвь показана частично. При желании можно восстановить доминанту числа, но стрелки вполне ее заменяют. Направление движения единиц при росте числа видно хорошо.

Рис.20. Графическое представление чисел системы кодов Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи – основа кодов Фибоначчи и их разрядная шкала.

Любое число, записанное в кодах Фибоначчи можно установить на этой своеобразной разрядной оси или получить сложением счетных единиц в единичном разряде сложения, общим для обеих ветвей. Числа в кружках указывают вес единиц соответствующего разряда числа. Число может быть установлено или получено сложением счетных единиц, в общем единичном разряде, на любой из ветвей разрядной оси. Только знать бы, в какой ветви мы его получаем?

Давайте посмотрим на рис.21. В данном случае рост разрядности числа идет по правой ветви. Аналогично можно показать рост числа по левой ветви разрядной оси. Для определения правых и левых единиц в цифровой записи может иметь смысл правую единицу в основании разряда записывать как,1. Левую единицу записывать как 1,. Таким образом:,1+1,=10. Запятая в изображении правой и левой единиц основания показывает, с какой стороны от оси симметрии находится единица основания. Это правило можно распространить на форму записи числа на ветви разрядной оси.

Например:,101 (правая)= 101,(левая) = 101 = 4

Теперь можно показать, как идет рост числа в нужную сторону:

,1+1,= 1,1 = 10

10+,1 =,100

,100+,1=,101

,101+1,=,1000

Как мы видим, рост числа идет по правой ветви. Аналогично можно показать рост числа по левой ветви.

Рис. 21. Рост числа в графическом представлении системы кодов Фибоначчи.

Без построения пространственной структуры развития числа, этих особенностей числа сразу и не увидишь. В принятой позиционной форме записи числа они неуловимы.

Пространство числа систем счисления с использованием в качестве основания взаимообратных чисел.

Теперь уже можно сказать, что система Бергмана формирует треугольное пространство на плоскости. А иррациональная система с основанием Т₂ = 2,4142 и выше, формирует трехмерное пространство в виде тетраэдров. Высота измеряется в 0-мерных точках, и растет с увеличением основания системы. Например, как на рис.22.

Рис. 22. Образование 3-мерной структуры векторного пространства числа в счетных системах на основе взаимообратных числах.

Ограничение и локализация пространства происходит из-за зависимости соседних узлов -разрядов структуры получаемого числа таких счетных систем.

Например, число в системе Бергмана. Его разряды зависимы, а это требует участия не менее двух точек начала роста векторов развития в реализации роста числа. Следующая фиксируемая точка – их пересечение. Появилось пересечение – пространство ограниченное векторами локализовано. Изменение направления развития уже сформированного пространства никак не отражается на его структуре. Она уже есть.

С ростом основания системы Tm в получаемой плоской структуре появляется третье измерение. Я уже говорил, что, например, система с основанием Т₂ = 2,4142 уже формирует объем.

Единичная система.

Как мы видим на рис.23., положительные и отрицательные степени основания имеют одно абсолютную величину, равную 1. Степени отрицательного основания имеют знакопеременную характеристику.

Рис.23. Геометрическое представление значений функций Y=1^x и Y=-1^x.

Количественное наполнение чисел (рис.24.) полной структуры растет равномерно и одновременно с ростом разрядности. Таким качеством обладает только эта система счисления.

Рис.24. Количественное наполнение положительных чисел в единичной системе счисления.

Если сравнить рис.24. и рис.25., то можно видеть зеркальную симметрию ветвей оценки количественного наполнения положительных целых и дробных чисел. Видимо, это можно использовать в вычислительной технике. В единичной системе счисления любое число, как целое, так и с десятичной дробью может содержать только целое количество счетных единиц.

Целая и дробная ветви разрядов положительного числа единичной системы симметричны относительно оси Y. Это связывает единичную систему счисления с системами на основе числа Ф.

Наиболее близка к единичной, система кодов Фибоначчи. Она также имеет две независимые ветви развития числа, расходящиеся из одной точки.

Таким образом, число в единичной системе счисления может развиваться в двух симметричных направлениях относительно точки суммирования в нулевом разряде числа.

Рис. 25. Количественное наполнение дробной части положительных чисел единичной системы счисления.

Единичная система счисления имеет смысл, видимо, только для нужд вычислительной техники и коммутации. Это изначально искусственная система. Она так и разрабатывалась. Искусственно введенная малая величина q, предназначенная только для существования этой системы вдруг оказалась ключом к продвижению единичного импульса в длинной цепи однотипных элементов, обозначающих очередной разряд какого-то числа. Смысл управления сводится к операции умножения на 1¹. В единичной системе выражение:

1n*11= 1n+1

(38)

имеет смысл. Введением множителя мы и можем сделать разрядный сдвиг, как всего числа, так и его части в любую сторону. Или провести одну единицу по всей линии разрядов числа. Все зависит от нашего желания и технической необходимости. Посмотрите на рис.26., сколько вариантов такого продвижения. И это еще не все.

Давайте рассмотрим эти несколько вариантов. В варианте А) мы загружаем единицу со входа в первый разряд. Добавление величины q по линии сдвига эквивалентно умножению на 1¹. И наша единица переходит в следующий разряд. Снова добавляем q и снова – сдвиг. Так до конца линейки сдвига.

Вариант Б) отличается только стороной управления.

Вариант В) показывает, как можно делать сдвиг в обе стороны от разряда загрузки.

Вариант Г) показывает возможность независимого умножения в разных разрядах одного числа. Таким образом можно изменять число.

Рис.26. Варианты продвижения разрядных единиц в числе единичной системы счисления.

Варианты Д) и Е) – комбинированное управление движением единиц по разрядной оси. Они допускают как умножение числа, так и деление на 1¹. Как общее, так и разрядное. Загружаем с одной стороны, а получаем с другой. Движение двухстороннее. Потом мы увидим и техническую реализацию этого процесса. И цель ее применения.

Оказывается, она очень практичная, эта надуманная единичная система.

***

[Обсуждение на форуме «Наука»]