|
|
С.Л. Василенко
Для треугольников, описанных вокруг полуокружности или окружности единичного радиуса, определены различные минимаксные оценки и параметры, приводящие к равнобедренному аналогу. В основе ряда экстремумов лежит константа золотого сечения.
В мире не происходит ничего, в чём бы не был виден
смысл какого-нибудь максимума или минимума.
Л. Эйлер
Общие сведения.
Константа золотого сечения Ф проявляется при самых неожиданных обстоятельствах.
Но каждое новое её присутствие-проявление вызывает неподдельное восхищение.
Эта незамысловатая математическая структура продолжает эффектно "выплывать" во всей своей красе в самых непредвиденных местах и приложениях, открывая новые горизонты в познании удивительного феномена.
Тематика золотой пропорции в геометрии ещё с древних времен традиционно связывается с построением равностороннего пятиугольника, а также изучением правильных многогранников (платоновых тел): икосаэдра и додекаэдра.
Но и плоский многоугольник с минимальным количеством сторон, а именно равнобедренный треугольник, достойно занимает своё место на золотоносной ниве.
И не только...
Достаточно сказать, что значение полупериметра равнобедренного треугольника с единичной высотой и основанием h = a = 1 равно константе золотого сечения Ф ≈ 1,618.
Углы при основании равны β = arctg 2 ≈ 63,44o.
Уже в начале "Начал" Евклида [1, с. 13] формулируется классическое предложение (теорема) о равенстве углов, противолежащих боковым сторонам равнобедренного треугольника. Эта теорема пережила два тысячелетия. Переживет ещё не одно.
Она не привязана к пятому постулату, а значит, верна в абсолютной геометрии, включая геометрию Лобачевского, сферическую геометрию и т.п.
В отличие от многих других красивых фигур (круга, квадрата, прямоугольника, эллипса и др.), равносторонний треугольник имеет одну вертикальную ось симметрии, которая совпадает с биссектрисой, высотой и медианой из вершины к основанию.
Но это ему не мешает, скорее, помогает обрести многие специфические особенности.
Что особенного в равностороннем треугольнике? – Он единственный. В нём совпадают разные центры. Из всех треугольников с фиксированным периметром имеет наибольшую площадь. Собственно и всё! Более ничего занятного.
Неподвижно-застывшая правильность и скупая неживая красота...
Даже пирамиды не строили в виде тетраэдров.
В сущности, равносторонний треугольник – всего лишь частный случай и одна из разновидностей равнобедренного, которому соподчинен.
Погружение в тему.
Проводя аналогию с механическими системами, можно утверждать, что треугольник имеет три степени свободы – минимальное количество переменных, необходимых для полного и однозначного представления-описания конкретной фигуры. Один из параметров обязательно должен быть метрическим, так как трех углов недостаточно.
В состав остальных двух параметров может входить всё что угодно: углы, стороны, периметр, высоты, медианы, биссектрисы, площадь, радиусы вписанной или описанной окружностей и проч.
Особый случай относится к ситуации «tertium non datur», то есть «третьего не дано».
Тогда в роли третьего выступает не конкретный параметр, а некоторое условие, позволяющее в процессе поиска (решения задачи) однозначно идентифицировать геометрическую фигуру и/или её вид. В результате задаваемое начальное условие трансформируется в завершающий третий параметр треугольника.
Несмотря на кажущуюся простоту-примитивность треугольника, он аккумулирует в себе кладезь неожиданных и прелюбопытных закономерностей, которые значимы не только для геометрии, – ибо понять свойства глобальных объектов и явлений можно исследуя составляющие их элементы. Во всем их многообразии можно особо выделить класс задач, связанных с равнобедренными треугольниками.
Полный текст доступен в формате PDF (811Кб)
С.Л. Василенко, «Золотоносные» и другие замечательные свойства равнобедренных треугольников в задачах на экстремум: от Евклида до наших дней. Часть первая // «Академия Тринитаризма», М.,
 |