СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение: Реальность "прошлого".

2. Методы математизация мыслительных процессов.

3. Гилетическое число и гилетика.

4. Необходимость пересмотра оснований математики.

5. "Случайность" или "хаотичность"?

6. Виды математических операций, функции и корреляции.

7. Классификация простых чисел и трудности перевода.

8. Корреляционное исчисление

9. Числовые пространства.

10. Числовой "биоценоз".

11. Модели усвоения и актуализации информации.

12. Заключение. Перспективы создания гилетического коррелятора.

1. Введение: Реальность "прошлого"

Роль науки обычно принято сводить к изучению изменений, происходящих в видимом мiре, в "точечном моменте" "настоящего". При этом память представляется неким "следом" происшедших событий, сохраняющимся некоторое время на этой поверхности. В этой модели память способна сохраняться лишь на материальных носителях, в роли которых на протяжении истории последовательно выступали: глиняные таблички, книги, магнитофонные ленты, компьютерные диски.

Однако существует иная традиция, восходящая к Блаженному Августину, нашедшая свое продолжение в Средние века, и допускающая не менее строгое и точное выражение, чем доминирующее ныне "поверхностное" представление о мiре. С точки зрения этой традиции, видимый мiр, называемый в современном естествознании вещественным, или материальным мiром, – есть лишь изменчивая трехмерная граница между еще не наступившим ("будущим") и уже состоявшимся, которое принято называть "прошлым", хотя именно его правильнее было бы именовать "происшедшим", "состоявшимся", "наставшим", или даже "настоящим". Оно будет сохраняться в невидимом мiре и после завершения существования видимого мiра. Время – это не "пожиратель" вещей и событий, а их генератор и транслятор в Вечность. При всей огромности мiра видимого, невидимый мiр Вечности превосходит его и по величине, и по глубине содержания. Вечность можно назвать хранительницей и накопительницей всех совершившихся событий.

Экспериментальные исследования природы памяти, неоднократно проводившиеся в течение XX столетия, показали колоссальную разницу между принципами хранения информации в современных компьютерных системах и принципами организации человеческой памяти, подтвердив присущую почти каждому человеку интуитивную уверенность в сохранении памятью всей воспринятой в течение жизни информации. Это касается как памяти генетической, связывающей программу развития организма с программой вида, так и памяти в общеупотребительном смысле слова, хранящей впечатления, полученные особью в течение жизни. Как геном, так и мозг – не хранилища "следов" прошлых событий, подобно библиотекам и архивам, и не усовершенствованные арифмометры, подобно ныне используемым компьютерам. Память не ограничена трехмерным объемом мозга, а представляет собой нелокальное явление, относящееся к мiру духовному.

Широкую известность приобрели в 60-х годах XX столетия опыты Уайлдера Пенфилда, воссоздавшего давние воспоминания пациентов путем активации открытого мозга электродом. Пенфилд интерпретировал результаты своих опытов как извлечение информации из "участков памяти" мозга пациента, соответствующих определённым отрезкам его жизни. В опытах Пенфилда активация была спонтанной, а не направленной. В конце прошлого столетия исследования Натальи Бехтеревой показали, что мозг не является ни полностью распределённой информационной системой, ни голограммой "в чистом виде", а представляет собой область, в которой сочетаются распределённые и голографические свойства. В процессе воспоминания активируются не локализованные в пространстве "участки памяти", а коды каналов связи – "универсальные ключи", связывающие мозг с нелокальным хранилищем памяти, не ограниченным трёхмерным объёмом мозга [Бехтерева, 2007]. В наши дни стремительно развивается нейрокибернетика, объединившая компьютерные технологии и современные представления о способах хранения и переработки информации в живых системах. Согласно теории квантового нейрокомпьютинга Хамероффа — Пенроуза, активность мозга рассматривается как существенно квантовый процесс [Пенроуз, 2011]. Роджер Пенроуз убедительно доказал, что мышление не может быть сведено к производимой искусственным устройством "переработке информации", каким бы сложным и совершенным оно ни было. Самое большее, на что может быть способно искусственное устройство – это автоматизация сохранения, воспроизведения и объективации информации, но понимание содержания информации, ее осмысление – всегда будет прерогативой самого человека.

"… Согласно Гёделю, сам по себе физический мозг действует исключительно как вычислитель, разум же по отношению к мозгу представляет собой нечто высшее, вследствие чего активность разума оказывается свободной от ограничений, налагаемых вычислительными законами, управляющими поведением мозга как физического объекта. Гёдель, судя по его собственным словам), не считал, что утверждение можно рассматривать в качестве доказательства его тезиса о невычислимости деятельности разума" [ibid.].

В работе "Размышления над теоремой Гёделя" выдающийся русский математик академик А.Н. Паршин убедительно показал: память имеет природу континуума. В памяти нет ни пространственных, ни временных расстояний, а есть сосуществование всех совершившихся событий. Моделирование функций мозга методами математики дискретных величин – это попытка приравнять к дискретным величинам континуум, не преодолев фундаментального различия непрерывного и дискретного.

"Для того, чтобы мышление было возможным, – писал Паршин, – для того, чтобы существовала интуиция, вспышка озарения, …необходимо, чтобы мысль могла двигаться по пространству, не просто бесконечному, но по пространству, имеющему структуру континуума"[Паршин, 2002].

В главе "Поворот в физике" цитируемого издания А.Н. Паршин показывает, как понятия умозрительного мiра в XX столетии неожиданно проникли в так называемую "научную картину мiра":

"Говоря о физике, стоит остановиться подробнее на том, что принципиально нового внесла квантовая теория в научное мировоззрение. Поворот в точном естествознании происходил в нашем веке в то самое время, когда в науки, считавшиеся традиционно гуманитарными, стали проникать идеи и методы точных наук. Принцип точности, объективности теоретических построений и обязательности эксперимента, как замена «отживших свое» традиционных методов в психологии, а затем и в языкознании и даже литературоведении, изгнание из этих наук личностного начала, стали рассматриваться как синонимы прогресса в науке.

И вот в то время, когда из научной психологии, казалось бы, навсегда были изгнаны «душа», «сознание» и многое другое, именно физики заговорили о «свободе воли» у электрона, о роли сознания наблюдателя в физическом эксперименте.

Попытки понять ни на что не похожую реальность, открывшуюся перед физиками, вынуждали их на поистине отчаянные действия. Таким был и ничего не давший отказ от закона сохранения энергии. В 1919 г. английский физик Ч.Г. Дарвин, внук знаменитого натуралиста, пришел к мысли, что, может быть, придется «в качестве последней возможности приписать электрону свободу воли». Зная теперь дальнейшее развитие квантовой теории, устоявшейся в своих основах к концу 20-х годов, можно интерпретировать эту идею так.

Предсказания в квантовой теории носят существенно вероятностный характер. Говоря о распаде атома в результате какого-либо процесса, мы можем найти лишь вероятность этого события, которая подтверждается на большой совокупности распадающихся атомов. Предсказать, когда данный, конкретный атом распадется, квантовая теория не может. Более того: она не допускает, что в будущем появится более полная теория, которая ответит на этот вопрос. Этим вероятностный мир квантовой теории принципиально отличается от обычных представлений о вероятности (бросание монет, лотерея), когда считают, что вероятностный исход объясняется нашим незнанием подлинной ситуации.

Разумеется, этот основополагающий принцип квантовой теории тоже основан на каких-то допущениях, и формально можно пытаться его обойти. Что неоднократно – и безуспешно, поскольку опровергалось экспериментом, – и делалось. В этих «неудачах» и есть, если угодно, своеволие электрона, его свобода.

Психологическая подоплека всех попыток опровергнуть квантовую теорию – в том, что революционный характер новой философии является революционным не в расхожем, а в буквальном смысле этого слова. Она возвращает (или, скажем помягче, намекает на возможность возвращения) к тем представлениям о мире (прежде всего, о его одушевленности), с которыми наука упорно боролась столетиями.

И неудивительно, что психологам – приверженцам точных методов – не пришло в голову воспользоваться в качестве модели поведением электрона, когда они оказались полностью неспособными понять феномен свободы воли. Проще было подчиниться духу времени и признать свободу воли чем-то вроде артефакта.

Намного большую известность получила введенная Нильсом Бором концепция дополнительности. Как в одной и той же непротиворечивой теории соединить две явно противоречащие друг другу картины мира: корпускулярную (когда реальность выступает в виде частиц) и волновую (когда та же самая реальность воспринимается как волны)? Бор постоянно подчеркивал, что эта ситуация встречается не только в физике, но и в других науках и вообще в жизни"[ibid].

А.Н. Паршин так сформулировал актуальную задачу научного сообщества: "Учитывая исторический опыт естествознания (а это тоже опыт, к которому мы должны прислушаться), можно было бы начать с построения умопостигаемого мира как некоторого пространства. Причем возможно понимать такое пространство только как философскую категорию или же сделать следующий шаг и представить его более конкретно как математическую конструкцию. И затем соединить два мира или два пространства – физическое и умопостигаемое в одно целое, как и должно быть… И если мы примем на время, что есть не просто умопостигаемый мир, но и отвечающее ему пространство, то это пространство и будет, среди прочего, вместилищем для языка"[ibid].

2. Методы математизации мыслительных процессов

Как известно, ни Пифагор, ни его ближайшие ученики не оставили письменных трудов. Самые ранние дошедшие до нас письменные источники, по которым мы можем пытаться реконструировать его учение, относятся к гораздо более поздним временам. Это – "О Пифагоровой жизни" Ямвлиха (242 – 306 A.D.), "Жизнь Пифагора" Порфирия (254 – 305), "Пифагор" Диогена Лаэртского (200 – 250). Но литература о Пифагоре и пифагорейцах огромна, в том числе – о математических воззрениях пифагорейцев. Здесь мы кратко коснемся лишь самых общих представлений пифагорейцев, о том, что такое математика и число.

Пифагорейцы понимали под математикой (от греческого μάθημα "изучение через размышление"), не отдельную предметную область знаний, а "точное выражение чего-либо, достигнутое путем размышления". При этом математика оставалась для них неотъемлемой частью философии.

В учении пифагорейца Иона Хиосского о Троице уже просматривается то, что впоследствии получило наименование диалектики. По словам С.Н. Трубецкого, "Троица есть первое явление положительного единого в своем отрицании, в своем другом. Она есть первое раскрытие абсолютного единого, торжествующего над возможностью всякого разделения. Двоица есть принцип дурной бесконечности, абстрактной неопределенной делимости, троица – принцип конкретного истинного деления, органического расчленения, являя в себе начало, средину и конец всякой вещи и всякого действия. Отсюда пифагорейцы утверждают, что «все и вся определяется тремя», что 3 – вмещает в себя силу всего числа. Таким образом единица исцеляет дуализм своею нечетной силою, рождая неделимую троицу, самобытную, активную, мужественную. Разъятая своей отрицательной потенцией (двойкой), троица обладает положительной силой в своей нераздельности, в своем внутреннем, существенном единстве. Не следует забывать, что троица, триада Пифагора не есть математическая сумма трех условных единиц, но живое число, определенная, конкретная сила единого. Так как счисление есть жизнь этого единого, то троица есть не случайное, но существенное, коренное проявление единства, ибо ему существенно так проявляться, умножаться и расчленяться, органически вдыхая в себя свою беспредельную стихию, вбирая ее в себя. Итак, троица есть положительное начало (потенция)… Все числа вытекают из единого – первого начала числа, которое, подобно богу орфиков, заключают в себе семена всех вещей. Позднейшие пифагорейцы различали два или три начала единства: 1) абсолютное, сверх-существенное начало единства, источник и причину всего сущего; 2) единое как элемент вещей, начало формы и предела, противоположное множеству, беспредельности; и 3) конкретное всеединство, единство во множестве"[Трубецкой, 1910].

Выделение математики в отдельную от философии предметную область сначала привело к превращению ее в изощренную игру по придуманной игроками правилам, подобным шахматным или шашечным (причем вопрос о соответствии математических объектов объектам реального мiра даже стало не принято ставить), а затем, уже в Новое время, – к изменению смысла этого понятия на прямо противоположный, когда математика стала ассоциироваться даже не с опытной наукой, а с экспериментальной технологией – "допрашиванием" природы путем эксперимента. Но именно выход за пределы чувственного опыта, как это ни парадоксально, дает возможность приобретения точного знания о реальном мiре.

1920 – 1930-е годы ознаменованы одной из наиболее удачных попыток философского осмысления понятий числа и математики. Попытка эта была предпринята великим русским мыслителем Алексеем Федоровичем Лосевым (1893 – 1988).

Необычно место, где была предпринята эта попытка: вначале – лагерь в зоне строительства Беломорско-Балтийского канала, затем, – "вольное поселение", располагавшееся внутри этой зоны.

Будучи отрезанным от какой бы то ни было научной информации, не имея под рукой никакой справочной литературы, полагаясь лишь на свою феноменальную память, Лосев смог создать в уединенном домике на Медвежьей горе уникальное учение, не только на много десятков лет опередившее современные исследования, но и открывающее перспективы принципиально нового развития математики.

Еще в 1928 году Лосев завершил работу над своей первой книгой, посвященной осмыслению понятия числа и получившей название "Диалектика числа у Плотина". Он пишет: "Казалось бы, столь сухая материя, как учение о числе приобретает значение жизнеобразующей силы в эстетике пифагорейцев и Платона. Число дифференцирует и обобщает нерасчлененный поток бытия, превращает его в упорядоченную гармонию души и тела. Поняв число как диалектический синтез беспредельного и предела, пифагорейцы тем самым создали учение о созидательной и творчески направляющей сущности числа. Числовые отношения лежат в основе как природных процессов, так и жизни человеческой души". Главное, продолжает автор, "числа как такового нет, оно не существует без вещей, оно – в самих вещах и есть их структура, их ритм и симметрия, то есть с досократовской точки зрения, – их душа…

В результате применения пифагорейских чисел к конструкции бытия получается музыкально-числовой космос со сферами, расположенными друг в отношении друга согласно числовым и гармоническим отношениям"[Лосев, 1993].

В работе "Философия имени" Лосев предлагает создать новую фундаментальную науку аритмологию, определяемую им как "логическое учение об эйдетической схеме, или об идеальном числе, т.е. о смысле, рассмотренном с точки зрения подвижного покоя": "Схема – идеальный контур вещи, эйдетическое число; логос схемы есть обыкновенное математическое, точнее, арифметическое число; логос логоса схемы есть математика, т.е. прежде всего арифметика (не геометрия). <...> Число как смысловое изваяние и фигура как идеальное тело – предмет аритмологии; число как функция и методологическое задание, как принцип и замысел, чистая смысловая возможность эйдетического тела, – есть предмет математики как науки о числе, элементарной и высшей. <...> Все отличие т. н. формальной логики от "арифметики" заключается в том, что первая есть наука о понятии (и об его различных модификациях), а вторая есть наука о числе (и об его различных модификациях). То и другое таит в себе своеобразные, специфические логические конструкции, дающие начало двум совершенно различным и самостоятельным наукам. На основе арифметики может возникнуть и содержательная дисциплина, состоящая из тех же математических конструкций, но наделенных теми или другими содержательными моментами" [ibid].

Важно отметить, что, в представлении Лосева, и эйдетическое, и арифметическое числа представляют собой завершенные количества. Числа, в которые входит некое идейное содержание, т.е. некая уже несчислимость, неспособность к счету или, как он отмечает в "Критике платонизма у Аристотеля" – "некая сплошная качественность, которая невыразима никакими количественными переходами и рядами", Лосев первоначально назвал идеальными [Лосев, 2011]. Идеальное число и присутствует в "обычном" арифметическом числе, и существует вне его самостоятельно.

3. Гилетическое число и гилетика

Понятие гилетического числа (от греческого слова ὑλή = hyle = вещество) впервые введено А.Ф. Лосевым в работе "Музыка как предмет логики". По формулировке Лосева, "гилетическое число выражает момент иного, меонального размыва и подвижности, смысловой текучести и жизненности эйдоса, т.е. самого предмета" [Лосев, 1990].

Различие между существованием и бытием постулировано еще Парменидом. По мысли Лосева, идеальное число – это число существующее, но не получившее еще бытия. Тогда гилетическое число можно понимать, как идеальное число, обладающее не только существованием, но и бытием.

Термин "гилетика" впервые был применен Эдмундом Гуссерлем в работе "Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии": "Естественно, что чистая гилетика подчинена феноменологии трансцендентального сознания. Кстати говоря, эта чистая гилетика обладает характером замкнутой в себе дисциплины, как таковая, имеет свою внутреннюю ценность, а, с точки зрения функциональной, и значение – благодаря тому, что она вплетает возможные нити в интенциональную паутину, поставляет возможный материал для интенциональных формирований" [Гуссерль, 1999]. Из приведенной цитаты видно, что для Гуссерля слово "гилетический" было синонимом слова "чувственный" или "материальный" (имелся в виду материал переживаний), но Лосев различает эти понятия, в смысле их различения в греческой и латинской культурах. Хотя Цицерон и ввел слово materia как перевод греческого ὑλή, оно отличается от латинского materia именно тем, что materia – это ὑλή, взятое в момент его наблюдения, a ὑλή включает в себя все моменты существования вещественного предмета, всю его биографию, реализованную в виде конкретного гилетического числа.

Значение греческого слова ὑλή так же относится к значению латинского materia, как объем шара относится к его поверхности. Латинская часть культурного мiра, говоря о веществе, подразумевает его нынешнее видимое состояние. В философии Нового времени, а затем и в "научном мiровоззрении" XVII – XX столетий рассмотрение объема шара незаметно подменилось рассмотрением лишь его поверхности. Можно сказать, что "научное мiровоззрение" в его привычном понимании поверхностно не в переносном, а в самом прямом смысле слова. Преодолевается эта поверхностность лосевской философией числа, представляющей собой покаяние ("изменение ума"), которое так же необходимо в науке, как и в этике.

Может показаться странным противопоставление понятий "гилетический" и "вещественный": ведь ὑλή как раз и означает вещество, а вещественные числа успешно применяются в математике уже более пяти тысяч лет! Но, как мы увидим далее, значения этих слов имеют существенные оттенки, позволяющие их строго различать, и Лосев был совершенно прав, противопоставив их. Речь идет не о том, чтобы дать новое название уже известному предмету. Число в общепринятом понимании представляет собой как бы моментальный снимок гилетического числа, сделанный на его вещественной стадии, оцепеневшее число, тело числа, разлученное с душой. Поэтому и область его применения ограничивается вещественным мiром. Греческое понятие ὑλή, в отличие от латинского materia, включает в себя и материю умопостигаемого мiра, сакральную материю, или, выражаясь словами Гуссерля, "материю переживаний", тогда как materia – это вещество лишь физической оболочки мiра, видимого мiра.

"He-объективная и не-субъективная, чистая идея числа, переходя в свое инобытие, превращается прежде всего в физически-материальное, пространственно-временное число" [Лосев, 2013] – пишет Лосев в своем фундаментальном труде "Диалектические основы математики", написанном еще в 30-е гг., но впервые увидевшем свет лишь в 1997 году и переизданном в 2013. В этой работе Лосев окончательно формулирует понятие числа: "Число есть прежде всего отвлеченная сфера чистого смысла, а не выразительная… Число есть самый акт смыслового полагания, а не содержание этого полагания… Число есть ставший результат энергии самосозидания акта смыслового полагания"[ibid].

Если мыслить выражение "ставший результат" не как остановку во времени "акта смыслового полагания", а как непрекращающийся процесс, то это определение вполне приложимо именно к гилетическому числу, хотя сам этот термин Лосевым больше не используется. Теперь он понимает под числом "полное" число, включающее понятие континуума в качестве инобытия "общепринятого" числа. Поэтому отныне, говоря "число" и не сопровождая это слово какими-либо "ограничительными" прилагательными, мы будем "по умолчанию" подразумевать "полное" число, то есть число гилетическое, в более ранней терминологии Лосева.

Понять разницу между латинским и греческим восприятиями числа нам опять поможет классическая филология. Греческое слово αριθμός не является простым аналогом латинского numerus (и производных от него новоевропейских numero, Nummer, nombre, number) – его значение гораздо шире, как и значение русского слова "число". Слово "номер" тоже вошло в русский язык, но не стало тождественным слову "число", а применяется лишь к процессу "нумерации" – русская интуиция числа совпадает с греческой. Нумерология не тождественна аритмологии, а только часть аритмологии, хотя формально – это калька соответствующего греческого термина. В современной математике Теория чисел занимается только целыми числами, поэтому более точным ее названием было бы "Теория номеров" (хотя уже есть ещё более узкая Теория нумераций).

Как заметил в своей недавней публикации А.С. Харитонов, "с помощью математического аппарата, основанного на целом числе и натуральном ряде, описываются только бинарные взаимодействия, противоречащие опыту существования и развития сложных систем" [Харитонов, 2012, 2019].С

По определению Лосева, "вся математика есть не что иное, как развитое и детализированное понятие числа" [Лосев, 2013]. В процессе создания учения о числе Лосев широко использовал не только пифагорейскую, но и неоплатоническую терминологию. Однако от неоплатонизма учение Лосева принципиально отличается своим христианским персонализмом. Это отчетливо видно даже в тех его работах, где он не мог открыто высказать свои убеждения по вполне понятным цензурным условиям эпохи.

4. Необходимость пересмотра оснований математики

"Диалектические основы математики" Лосев начинает с рассмотрения числа как "факта духовной культуры":

"Ставится задание: рассмотреть число как объективно-социальную действительность, но так, чтобы видны были все логические, сознательные и вообще смысловые скрепы этой объективной действительности. Если бы задание это было выполнимо, мы получили бы число (а значит, и математику) не как предметный продукт мышления и не как физический продукт природы, но как продукт саморефлектирования духа, как факт духовной культуры"[ibid].

Далее он переходит к рассмотрению структуры математики в целом:

"Задача эта трудна и многосложна, и тут необходим тот союз философии и математики, который так част в интуитивных глубинах у настоящих философов и математиков и который так редок у тех, кому суждено повторять и распространять философские и математические идеи, но не создавать их впервые. Вчитываясь в Лейбница, часто не знаешь, философская или чисто математическая интуиция им руководила. Это, конечно, ни то и ни другое, это – то первичное, рождающее лоно идеальной мысли, где философия и математика слиты пока еще в одно нерасчленимое целое. И, когда читаешь Кантора, тоже удивляешься тому, как иная философская идея, вычитанная им у какого-нибудь Фомы Аквинского, чувствуется, именно чувствуется и ощущается, а не просто понимается – чисто математически и арифметически… Вдумчивый наблюдатель обнаружит, что на глубине у этого гениального человека философия и математика слиты до полной неразличимости и являются единой и целостной могучей интуицией, способной оплодотворить и определить собою как чисто философскую, так и чисто математическую систему.

Философия математики должна вернуть нас к этому глубинному союзу философии и математики. Она, философия математики, должна в расчлененном и яснейшем виде показать, конструировать то нерасчлененное и неясное, что лежит в основе общей философско-математической интуиции, отказавшись как от формализма и пустоты, техницизма математических доказательств, так и отвлеченности и слишком большой общности философских теорий"[ibid].

Лосев был убежден, что современная ему математика "Нового времени", ограничив область своего применения лишь мiром вещественным, не способна адекватно представить даже этот вещественный мiр. Фактически она занимается не Реальностью, а мiром порожденных ею самой иллюзорных умственных конструкций. Эта "иллюзорная математика", доведенная до крайних пределов иллюзорности в интуиционистской модели Брауэра, оказалась непригодной для моделирования процессов запоминания и воспроизведения информации.

Для того, чтобы математика отражала не только изменения, происходящие на трехмерной поверхности видимого мiра, но и реальное взаимодействие видимого и невидимого мiров, осуществляющееся во всем объеме мiрового пространства – надо не пытаться редуцировать это взаимодействие к господствующим ныне математическим методам, а создать адекватную ему математическую модель.

Необходима переоценка самих оснований математики, ее аксиоматики. К этой переоценке и приступает Лосев в "Диалектических основах математики". Он пишет:

"… Общей особенностью современной математической аксиоматики является ее формалистический и антидиалектический характер. Выставляется ряд аксиом; и – неизвестно почему, собственно взяты эти аксиомы, а не другие и откуда можно почерпнуть гарантию полноты этого списка аксиом. Такая беспомощность вполне характерна, напр., для знаменитого Гильберта, которого математики почему-то особенно превозносят именно в этом отношении. Мы читаем его перечисление аксиом – и совершенно не знаем, откуда он их получил, как к ним логически пришел и действительно ли все аксиомы тут перечислены. Ведь система аксиом должна быть такова, чтобы была действительно ясна ее полнота и логическая завершенность. У Гильберта же мы можем в крайнем случае сказать только то, что каждая из данных аксиом имеет в математике действительное значение, но совсем не можем сказать, что тут исчерпана вся аксиоматика, и не знаем, где гарантия ее логической законченности" [ibid].

Критикуя учение Леопольда Кронекера о сводимости чисел, Лосев пишет: "… общеизвестные попытки свести все типы числа на целое и положительное число, наиболее резким образцом которых может служить учение Кронекера, заведомо обрекаются для нас на полный неуспех. Л. Кронекер сводит всю математику на теорию натуральных чисел и целых целочисленных функций от неопределенных символов u, v, w, при конечном числе операций. В результате все эти ухищрения сводятся только к новому математическому правописанию, так как фактически нет, конечно, никакой возможности избежать самих логических категорий, лежащих в основе каждого типа. <…> Упование на то, что все числа можно «свести» на целые числа, вредно ещё и тем, что оно до известной степени преграждает анализ тех категорий, которые заложены в основе разных типов чисел, понимаемых как специфические индивидуальности. Тут надо уметь не столько «сводить» одно на другое, сколько «выводить» одно из другого" [ibid].

В противоположность знаменитому высказыванию Кронекера: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" (Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека), нам представляется правильным диаметрально противоположное утверждение: "Бог создал полные числа, все остальные виды чисел – искусственные конструкции человеческого рассудка, призванные ограничить понятие и возможности числа для удобства производящих вычисления математиков". (Отметим, что "удобство" это продолжается лишь до того момента, пока вычислители не оказываются в логическом тупике).

Критика Лосевым современных ему аксиоматических систем совпала во времени с кризисом оснований математики, вызвавшим острую дискуссию о природе математических объектов. Обладают ли они реальным онтологическим статусом или существуют лишь в воображении учёных? Пауль Бернайс ввёл понятие "математического платонизма", а Курт Гёдель, в своей знаменитой Гиббсоновской лекции, прочитанной в 1951 году, утверждал, что математический платонизм – единственно плодотворная позиция любого работающего математика, независимо от того, сознаёт он это, или нет. Согласно Бернайсу и Гёделю, "математические объекты имеют объективное существование, и работа учёных состоит в том, чтобы открывать характеристики этих объектов". Противоположную позицию занимают конструктивизм и формализм, согласно которым математические объекты – лишь произвольные конструкции учёных, подобные шахматным правилам. Однако и конструктивисты, и формалисты, забывая о декларируемых ими взглядах, в своей повседневной работе ведут себя так, как если бы они сознавали реальность математических объектов. По остроумному замечанию английского физика и философа Джона Барроу, "Математики – формалисты с понедельника по пятницу и платонисты по выходным".

В 1931 году Курт Гёдель доказал существование высказываний, не выводимых дедуктивным путём из аксиом арифметики. Позже было установлено, что выводимые высказывания составляют лишь неизмеримо малую часть всех высказываний, истинность подавляющего числа которых нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

"Гёделевская революция" навсегда покончила с наивной уверенностью во всеохватности формального мышления, свойственной тогда большинству "научного сообщества", показав, что попытка вывести главнейшие истины рациональным путем приводит к осознанию разумом своих границ. А.Н. Паршин так сформулировал значение теоремы Гёделя не только для математики, но и для человеческой культуры вообще: "Если бы не было теоремы Гёделя, то жизнь не только не была бы приятнее, её просто не было бы"… Теорема Гёделя показывает не просто ограниченность логических средств, она говорит о каком-то фундаментальном, глубинном свойстве мышления и, может быть, жизни вообще. Если мы что-то хотим понять в мышлении человека, то это возможно не вопреки теореме Гёделя, а благодаря ей" [Паршин, 2002].

Если до 30-х годов XX столетия можно было еще тешить себя иллюзиями о возможности формализации математики, не учитывающей абсурдности самих оснований формальной логики, то после гёделевской революции эти иллюзии растаяли. Именно выход за пределы обыденного опыта и переход к "логике абсурда", как это ни парадоксально – дают возможность приобрести точные знания о реальном мiре. "Лжеименной разум" сменяется разумом истинным.

Мысль Тертуллиана: "Et mortuus est dei filius; prorsus credibile est, quia ineptum est. Et sepultus resurrexit; certum est, quia impossibile" ("И умер Сын Божий — это совершенно достоверно, ибо нелепо; и, погребенный, воскрес — это несомненно, ибо невозможно") [Тертуллиан, 2004] может быть даже усилена, так как "безумны" и "невозможны" не только смерть и Воскресение Бога, но и само существование Его и сотворенного Им мiра! Невозможность преодолевается чудом! Знаменитые афоризмы Лосева: "Верую, потому что максимально разумно" и "Вера есть требование максимально развитого разума", обычно понимаемые, как полемика с Тертуллианом, – не только не противоречат мысли Тертуллиана, но последовательно продолжают эту мысль, полностью раскрывая заложенный в ней глубинный смысл. Сама логика приводит к осознанию необходимости новой аксиоматики, основанной на понимании принципиальной неполноты рационального сознания.

Квантовая теория и теорема Гёделя представляются поверхностному взору никак не связанными друг с другом интеллектуальными построениями, относящимися к различным областям знания. На самом деле они говорят об одном и том же – о невозможности понять мiр, ограничиваясь рассмотрением лишь "сиюминутных" событий, происходящих на трехмерной поверхности Мiровой Сферы, считая все остальные события либо "уже отошедшими в прошлое", либо "еще не наступившими". Это подобно тому, как если бы изучение реального исторического события подменялось изучением кинопленки, на которую это событие было заснято, а смена кадров этой кинопленки выдавалась бы за реальное течение этого события.

5. Случайность или хаотичность?

В "Диалектических основах математики" Лосев формулирует новое понимание случайности в математике: "Настоящая действительность вмещает в себя самопроизвольность своего протекания, и потому ей всегда свойственна стихия случайности. Случайность же, данная в смысловой сфере, есть как раз вероятность. И потому теория вероятностей и статистика есть то в математике, что максимально близко отражает на себе действительность, и притом действительность не природы только, но и жизни, животной и социальной. Это уже будет не просто действительность числа, но история числа, понимая под этим как животное развитие и всю органическую жизнь, так и человеческую, социальную" [Лосев, 2013]. Очевидно, что термин "случайность" Лосев употребляет не в расхожем смысле – как синоним "хаотичности", а в том специфическом смысле, который этот термин приобрел (к моменту оформления лосевской философии математики) в теории вероятностей. Здесь случайность – не мера хаотичности, а мера "фактичности" или конкретности событий, не детерминированных предшествующими событиями (тогда они могли бы быть выведенными дедуктивно), а непредсказуемыми заранее и, именно в силу этой непредсказуемости, порождающими новую информацию.

Согласно Лосеву, становление сущности числа происходит именно в процессе операции с этим числом. Во введении к работе "Диалектические основы математики" он показывает отличие понимания сущности математической операции математиком и философом:

"В то время как сама математика есть совокупность чисто числовых операций, философия превращает эти числовые операции в понятийные, в принципиально логические. Математика в этом смысле есть знание как бы одномерное, одноплановое; философия же заново перестраивает этот математический план, превращает его из структуры-в себе в структуру-для себя, понимая числа как понятия и тем перекрывая числовую структуру структурой логической. Вот почему многое, столь понятное математику, совершенно непонятно философу; и иной раз приходится очень и очень много размышлять над тем, что с математической точки зрения является чем-нибудь очень простым, почти пустяком. Нечего и говорить о таких операциях, как интегрирование или разложение в ряд; достаточно взять простой математический факт: 2 х 2 = 4. В этой простейшей операции арифметического умножения функционирует целый ряд логических категорий, о которых умножающий не имеет ровно никакого представления, как бы хорошо и быстро он ни умножал. Если я скажу, например, что умножение так же отличается от возведения в степень, как понятие механизма от понятия организма, что возведение в степень и извлечение корня в логическом смысле есть аналогия органического роста (в отличие от внешнемеханического сопряжения), то это будет всякому математику без предварительного разъяснения по меньшей мере непонятно. А тем не менее логический (а не просто числовой) анализ простых арифметических действий приводит именно к такому заключению… Философия числа должна знать не только логическую картину математики как науки, но она должна понять также и историческую природу этой науки, т. е. понять ее как определенный ряд некоторых историко-культурных типов, так чтобы на самых этих типах математики была видна печать породившей их эпохи и стиль данного исторического типа. При таком своем построении философия числа обладает не только смысловой интимностью, неведомой в прочих науках и подсматривающей самые затаенные логические связи, но этой интимностью проникнута тут сама социальная действительность, и делаются видными благодаря ей самые тайные, самые глубокие корни культуры, порождающей те или другие числовые представления. Такова философия числа, синтезирующая самое ценное достояние и субъективного и объективного хода духовной культуры… Философия числа все же есть пока еще только теоретическая наука. Она теоретична в той же мере, в какой теоретичны и те две области, синтезом которых она является, т. е. психо-биологии и социологии. Вся эта основная триада: 1) чистая математика, 2) математическое естествознание и 3) философия числа (возникающая как диалектический синтез двух только что упомянутых дисциплин) – суть общая теория числа, построенная в значительной части на историческом материале, но сама отнюдь не является историей. Нужно, чтобы вся эта триада перешла в свое инобытие, чтобы она была вовлечена в инобытийный процесс становления; и только тогда мы достигнем последней и окончательной конкретности – истории… Число как перво-принцип поэтому в самом подлинном и в самом буквальном смысле слова находится и везде, и нигде в отдельных числах и числовых операциях; и оно целиком и присутствует, и отсутствует в каждом математическом суждении, в каждой числовой структуре"[ibid].

6. Виды математических операций, функции и корреляции

Общеизвестные элементарные арифметические операции (сложение, умножение, возведение в степень и обратные к ним) далеко не исчерпывают всего богатства возможных операций. Участие числа в арифметических операциях порождает новые числа. Но "исходное" число при этом никуда не пропадает! В числовом пространстве течение времени определяется производимыми в нём операциями, причём исходные числа не пропадают, а продолжают сосуществовать с результатом операции. Простейший пример: суммируя единицу со знаком плюс с минус единицей, мы получаем не только ноль (как это предполагалось в конвенциональной арифметике) но вечно пребывающую картину произведённой математической операции, содержащей все участвующие в ней числа, так как операция суммирования не уничтожает слагаемые, а дополняет их суммой, так же, как операция умножения – не уничтожает сомножителей, а дополняет их произведением, – это же справедливо для любых математических операций.

В господствующей сегодня редукционистской математике знак операции не принято включать в понятие числа. Но именно операция над числами ответственна за корреляцию между ними, когда исходные числа, переходя из динамийного статуса в энергийный, дают результат в виде третьего числа, причём исходные числа продолжают своё существование во временном измерении числа. Это даёт основание для включения знака операции в понятие числа, причём всё выражение, состоящее из исходных чисел, знака операции и результата, – можно будет считать единым гилетическим числом. В этой связи имеет смысл вновь рассмотреть публикации В.А. Бунина, предложившего способы расширения не только понятия числа, но и действия, путем замены привычных символов математических операций на обычные скалярные числа, соответствующие ступеням действий, благодаря чему возникают уравнения, в которых искомым может быть сам тип операции [Бунин, 2010].

В главе "Функция и соседние категории" "Диалектических основ математики" Лосев проводит принципиальное различение между функциональной и корреляционной зависимостью: "Стоит обратить особое внимание на значение категории "функция" в теории множеств и в теории вероятностей. В первой из названных наук эта категория связана с процессом отображения одного множества на другом и на установлении того или иного соответствия отображенного с отображающим. Во второй из названных наук функция приобретает значение т.н. корреляции, которая, в связи с тем, что в данном случае происходит исчисление бытия фактически случайного, как раз и есть функция, но без чисто функционального содержания, а только с фактически опосредствованным"[Лосев, 2013].

Известный французский физик Леон Бриллюэн писал: "Детерминизм предполагает «долженствование»: причина должна порождать такое-то и такое-то следствие (и очень часто добавляется «сразу же!»). Причинность принимает утверждение, содержащее «может»: определенная причина может вызвать такие-то и такие-то следствия с некоторыми вероятностями и некоторыми запаздываниями. Различие очень важно. Закон строгого детерминизма может основываться (или опровергаться) одним единственным экспериментом: следствие есть или его нет. Это ответ типа «да или нет» и содержит лишь один бит информации. Такая ситуация может иногда встречаться, но она есть исключение. Вероятностная причинность требует множества экспериментов, прежде чем закон вероятности как функцию запаздывания времени t удастся сформулировать приблизительно. <…> Вместо строгого детерминизма мы получаем некоторый закон корреляции, некий более тонкий тип определения, который можно применить к великому многообразию проблем" [Бриллюэн, 1966].

Каузальной зависимости противостоит не статистическая зависимость (которая может быть приближенным представлением все той же каузальной зависимости), а зависимость корреляционная. Если функциональная зависимость определяется общей действующей причиной, то корреляционную зависимость можно объяснить лишь единством цели. Таким образом, формирование числа завершается лишь с наступлением события, являющегося целевой причиной взаимодействия чисел. Для любых участвующих в операции чисел такой причиной является полное объединение множеств их предикатов с полным сохранением порядка расположения элементов этих множеств. Поэтому мерой взаимодействия чисел можно считать не функцию (меру каузальной зависимости), а корреляцию. Классическая теория вероятности дает возможность интерпретировать любое ненулевое значение корреляции в качестве меры информации, передаваемой и принимаемой участвующим в операции числом.

В своей ранней работе "Тайны нового мышления" В.Ю. Татур отметил безуспешность попыток некоторых ученых описать квантовые процессы, пользуясь понятиями гильбертова пространства: "Здесь мы имеем явное противоречие между природным процессом и его математическим описанием, отражающим общепринятые представления о пространстве и времени как протяженности и длительности. Поэтому оказалось необходимым определить свойства того уровня материи, который является базисом для описания квантовых объектов как единых и неделимых. Очевидно, что его свойства должны присутствовать в каждой точке пространства, имеющего протяженность. Такие условия позволяют для описания этого уровня использовать математический аппарат нестандартного анализа, в котором в качестве объекта имеет существование монада (терминология Лейбница). Ее свойства таковы, что она может содержать актуально трансфинитное число элементов, и это множество никогда не пересечется с множеством другой монады. Таким образом, можно определить, что каждая точка гильбертова пространства представляет собой многоуровневую систему, в которой происходит движение квантового перехода с изменением энергетического состояния. Всякая макроквантовая система (биосфера, галактика и т. д.) представляет собой на определенном уровне монаду, и, таким образом, является единым и неделимым целым… В парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена нашли наиболее четкую формулировку следствия, вытекающие из нелокальности квантовых объектов, т.е. из того, что измерения в точке А влияют на измерения в точке B. Как показали последние исследования – это влияние происходит со скоростями, большими скорости электромагнитных волн в вакууме. Квантовые объекты, состоящие из любого количества элементов, являются принципиально неделимыми образованиями. На уровне Слабой метрики – квантового аналога пространства и времени – объекты представляют собой монады, для описания которых применим нестандартный анализ. Эти монады взаимодействуют между собой и это проявляется как нестандартная связь, как корреляция" [Татур, 1990].

Вернер Гейзенберг обратил внимание на то, что "при столкновении двух элементарных частиц, обладающих чрезвычайно большой энергией движения, они распадаются на составные части, которые сами являются снова элементарными частицами, а не какими-нибудь маленькими их частями. То есть их массы образуются из энергии движения столкнувшихся частиц, энергия превращается в материю"[Гейзенберг, 1963].

В другой работе Гейзенберг писал: "...Современное развитие физики повернулось от философии Демокрита к философии Платона... Если мы будем разделять материю все дальше и дальше, мы в конечном счете придем не к мельчайшим частицам, а к математическим объектам, определяемым с помощью их симметрии, платоновским телам и лежащим в их основе треугольникам. Частицы же в современной физике представляют собой математические абстракции фундаментальных симметрий" [Гейзенберг, 1975].

"Классическая" теория информации предполагает ее передачу в пределах трехмерной сферы, без выхода в непротяженный мiр сознания ("механические" или "электронные" методы применяются – в данном случае несущественно). При этом связь мыслится односторонней: даже при диалоге "в режиме реального времени" предполагаются прямой и обратный каналы передачи информации. Корреляционная же теория информации предполагает взаимодействие наблюдателя и наблюдаемого.

Подобно тому, как скульптурное изваяние имитирует мгновенное состояние живого существа, античное число – лишь имитация мгновенного состояния числа. И подобно тому, как робот имитирует некоторые функции живого существа, так и привычные функциональные числа Нового времени лишь имитируют некоторые динамические процессы реального математического мiра.

Можно найти и другие аналогии. Античное число подобно моментальному фотографическому снимку. Функциональное число – кинофильму, "действия" персонажей которого предопределены последовательностью уже отснятых кадров. Кинофильм может как угодно близко имитировать реальную жизнь, но не заменяет ее, так как отсутствует самое главное – обратная связь, зависимость наблюдаемого от наблюдателя. Просмотр кинофильма – это односторонняя зависимость наблюдателя от наблюдаемого, функциональная зависимость в чистом виде. Но реальной жизни соответствует лишь корреляционная зависимость, ни на каком этапе не детерминированная ни собственным прошлым, ни воздействием "наблюдателя".

7. Классификация простых чисел и трудности перевода

Мы привыкли к термину "простые числа", забывая о том, что "простые" они лишь по отношению к операции умножения. Но по отношению к операции сложения единственным простым числом является число 1 (формально к простым числам не относящееся), а все остальные числа – составные.

Попробуем произвести классификацию простых чисел. Сопоставим ряд простых чисел с натуральным рядом, затем – построим ещё один ряд, составленных из тех простых чисел, "номера" которых – тоже простые. Последовательно повторяя эту операцию, мы получим, вместо привычного разделения чисел на простые и составные, – упорядоченные ряды чисел, различающиеся по "степеням простоты". Каждый последующий ряд будет представлять собой подмножество предыдущего ряда [Кудрин, 2016]. Представляет трудность перевод сущности предлагаемой операции на любой иностранный язык, кроме древнегреческого, в котором αριθμός имеет тот же смысл, что и русское слово "число" [Кудрин, 2015, с. 417].

По-латыни "простое число" – numerus primus, то есть буквально – "номер первый", что совершенно не соответствует сути понятия. Гораздо ближе к ней греческое πρώτος αριθμός – "первое число". Английское выражение prime number – буквально: "начальный (но также и главный, основной) номер" – ещё дальше от сути, чем латинское определение, так как простые числа вовсе не возникли как "начальные" числа, а постепенно "выделились" из множества натуральных чисел в виде их подмножества, представляют собой вторичное понятие по отношению к понятию натуральных чисел.

Понятие простых чисел стало основой отдельной математической дисциплины, получившей название Теории чисел – также условное и не вполне точное, так как в ней рассматриваются не все числа, а лишь числа натуральные. Родившись как наиболее "оторванная от реальной жизни" область чистой математики и став основой Теории чисел, учение о простых числах стало незаменимым в такой сугубо прикладной области, как криптография, а впоследствии может стать математическим аппаратом совершенно новой информатики, основанной на принципе квантовой корреляции. (Признание этого принципа не означает непременного признания справедливости так называемой "Стандартной модели" квантовой механики).

Постепенно стало ясно, что простые числа – не отвлечённое понятие, что они определяют закономерности всех явлений – физических, биологических, социальных. Учение о простых числах позволяет арифметизировать всю математику.

Принцип квантовых вычислений впервые предложил Ю.И. Манин, в работах "Преобразование Пенроуза и классические поля Янга–Миллса" [Манин, 1980] и "Вычислимое и невычислимое" [ibid.].

Позже, попав в зависимость от англоязычной литературы, отечественная квантовая информатика обогатилась такими "перлами", как "запутанное состояние" – буквальный перевод английского entangled, не имеющего негативной коннотации, присущей этому слову в русском языке.

В работе С.Я. Килина "Квантовая информация" автору счастливо удалось избежать употребления этого неудачного термина, заменив его выражением "перепутанное состояние" [Килин, 1999]. Но почему нельзя было бы удовольствоваться термином "несепарабельное состояние, и так уже вошедшим в русский научный обиход, или, ещё лучше: "неразделимое состояние"?

В 1994 году Питер Шор показал, что квантовый алгоритм способен свести задачу факторизации (разложения целого числа на простые множители) к полиномиальному классу сложности, в то время как обычный алгоритм экспоненциально зависит от входных данных [Shor, 1994].

Именно единственность разложения любого натурального числа на простые сомножители даёт возможность нахождения универсального кода, а также уникальных кодов, применимых для хранения и передачи неразрушаемой и помехоустойчивой информации.

Р.В. Ленников и А.А. Яшин разработали математическую модель записи информации в объектах живой материи (включая человеческий мозг), представленную "волнами" расширяющихся матриц простых чисел. В рамках этой задачи ими было произведено исследование распределение простых чисел в натуральном ряду, подтверждена формула нахождения простого числа по его номеру в ряду натуральных чисел. Авторы высказывают предположение, что в процессе эволюции биосистем базовая информация передаётся в поколенной цепи на основе распределения простых чисел:

"Природа, ее фундаментальные законы, адекватно формирует процессы и объекты, изначально «неделимые». Поэтому вряд ли вызовет вопросы утверждение, что математическая запись (аксиоматика) исходной информации – от ее записи на неуничтожимых объектах Вселенной до головного мозга человека с его физиологической структурой – базируется на матрицах простых чисел; во-первых, они как раз и относятся к категории неделимых, во-вторых, любые целые числа n>3 есть простые, или сумма двух простых, или сумма трёх простых чисел" [Ленников; Яшин, 2010, с. 102]. Авторы рассматривают функцию простых чисел как исходную форму записи информации в объектах живой природы, исследуют "волны" расширяющихся матриц простых чисел – своего рода аналог дискретно-волновых процессов, применяя эти матрицы к проблеме нахождения распределения простых чисел.

Но в работе Р.В. Ленникова и А.А. Яшина, к сожалению, ничего не говорится о возможности применения свойств простых чисел для решения проблемы надёжного сохранения и передачи информации путём создания универсальных и индивидуальных кодов.

Вместе с тем, универсальный код может быть реализован на основе ряда простых чисел, а индивидуальные коды – на основе производных рядов, различающихся по степеням простоты. "Запись" этих рядов может быть осуществлена в виде голограммы с любой заданной степенью полноты, причём эта степень будет зависеть исключительно от ёмкости голограммы.

Голограмма, подобно зеркалу, содержит информацию не в отдельных фрагментах, а во всей своей поверхности. Мы видим не аналоговое и не цифровое представление предмета, а сам предмет. Лишь его "место" в пространственно-временном континууме отличается от исходного. Голограмму можно считать дальнейшим шагом к усвоению после обычного отражения. Если зеркало выполняет лишь простейшую пространственную инверсию, то голограмма уже увековечивает мгновение, в котором она была создана, хотя голографическая запись и продолжает все еще пребывать в рамках вещественного мiра, занимая для своего хранения определенный объем трехмерного пространства. Ни зеркало, ни голограмма не "кодируют" преобразуемую ими информацию, и принципы этого преобразования коренным образом отличаются от принципов цифровой записи. Зеркало и голограмму можно считать прообразами границы мiра физического с мiром непротяженным, границы, не разделяющей эти мiры, а скорее связывающей их. Однако голографическая запись может быть представлена в цифровой форме. Как известно, информация, хранящаяся в голографической форме, может быть извлечена из любого ее фрагмента, причем размер фрагмента влияет лишь на четкость отображения (с размером повышается детализации), но не на размер отображаемого участка физического пространства.

Непрерывная детализация "записи", при полном сохранении идентичности уже записанного, достигается тем, что суммарная частота любого фрагмента записи сохраняется неименной, а все составляющие этой суммы обрастают все новыми и новыми "обертонами", делая запись все более и более живой. Это – полная противоположность амортизации записи, свойственной сегодняшним записывающим устройствам. Как отражение (простейшая форма преобразования информации), так и актуализация голографической информации, могут быть представлены в виде математических операций, которые уже в случае зеркала не сводятся к элементарным "арифметическим действиям".

Следует отметить, что голограмма, подобно "обычным" носителям информации, таким как бумага, магнитофонная лента или дискета, – все еще система без обратной связи, транслирующая информацию строго в одном направлении: из прошлого в будущее. В отличие от голограммы, зеркало работает в режиме "реального времени", но не обладает способностью фиксировать прошедшие мгновения. Многомерная голограмма отличается как от зеркала, так и от обычной голограммы тем, что она способна к усвоению входящей информации и последующей актуализации этой информации. Если при позиционной системе записи информации разрушение физического носителя приводит к потере информации, то при ассоциативной системе информация неуничтожима, так как многомерную голограмму невозможно разрушить. Можно лишь временно разучиться актуализировать уже усвоенную голограммой информацию. Время в физическом смысле внутри голограммы уже не течет, но сохраняются не только все вечные математические истины, но и память обо всех событиях, происшедших в физическом мiре.

Таким образом, многомерную голограмму, имеющую не только пространственные, но и временные измерения, можно считать физической моделью числового пространства или, иными словами, физическое пространство есть актуализация числового пространства. Физическая корреляция – не омоним математической корреляции, а есть конкретное проявление в вещественном мiре обмена информацией, происходящего по законам корреляции математической.

Недавно ушедший от нас учёный, д. физ.-мат. наук, главный научный сотрудник Физического института имени П.Н. Лебедева РАН М.Б. Менский утверждал сосуществование всех времён, проявляющееся в квантовой корреляции: "Тщательный анализ показывает, что сверх-интуиция требует не переноса из будущего в настоящее квантовой информации, а корреляции между некоторой квантовой информацией в будущем с квантовой информацией в настоящем. Поэтому ключевую роль в явлении сверх-интуиции играет не квантовая информация как таковая, а корреляция двух фрагментов квантовой информации, один из которых находится в настоящем, а второй – в будущем. Это не запрещено теоремой о невозможности квантового клонирования.

Научное озарение не означает получения решения проблемы (новой парадигмы) из будущего. Новые идеи рождаются в настоящем. Но корреляция с будущим позволяет отбросить те альтернативы, которые генерируют сценарии, не приводящие к правильному решению. Оставшиеся альтернативы породят сценарии, приводящие к правильному решению" [Менский, 2014].

Вслед за Хью Эвереттом, М.Б Менский признавал равнобытийное существование вселенных, в которых были сделаны разные выборы, – так называемую Многомiровую интерпретацию квантовой механики. Но для создания искусственного коррелятора признание справедливости Многомiровой интерпретации не представляется необходимой. Принцип квантовой корреляции совместим и с обычной Теорией струн, и с Теорией суперструн.

8. Корреляционное исчисление

Корреляционное понимание природы информации соответствует реалиям квантового мiра. Поэтому именно математика корреляций (в обоих смыслах этого слова – и математическом, и физическом) призвана стать математическим аппаратом квантовой физики, вместо искусственно привязанного к ней (подобно пресловутым "эпициклам" в геоцентрических системах) громоздкого математического аппарата, основанного на математике функций. Новую математическую дисциплину, предметом которой будет корреляционное взаимодействие чисел, можно будет назвать корреляционным исчислением. Корреляционное исчисление не может быть сведено к применяемому в математической статистике корреляционному анализу.

Корреляционное исчисление позволит увидеть в стохастических процессах, происходящих в звездах и живом веществе, душевном и духовном мiрах, – не "хаос", а закономерные процессы, не определяемые лишь прошлыми событиями, но подверженные и телеологической причинности, при полном сохранении каждым числом свободы выбора пути к общей цели. Свобода – это не мера хаотичности, а мера конкретности событий, не выводимых дедуктивно из событий, уже состоявшихся ("прошлых").

В книге "Кибернетика" Норберт Винер приводит следующее рассуждение о двух противоположно направленных потоках времени:

"Очень интересный мысленный опыт – вообразить разумное существо, время которого течет в обратном направлении по отношению к нашему времени. Для такого существа никакая связь с нами не была бы возможна. Сигнал, который оно послало бы нам, дошел бы к нам в логическом потоке следствий – с его точки зрения, и причин – с нашей точки зрения. Эти причины уже содержались в нашем опыте и служили бы нам естественным объяснением его сигнала без предположения о том, что разумное существо послало сигнал. Если бы оно нарисовало квадрат, остатки квадрата представились бы нам предвестниками последнего и квадрат представился бы нам любопытной кристаллизацией этих остатков, всегда вполне объяснимой. Его значение казалось бы нам столь же случайным, как те лица, которые представляются нам при созерцании гор и утесов. Рисование квадрата показалось бы нам катастрофической гибелью квадрата – внезапной, но объяснимой естественными законами. У этого существа были бы такие же представления о нас. Мы можем сообщаться только с мирами, имеющими такое же направление"[Винер, 1983].

Но вывод Винера о невозможности связи между разнонаправленными мiрами справедлив лишь в том случае, если не принимать во внимание телеологическую причинность. Можно представить все происходящие в физическом мiре события как результат взаимопроникновения и взаимодействия двух противоположно направленных потоков времени. С этой точки зрения, будущее мы видим в потоке "встречного времени" – телеологической причинности.

Мiр "встречного времени" не следует представлять себе как мiр, который представляется нам при просмотре киноленты в обратном направлении, так как это был бы мiр убывающей информации, что противоречило бы Закону сохранения информации. Именно взаимодействие "прямого" и "встречного" времен производит сохранение и наращивание памяти обо всех совершившихся событиях, и это справедливо для обоих направлений времени.

Само течение физического времени можно понимать как овеществление гилетического числа, то есть его оформление в виде последовательности "обычных" натуральных чисел или вещественных структур, локализованных в пространственно-временном континууме. Эти структуры в каком-то смысле представляют собой вещественные (уже в математическом смысле этого слова) приближения гилетического числа.

Привычная максима о времени гласит: "Прошлое мы знаем, но не можем влиять на него, на Будущее мы влияем, но не можем его знать". Но корреляционное исчисление даст возможность и знать Будущее (благодаря включению в рассмотрение телеологической причинности), и влиять на Происшедшее – не "делать бывшее небывшим" – а создавать новые "временные ответвления" от любого заданного момента в Происшедшем, при полном сохранении уже существующего "ствола времени". Никакого "пересмотра" уже совершившихся событий, никакой потери информации о них, – при этом не будет, а возникнут "параллельные" пространственно-временные структуры, имеющие общее Происшедшее, но разные варианты Будущего. Вспоминающий не просто получает полную информацию обо всех происшедших к определенному моменту событиях, но и взаимодействует с этой информацией. В результате этого взаимодействия родится совершенно новая реальность — новый поток событий, ответвившийся благодаря вмешательству вспоминающего от основного ствола событий.

Чем более дальние астрономические объекты мы наблюдаем с помощью телескопов, тем более ранние состояния физического мiра мы видим. Стремясь к границам пространства, – мы на самом деле погружаемся в глубины Прошедшего. Но Будущее мы можем видеть лишь в потоке "встречного времени", погружаясь в глубины Вечности, включающей в себя и еще не совершившееся! И чем глубже мы погружаемся, тем дальше мы видим! Этот поток "встречного времени" может раскрывать нам свои тайны не только в проскопических сновидениях и явлениях "дежавю", но и в моменты восприятия музыки, поэзии, изобразительного искусства, занятых, казалось бы, изображением лишь явлений уже состоявшихся (относящихся к "прошлому") или воображаемых. Постоянно приращивая собой мiр Прошедшего, мiр Вечности нисколько не убывает!

Вот как определяет понятие времени Лосев: "… время есть некое становление, некое неразличимое и сплошное, хотя и подвижное, становление. Временное становление гораздо «реальнее» числового, гораздо тяжелее, гораздо ближе к физической материи, к органической жизни, гораздо в этом смысле «конкретнее». Это есть перенос числового становления в какую-то новую сферу, потенцированное становление – становление, возведенное в степень… Зато во всем прочем время – максимально близкий, максимально интимный аналог числа. Время так же «пусто», как и число, так же имеет свое собственное содержание, независимое от грубой качественности внешнего мира. Оно так же первично для фактического бытия, как число для смыслового бытия, будучи точно таким же «актом полагания», но только уже совсем в другой области, не в области чистого смысла, но в области физической материи. Оно так же рождает из себя вещи, несет на себе вещи, так же есть перво-принцип их жизни и движения, саморазличия и самообъединения, как число рождает все различия в смысловой сфере, несет на себе всякую идеальную координацию и определяет живую текучесть смысла. Число и время – оба суть животрепещущий пульс бытия; и обе стихии – раньше и первичнее самого бытия, ибо это и есть то, что порождает саму сферу бытия, откуда вечно льются животворные и одушевляющие потоки мировой жизни, откуда творится и сама судьба бытия и мира" [Лосев, 1993].

9. Числовые пространства

В главе "Переход к специальной теории числа" Лосев утверждает реальность четырехмерного пространства: "Четырехмерное пространство является первым полным пространством с точки зрения диалектики" [Лосев, 2013]. "Вовсе не обязательно мыслить четырехмерное пространство как некую особую метафизическую действительность, не имеющую ничего общего с обычным четырехмерным пространством" [ibid]. "Гиперкомплексное число есть наивысшая форма арифметического числа, диалектически включившая в себя и алгебраическое, и трансцендентное число. Вместе с тем гиперкомплексное число есть энергийно-эманативное выражение вообще арифметического числа" [ibid]. Это и есть, согласно Лосеву, первое полное число.

Геометрическое представление полного числа есть объемное тело, по крайней мере, – четырехмерное, – в качестве четвертого измерения выступает "опространственное" время. Каждое из этих измерений имеет мощность континуума. Именно то, что полные числа представляют собой континуум, даёт возможность творить в том же самом пространстве новые математические объекты и структуры, не опасаясь того, что им будет "тесно". Математик не гадает о том, сколько измерений имеет реальное пространство, а строит новые многомерные объекты и, тем самым, – творит новые измерения! Пространство гилетических чисел отличается от "пространства Минковского" (и ещё более ранней модели пространства, предложенной Митрофаном Семеновичем Аксеновым) с их "времениподобными линиями" тем, что в гилетическом пространстве сохраняется память обо всех совершившихся событиях. Уже происшедшие события "никто не отменяет", но их переосмысление (формирование новых событий духовного мiра) непрерывно продолжается. Эта деятельность тоже может быть математизирована, так как в гилетическом пространстве выполняются все математические операции.

"Классическое" физическое пространство отличается от "классического" числового тем, что, по замечанию Германа Вейля, "в то время как «континуум» действительных чисел состоит из самых настоящих индивидов, континуум точек времени и пространства однороден" [Вейль, 1989]. Но реальное физическое пространство, т. е. пространство гилетическое, столь же неоднородно, как и пространство числовое, так как образующие его гилетические числа суть индивиды. "Мiровые линии" этих индивидов в числовом континууме суть гиперкомплексные компоненты полного числа в его реальной жизни.

Таким образом, реальное физическое пространство можно рассматривать как трехмерный фронт формирующегося числового пространства. Отсюда проистекает не только его неоднородность во времени, но и морфологическая неоднородность различных "мест" в пространстве: каждая область пространства наполнена своим неповторимым колоритом, или, как говорят французы, "couleur locale". Это выражение восходит к латинскому "genius loci" ("гений места") – так называли латиняне этот колорит, свойственный определённым областям пространства. Подобно локусам пространства, время – тоже структурировано, и каждый отрезок времени наполнен неповторимой "эпохой" – genius temporali (гением времени).

Все события разворачиваются на фоне взаимодействия пространственного и временного колоритов. Находясь в определенных областях трёхмерного пространства, мы воспринимаем не только видимую его часть, но и (хотя и не физическим зрением) невидимую, простирающуюся в иные измерения, для которых трёхмерный "участок" – лишь участок поверхности пространства, более чем трехмерного. И, каким-то непостижимым образом, осуществляется реальная связь с людьми, покинувшими уже "видимый мiр", но продолжающими жить во внутреннем пространстве трёхмерной сферы. Именно поэтому ценность того или иного участка пространства не может сводиться к ценности его трёхмерного "разреза", и место, внешне неприметное и не обладающее никакими "достопримечательностями", может обладать несопоставимо большим содержанием, чем всемiрно прославленное и облюбованное туристами. И именно поэтому посещение "мест детства" дает больше, чем любая туристская поездка в модное, но обладающее малым внутренним содержанием место. В каком-то смысле мы продолжаем жить и в тех домах своего детства, которые в видимом мiре уже снесены или перестроены. В сновидениях мы можем мгновенно переноситься в эти "параллельные участки".

Внутреннее пространство трёхмерной сферы представляет собой гигантскую многомерную голограмму, содержащую в каждой своей точке (не только поверхности, но и всей "толщи" четырёхмерного пространства) информацию (память) обо всех совершившихся событиях, на каких бы пространственных и временных расстояниях они ни находились. Идея многомерности физического пространства нашла свое выражение в "теории струн", согласно которой физическое пространство имеет более четырех измерений, что делает возможным не только "одновременное" (правильнее – "вечное") сосуществование всех времен "нашей" Вселенной, но и параллельное существование нескольких Вселенных, с возможностью корреляционной связи между ними.

Многомерностью Вселенной можно объяснить необъяснимые в "трехмерной" парадигме явления, такие, как параллелизм между объектами совершенно различных масштабных уровней, например – между живыми и космическими объектами.

А.С. Пресман отмечает: "…Если биосистемы делят на «организменные» и «популяционные», то, по классификации В.И. Васильева [1971], подобное разделение можно применить и к космическим объектам – это целостные структуры, такие как планеты, звезды и галактики, и суммативные структуры, такие как планетные системы, скопления звезд и скопления галактик. Наконец, параллелизм обнаруживается и в десимметризации форм организмов по мере их эволюции (от сферической до неправильной) и подобного рода десимметризации в эволюционном ряду галактик"[Пресман, 1997].

А вот пример из географии. Даже при беглом, но внимательном взгляде на глобус обнаруживается любопытный факт: привычные географические объекты распределены по всей поверхности Земли не только неравномерно, но и неслучайно, – они подчиняются какой-то закономерности, природа которой "не лежит на поверхности", и в прямом, и в переносном смыслах этого выражения. Прежде всего, обращает на себя внимание изоморфизм крупных географических "частей суши" (островов и полуостровов) в Азии и соответствующих им географических объектов в Европе.

Приведенные выше примеры изоморфизма наводят на мысль, что живые и космические объекты пребывают в пространстве большего числа измерений, и мы видим лишь их проекции на трехмерную поверхность реального мiра. Подобно им, реальные географические объекты (гении мест) также располагаются в многомерном пространстве, а мы наблюдаем лишь их проекции (или ответвления) на поверхность Земли, причем число этих проекций может быть и больше двух.

10. Числовой "биоценоз"

В XX столетии было установлено, что ни отдельная биологическая клетка, ни "простейшее" живое существо – не могут существовать без биологического окружения, для их жизни необходим достаточно богатый биогеоценоз, обладающий нередуцируемой сложностью, а также Солнце, излучающее не "обезличенную" энергию, а энергию структурированную – информацию, столь же необходимую живому существу, сколь и информация, содержащаяся в его генах. Подобно живой клетке, никакое число не может существовать без достаточно полного "числового окружения", включающего в себя всю историю взаимоотношений этого числа с "окружающими" его числами (то есть историю математических операций), и составляющего вместе с этим числом некий "числовой биогеоценоз" – некая минимальная совокупность чисел и операций. А это и означает "быть гилетическим числом", так же отличающимся от числа в представлении математики "Нового времени", как живая биологическая клетка отличается от ее рисунка в школьном учебнике биологии.

А что же представляют собой другие числа – иррациональные, комплексные и "обычные" (то есть лишенные "временного измерения") кватернионы? Это – "предельные случаи" гилетических чисел, которые в "чистом виде" никогда в природе не встречаются, как не встречаются "мгновения времени" – лишенные длительности временные интервалы.

В новой аксиоматике элементарный математический объект, число, – обладает памятью, свободой и способностью обмениваться информацией с другими числами.

11. Модели усвоения и актуализации информации

Все до сих пор применявшиеся и применяющиеся сегодня средства хранения и передачи информации имели дело лишь с препарированной информацией – копиями совершившихся событий на традиционных носителях – бумаге, лазерных дисках, в электронных файлах. Но воспроизведение памяти ("вспоминание") – это не "проигрывание" или "считывание" информация, а новая локализация события, придание ему геометрической формы, реализованной в пространстве (предмет изобразительного искусства, письменный текст) или во времени (музыка, устная речь). Но любое событие можно рассматривать как сохранение информации в несепарабельном (нелокализованном) состоянии числа, то есть в его памяти. Информация о каждом событии присутствует в любой точке пространственно-временного континуума.

Память любого числа – не простое произведение сомножителей, а уникальная совокупность всех произведенных над ним операций (умножение – лишь одна из них) и всех участвующих в этих операциях исходных чисел. Интуиция подсказывает, что именно так устроена память любого живого существа. Процессы запоминания, мышления и воспроизведения информации не могут быть полностью сведены к элементарным арифметическим операциям: мощность несводимых операций неизмеримо превосходит счетное множество сводимых, до сих пор являющихся базой современной информатики.

Геном представляет собой новое пространственное оформление реалий непротяженного мiра. Он ответствен за новую актуализацию информации, заключающуюся в ее овеществлении (или объективации) в виде живого существа. Геному (как и созданному человеком тексту литературного или музыкального произведения) нисколько не мешает то, что он записан дискретными единицами ("буквами"), которые вполне могут быть представлены в виде ряда натуральных чисел. Дело в том, что "текст" генома – это не изолированное число, а программа взаимодействия чисел. Именно поэтому он способен передавать гораздо больше информации, чем содержит видимым образом.

12. Заключение: Перспективы создания гилетического коррелятора

Как уже отмечалось выше, квантовая теория справедлива не только для микромiра, но и для мiра в целом. Попытки подогнать явления под правила "доквантовой" (рациональной) логики приводят к потере контакта с реальностью, замене ее умственной конструкцией. В квантовой теории поля само число уже обладает свойствами квантового объекта. Благодаря этому математический аппарат квантовой теории поля есть не просто математическое описание вещественных микрообъектов, обладающих квантовыми свойствами, но представляет собой квантовую математику, в которой традиционное понятие числа, сложившееся в науке XVII – XIX столетий, дополнено понятием континуума. При этом квантовая математика не ограничивается лишь материальным мiром, но смело вторгается и в мiр духовный, сама при этом одухотворяясь.

Неоднократно делались попытки построить математическую модель мышления, представляя память и содержание сознания в виде счетных множеств. Но, в отличие от цифровой микросхемы, использующей "классическую" дихотомию нулей и единиц, человеческое мышление построено по совершенно иному принципу. Запись информации в памяти обычного компьютера позиционна, то есть осуществляется путем преобразования последовательности событий во времени в последовательность локализованных в пространстве участков носителя. В отличие от нее, память живого существа ассоциативна. Она организована в виде многомерной голограммы, упорядоченной вдоль временной оси. Мозг можно уподобить трехмерному "срезу" этой голограммы, локализованному в четырехмерном пространстве. Основной функцией мозга можно считать переработку информации с ее последующим усвоением живым существом, – трансляцией информации из пространственно оформленного мiра в непротяженный мiр сознания. Корреляционная информационная технология сделает излишним создание вещественных копий совершившихся событий (дополнительное сохранение уже сохраненной информации на традиционных носителях – бумаге, лазерных дисках, электронных файлах), которые станут таким же анахронизмом, как глиняные таблички или узелковое письмо. Отпадет необходимость "проигрывать запись", как это делают сегодняшние воспроизводящие устройства, так как совершившееся уже вечно пребывает в памяти, и нам надлежит лишь вспомнить его.

При воспроизведении информация приобретет пространственно протяженную форму, становясь достоянием не только вспоминающего индивида, но и всех воспринимающих эту форму лиц. Если пространство сегодняшней Всемiрной паутины ограничено объемом сетей, опоясывающих Землю, то пространство Вселенской информационной системы ничем не ограничено, непрерывно расширяется и ее "серверами" являются все элементарные частицы, наполняющие многомерную Вселенную. При этом персональные корреляторы можно считать терминалами этого единого Вселенского гилетического коррелятора.

Будут сняты границы между числом и окружающим его пространством, между человеком и остальной Вселенной. Станет возможным "вернуть прошлое" путем полной актуализации всех впечатлений, полученных индивидом в течение определенного отрезка его жизни, например – воссоздать на основе воспоминаний, виртуальный образ квартиры детства, со всей обстановкой и панорамой за окнами. Это воссоздание не будет означать подмены сегодняшней жизни "бегством в прошлое", так как это "прошлое" будет не просто повторяться, заменяя собой настоящее, а предстанет уже обогащенным всем опытом жизни, протекшей между "записью" и "воспроизведением" совершившихся в "прошлом" событий. Мы увидим его совершенно по-новому, и нам станет невыразимо дорого то, что тогда ("в первый раз") осталось нами незамеченным. Однажды воспринятое впечатление, будь то впечатление от сгоревшего ныне храма, слышанного когда-то музыкального произведения, название и фамилия автора которого давно забыто, фотографии из пропавшего семейного альбома, – смогут быть теперь воссозданы из "небытия".

Список литературы

Бехтерева Н.П. Магия мозга и лабиринты жизни. Act; Сова, М.- СПб.: 2007. 349 с.

Бриллюэн Л. Научная неопределенность и информация. М.: 1966.

Бугаев Н.В. Основные начала эволюционной монадологии (Реферат, читанный в заседании Московского Психологического Общества) // Вопросы философии и психологии. 1894. № 17. — С. 178 – 196.

Бунин В.А. Биоподобие техногенных систем: Математический код метагармонии. М.: КРАСАНД, 2010. – 96 с.

Васильев В.И. Симметрия планетных форм и сил. //Кн. Симметрия в природе. М.: 1971.

Вейль, Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.

Винер Н. Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине. Второе издание. М.: Наука, 1983.

Гейзенберг В. Физика и философия. М.: 1963.

Гейзенберг В. Развитие понятий в физике ХХ столетия. // Вопросы философии, № 1, 1975.

Гуссерль Э.Г. Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии. Т. 1. М.: ДИК, 1999.

Килин С.Я. Квантовая информация: «Успехи Физических Наук» — 1999. — Т. 169, № 5.

Кудрин В.Б. Бытийный статус числа и вселенская информационная сеть – Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013.

Кудрин В.Б. Гилетика в суперсистеме знаний Аристотеля // Biocosmology – neo-Aristotelism. Vol. 5, Nos 3&4, 2015. С. 414 – 422.

Кудрин В.Б. Динамическая логика Аристотеля – основа Биокосмофизики // Biocosmology – neo-Aristotelism. Vol. 6, No 2, 2016. С. 244 – 254.

Кудрин В.Б. Целевая причина подобий организмов и событий в свете философии А.Ф. Лосева // Biocosmology – neo-Aristotelism, Vol. 5, No 1, 2015. С. 51 – 64.

Кудрин В.Б. Сложность простых чисел и корреляционная информатика // Biocosmology – neo-Aristotelism. Vol. 6, No 1, 2016. С. 89 – 101.

Кудрин В.Б. Математика Аристотеля: исторические вехи и перспективы развития // Biocosmology – neo-Aristotelism. Vol. 8, No 1, 2018. С. 136 – 147.

Ленников Р.В., Яшин А.А. "Волны" расширяющихся матриц простых чисел как исходная форма записи информации в объектах живой материи. // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. Т. 13, № 4. Тула, 2010.

Лосев А.Ф. Музыка как предмет логики. Из ранних произведений. М.: Правда, 1990.

Лосев А.Ф. Бытие – Имя – Космос. М.: Мысль, 1993.

Лосев А.Ф. Миф — Число — Сущность. М.: Мысль, 1994.

Лосев А.Ф. Форма — Стиль — Выражение. М.: Мысль,1995.

Лосев А.Ф. Критика платонизма у Аристотеля. М.: Академический проект, 2011.

Лосев А.Ф. Диалектические основы математики. М.: Academia, 2013. – 800 с.

Манин Ю.И., Вычислимое и невычислимое, Кибернетика, Сов. Радио, М., 1980.

Манин Ю.И., Преобразование Пенроуза и классические поля Янга–Миллса, в сборнике: «Теоретико-групповые методы в физике», т. 2, Наука, М., 1980.

Паршин А.Н. Путь. Математика и другие миры. М.: Добросвет, 2002.

Пенроуз Р. Новый ум короля. М.: Едиториал УРСС, 2003. — 339 с.

Пенроуз Р. Тени разума. В поисках науки о сознании. Ижевск: ИКИ, 2011.

Пресман А.С. Организация биосферы и ее космические связи. М.: ГЕО - СИНТЕГ, 1997.

Татур В.Ю. Тайны нового мышления. М.:1990.

Тертуллиан. De Carne Christi V, 4. В кн.: Апология. М., АСТ. 2004.

Трубецкой С.Н. Метафизика в древней Греции. М.: 1910.

Харитонов А.С. Математические начала синтеза принципов дуализма и триединства. // М.: Метафизика, 2012, № 3. С. 147 – 155.

Харитонов А.С. Теория развития к гармонии и красоте // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.25397, 29.04.2019.

Shor P.W. In Proceedings of the 35th Annual Symposium on the Foundations of Computer Science, edited by S. Goldwasser (IEEE Computer Society Press, Los Alamitos, CA). Р. 124 (1994).