Фрагментарно изложена история двухтысячелетних дискуссий, доказательств и "опровержений", касающихся пятого постулата Евклида.

Перечислены основные концепции неевклидовой геометрии Лобачевского, вступающие в непримиримое противоречие с геометрией Евклида, несовместимые с элементарной геометрической логикой и многовековой Человеческой практикой. На исторических примерах показана неубедительность, декларативность аргументов, выдвигаемых представителями неевклидового мышления против математиков, доказывавших пятый "постулат" Евклида средствами "абсолютной геометрии".

Доказана классическая теорема Прокла-Даламбера, свидетельствующая о том, что лишь геометрия Евклида адекватно количественно и качественно характеризует объекты материального макромира.

Неевклидовы концепции в геометрии
и альтернативная им теорема Прокла-Даламбера

Беседы со многими образованными людьми на данную тему убедили меня в том, что подавляющее большинство инженеров, педагогов и даже научных работников имеют очень слабое и,как правило, искаженное представление о неевклидовой геометрии Лобачевского, не говоря уже про геометрию Римана. Поэтому для начала считаю целесообразным дать хотя бы самый минимум общедоступной информации по данному предмету.

Как известно, родоначальником той геометрии, которую каждый житель планеты Земля изучает в школе, был величайший геометр Древней Греции Евклид (330-275 до н.э.). В своих "Началах" он сформулировал основные определения , постулаты и аксиомы, на которых и было затем воздвигнуто всё здание элементарной геометрии. Примерно с середины X IX века математики формально отринули евклидовы определения геометрической точки, прямой и плоскости и оставили эти основополагающие понятия "без определения" . Кроме того, были подвергнуты лёгкой критике, а затем дополнены евклидовы постулаты и аксиомы, между которыми математики дав но уже не делают различия, называя те и другие "аксиомами".

Но основную неудовлетворенность почти со времён Евклида вызвал постулат, который в "Началах" значился под 11омером 5 "постулат параллельности". Всевозможные доказательства истинности этого "постулата" и дискуссии об их строгости со значительными перерывами продолжались до середины XIX века, пока задающие тон математики не пришли к выводу, что доказать его якобы невозможно.

Евклид этот "постулат" сформулировал так: "Если какая-нибудь прямая пересекает две другие прямые, образуя с последними по одну и ту же сторону такие внутренние углы, что сумма их меньше двух прямых углов, то обе прямые, при продолжении в ту же сторону, пересекутся ".

В соответствии с этим Евклид называл «две прямые», лежащие в одной плоскости, параллельными, если они будучи продолжены сколь угодно далеко, друг с другом не встречаются"

Пятый "постулат" Евклида равносилен следующему утверждению: "Через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой". Последнее утверждение легко доказывается (как теорема) на основе пятого "постулата". принимаемого в качестве аксиомы. Таким образом, эти два утверждения взаимно обратимы: любое из них может служить достаточным основанием для доказательства другого.

Как уже отмечалось, начиная с первых математиков древности и заканчивая Лобачевским (включительно), предпринимались неоднократные и, на мой взгляд, не всегда безуспешные попытки доказать пятый "постулат" Евклида на основе остальных его постулатов и аксиом. Вот перечень тех из наиболее известных математиков, которые были убеждены, что безукоризненно доказали пятый "постулат", опираясь на непререкаемые объективные, самодостаточные истины. именуемые аксиомами:

Прокл (410—485), Аганис (VI век· н.э.), Насир-Эддин (1201—1274), Коммандин (1509—1575), Клавий (1537—1612), Катальди (XVll век), Борелли (1608—1679), Джордано Витале (1633—1711), Валлис (1616—1703), Саккери (1667—1733), Лежандр (1752—1833), Вольфганг Болиаи (1775—1 856).

Ряд других крупных математиков, не считавших известные им доказательства в полной мере удовлетворительными, тем не менее, были убеждены в априорной "божественной истинности" пятого "постулата", а посему не исключали возможность его строгого доказательства, хотя при этом могли не знать некоторых старинных доказательств. К названной категории математиков принадежали Ламберт (1728—1777), Даламбер (1717—1783), Лагранж (1736—1813), Карно (1753—1823), Лаплас (1749—1827). Фурье (1768—1 830), Тауринус (1791—1887).

До 1823 года Лобачевский также находил почти оригинальные доказательства пятого "постулата".

Эти доказательства, судя по архивным документам, конспектам лекций, читанных студентам Казанского Университета, не казались тогда Лобачевскому недостаточно логичными.

Но в 1823 году в рукописи раскритикованного академиком Фуссом и потому не изданного учебника геометрии Лобачевский становится на другую точку зрения [1. с. 1 5]: "Строгого доказательства сей истины — говорит Лобачевский о пятом "постулате" Евклида — до сих пор не могли сыскать: какие были даны, могут называться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами". На чём же основано было столь резкое изменение мнения Лобачевским в отношении (как он правильно обронил) истины, впервые высказанной Евклидом? Почему Лобачевский поставил себя в положение судии тех многих выдающихся математических умов, которые не сомневались в логической безупречности сделанных ими доказательств? Быть может Лобачевский доказал ложность евклидовой истины, а следовательно, и всей его геометрии? Ничуть не бывало. Просто аналитические выкладки, проделанные Лобачевским в 20-ых 30-ых годах, вступили в непримиримое противоречие с элементарной геометрической логикой и графикой, наблюдаемой в повседневной практике, на чем Евклид и строил свою общепринятую геометрию.

И Лобачевский в споре повседневной практики с его рафинированными математическими "находками" после 1826 года окончательно и бесповоротно встал на сторону "чистой теории". Он, очевидно, не мог даже допустить мысли о том, что предельная математическая абстракция может завести исследователя в ложные, вздорные лабиринты, из которых уже нет выхода в реальный мир, в особенности, если математик оперирует с мнимыми параметрами, на что впервые обратил внимание Павел Флоренский в своем труде МНИМОСТИ В ГЕОМЕТРИИ.

Заняв названную позицию, Лобачевский заменяет пятый "постулат" Евклида следующим постулатом: "Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, более одной прямой, не пересекающей данную прямую".

Отсюда непосредственно вытекает "существование" бесконечного множества прямых, проходящих через одну и ту же точку и не пересекающих данную прямую. Опираясь на этот тезис и оставив без изменения остальную аксиоматику Евклида. Лобачевский аналитически разработал свою. как считают. "непротиворечивую", неевклидову геометрию, не поддающуюся графической иллюстрации.

Вот главные из вопиющих выводов этой геометрии [ 1 — 4]:

1. "Два перпендикуляра к одной и той же прямой, по мере удаления от этой прямой, расходятся неограниченно".

2. "Сумма углов прямолинейного треугольника меньше 180° (в неевклидовой геометрии Римана эта сумма больше 180° — Л.Ч.), и эта сумма не есть величина постоянная для разных треугольников; чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов разница от 180° в сторону уменьшения".

3. "Если в выпуклом четырёхугольнике три угла прямые, то четвёртый угол острый" (т.е. "непротиворечивая" геометрия Лобачевского отвергает существование прямоугольников — Л.Ч.).

4. "Если углы одного прямолинейного треугольника соответственно равны углам другого аналогичного треугольника, то такие треугольники равны (следовательно, геометрия Лобачевского не признаёт подобия геометрических фигур — Л.Ч.).

5. "Геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от какой-нибудь прямой линии на этой плоскости, есть некоторая кривая линия".

Очевидно, озадаченный сам такими "диковинными находками", Лобачевский поначалу назвал свою геометрию "воображаемой", что полностью соответствовало действительности. Правда, он тут же и оговорился [3], что "Воображаемая Геометрия обнимает употребительную Геометрию (то бишь — евклидову), как частный случай...". Но при этом вынужден был добавить [З]: "Предположение, что сумма углов треугольника менее двух прямых, может быть допущено только в · применении к Аналитике, потому что измерения в природе не открывают нам в этой сумме ни малейшего отклонения от половины окружности" (от 180° — Л.Ч.). Это было заявлено Лобачевским в его "Воображаемой Геометрии" в 1835 году (3].

При этом он, вероятно, запамятовал, что в "ОБОЗРЕНИИ ПРЕПОДАВАНИЯ" 1824 года он говорил. что основанием математики «должны быть несомнительные для нас истины, первые понятия о природе вещей, которые, будучи раз приобретены, сохраняются навсегда... В дальнейшем он уточняет этот тезис: "Первыми данными без сомнения будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств".

В этой связи невольно напрашиваются вопросы ко всем последователям Лобачевского: "Где в природе посредством своих утонченных чувств вы, господа, приобрели понятие о четырёхугольнике с тремя прямыми и одним острым углом?", "Где в природе вы обнаружили основания для полного отказа от подобия треугольников, окружностей и т.п.?".

Лобачевский, разумеется, не был первооткрывателем неевклидовых аналитических концепций. До него в этой "игре ума'\ как выразился Пуанкаре, упражнялись Карл-Фридрих Гаусс (1777—1855), Фердинанд-Карл Швейкарт (1780—1859), Франц-Адольф Тауринус (1794—1874). Но все они до конца своих дней сомневались в правильности этого направления. Гаусс даже не решился опубликовать свои черновые наброски и выкладки по этой теме. И не удивительно, что неевклидова геометрия Лобачевского долго не находила признания в математических кругах России и других стран.

Карно, например, утверждал [1, 5], что теория параллельных линий связана с понятием о подобии, причем последнее понятие по степени очевидности практически соответствует понятию равенства, и что стоит только безоговорочно признать это понятие, как обсуждаемую теорию можно будет без труда обосновать.

Похожие мысли высказывал и Лаплас [5]: "Закон Всемирного тяготения Ньютона по своей простоте, своей всеобщности и превосходной соотнесенности с наблюдаемыми физическими явлениями должен считаться законом строгим; одним из важнейших свойств его является то свойство, в силу которого при уменьшении в одном и том же отношении размеров всех тел и их взаимных расстояний. небесные тела будут описывать траектории, совершенно сходные по форме с теми, которые они вычерчивают при своем теперешнем состоянии".

Следуя этому астрономическому восприятию подобия. Лаплас добавляет: "Попытки геометров доказать постулат Евклида о параллельных линиях до сих пор не увенчались полным успехом. Но в то же время никто не подвергает сомнению ни этот постулат. ни теоремы. выводимые из него Евклидом. Таким образом. восприятие пространства заключает в себе особенное свойство, которое само по себе очевидно и без которого нельзя строго обосновать свойств параллельных линий. Представление об ограниченном протяжении, например, о круге, не содержит в себе ничего, что зависело бы от его абсолютной величины (т.е. круг мы представляем, не привязываясь к его какому-либо определенному диаметру; то же можно сказать, например, в отношении квадрата, равностороннего треугольника и т.п. — Л.Ч.). Но если мы мысленно, — продолжает Лаплас, — уменьшим его (круга) радиус, то мы непременно должны будем уменьшить в том же отношении его окружность и стороны всех вписанных фигур. Эта пропорциональность представляется мне постулатом более естественным, нежели евклидов, и важно то. что с ним мы вновь встречаемся при рассмотрении следствий из Закона Всемирного тяготения".

формате PDF (3535Кб)