Аннотация. Предложен новый подход к представлению двучленно-аддитивной рекурсии v_n+1 = v_n + v_n–1 в виде векторного отображения на комплексной плоскости. Показано, что независимо от двух начальных условий v₀, v₁ все суммируемые векторы последовательно выстраиваются с всё большим приближением к линии динамического равновесия, названной нами "золотой линией". Для любого расположения исходной пары векторов произвольной длины и направления золотая линия всегда пересекает исходный вектор v₀, параллельно перенесенный к концу вектора v₁, и делит его в золотой пропорции.

Вступление. В своих рассуждениях-умозаключениях мы часто и вынужденно обращаемся к математике. Ибо порог убедительности в ней значительно выше, нежели в других науках, и поддерживается отчетливостью и недвусмысленностью утверждений [1].

При этом нередко легче доказать некоторые общие положения, нежели их отдельные проявления. А уже потом переходить к частным задачам, решить которые бывает затруднительно. То есть целесообразнее выделить по максимуму наиболее значимые моменты и обосновать основный тезис.

В научном познании метод носит название дедукции (лат. deductio выведение) и заключается в переходе от общего к частному. От некоторых общих утверждений к частным результатам-следствиям.

В отличие от индукции, которая может привести как к верным, так и к неверным результатам, метод дедукции полностью строится на основе логики, делая наше мышление более точным и эффективным. Все общие теоремы мы доказываем именно так и для того, чтобы затем использовать для решения различных частных задач.

Двучленно-аддитивная рекурсия вида v_n+1 = v_n + v_n–1 независимо от начальных условий v₀, v₁ всегда сходится к золотому аттрактору Ф = ф^–1 ≈ 1,618 – предельному отношению двух соседних элементов числовой последовательности, дискретный индекс n → ∞.

Исходные числа v₀, v₁ могут быть любой природы: целые и действительные, рациональные, иррациональные и даже комплексные. Единственно условие: они не равны одновременно нулю.

Для вывода общих положений вполне логично рассмотреть множество C комплексных чисел с их представлением в виде векторов на комплексной плоскости, совместив преимущества линейной алгебры и геометрии. Такой подход напрашивается сам собой. Однако в области аддитивных рекурсий и золотого сечения (ЗС) он как-то выпал из поля зрения исследователей. Отсюда наш интерес к комплексным числам. Тем более что их аксиоматика логически непротиворечива, и только в множестве C выполняется основная теорема алгебры: любой многочлен k-й степени имеет k корней.

Не лишне также напомнить базовый принцип [1]: суждения облекаются в словесную форму в виде предложений, а понятия – через термины. Каждый термин должен иметь ровно один точно очерченный смысл. Чем точнее очерчен смысл термина – тем убедительнее использующие этот термин доказательства.

В нашем последующем изложении золотое сечение распространяется-обобщается на произвольные числа. Но нет никакого понятийно-надуманного суррогата типа обобщенных золотых сечений "ОЗС" (?), которые самозабвенно тиражируют отдельные авторы. Никакого порождения очередного пресловутого "ОЗС". Ни понятийно, ни терминологически. Золотое сечение уникально, единственно и однозначно ассоциируется с конкретной математической константой Ф, которая обобщению не подлежит. На то она и константа.

Золотое сечение и числа Фибоначчи. Во многих работах золотое сечение увязывают с числами Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Довольно часто их даже отождествляют.

Подобное сравнение в какой-то мере справедливо, поскольку отношение соседних элементов ряда в пределе стремится к константе золотого сечения Ф ≈ 1,618. Вместе с тем это две разные математические структуры [2], хотя имеют общую подоснову.

Например, некоторые дробно-рациональные последовательности стремятся (чаще всего путем суммирования) к числу π. Но из-за этого трансцендентное число π никто не уравнивает с рациональными дробями.

Дело здесь не в числах Фибоначчи, которые были известны ещё в древней Индии [3, с. 126], где они применялись в метрических науках задолго до распространения в Европе. Частный, но довольно примечательный случай числовых рядов. За счет простейших "затравочных" чисел – начальных условий (0, 1) или (1, 1) для двучленно-аддитивной рекурсии вида v_n+1 = v_n + v_n–1.

На таких исходных данных чрезвычайно удобно отрабатывать-отшлифовывать различные формулы и соотношения, связывающие элементы числовой последовательности.

Главным же являются не значения элементов ряда, а линейная двучленно-аддитивная форма их рекуррентного образования. С единичными коэффициентами и в общем случае произвольной парой начальных условий (v₀, v₁), не равных одновременно нулю.

Именно линейное однородное рекуррентное уравнение второго порядка – "код к шифру ЗС", но не сами числа Фибоначчи. А комплексные числа – универсальная отмычка для дверей, ведущих к наиболее общим представлениям о золотом феномене.

формате PDF (916Кб)