Дискуссии - Наука

В. Б. Кудрин

(К десятилетию полного издания труда А.Ф. Лосева "Диалектические основы математики")

По формулировке Лосева, "гилетическое число (от греческого слова ὑλή = hyle = вещество) выражает момент иного, меонального размыва и подвижности, смысловой текучести и жизненности эйдоса, т.е. самого предмета" [Лосев, 1993].

Термин "гилетика" впервые был применен Эдмундом Гуссерлем в работе "Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии": "Естественно, что чистая гилетика подчинена феноменологии трансцендентального сознания. Кстати говоря, эта чистая гилетика обладает характером замкнутой в себе дисциплины, как таковая, имеет свою внутреннюю ценность, а, с точки зрения функциональной, и значение – благодаря тому, что она вплетает возможные нити в интенциональную паутину, поставляет возможный материал для интенциональных формований" [Гуссерль, 1999]. Из приведенной цитаты видно, что для Гуссерля слово "гилетический" было синонимом слова "чувственный" или "материальный" (имелся в виду материал переживаний), но Лосев различает эти понятия, в смысле их различения в греческой и латинской культурах. Греческое понятие ὑλή, в отличие от латинского materia, включает в себя и материю умопостигаемого мiра, сакральную материю, или, выражаясь словами Гуссерля, "материю переживаний", тогда как materia – это вещество лишь физической оболочки мiра, видимого мiра.

Можно сказать, что "научное мiровоззрение" в его привычном понимании поверхностно не в переносном, а самом прямом смысле слова. Преодолевается эта поверхностность лосевской философией числа, представляющей собой покаяние ("изменение ума"), которое так же необходимо в науке, как и в этике.

В работе "Диалектические основы математики" Лосев окончательно формулирует понятие числа: "Число есть прежде всего отвлеченная сфера чистого смысла, а не выразительная… Число есть самый акт смыслового полагания, а не содержание этого полагания… Число есть ставший результат энергии самосозидания акта смыслового полагания" [Лосев, 2013].

Если мыслить выражение "ставший результат" не как остановку во времени "акта смыслового полагания", а как непрекращающийся процесс, то это определение вполне приложимо именно к гилетическому числу, хотя сам этот термин Лосевым больше не используется. Теперь он "по умолчанию" понимает под числом "полное" число, включающее понятие континуума в качестве инобытия "общепринятого" числа.

По определению Лосева, "вся математика есть не что иное, как развитое и детализированное понятие числа" [Лосев, 2013].

"Задача эта трудна и многосложна, и тут необходим тот союз философии и математики, который так част в интуитивных глубинах у настоящих философов и математиков и который так редок у тех, кому суждено повторять и распространять философские и математические идеи, но не создавать их впервые. Вчитываясь в Лейбница, часто не знаешь, философская или чисто математическая интуиция им руководила. Это, конечно, ни то и ни другое, это – то первичное, рождающее лоно идеальной мысли, где философия и математика слиты пока еще в одно нерасчленимое целое. И, когда читаешь Кантора, тоже удивляешься тому, как иная философская идея, вычитанная им у какого-нибудь Фомы Аквинского, чувствуется, именно чувствуется и ощущается, а не просто понимается – чисто математически и арифметически… Вдумчивый наблюдатель обнаружит, что на глубине у этого гениального человека философия и математика слиты до полной неразличимости и являются единой и целостной могучей интуицией, способной оплодотворить и определить собою как чисто философскую, так и чисто математическую систему.

Философия математики должна вернуть нас к этому глубинному союзу философии и математики. Она, философия математики, должна в расчлененном и яснейшем виде показать, конструировать то нерасчлененное и неясное, что лежит в основе общей философско-математической интуиции, отказавшись как от формализма и пустоты, техницизма математических доказательств, так и отвлеченности и слишком большой общности философских теорий" [Лосев, 2013].

Лосев был убежден, что современная ему математика "Нового времени" представляет собой спекулятивную конструкцию, принятую "мiровым научным сообществом" для удобства самого этого сообщества. Но это "удобство" продолжается лишь до того момента, пока пользователи не оказываются в тупике. Ограничив область своего применения лишь мiром вещественным, современная математика не способна адекватно представить даже этот вещественный мiр. Фактически она занимается не Реальностью, а миром порожденных ею самой иллюзорных умственных конструкций. Эта "иллюзорная математика", доведенная до крайних пределов иллюзорности в интуиционистской модели Брауэра, оказалась непригодной для моделирования процессов запоминания и воспроизведения информации.

Для того, чтобы математика отражала не только изменения, происходящие на трехмерной поверхности видимого мiра, но и реальное взаимодействие видимого и невидимого мiров, – надо не пытаться редуцировать это взаимодействие к господствующим ныне математическим методам, а создать адекватную ему математическую модель.

Необходима переоценка самих оснований математики, ее аксиоматики. К этой переоценке и приступает Лосев в "Диалектических основах математики". Он пишет:

"… Общей особенностью современной математической аксиоматики является ее формалистический и антидиалектический характер. Выставляется ряд аксиом; и – неизвестно почему, собственно взяты эти аксиомы, а не другие и откуда можно почерпнуть гарантию полноты этого списка аксиом. Такая беспомощность вполне характерна, напр., для знаменитого Гильберта, которого математики почему-то особенно превозносят именно в этом отношении. Мы читаем его перечисление аксиом – и совершенно не знаем, откуда он их получил, как к ним логически пришел и действительно ли все аксиомы тут перечислены. Ведь система аксиом должна быть такова, чтобы была действительно ясна ее полнота и логическая завершенность. У Гильберта же мы можем в крайнем случае сказать только то, что каждая из данных аксиом имеет в математике действительное значение, но совсем не можем сказать, что тут исчерпана вся аксиоматика, и не знаем, где гарантия ее логической законченности" [Лосев, 2013].

Критика Лосевым современных ему аксиоматических систем совпала во времени с так называемой "Гёделевской революцией" в основаниях математики, навсегда покончившей с наивной уверенностью во всеохватности формального мышления, свойственной тогда большинству "научного сообщества", показав, что попытка вывести главнейшие истины рациональным путем приводит к осознанию разумом своих границ. Замечательный отечественный математик, академик РАН А.Н. Паршин так сформулировал значение теоремы Гёделя не только для математики, но и для человеческой культуры вообще: "Если бы не было теоремы Гёделя, то жизнь не только не была бы приятнее, ее просто не было бы… Теорема Гёделя показывает не просто ограниченность логических средств, она говорит о каком-то фундаментальном, глубинном свойстве мышления и, может быть, жизни вообще. Если мы что-то хотим понять в мышлении человека, то это возможно не вопреки теореме Гёделя, а благодаря ей" [Паршин, 2002].

Если до 30-х годов XX столетия можно было еще тешить себя иллюзиями о возможности построения математики, не учитывающей абсурдности самих оснований формальной логики, то после гёделевской революции это стало невозможным.

Согласно Лосеву, становление сущности числа происходит именно в процессе операции с этим числом. Во введении к рассматриваемой нами работе "Диалектические основы математики" он показывает отличие понимания сущности математической операции математиком и философом:

"В то время как сама математика есть совокупность чисто числовых операций, философия превращает эти числовые операции в понятийные, в принципиально логические. Математика в этом смысле есть знание как бы одномерное, одноплановое; философия же заново перестраивает этот математический план, превращает его из структуры-в себе в структуру-для себя, понимая числа как понятия и тем перекрывая числовую структуру структурой логической. Вот почему многое, столь понятное математику, совершенно непонятно философу; и иной раз приходится очень и очень много размышлять над тем, что с математической точки зрения является чем-нибудь очень простым, почти пустяком. Нечего и говорить о таких операциях, как интегрирование или разложение в ряд; достаточно взять простой математический факт: 2 х 2 = 4. В этой простейшей операции арифметического умножения функционирует целый ряд логических категорий, о которых умножающий не имеет ровно никакого представления, как бы хорошо и быстро он ни умножал. Если я скажу, например, что умножение так же отличается от возведения в степень, как понятие механизма от понятия организма, что возведение в степень и извлечение корня в логическом смысле есть аналогия органического роста (в отличие от внешнемеханического сопряжения), то это будет всякому математику без предварительного разъяснения по меньшей мере непонятно. А тем не менее логический (а не просто числовой) анализ простых арифметических действий приводит именно к такому заключению…

Философия числа должна знать не только логическую картину математики как науки, но она должна понять также и историческую природу этой науки, т. е. понять ее как определенный ряд некоторых историко-культурных типов, так чтобы на самих этих типах математики была видна печать породившей их эпохи и стиль данного исторического типа. При таком своем построении философия числа обладает не только смысловой интимностью, неведомой в прочих науках и подсматривающей самые затаенные логические связи, но этой интимностью проникнута тут сама социальная действительность, и делаются видными благодаря ей самые тайные, самые глубокие корни культуры, порождающей те или другие числовые представления. Такова философия числа, синтезирующая самое ценное достояние и субъективного и объективного хода духовной культуры…

Философия числа все же есть пока еще только теоретическая наука. Она теоретична в той же мере, в какой теоретичны и те две области, синтезом которых она является, т. е. психо-биологии и социологии. Вся эта основная триада: 1) чистая математика, 2) математическое естествознание и 3) философия числа (возникающая как диалектический синтез двух только что упомянутых дисциплин) – суть общая теория числа, построенная в значительной части на историческом материале, но сама отнюдь не является историей. Нужно, чтобы вся эта триада перешла в свое инобытие, чтобы она была вовлечена в инобытийный процесс становления; и только тогда мы достигнем последней и окончательной конкретности – истории… Число как перво-принцип поэтому в самом подлинном и в самом буквальном смысле слова находится и везде, и нигде в отдельных числах и числовых операциях; и оно целиком и присутствует, и отсутствует в каждом математическом суждении, в каждой числовой структуре" [Лосев, 2013].

Само течение времени можно понимать как овеществление числа, то есть его оформление в виде последовательности "обычных" натуральных чисел или вещественных структур, локализованных в пространственно-временном континууме. Эти структуры в каком-то смысле представляют собой вещественные (уже в математическом смысле этого слова) приближения полного числа.

Вот как определяет понятие времени Лосев: "… время есть некое становление, некое неразличимое и сплошное, хотя и подвижное, становление. Временное становление гораздо «реальнее» числового, гораздо тяжелее, гораздо ближе к физической материи, к органической жизни, гораздо в этом смысле «конкретнее». Это есть перенос числового становления в какую-то новую сферу, потенцированное становление – становление, возведенное в степень… Зато во всем прочем время – максимально близкий, максимально интимный аналог числа. Время так же «пусто», как и число, так же имеет свое собственное содержание, независимое от грубой качественности внешнего мира. Оно так же первично для фактического бытия, как число для смыслового бытия, будучи точно таким же «актом полагания», но только уже совсем в другой области, не в области чистого смысла, но в области физической материи. Оно так же рождает из себя вещи, несет на себе вещи, так же есть перво-принцип их жизни и движения, саморазличия и самообъединения, как число рождает все различия в смысловой сфере, несет на себе всякую идеальную координацию и определяет живую текучесть смысла. Число и время – оба суть животрепещущий пульс бытия; и обе стихии – раньше и первичнее самого бытия, ибо это и есть то, что порождает саму сферу бытия, откуда вечно льются животворные и одушевляющие потоки мировой жизни, откуда творится и сама судьба бытия и мира. Число есть смысл времени, а время есть жизнь чисел" [Лосев, 2013].

Пересмотр "классического" представления о времени сопровождается у Лосева и пересмотром представления о пространстве. В главе "Переход к специальной теории числа" он утверждает реальность четырехмерного пространства: "Четырехмерное пространство является первым полным пространством с точки зрения диалектики … Вовсе не обязательно мыслить четырехмерное пространство как некую особую метафизическую действительность, не имеющую ничего общего с обычным четырехмерным пространством. Гиперкомплексное число есть наивысшая форма арифметического числа, диалектически включившая в себя и алгебраическое, и трансцендентное число. Вместе с тем гиперкомплексное число есть энергийно-эманативное выражение вообще арифметического числа" [Лосев, 2013].

"Классическое" физическое пространство отличается от "классического" числового тем, что, по замечанию Германа Вейля, "в то время как «континуум» действительных чисел состоит из самых настоящих индивидов, континуум точек времени и пространства однороден" [6]. Но реальное физическое пространство, столь же неоднородно, как и пространство числовое, так как образующие его полные числа суть индивиды. Рассматривая результат математической операции как отдельное число, мы не можем отрешиться от истории этого числа, от того, какая совокупность математических операций привела к этому результату. Эта совокупность можно бы назвать "временным измерением" числа, но не будем делать это, из-за принципиального различия времени и пространства.

Вспоминается притча об альпинисте, который долго взбирался на неприступную вершину, а когда взобрался, увидел, что с противоположной стороны горы к ней проложено асфальтовое шоссе, по которому возят туристов. Альпинист пережил шок и разочарование, но потом понял, что у него – другая вершина, чем у туристов. Подобно этому, число 4, полученное путём сложения двух двоек, 4, полученное путём их умножения, и 4, полученное путём возведения двойки в квадрат, всё это – разные четвёрки, так как достигнуты разными путями.

В XX столетии было установлено, что ни отдельная биологическая клетка, ни "простейшее" живое существо – не могут существовать без биологического окружения, для их жизни необходим достаточно богатый биогеоценоз, обладающий нередуцируемой сложностью. Подобно живой клетке, никакое число не может существовать без достаточно полного "числового окружения", включающего в себя всю историю взаимоотношений этого числа с "окружающими" его числами (то есть историю математических операций), и составляющего вместе с этим числом некий "числовой биогеоценоз" – некая минимальная совокупность чисел и операций. А это и означает "быть полным числом", так же отличающимся от числа в представлении математики "Нового времени" как живая биологическая клетка отличается от ее рисунка в школьном учебнике биологии. Поэтому отныне, говоря "число", мы будем "по умолчанию" подразумевать именно полное число.

А что же представляют собой другие числа, числа в привычном понимании, – иррациональные, комплексные и "обычные" кватернионы? Это – "предельные случаи" полных чисел, которые в "чистом виде" никогда в природе не встречаются, как не встречаются "мгновения времени" – лишенные длительности временные интервалы.

В новой аксиоматике элементарный математический объект, число, – обладает памятью, свободой и способностью обмениваться информацией с другими числами.

Важнейшей формой проявления числа Лосев считал музыку. В работе "Музыка как предмет логики" Лосев писал: "Музыка есть жизнь числа или, вернее, выражение этой жизни числа. Выражение есть соотнесенность данного смысла с вне-смысловым материалом и, значит, данность его при помощи алогических средств… В музыкальном времени нет прошлого. Прошлое ведь создавалось бы полным уничтожением предмета, который пережил свое настоящее. Только уничтоживши предмет до его абсолютного корня и уничтоживши все вообще возможные виды проявления его бытия, мы могли бы говорить о прошлом этого предмета… Это громадной важности вывод, гласящий, что всякое музыкальное произведение, пока оно живет и слышится, есть сплошное настоящее, преисполненное всяческих изменений и процессов, но, тем не менее, не уходящее в прошлое и не убывающее в своем абсолютном бытии. Это есть сплошное «теперь», живое и творческое – однако не уничтожающееся в своей жизни и творчестве. Музыкальное время есть не форма или вид протекания событий и явлений музыки, но есть самые эти события и явления в их наиболее подлинной онтологической основе" [Лосев, 1990].

Эти слова Лосева о музыкальном времени справедливы и для времени вообще – ведь финальное состояние мiра так же не является целью и смыслом его существования, как не являются целью и смыслом существования музыкального произведения его последний такт или последняя нота. Смыслом существования мiра во времени можно считать "послезвучание", которое и после окончания физического существования мiра будет продолжать жить в Вечности, подобно тому, как музыкальное произведение продолжает жить в памяти слушателя после того, как "отзвучал последний аккорд".

Стало почти общепризнанным противопоставление музыкальности, понимаемой в смысле передачи тончайших, невыразимых словами, состояний души, и математической строгости. Действительно, если понимать под математизацией сведение этих состояний к простейшим числовым закономерностям, то такая редукция может привести лишь к грубому пародированию этих состояний. К математике, понимаемой таким образом, вполне применима известная цитата из книги Г.Г. Нейгауза "Об искусстве фортепианной игры": "Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства" [Нейгауз, 1987].

Однако если мы обратимся к первоначальному значению греческого слова μάθημα, введенного пифагорейцами, мы увидим, что предметом математики может быть и вполне конкретное, музыкальное, число.

В "Диалектических основах математики", Лосев подытожил свои размышления о связи между математикой и музыкой:

"…Существует глубочайшая, интимнейшая связь между математикой и музыкой. Музыка ведь есть в обычном понимании искусство времени. Подчеркнем, что музыка в своем специфически музыкальном виде есть искусство именно чистого времени, т.е. необязательны в музыке изобразительные моменты, достаточно только самого времени, только этой взрывной и бурлящей процессуальности. Музыка живописует именно жизнь чисел вне всякой внешней случайности вещей, повествуя судьбу и жизненное становление бытия и мира" [Лосев, 2013].

Лосев не только осмыслил предшествующий ему этап развития математики, перебросив мост между качественным и количественным способами описания мiра, но и указал новое направление математического творчества, результатом которого может стать, уже в наше время, создание математического аппарата глобальной информационной сети, базирующейся на принципах естественной человеческой памяти.

Пересмотр устоявшихся представлений о природе числа неразрывно связан с пересмотром представлений о природе реального пространства. Такие свойства физического пространства и времени, как структурированность и неоднородность – не случайны, а определяются свойствами пространства математического, первичного по отношению к пространству физическому, представляющего собой дальнейшую конкретизацию и детализацию математического пространства.

Ультраметрикой реального физического пространства можно объяснить необъяснимые в "евклидовой" парадигме явления, такие, как параллелизм между объектами совершенно различных масштабных уровней, например – между живыми и космическими объектами. Из-за кардинальной разности двух мiров (квантового и классического) между ними положен предел некоммутативности [Кудрин, 2020]. В работе [Татур, 2017] эта проблема подвергнута детальному анализу:

"Это означает, что геометрически мы должны иметь возможность измерить сколь угодно малые расстояния. Однако, ввиду физического ограничения в виде планковской длины в реальном физическом пространстве это невозможно. Таким образом, мы приходим к выводу, что геометрия риманова пространства неадекватно описывает свойства реального физического пространства на очень малых расстояниях.

Между геометрией и числовыми системами существует соответствие. Например, обычная евклидова геометрия описывается при помощи вещественных чисел, для множества R которых аксиома Архимеда формулируется следующим образом: для любых двух положительных вещественных чисел l и L можно найти такое натуральное число n, что имеет место неравенство (n-1)l ≤ L < nl.

Возникает вопрос: если использование евклидовой геометрии для описания малых расстояний в физическом пространстве не подходит, то какую числовую систему вместо вещественных чисел мы должны использовать?

Для того чтобы ответить на него, представим себе результат физического эксперимента. Это – конечное число, которое можно записать в виде рационального числа. В научных экспериментах мы никогда не имеем дела, например, с бесконечными десятичными дробями, т.е. с иррациональными вещественными числами. При этом трудно себе представить, что когда-то будет такая точность измерений, которая позволит получить бесконечное количество знаков после запятой, т.е. интерпретировать результат, как вещественное число".

Пространство и время реального физического мiра – неоднородны. Каждый "уголок" мiрового пространства наполнен своим неповторимым колоритом, или, как говорят французы, "couleur locale". Выражение это восходит к латинскому "genius loci" ("гений места") – так называли латиняне колорит, свойственный определённым областям пространства. По их же представлениям, время – тоже структурировано, и каждый день года наполнен своеобразным "колоритом времени" (genius temporali). Все события, происходящие во Вселенной, разворачиваются на "фоне" взаимодействия пространственного и временного колоритов [Кудрин, 2020].

"Пространство обладает разной степенью напряжения и совершенно неоднородно. Только метафизические предрассудки и слепое вероучение могли в течение веков заставлять верить в абсолютность пространства. Пространство так же сжимаемо и расширяемо, как и физическая вещь в обычно понимаемом пространстве. Здесь не качества абсолютного пространства неоднородны, но само пространство лишено абсолютности и везде относительно, т. е. зависит от разных других условий" [Лосев, 1993].

ЛИТЕРАТУРА:

Вейль, Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.

Гуссерль Э. Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии. Т. 1. М.: ДИК, 1999.

Кудрин В.Б. Бытийный статус числа и вселенская информационная сеть – Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013.

Кудрин В.Б. Пути преодоления редукционистской математики и создания математики целостности // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.25195, 17.02.2019:

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001g/00163952.htm

Кудрин В.Б. Живительная сила некоммутативности // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.26404, 19.05.2020:

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001h/00164384.htm

Кудрин В.Б. Созвучия гениев мест. Журнал "Москва", 2020, № 9, сс. 143 – 187: http://www.moskvam.ru/publications/publication_2398.html

Кудрин В.Б. Первичность математических объектов по отношению к физическим // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.26711, 01.10.2020: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001h/00164514.htm

Лосев А.Ф. Музыка как предмет логики. Из ранних произведений. М.: Правда, 1990.

Лосев А.Ф. Бытие. Имя. Космос. – М.: Мысль, 1993.

Лосев А.Ф. Диалектические основы математики. М.: Academia, 2013.

Паршин А.Н. Математика и другие миры. М.: Добросвет, 2002.

Татур В.Ю. Р-адические числа, ультраметрика и ментально-вещественный мир // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.23820, 12.10.2017:

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0001/005c/00012019.htm

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]