Мы привыкли к тому, что бинарные операции возведения в степень и извлечения корня – некоммутативны, в отличие от первых "элементарных" четырёх арифметических действий, и обычно не задумываемся о причинах и смысле этого явления. Вместе с тем, размышления о явлении некоммутативности приводят к интересным и нетривиальным выводам.

Рассмотрим таблицу из двух столбцов, первый из которых представляет последовательные степени числа 2, а второй – квадраты показателей первого столбца.

Затем попробуем разделить числа первого столбца на парные им числа второго.

Результаты оказываются неожиданными:

2 : 1 = 2

4 : 4 = 2

8 : 9 = результат меньше единицы!

16 : 16 = 1

32 : 25 = результат впервые становится больше единицы, и, по мере наращивания значений, будет теперь лишь нарастать, увеличивая разрыв между прямой и обратной операциями. Какая из известных кривых может проиллюстрировать эту закономерность?

Ещё более неожиданным будет результат при попытке продолжить таблицу в другую сторону. При попытке разделить два в нулевой степени на нуль в квадрате появляется актуально трансфинитное число, то есть функция соотношения коммутативности и некоммутативности оказывается "разрывной" ( по классификации Н.В. Бугаева), хотя мы не только ещё не вводили никаких эмпирических данных из "вещественного мiра", но и не вышли за рамки школьной арифметики!

Возникает вопрос: где именно проходит граница между коммутативностью и некоммутативностью? Возможны ли "промежуточные" арифметические операции, более "сильные", чем умножение и деление, но менее "сильные", чем возведение в степень и извлечение корня?

Для ответа на этот вопрос имеет смысл вновь обратить внимание на публикации В.А. Бунина, предложившего способы расширения не только понятия числа, но и действия, путем замены привычных символов математических операций на обычные скалярные числа, соответствующие ступеням действий, благодаря чему возникают уравнения, в которых искомым может быть сам тип операции [Бунин, 1997; 2009, 2010].

Наконец, возникает вопрос о "целевой причине" и смысле некоммутативности. А.Ф. Лосев полагал, что именно некоммутативность ответственна за появление жизни, за то, что всё живое представляет собой не механизм, а организм. Позволим себе обширную цитату из его фундаментального труда "Диалектические основы математики":

" В то время как сама математика есть совокупность чисто числовых операций, философия превращает эти числовые операции в понятийные, в принципиально логические. Математика в этом смысле есть знание как бы одномерное, одноплановое; философия же заново перестраивает этот математический план, превращает его из структуры-в себе в структуру-для себя, понимая числа как понятия и тем перекрывая числовую структуру структурой логической. Вот почему многое, столь понятное математику, совершенно непонятно философу; и иной раз приходится очень и очень много размышлять над тем, что с математической точки зрения является чем-нибудь очень простым, почти пустяком. Нечего и говорить о таких операциях, как интегрирование или разложение в ряд; достаточно взять простой математический факт: 2 х 2 = 4. В этой простейшей операции арифметического умножения функционирует целый ряд логических категорий, о которых умножающий не имеет ровно никакого представления, как бы хорошо и быстро он ни умножал. Если я скажу, например, что умножение так же отличается от возведения в степень, как понятие механизма от понятия организма, что возведение в степень и извлечение корня в логическом смысле есть аналогия органического роста (в отличие от внешнемеханического сопряжения), то это будет всякому математику без предварительного разъяснения по меньшей мере непонятно. А тем не менее логический (а не просто числовой) анализ простых арифметических действий приводит именно к такому заключению… Философия числа должна знать не только логическую картину математики как науки, но она должна понять также и историческую природу этой науки, т. е. понять ее как определенный ряд некоторых историко-культурных типов, так чтобы на самых этих типах математики была видна печать породившей их эпохи и стиль данного исторического типа. При таком своем построении философия числа обладает не только смысловой интимностью, неведомой в прочих науках и подсматривающей самые затаенные логические связи, но этой интимностью проникнута тут сама социальная действительность, и делаются видными благодаря ей самые тайные, самые глубокие корни культуры, порождающей те или другие числовые представления. Такова философия числа, синтезирующая самое ценное достояние и субъективного и объективного хода духовной культуры… Философия числа все же есть пока еще только теоретическая наука. Она теоретична в той же мере, в какой теоретичны и те две области, синтезом которых она является, т. е. психо-биологии и социологии. Вся эта основная триада: 1) чистая математика, 2) математическое естествознание и 3) философия числа (возникающая как диалектический синтез двух только что упомянутых дисциплин) – суть общая теория числа, построенная в значительной части на историческом материале, но сама отнюдь не является историей. Нужно, чтобы вся эта триада перешла в свое инобытие, чтобы она была вовлечена в инобытийный процесс становления; и только тогда мы достигнем последней и окончательной конкретности – истории… Число как перво-принцип поэтому в самом подлинном и в самом буквальном смысле слова находится и везде, и нигде в отдельных числах и числовых операциях; и оно целиком и присутствует, и отсутствует в каждом математическом суждении, в каждой числовой структуре <…> Во всяком механизме лежит в основе презрение к материи и уничтожение ее. Механизм есть не возвеличение и увенчание материи, но ее преуменьшение и принижение, поскольку любая часть механизма в любую минуту может быть изъята из целого и заменена другой. Тут, значит, все дело не в материи, не в теле, а во внешней и отвлеченной схеме, которую можно осуществить на любом материале и из любого куска данного рода тела. Не то в организме. Организм есть прежде всего уважение к телу и материи, внимательное и субтильное отношение к этому «внешнему» и «случайному». В организме нельзя заменить по произволу одни части другими; и это потому, что тут важна не только осуществившаяся в организме идея, но и тот телесный материал, на котором осуществилась эта идея, так что определенные части этого материального организма оказываются уже столь же неповторимыми, индивидуальными, ни на что другое не сводимыми и подлинно, субстанциально оригинальными, как и сама идея" [Лосев, 2013].

Бунин В.А. Математика и трудности физики // Сознание и физическая реальность, 1997, т.2, № 2, с. 71 – 79.

Бунин В.А. Три тупика современной математики // Сб. «Духовная Россия и Интернет», Международная академия энергетической инверсии имени П.К. Ощепкова. М.: Ленанд, 2009, с. 69 – 75.

Бунин В.А. Биоподобие техногенных систем: Математический код метагармонии. М.: КРАСАНД, 2010. – 96 с.

Кудрин В.Б. Бытийный статус числа и вселенская информационная сеть – Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013.