Дискуссии - Наука

С.Л. Василенко

Введение в тему.

Великий поэт емко, лаконично и живописно изобразил "кухню" научно-культурного прогресса: дух просвещения, приобретаемый опыт (на ошибках учатся), парадоксы гениальных теорий, изобретения волей случая, – как составляющие чудесных открытий человека, коим нет начала и конца.

Одни нас радуют, создавая комфорт, другие заставляют глубоко задуматься о бренности бытия, третьи закладывают фундаменты и вытачивают для будущих поколений ключики от потаенных дверей знания.

Есть и четвертые, неоднозначные. О них чуть подробнее. На нескольких примерах.

В последние годы вышел ряд статей Олега Черепанова (далее по тексту автор) по секстетной "золотой" арифметике, которая разрешает некую главную проблему Гильберта и некий "парадокс Пифагора" [1], низводит знаменитые "Начала" Евклида до уровня элементарных сведений, допускает множество единиц по схеме 1⁰ ≠ 1¹ ≠ 1² ≠ … и т.д.

В своей книге «Высшая арифметика и секстетное исчисление» (LAP, 2015) автор не жалеет перцовых эпитетов для критики фундаментальных трактатов плеяды предшественников и в области высшей арифметики (теории чисел), придумывая необычные едко-заковыристые формулировки: геометро-тригонометрический парадокс, арифмо-алгебраический казус, арифмо-геометрическая антиномия и т.п.

Обратился к одному из соавторов с предложением вместе проанализировать. Всё-таки звучит золотоносная тематика. Почти дословно он ответил: «Обсуждать статьи не хочу. Вязкий текст, навороченная фразеология без пояснений. Как умеет, пересказывает дедекиндово сечение вперемежку с переливанием якобы уравнения Стахова в такое же уравнение якобы Сороко, которых в математике никто не знает. Всё это порядком надоело. В статьях ничего нет, нулевой выход. Что там обсуждать? Таких золотосеченских опусов пруд пруди». – Сказал жестко, как отрезал, под общей тезой: «зри в корень».

Одному было лень. Глубоко копаться в чужом материале хлопотно. Отъем энергии, малый КПД. Кругозор расширяется, но новые знания практически не прибавляются.

Момент истины по свежим следам ушел, интерес угас, тема отправилась в архив и временно окунулась в небытие. Но как нередко бывает, неожиданно о себе напомнила в рамках исследований, связанных с нулем, единицей, золотым сечением (ЗС) и особенно с безразмерной 0-точкой, со всей её глубиной, подводными рифами и течениями.

Не утратило актуальности мнение другого "золотосеченца" (выборочно): «Нельзя замалчивать факты искажения математики и научной мысли независимо от авторитета автора. После объективной критики авантюристических статей у многих пропадет желание высовываться с бредом на люди. Черепанов утверждает, но не доказывает, как это принято в математике, что: "...золотое сечение, утратившее опору в геометрии, полностью перемещается в арифметику, несовместимую с аксиомой непрерывности, бытующей в алгебре". Профанация ЗС налицо, но под прикрытием покойного Пифагора. Не стану раскручивать критические замечания по поводу этой примитивной публикации и надеюсь на её строгий анализ со стороны более квалифицированных специалистов...».

Тема в целом небезынтересна. Тем более, упоминаемые автором выдающиеся ученые Аристотель, Евклид, Гильберт, Эйнштейн и другие не могут дискутировать по известным причинам, а он «готов к пальбе... в адрес арифмометрии, не убиваемой мелкой дробью, поскольку её факты способны выдержать пушечный удар» (16.09.2016).

Специфика исходного материала такова, что систематизация-разложение по полочкам не получается. Поэтому ограничимся фрагментарными комментариями по отдельным моментам, поддающимся идентификации.

Без пальбы из пушек, дабы не причинить вреда арифмометру.

Промежуточные итоги.

Затронутые вопросы относятся к категории «простых, и не очень». Их восприятие затрудняется эклектичностью изложения материала, постоянным "перепрыгиванием" на разнотипные утверждения. Без математических доказательств или ссылок на другие литературные источники. Нелегко уследить за бурным потоком мыслей, когда для деления пополам отрезка длиной 2 привлекается алгебра и арифметика, потом «наводится тень» на Гильберта и далее предъявляются претензии Евклиду, Пифагору и другим ученым о несовершенстве их теорий.

1. Среди исследователей золотоносной тематики автор запомнился делением их на терминологически-ансамблевые типы-образы "гармонистов" и "балалаечников" (АТ, 27.11.2011). Про себя скромно умолчал, но украинских специалистов, видимо, мыслит в красных казацких шароварах с "бабалайкой".

2.  Автор продолжает неотступно развивать секстетную теорию "золотой" арифметики с использованием констант золотого сечения ф, Ф и весьма оригинальных наблюдений, например (АТ, 23.12.2011): «слово без сущности, «счёт без чисел», «кинематика без геометрии», «ускорение без силы» и т.п. Ассоциативный ряд «что-то без чего-то» легко продолжается: геометрия без чертежей, алгебра без формул, сороконожка без ног, автомобиль без колес... – Никакой иронии. Это следствия-издержки внедряемой автором методологии под нескрываемым тезисом: разрушим до основанья старый научный мир арифметики-геометрии, и на его обломках построим новую праведную «арифмометрию».

Устойчивая связь-ассоциация и ключевое слово – арифмометр – механическая вычислительная машинка, выполняющая арифметические действия путем поразрядного сложения и сдвига сумм частных произведений. Почему арифмометр? – Со слов автора, у него «Excel ошибается, неверно определяя огибающую гистограммы степенной функцией».

3. Не без интереса воспринимается его спорное видение о том, что «понятия дискретности и непрерывности не соединит никакая гармония». С гармонией разговор особый. Слово "соединение" нуждается в конкретике вкладываемого смысла: объединение, совмещение или соединительные мостики на основе их общностей.

Непрерывность и дискретность не разделены непреодолимой преградой и взаимосвязаны, как две стороны одной медали. Между ними точность и лазерный микроскоп. Основоположник математического анализа К.Вейерштрасс предложил красивый во многих отношениях пример всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции – ни в одной точке (!): w(x) = Σ_n=0…∞ bⁿcos(aⁿπx), где 0 < b < 1, a·b ≥ 1 – неравенства Харди. График функции имеет фрактальный характер, наглядно демонстрируя непрерывную дискретность и дискретную непрерывность одного и того же объекта.

Другой пример навскидку, ближе к феномену золотого сечения, видится в записи непрерывной функции Люка L(x) = Ф^x + (–ф)^x с многочисленными дискретными связями для целочисленных значений x = n. В работе [2] показано, что золотое сечение одновременно объединяет в себе рекурсивную непрерывность и дискретность. И так далее.

Природа непрерывна. Дискретное выделение части из целого – искусственный прием познавательной деятельности согласно поставленным целям исследования. Разнообразные дискретные методы и алгоритмы – мощный методологический инструмент изучения и моделирования непрерывных процессов.

4. Автор устанавливает некое «тождество (?) длин и площадей в треугольных фигурах» [3, с. 10]. На неизбежные замечания позже он поясняет: «отношение длин сходных сторон (например, гипотенуз) подобных треугольников и их площадей – это одно число – первостепенное при сравнении длин и квадратичное при сопоставлении площадей». – Факт общеизвестный. Подобных закономерностей в математике много. Только для чего здесь тождественное приравнивание? Число π – безразмерная величина, равная отношению длины окружности L к её диаметру. Числено (!) она равна L для единичного диаметра.

Но это не означает, что число π равно метрической длине, см, м, км. Скорость численно равна расстоянию, проходимым телом в единицу времени. Но из этого не следует тождество скорости и пути, подобно связкам: кони – люди, мухи – котлеты... По авторской логике, если на каждой котлете по одной мухе, то можно приравнять "мухи ≡ котлеты".

5. Число ф = Ф^–1 = 0,618... автор уравнивает с понятием "золотой" пропорции (?). Логичное замечание он позже парирует: «пропорция и понятие числа неразделимы» (?), и в качестве аргумента приводит пропорцию относительно единицы ф/1 = 1/Ф. Чем ещё больше запутывает читателя и возможно себя.

Мы с трудом, но начинаем понимать цепкость автора за указанную связку. В ней заложен основной принцип работы его арифмометра.

Действительно, пропорция устанавливает равенство отношений. Но это вовсе не означает, что числа не живут без пропорций или наоборот. Их брачный союз необязателен.

Учение Евклида о пропорциях геометрических отрезков обосновано без аксиомы непрерывности Архимеда [4, с. 44] и без привязки к числам.

Или бинарная арифметика из двух цифр-чисел 0 и 1. Где и в чём пропорция? – Математика также свободно оперирует модульно двухуровневыми числовыми матрицами, составленными исключительно из чисел ±1, Эйлера, Мерсенна, Адамара, Белевича и др.

Или испокон веков известный натуральный ряд чисел. Базовой является единица, но с ней невозможно составить пропорцию отношений, кроме тавтологической формы 1/1 = 1/1.

«Стакан риса и два стакана воды» – отношение, которое в кулинарии часто называют пропорцией «один к двум». В математической пропорции по определению четко зафиксировано равенство двух отношений, состоящее как минимум из четырех чисел, не обязательно различных. Как описано в первых определениях пятой книги "Начал" Евклида.

В античные времена использовалась также арифметическая пропорция, например, в музыкальной гармонии (по Архиту) 7 – 4 = 4 – 1: полная октава превосходит квинту на столько тональных интервалов, на сколько сама квинта превосходит один тон [5].

6. «Арифмометрическое отображение натурального ряда» (02.10.2016) фактически осуществляется через самоё себя. Ибо целые числа явно присутствуют в виде степеней алгебраических уравнений триномиального типа, содержащих три члена.

7. Оперируя принятой терминологией, авторское деление треугольника «на части, конгруэнтные исходной фигуре» невозможно в принципе, поскольку часть не может совпасть с целым! – Геометрические фигуры конгруэнтны или равны [4, с. 9], если одна из них может быть переведена в другую сдвигом, вращением и/или зеркальным отображением. Если для полного совпадения при наложении, фигуры необходимо изменить путем масштабирования или зеркального поворота, они называются подобными.

Для тех, кто соображает медленно, не потому что тугодумы, но хотят обстоятельно разобраться, автор позже 16.09.2016 расширил объяснение (почти буквально):

Понятие конгруэнтности приложено к кинематическому (трансформному) треугольнику № 1, вершины которого сближаются или расходятся при неизменных углах. Относительные скорости вершин постоянны и образуют жесткий векторный треугольник № 2. В каждый момент времени они подобны. Треугольник № 1, изменяющийся подобно самому себе, и нерастяжимая фигура из трёх векторов скоростей (треугольник № 2) не сводятся воедино сменой масштаба и, следовательно, не являются подобными. Поэтому их можно назвать конгруэнтными или точнее V-конгруэнтными.

Преклоняемся перед теми, кто это уразумел. Так треугольники подобны или нет? – Если они даже не подобны, то как могут совпасть и стать конгруэнтными?

Далее ещё интереснее... Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность единичного радиуса, автор делит на четыре равные части. Радиус уменьшает геометрически с сохранением арифметического значения "1", пока окружность не станет описанной для каждого из четырех малых треугольников. Автор считает, что он не менял масштаб, поэтому "малый" треугольник и его элементы имеют те же числовые значения, что и "большой" треугольник, и значит, в арифметическом смысле одни одинаковы или конгруэнтны. – Наш компьютер завис... Изменение масштаба не влияет на подобие, даже если масштабируется только одна геометрическая фигура. Для конгруэнтности наоборот необходимо одинаковое масштабирование.

Перезапускаем систему и предлагаем обновленную версию. Обозначьте цифрами 1, 2, 3 вершины всевозможных треугольников на свете. Следуя логике автора, ничто не мешает назвать их конгруэнтными с приставкой "Ц", то есть одинаковыми в цифровой символике. Или обозначьте вершины буквами A, B, C, и снова они «одинаковы и конгруэнтны», только в буквенном значении с признаком "Б". Зато автор сильно переживает за единицу, которая не весть, куда девается при делении пополам отрезка длиной 2. Но об этом ниже.

Куда девается точка.

Автор считает, что «в сумме АС + СВ = АВ слагаемые отрезки равны только при исключении средней точки С из состава АВ = 2, что сокращает длину c = 2 на одну точку, … дихотомия отрезка c = 2 невозможна в принципе … и требуется ревизия (?) оснований математики» [8], которую он считает неизбежной, для чего собственно и синтезируется-изобретается арифмометр. Изъятие середины отрезка якобы оставляет на числовой оси и в основе математики не затыкаемую дырку <от бублика> между геометрией с её парадигмой о непрерывности и арифметикой с её числами, как неподвижными точками.

Уточним, что в общем случае дихотомия – это любое деление целого на две части, необязательно равные, подобно ЗС. Но можно ограничиться и делением пополам.

Во-первых, точка никак не может сократить длину отрезка.

Во-вторых, по Евклиду точка не имеет частей и является границей линии. Поэтому строго геометрически мы можем разделить-разрезать отрезок длиной 2=1+1 на две равные части 1↔1. Нам безразлично, куда девается средняя точка 1: отходит левому или правому отрезку либо улетает с опилками испод лезвия ножниц. Это никак не влияет на длину-протяженность отрезков 1↔1. Равно как их сдвиги, вращения и/или зеркальные отображения. Отрезки 1↔1 конгруэнтны.

В-третьих, зададим простой вопрос: крутить-вращать не пробовали? – Дихотомия не является буквальным расчленением отрезка на части и запихиванием их в разные карманы. Главный смысл найти(!) среднюю точку. Единицу вообще можно не убирать, а середину (деление пополам) определить как центр вращения отрезка, переводящего самого в себя. С сохранением дихотомической точки, о которой так печется автор.

То есть геометрическая дихотомия абсолютна.

Плюс к этому Дезаргова числовая система, дающая исчисление отрезков, на основе которого возможно аналитическое изображении точек и прямых на плоскости [4, с. 76].

Теперь обратимся к абстрактным действительным числам, которые обычно соотносят с точками на прямой линии – арифметической прямой, числовой оси, кому как нравится.

Что мы хотим и можем (это совершенно разные деяния) вложить в слово "дихотомия" в этом случае? Уравнивание чисел? – Они априори разные: одни меньше единицы, другие больше. Количество вещественных чисел на отрезках. – По теореме Кантора их множества равномощны. Независимо от того, куда девается собственно точка-число 1: включается в одно из множеств или в оба одновременно. На обратное их объединение-воссоединение тоже никак не влияет. Сколько не крути арифмометр.

Сказанное наглядно демонстрирует логарифмическая шкала, в которой log1 = 0.

Средина числового отрезка c = 2 становится нулевой точкой отсчета в обе стороны, причем без привлечения отрицательных чисел. А исходный ноль уходит в бесконечность. Ищите, может, найдете. О какой дихотомии можно вообще говорить в этом случае...

Остается ноль 0 = log1. Но что с него возьмешь. Нулевое множество – единственное множество, количество элементов в котором равно 1.

Как неделимая божья точка. Ничего и одновременно всё...

Автор делит и другие отрезки-интервалы, считая что «ситуация похожа на парадокс Пифагора. Отрезок длинной в единицу нельзя алгебраически разделить на три равные части. Зато геометрически это делается очень просто».

Возникает естественный вопрос, а что такое алгебраически равные части в представлении автора?

5 + 8 = (5 + 1) + (8 –1) = 6 + 7 – это алгебраическое равенство частей? – Если нет, то в алгебре, а в данном случае и арифметике, вообще не бывает равенств и ничего равного между собой. Сдается, всё-таки да.

1 + 0 + 0 = 1/3 + 1/3 + 1/3 – а это алгебраически равные части? – Если нет, то чем они отличаются от предыдущего равенства? Если да, то это представление единицы в виде трех равных составных частей.

Окончательный ответ утвердительный: отрезок единичной длины можно алгебраически разделить на три равные части.

«А и Б сидели на трубе. А упало, Б пропало, что осталось на трубе»? – Да ничего не осталось, поскольку соединительное слово "и" само по себе отдельно не применяется. Как по-своему описал известный персонаж Вовочка: странно, жо..а есть, а слова нет.

Точка, циркуль и линейка.

У Евклида «точка есть то, что не имеет частей». Несколько лучше у Герона: точка то, что не имеет величины (протяжения). Хотя оба определения вводятся через отрицание, которое в методическом плане характеризует неправильную стилистику.

В средние века точкой стали описывать место без протяжения, позднее – тем, что не имеет измерений, единое и неделимое, наименьшее различимое.

Не имеет частей и/или количества, не делима, не измерима, не сравнима, не занимает пространства и т.п. – описания преимущественно через свойства отрицания.

Методически геометрическую точку лучше всего представлять, как границу линии по Евклиду, а уже затем дополнять присвоением отрицательных номинаций-характеристик.

В современной математике точка – абстрактный 0-мерный объект пространства, не имеющий измеримых характеристик (длины, площади, объема) кроме координат, одинаково изоморфный и неизменный при любом масштабировании.

Хорошо подходит образ "выколотой смысловой точки" p Костюченко–Татура [9], которую на графике или вещественной оси мы мыслим так:

—○— x > p —●— x ≥ p

Не нужно дальше выискивать блох в точке, пристрастно пытаясь найти мелкие недочеты и тщетно упражняясь в словесах. Сермяжная правда на виду.

Точку нужно искать не столько на числовой оси, сколько на кончике карандаша или циркуля. Мы не ставим или фиксируем точку, мы её выкалываем насколько позволяет заостренная точность инструмента, ибо на месте безразмерной точки пустота. Она как бы есть, но её нет.

Точка – нематериальный абстрактно-идеализированный объект. Это место (местоположение) на листе бумаги, числовой оси или в пространстве, которое мы с ней ассоциируем со всеми её характерными свойствами неделимости, отсутствия размерности и др. У неё нет краев, нет середины, ничего нет. По сути, понятие точки вводится через её отсутствие так таковое. Одним словом, выколотая.

Точка существует как математическое определение, но она отсутствует как физически наблюдаемый объект. В этом её главное преимущество и диалектическое проявление. Точечные заряды, точечные массы в законах Кулона и гравитации ничего не меняют и не выправляют.

Чтобы мы добавили к классическому построению циркулем и линейкой, так это свойство кончика ножки циркуля. Плюс иронично-метафорическую инструкцию к применению: у чертежника не должны трястись руки, он должен обладать отменным зрением, быть наблюдательным, регулярно проходить медицинский тест-контроль подобно водителям в автопарках и т.п. В противном случае неизбежны ситуации, когда непопадающие в точку начинают напрасно ругать родственников Евклида. Пилят пополам интервал-отрезок [0, 2] и не знают, куда отнести точку 1, к умным или красивым числам.

Точка связана с местом, в которое ещё нужно попасть, поэтому предлагаем широкий набор практических советов вариантного типа.

Трясутся руки и/или шалит зрение. Точка 1 отходит к одному из отрезков – [0, 1], (1, 2].

Руки и зрение в норме, скальпель тупой. Точка 1 выдавливается-выпадает в осадок вместе с опилками – [0, 1), (1, 2].

Единица наделяется свойством деления живой клетки на себе подобные – [0, 1], [1, 2].

Режем не саму точку-единицу, а ассоциированное с ней место на отрезке. Точка остается краем-границей обоих отрезков в точности по Евклиду – [0, 1], [1, 0].

Наконец, ничего не режем, не выкалываем, просто крутим вокруг единичной точки прилегающие отрезки: дихотомия обеспечена вследствие конгруэнтного совпадения.

По определению неделимой является только точка. Насчет места, которое она занимает на отрезке, ограничения никто не накладывал.

Пометим это место желтым цветом. Разрежем. Смотрим в микроскоп: оба конца желтые. Единица передала свою информацию как "информационная точка" мыслепространства [10], по принципу корпускулярно-волнового дуализма.

Достаточно произвести обратную операцию – соединения интервалов, и происходит слияние граничных точек в одну точку (место встречи изменить нельзя!), причем в единственном месте на вещественной оси, ассоциированном с единицей. Как геометрически, так и алгебраически.

Всё равно что "собрать" радугу через призму и снова получить белый цвет

Мы не знаем точного значения числа √5 – главного "виновника" появления на свет константы золотого сечения. Но по разложению в возвратную (цепную) дробь с многократным использованием-вложением единственного (!) числа 1, можем найти сколь угодно точное приближение в виде рациональной дроби.

Отчего же такая нерешительность наделить свойством числа 1 каждый из концов разделенных интервалов. На кардинальное число множества действительных чисел это никак не влияет. Единица отходит к обоим отрезкам: один заканчивает, другой начинает.

Что можно втиснуть в круг, если убрать одну точку из окаймляющей его окружности? Может ли черт пролезть-проскочить-просочиться в такой круг? – Вопрос риторический.

Из замечательной теоремы Кантора о сопоставлении множества и его всевозможных частей следует, что количество всех частей натурального ряда больше счетного количества натуральных чисел, – оно несчетно. Количество всех частей прямой линии больше континуального количества точек на ней.

Быть может, не стоит искать черную точку на черной линии, где её нет...

О несуществующем "парадоксе Пифагора".

Науке известны разные парадоксы, разрешение которых является своеобразным локомотивом её развития. «Парадокс Пифагора» в ней пока не зафиксирован. Разве что в студенческой среде про пифагоровы штаны. Или когда черепаха гонится за Ахиллесом по катетам, а Ахиллес убегает от неё по гипотенузе. Либо название теоремы его именем, которую за тысячи лет до рождения гуру доказали халдеи.

По мнению автора, теорема Пифагора «заслоняет собой главное тождество ф^–2+ф^–1 = ф^–3 "золотой" арифметики, определяющее число ф как основание тринарного выражения с очевидной связью величин и действий, среди которых есть полная инверсия» [3, с. 13].

Образно говоря, "пифагоровы штаны" (с доказательством, напоминающим покрой штанов) жмут и заслоняют авторский арифмометр.

А инерциоду мешает взлететь закон Ньютона.

Парадокс автор видит в том, что разные по длине катеты равномощны по содержанию точек. «В этом смысле только случай 1² + 1² = 2, отвечающий равенству a = b = 1, не вызывает когнитивного диссонанса» [1]. – К слову, сумма (–1)² + (–1)² тоже равна двум и отвечает равенству a = b = 1.

Автор не желает видеть главное. Теорема уравнивает не бесконечное счетное количество точек любого отрезка. И не квадраты чисел, коих в природе нет, и они существуют только в нашем воображении как математическая абстракция. Теорема уравнивает площади геометрических фигур – квадратов, построенных на отрезках. По ним можно походить и даже пощупать. Вырезать из бумаги, сложить, прикрыть голову в жару.

В книге первой "Начал" Евклида есть соответствующее "Предложение 47".

Потому теорема Пифагора арифметикой не рассматривалась. В ней вообще первоначально не фигурировали квадраты и квадратные корни чисел. Многие и сегодня так считают, ограничиваясь рассмотрением четырех арифметических действий.

Теорема доказана многократно десятками разных способов. Заметим, геометрически.

С развитием алгебраического абстрагирования её стали формально записывать числами, ибо математический закон стоит над реальностью.

Для одних целых чисел, выражающих длины сторон, теорема выполняется идеально арифметически по пифагоровым тройкам-кортежам: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) … Для других целых чисел требуется привлечение квадратных корней, например 1² + 1² = (√2)², что подвигло ученых на создание математического аппарата иррациональных чисел, как следствие несоизмеримости.

«Общая формула была за тысячи лет до Пифагора опубликована, вместе с теоремой Пифагора и доказательствами, на вавилонских клинописных табличках халдеев: каждая несократимая пифагорова тройка имеет вид x = u² – v², y = 2uv, z = u² + v², где (u, v) – взаимно простые целые числа (разной четности, чтобы тройка получилась несократимой)» [11, с. 23]. Более того, эти формулы имеют топологическое содержание, описывая структуру множества всех комплексных точек единичной окружности, то есть комплексных решений уравнения x² + y² = 1 – так называемой римановой поверхности для окружности.

Академик В.Арнольд критиковал множества в изложении Бурбаки. Не саму теорию множеств, которую признавал, а подход, когда всё и вся в математике пытались объяснить этой теорией, что в принципе невыполнимо, доводя несложные вопросы до состояния абсурда. Математика едина, но каждый из разделов имеет специфику, собственный аппарат, правила обращения. Одним арифмометром не обойтись.

Параллельные прямые.

Все аксиомы геометрии можно распределить в пять групп: сочетания, порядка, движения (конгруэнтности), параллельности, непрерывности [4, с. 2]. Они взаимно непротиворечивы. Аксиомы одной и той же группы между собой независимы.

Аксиома параллельности Евклида – есть плоскостная теорема [4, с. 19].

Автор не забыл "ущипнуть" пятый постулат.

Конечно, в любой области знаний система принимаемых аксиом (постулатов, положений, исходных гипотез) не является незыблемым фундаментом для всего остального. Это лишь средство задания-выражения определенного коридора и/или системы координат для рассмотрения конкретной теории.

Можно ли говорить о несовершенстве школьной таблицы умножения, если есть другая, которая легко "жонглирует" только ноликами и единицами? – Конечно, нет. Каждому своё.

Не следует от оратора требовать научных доказательств, а от математика – эмоционального убеждения (Аристотель, принцип достаточного основания).

Пятый постулат геометрии Евклида можно заменить постулатами Лобачевского или Римана, но это не означает, что геометрия Евклида не верна. Она практически совершенна в пределах рассматриваемых форм-моделей. Параллельные линии никогда и нигде не пересекаются на идеальной плоскости с нулевой кривизной, а именно такой она мыслится от античности до наших дней. Другое дело, как с таким плоскостями выйти за пределы рабочего стола или песочного чертежа на просторы Вселенной. Новые условия неизбежно порождают новые представления, в том числе рассмотрение поверхностей гауссовой отрицательной или положительной кривизны.

Что значит, пятый постулат Евклида не верен? – Бросьте рулон бумаги в того, кто это говорит. Для своих плоскостных условий он абсолютно верный.

Всё зависит от гауссовой кривизны K – меры искривления поверхности:

K < 0 – геометрия Лобачевского;

K = 0 – геометрия Евклида;

K > 0 – геометрия Римана.

Автор переиначивает в своем стиле: «Математики сконструировали немало геометрий, альтернативных евклидовой и, значит, противоречащих ей» (АТ, 13.09.2013). – Продолжая дедуктивный ряд, велосипед противоречит детской коляске, машина – велосипеду и т.д.

Евклид умер, да здравствует Евклид!

Автор отмечает: «Действительно историческое произведение называлось не "Начала", а "Элементы" (the "Elements") или "Элементарное"... Название "Элементарное" наиболее правильно отражает логическую суть этой книги (13 томов), поскольку эта книга в представлении Евклида давала всего лишь(?) начальные элементарные(?) знания по аксиоматической математике и логике... Евклид изложил основы геометрии в 23 определениях, 5 постулатах и 9 аксиомах». – Можно только выразить недоумение и сочувствие.

Критикуйте, но не принижайте. Принижая чужую теории, собственную не возвеличишь.

Элементы и элементарное (азбучное, тривиальное, примитивное) – две большие разницы, как говорят в Одессе. Томов у Евклида нет, есть книги, которые на русском языке изложены в трех томах. Только в одиннадцатой книге – 28 определений, в пятой – 18, в четвертой – 7, в третьей – 11, в первой – 23 и т.д. Причем его определения (m.n) разноплановые (условно обозначено определение n в книге m):

• словесно-номинальный характер: прямая линия (1.4), прямолинейные фигуры (1.19), равносторонний треугольник (1.20) и многие другие;
• аксиоматическое или в высшей степени очевидное проявление: равенство кругов по равенству диаметра (3.1), равенство углов (3.11), подобие прямолинейных фигур (6.1);
• постулирование-констатирование: концы <ограниченной> линии – точки (1.3);
• генетическое описание, дающее способ образования предмета, вещи: шар (9.14), конус (9.18), цилиндр (9.21).

К слову, непересекаемость параллельных прямых в одной плоскости – это не столько аксиома, сколько определение прямых линий, которые «не встречаются» (1.23).

Евклид дает наиболее полное представление об уникальном делении отрезка, которое сегодня называется золотым сечением, причем в разных форматах, как:

• равенство площадей прямоугольника и квадрата, предложение (2.11);
• пропорциональное деление в крайнем и среднем отношении, определение (3.6), предложение (6.30).

Их эквивалентность следует из предложения (6.17).

Ввиду простых и одновременно уникальных свойств, Иоганн Кеплер охарактеризовал терему Пифагора и золотое сечение как «два сокровища геометрии»: «Существует два сокровища в геометрии: одно есть отношение диагонали прямоугольника к сторонам, другое – деление линии в крайнем и среднем отношении. Из первой вытекает построение куба, пирамиды и октаэдра, а из второго – построение додекаэдра и икосаэдра» (J.Kepler, Mysterium Cosmographicum, 1596).

Науке неизвестна ни одна совершенная теория. Слово "теория" предполагает систематизированный набор умозаключений, которые даже с развитием данной теории, никогда не станут полными.

Евклид практически вне критики и конкуренции, не считая частностей-деталей. Количество переизданий «Начал» не имеет себе равных среди светских книг и уступает только Библии. По оценке А.Эйнштейна: «Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением» [12, c. 62].

"Elementa" – это не элементы, и тем более элементарное. "Начала" также не передают всей глубины слова при переводе с латинского или греческого языка. Фундаментальный труд И.Ньютона назвали «Математическими началами натуральной философии», хотя в оригинале было "Principia".

Элементное соединение в целостную картину и развитие знаний определенного научного направления. Не поэлементный анализ, а системный синтез знаний. Именно такой или похожий смысл ученые вкладывали в слово "Elementa", широко используя его вплоть до XX века. Позже с экспоненциальным расширением научных направлений-дисциплин стали применять осовремененные понятия: теория, основы тории и т.п.

В незаконченном рукописном трактате «Elementa Chimiae Mathematicae» (1741) М.Ломоносов намеревался изложить всё существующее на тот момент химическое знание в аксиоматическом стиле, как первая попытка по системной математизации химии.

Можно ли считать геометрию Евклида универсальной (космология, теория относительности и др.)? – Конечно, нет: «всяк сверчок знай свой шесток». Но многие задачи она решает вполне успешно без всяких парадоксов. Решает гибко, эффектно, элегантно.

Исследование системы аксиом Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту, и Д.Гильберт предложил (1899) первую достаточно строгую аксиоматику геометрии [4], доказав независимость каждой из аксиом.

Если арифмометр создается для геометрий Лобачевского и/или Римана, то так следует и говорить. Но не только. Соответственно надлежит переходить на язык этих геометрий с определением кривизны поверхностей, геодезических линий, расстояний между точками, площадей, проведением сечений и т.п.

О "всесильности" теоремы Гёделя.

Автор утверждает [1]: «Гёделем была доказана теорема о неполноте, которая исключает всякую возможность аксиоматического построения науки». – Ничего подобного. Аксиоматика остается. Без исходных положений-гипотез, точной терминологии, базовых определений вообще нельзя приступить к построению-изложению любой научной дисциплины, включая математику. Австрийский математик Гёдель только предупреждает, даже четко-выстроенная формальная система будет неполна.

Лично я вообще удивляюсь переполоху отдельных ученых по этому вопросу с воплем «Всё пропало». Наоборот, «возвращается ветер на круги свои» (Еккл. 1:6). Либо противоречивая полнота – "всезнайство" либо непротиворечиво-достоверная фрагментарность: я знаю, что ничего не знаю (Сократ, Демокрит).

Настолько всё очевидно, естественно и объяснимо. Несомненная заслуга Гёделя, что он грамотно доказал на примере формальной арифметики.

То, что веками витало в воздухе, он четко приземлил на формализованном языке математической логики. Как фундаментальный принцип научного знания.

Не существует конечной аксиоматической системы, в рамках которой были бы разрешимы все проблемы. Любая дедуктивная структура (система правил) внутренне непротиворечива и неполна либо противоречива и полна [13].

Если всё гладко и верно, то чего-то не учли. Если всё учли, то где-то неправильно.

Нельзя объять необъятное, но стремиться к этому можно.

То есть допускаются постановки задач, которые нельзя ни доказать ни опровергнуть, а всякая теория небезупречна и недостаточна для решения всех возникающих в ней проблем.

За достигнутой линией видимого горизонта открывается новый горизонт.

Человеку не дано вырваться за пределы метафорической формулы Бога "0≡1".

Гильберт тоже под раздачей...

Главной проблемой Д.Гильберта (по Черепанову) оказался сам Гильберт, «сформулировавший ряд проблем и не заметивший главной: диофантова единица в равенстве 1 + 1 = 2 не определяется геометрически ни как точка, ни как масштабный отрезок. То есть, прямая не фрагментируема в принципе или, иначе говоря, не имеет частей, доступных измерению». И куда он только смотрел, этот немецкий математик-универсал? – На арифмометре «все ходы записаны».

Не знаем что такое "диофантова единица", поскольку для автора 1⁰ ≠ 1¹ ≠ 1² ≠ …, но математики всего мира до сих пор продолжают "штурмовать" отдельные из сформулированных им в 1900 г. кардинальные 24 математические проблемы, считая за честь их решить. Оказывается, это не главное, не теми задачками озадачил.

К слову, Гёдель, к которому наш автор определенно благоволит, доказал положение о диалектической взаимосвязи полноты и противоричивости аксиом арифметики, а это имеет непосредственное отношение ко второй проблеме Гильберта.

Гильберт первым признал ценность открытий Гёделя. После добавления в число логических средств аксиому трансфинитной индукции, обобщающей математическую индукцию на случай несчетного числа значений параметра, Г.Генцер доказал непротиворечивость арифметики. Логическая полнота остаётся недостижимой и поныне.

Русский математик Ю. Матиясевич доказал (1970) алгоритмическую неразрешимость задачи о существовании решений диофантового уравнения с произвольными неизвестными и рациональными целыми коэффициентами, де-факто предъявив 10 уравнений. Это была 10-я проблема Гильберта, причем решенная с использованием чисел Фибоначчи.

Вопреки автору, у которого «единица в равенстве 1 + 1 = 2 не определяется», хотя само равенство – это сложение первых чисел Фибоначчи.

Манипуляция точностью измерения.

Некоторые авторы любят демонстрировать один пример, больше похожий на фокус в контексте его озвучивания. Цель – показать противоречие закона тождества Аристотеля.

Ход рассуждений таков. Берем единицу, как наиболее определенный и тождественный самому себе объект. Разделим её на число три и результат умножим на три. Получим 1/3 = 0,333(3) → 0,333(3) × 3 = 0,999(9). Отсюда вынужденно вытекает равенство 0,999(9) = 1,000(0). Но 0,999(9) и 1,000(0) если не заведомо разные, то, по меньшей мере, логически различимые объекты, хотя бы в силу их различной записи.

Что можно ответить? – Только словами зрителей в цирке: «факир устал, и фокус не удался». Налицо манипуляция на арифмометре. Неверность рассуждений заложена уже на старте, поскольку первое исходное высказывание не является справедливым. Далее получается так: сначала запишем неверно, а потом на основе этого ошибочного покажем неправильность закона тождества.

Начнем сначала, в замедленной съемке. Правильная обыкновенная дробь 1/3 – классическое рациональное число, известное с глубоких времен античности в разных записях-изображениях. В 12-ричной или 60-ричной системах счисления, которыми пользовались древние люди, деление на три части выполняется элементарно без проблем.

В десятичной системе счисления рационально число 1/3 не выражается конечным представлением и 1/3 ≠ 0,333(3). Вместо знака точного равенства "=" должен стоять математический знак приближенного равенства "≈", то есть 1/3 ≈ 0,333(3).

Запись 0,333(3) содержит неизбежные издержки десятичного представления рациональной дроби, и не более того. Таковы особенности данной системы, в которой не всякое число представимо конечной записью без периодов в скобках, когда 1/2 = 0.5; 1/4 = 0.25; 1/5 = 0.2, но 1/3 ≈ 0.333(3).

Остается правильно расставить математические знаки равенства:

1/3 × 3 ≡ 3;

1/3 ≈ 0,333(3) → 0,333(3) × 3 = 0,999(9) ≈ 1.

В инженерных расчетах мы довольствуемся приемлемым количеством знаков после запятой, округляем числа. Потом забываем об этом или не придаем значения за ненадобностью. В теоретических построениях такой подход приводит к ложным выводам.

Соединим три отрезка длиной 1 метр последовательно в одну линию. Образованную систему назовем целым, которому присвоим свойство числа 1. Выполним теперь обратную операцию деления целого на три части. Задача спокойно разрешается: 1) геометрически; 2) в области рациональных чисел как одна треть; 3) в троичной системе счисления и т.п.

В десятичной системе счисления задача решается исключительно с привлечением бесконечной записи 0,333(3). То есть представление зависит от принятой системы счета.

Признаться, нам больше по душе деление на семь и другие простые числа.

Оцените динамичную гармонию последовательного движения цифр после запятой:

1 / 7 = 0,(142857)

3 / 7 = 0,(428571)

2 / 7 = 0,(285714)

6 / 7 = 0,(857142)

4 / 7 = 0,(571428)

5 / 7 = 0,(714285)

Оперируя днями недели в 7-ричной системе счисления, дети до семи лет элементарно делят два на семь, ибо два дня в субботу и воскресенье можно не ходить в садик.

Аристотель может спокойно почивать и не переживать за свой закон тождества.

Минус, дополненный вертикалью, становится плюсом.

Во избежание ложного представления о наших размышлениях-замечаниях, как критики ради критики, подчеркнем своеобразность мышления автора и определенную полезность некоторых выводов и предложений.

1. По его мнению, «понятие гармонии по отношению к математике не представляется полностью корректным... Гармония не есть нечто, существующее само по себе... Кроме того, данный термин противопоставляет математику с "золотым" началом существующей системе математических знаний... как бы, отмежевываясь от традиционной математики» [6]. – Трудно не согласиться.

2. Другое утверждение [7]: «словосочетания "золотое сечение" и "золотая пропорция" не равноценны семантически, поскольку первое относится к геометрии, где измерениям предшествует выбор масштаба, а второе принадлежит арифметике, где единица вводится аксиоматически, и деление чисел не эквивалентно измерению». – Семантически действительно разные, но относятся как к геометрии, так и теории чисел: пропорции в евклидовой геометрии, теорема Гурвица (1891) в теории чисел, оценивающая возможность приближения иррациональных чисел рациональными, и т.п. Да и сам автор в другой работе [8] буквально уравнивает число Ф с "золотой" пропорцией (?).

3. Оригинален подход (09.10.2016) по объединению и рассмотрению-исследованию последовательностей чисел Фибоначчи и Люка. Авторская мысль нова, самобытна, инициирует поиск свежих идей. Он сосредоточил основное внимание на обратных величинах с их приведением к интервалу [0, 1], но интересны и сами числа.

Отсортированные по возрастанию они распределены так, что нечетные по порядку элементы – есть числа Фибоначчи, четные элементы – числа Люка: a_2n–1 = F_n+1, a_2n = L_n с начальными условиями (1, 2) и (1, 3): 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 18, 21, 29, 34, 47, 55...

Рекуррентная форма a_n+2 = a_n + a_n–2 имеет характеристическое уравнение x ⁴ = x ² +1 с положительным решением в виде квадратного корня из константы золотого сечения √Φ.

Однако аттрактор, как предельное отношение соседних членов последовательности, не равен этому корню. По мере возрастания порядковых номеров n аттрактор «попеременно двойной»: a_2n–1 / a_2n–2 → 2 – ф, a_2n / a_2n–1 → Ф/(2 – ф). Их геометрическое среднее равно √Φ. Изменение начальных условий (1, 3) на (1, 4) или (1, 5) также приводит к другими предельными аттракторами: Φ/(5ф – 2) и 5ф – 2, Φ/(7ф – 3) и 7ф – 3. И так далее...

Особенность составных рядов: предельное отношение a_n/a_n–2 равно константе Ф; геометрическое среднее двух аттракторов равно √Φ – знаменателю геометрической прогрессии, которую образуют длины сторон прямоугольного треугольника Кеплера.

По мере возрастания начальных значений для последовательностей Люка в один прекрасный момент происходит нарушение стройности в составной последовательности: в ней начинают появляться пары соседних чисел Фибоначчи. Система как бы расстраивается. Потом снова возвращается к своей прежней "поступи". Любопытная вещь, включая поиск параметров устойчивости совмещенных рядов, с их практическим приложением к исследованию сопряженных процессов.

Вместо заключения.

Авторский арифмометр имеет право на жизнь. Без излишней патетики, необоснованной критики предшественников, с четко обусловленной аксиоматикой секстетной "золотой" арифметики. Сам секстетный состав констант, возможно, лучше рассматривать в качестве базовой группы с допустимым расширением-дополнением на основе определенных принципов-условий. Математика, как жизнь, многообразна.

Пройдет немного времени, и подавляющее большинство из ныне здравствующих исследователей никто не вспомнит ни сердитым, ни добрым словом. Статьи и книги затеряются в безбрежном океане интернетовских знаний.

Придут на смену новые люди. Они будут воспринимать нынешние наработки как нечто данное. Даст бог, во имя общего вектора развития.

Обмен мнениями нужен. Доброжелательная критика необходима. Только стоит ли сегодня ломать копья на тему "суеты сует"? Или делать резкие выпады, высказывать голословные обвинения. Это здесь, на земле, у нас сечения, разрезы и пропорции. Но уже с высоты птичьего полета – обычное копошение в песочнице. Пусть и золотой…

Автор видит во мне «эксперта с Украины, сдувающего "золотую" пыль со всякого, кто каким-то боком прислонился к "золотому" сечению». Действительно, мы часто аргументируем против обобщенного "златобайства". И не только...

Можем также продемонстрировать глобус Украины для шестого класса, числовую таблицу умножения на украинском языке, котлету по-киевски в золотой мясной пропорции, а также решение парадокса из области диофантовых уравнений, не прибегая к арифмометру:

на 2 украинца – 3 гетмана.

Это солиднее, чем пилить отрезки пополам...

Любопытно, 3/2 = 1,5 и 2/3 ≈ 0,666(6)... – бесконечно-цифровой образ "числа зверя".

Желаем всем читателям творческих находок, удач, бодрости духа и оптимизма.

Хай щастить!

Хай справджуються всі мрії та втілюються в життя всі творчі задуми.

Литература:

1. Черепанов О.А. Обоснование "золотой" арифметики: главная проблема Гильберта и парадокс Пифагора // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 15363, 24.06.2009. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321127.htm.
2. Василенко С.Л. Золотая пропорция как ядро генома мироздания // Научно-техническая б-ка SciTecLibrary. – 13.07.2011. – URL: sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/11214.html // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 17099, 13.12.2011. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/02322080.htm.
3. Черепанов О.А. Эффект Толчина в теории и экспериментах: прощание с "инерциоидом" и "золотой" пропорцией // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22492, 10.09.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163047.htm.
4. Гильберт Д. Основания геометрии: Пер. с нем. – Л.: Сеятель, 1923. – 152 с. – URL: https://math.ru/lib/book/djvu/geometry/osn_geom.djvu.
5. Василенко С.Л. Средние значения и математические пропорции: от Античности до наших дней // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22763, 28.11.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163146.htm.
6. Черепанов О.А. Арифметические факты и арифмометрические аргументы за канонизацию "золотой пропорции" прикладной математикой // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 17032, 27.11.2011. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/02322051.htm.
7. Черепанов О.А. Структурный строй «золотой арифметики». Введение в секстетную теорию чисел Фидия // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 16593, 26.06.2011. – URL: trinitas.ru/rus/doc/avtr/01/1102-00.htm.
8. Черепанов О.А. Дихотомия и диарезис: арифмометрические особенности чисел 1 и 2 // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 18635, 09.03.2014. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001d/00162275.htm.
9. Костюченко C.В., Татур В.Ю. Выколотая смысловая Точка как семантическая сингулярность // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 26694, 24.09.2020. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001h/00164505.htm.
10. Кашпур А.Д., Василенко С.Л. Размышления о точке... Часть 1 // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 23955, 14.11.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163497.htm / Часть 2 // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 24063, 13.12.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163543.htm.
11. Арнольд В.И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. – М.: МЦМНО, 2002. – 40 с.
12. Эйнштейн А. Физика и реальность. – М.: Наука, 1965. – 360 с.
13. Godel K. On Undecidable Propositions of Formal Mathematical Systems. – 1934.

---

С.Л. Василенко, Размышления о несуществующем «парадоксе Пифагора», или куда девается точка-единица... // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.26934, 26.01.2021

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]