Выражение родилось [1] в связи с приданием эфемерной фундаментальности неким «металлическим пропорциям», которым отдельные адепты тщетно пытаются навязать алогичный статус обобщенных золотых сечений. Тем самым отмежевываясь от современной математики и создавая собственный иллюзорный ареал "математики гармонии".

Хотя в действительности речь идет о заурядных пропорциях, обусловленных квадратным уравнением общего вида.

Математическая модель квадратного уравнения действительно стала замечательным триумфом абстрактного человеческого мышления. Без надуманного обобщения ЗС и отдельно взятой науки о гармонии систем. Ясно как день, и ежу понятно, что уникальное золотое сечение возникает внутри квадратичной структуры, а не наоборот.

А вот появление квадрата в социуме остается загадкой. Ведь он не имеет природных аналогов, в отличие от другой идеальной фигуры – круга, который могли "срисовать" с Солнца, расходящихся волн после падения предмета на поверхность воды и т.п.

Что необычного в «черном квадрате» Малевича? – Хотя на самом деле он вовсе не черный и нисколько не квадрат. В нём удивительным образом сошлись и сконцентрировались время и пространство, различные точки восприятия и возможности.

Из темного четырехугольника черный квадрат превратился в символ. Заслуженно.

Квадрат – это первоформа. Круг вторичен, и появляется как производная форма при вращении квадрата на плоскости. – Так неявно решается квадратура круга.

«Круг – это квадрат, которому вскружили голову» (Б.Кригер).

Кругами нельзя замостить плоскость, квадратами – элементарно.

Круг не круглируется, квадрат квадрируется. То есть круг нельзя разделить на более мелкие круги. Квадрат можно. В частности, голландский математик A.Duijvestijn разбил квадрат на 21 попарно неравных квадратов [2] с целочисленными площадями и доказал, что найденное разбиение единственное. Совершенного квадрата меньшего порядка не существует.

Большинство ассоциаций с окружностью носят негативно-ироничный характер. Порочный круг в логике, заколдованный круг в оценке безысходности, безвыходного положения и/или неразрешимой задачи. Голова идет кругом, круг замкнулся, ходить вокруг да около, обвести вокруг пальца, круглый идиот, круглый сирота ...

Сравните: безупречен как квадрат, и рукой, и ногой, и мыслью (др. греч. поэт).

В состоянии удивления-изумления глаза становятся круглыми, потом квадратными.

Знаменитая теорема Пифагора уравнивает квадраты, построенные на сторонах прямоугольного треугольника.

По теореме Бойяи–Гервина любой многоугольник равно-составлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат.

Математический метод наименьших квадратов применяется для аппроксимации целевых функций путем минимизации суммы квадратов отклонений от исходных данных.

Рекуррентное возведение в квадрат в комплексной области порождает уникальное множество Мандельброта.

Квадрат – родоначальник многих головоломок: магические или волшебные квадраты, истоки которых лежат в глубокой древности (более 4 тыс. лет), латинские квадраты, судоку.

Круг безальтернативен. Квадрат – одновременно ромб, прямоугольник и параллелограмм. Сторону квадрата можно вычислить через его периметр, площадь, диагональ, радиусы вписанной и описанной окружности.

"Сторона" круга определяется только через число π, которое универсально и является предельной константой не только для окружности. Например, решение гениального Эйлера (1735) базельской задачи о бесконечном ряде обратных квадратов

1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... = π²/6.

Как видим, окружностью здесь и не пахнет. Более того, сумма ряда становится первичной и предопределяет «арифметическую квадратуру круга», а именно: шестикратная сумма ряда равна квадрату периметра круга диаметром 1.

Что здесь первично, круг или квадраты – вопрос риторический.

В сказке Л.Кэрролла «Алиса в стране чудес» синяя гусеница советует девочке: «Откусишь с одной стороны – подрастешь, с другой – уменьшишься». – Речь шла о круглой шляпке гриба с непонятными сторонами. По замыслу писателя, игра слов и полный абсурд.

Более эффектно выглядит путаница с квадратным кусочком торта. – Вроде и стороны есть. Но где у него одна сторона, а где другая, – большой вопрос? – То есть с квадратом ситуация выглядит более реалистично, но неопределенно. Тонкий шарм и неясность.

В отличие от феерического круга, квадрат всё-таки более определен. Например, «Откусишь со стороны – подрастешь, откусишь с уголка – уменьшишься».

Не станем более сталкивать лбами круг и квадрат. Они великолепны.

Вспомним хорошо известные экстремальные свойства квадратов в геометрии.

Среди всех четырехугольников квадрат имеет:

• наименьший периметр при фиксированной площади;
• наибольшую площадь при заданном периметре;
• наибольшую осевую симметрию: ось симметрии четвертого порядка перпендикулярную плоскости квадрата, и четыре оси симметрии второго порядка (две вдоль диагоналей и две параллельно сторонам).

Пожалуй, всё. Но можно развить настоящие тезисы за счет увеличения степеней свободы, в разных сочетаниях квадратов. Этим дальше и займемся...

формате PDF (805Кб)