Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Дискуссии - Наука

В.С. Пермикин
К проективным свойствам физического пространства-времени. Часть II. О мерах и кривизне в классической геометрии Лобачевского - Больяи

Oб авторе


Аннотация

В предположении, что 4-х мерное физическое пространство (пространство-время) является проективным, а его геометрия - классической неевклидовой геометрией Лобачевского - Больяи (гиперболической геометрией) рассмотрены следующие задачи: 1) обоснование с помощью проективной геометрии существования в геометрии Лобачевского - Больяи двух основных неевклидовых мер расстояния - аддитивной классической неевклидовой меры и неаддитивной неевклидовой меры, которая является обобщением физического интервала между событиями; 2) вывод формул, описывающих преобразование координат между двумя автополярными системами координат, - рассмотрен случай взаимного расположения двух автополярных систем координат 4-х мерного проективного гиперболического пространства, когда ось времени и одна из координатных пространственных осей обеих систем лежат в одной плоскости, а две другие оси систем соответственно попарно параллельны; 3) обоснование кривизны плоской неевклидовой геометрии как кривизны меры; 4) вывод формул, описывающих изменение со временем расстояния, скорости и ускорения между инерциальными системами в 4-х мерном случае.

Ключевые слова: ускоренное расширение Вселенной, тёмная энергия, геометрия проективная, псевдоевклидова, гиперболическая, неевклидова, геометрия Лобачевского - Больяи, автополярная система координат, Абсолют, вурф, двойное отношение, кривизна меры, гауссова кривизна поверхности.


TO PROJECTIVE PROPERTIES OF THE PHYSICAL SPACE-TIME.
PART II. MEASURES AND CURVATURE IN CLASSICAL THE GEOMETRY OF LOBACHEVSKY - BOLYAI
Permikin V.S.


Abstract

Under the assumption that 4-dimensional physical space (space-time) is projective, and its geometry the classical non- Euclidean geometry of Lobachevsky - Bolyai (hyperbolic geometry) the following tasks: 1) the rationale for using projective geometry for the existence in the geometry of Lobachevsky - Bolyai's two main non-Euclidean measures of distance - additive classical non-Euclidean and non-Euclidean non-additive measure which is a generalization of the physical interval between the events; 2) derivation of the formulas describing the transformation of coordinates between two autopolarity coordinate systems - the case of the mutual arrangement of the two autopolarity coordinate systems are 4-dimensional projective hyperbolic space, when the time axis and one spatial coordinate axes of both systems lie in the same plane, and the other two axis systems are pairwise parallel; 3) justification of curvature of the flat non-Euclidean geometry as curvature measures; 4) derivation of the formulas describing the change with time of distance, speed and acceleration between inertial systems in 4-dimensional case.

Keywords: accelerated expansion of the Universe, dark energy, projective geometry, pseudo-Euclidean, hyperbolic, non- Euclidean geometry of Lobachevsky - Bolyai, autopolarity coordinate system, the Absolute, Worf, double ratio, curvature measure, the Gaussian curvature of the surface.


Введение

Данное сообщение является непосредственным продолжением статьи [1], в которой выдвинуто утверждение, что 4-х мерное физическое пространство (пространство-время) является проективным пространством и обладает гиперболической (псевдоэллиптической - по терминологии Феликса Клейна [2, С. 247]) геометрией Лобачевского - Больяи. В [1] показано, что в геометрии Лобачевского - Больяи две инерциальные системы имеют относительное ускорение всегда, даже в момент времени, когда их относительная скорость равна нулю (если такой момент имеется - при компланарности их мировых линий). Но это ускорение не является следствием действия на них каких-либо сил, а является проявлением структуры гиперболической проективной (псевдоэллиптической) геометрии. Две системы инерциальные с массами равными массе Земли, или даже солнечной, находящиеся на расстоянии в мегапарсек (и удаляющиеся относительно друг друга со скоростью 70 км/сек), вполне можно считать гравитационно не взаимодействующими между собой. Если принять, что в реальном физическом пространстве на таких больших расстояниях проявляются особенности гиперболической проективной геометрии, то для описания ускоренного расширения Вселенной не будет необходимости привлекать тёмную энергию.

В качестве основных методов исследования используется методы проективной геометрии. Связано это с тем, что проективный метод позволяет исследовать структуру геометрии в целом, как единого целого [3, С. 206], [4, С. 82]. Проективный метод позволяет рассматривать геометрию не только какой-либо ограниченной области пространства, и не только пространство всей Вселенной, но и целиком все физическое пространство-время как единую физическую сущность.


Об основных мерах в геометрии Лобачевского - Больяи с точки зрения проективной геометрии

В качестве основных мер расстояния между двумя точками на прямой, в статье [1] рассмотрены две группы неевклидовых мер. Одна из них является классической, т.е. такой неевклидовой мерой, которая обладает свойством аддитивности. В качестве второй основной неевклидовый меры выбрана мера наблюдаемой физической величины расстояния (пространственной длины, длительности интервала времени и величины интервала между событиями). В статье утверждается, что неевклидова физическая мера расстояния является бельтрамиевой функцией [5, С. 193], аддитивной неевклидовой меры расстояния. Для обоснования этого утверждения было использовано имеющееся в псевдоевклидовой геометрии аналогичное соответствие между быстротой - аддитивным аргументом и его бельтрамиевой функцией - скоростью, которая является наблюдаемой физической величиной.

В виду важности вопроса о мерах, как основных геометрических параметрах, ниже приведён способ введения мер расстояния в неевклидовой геометрии с помощью проективных методов без использования, указанной выше аналогии.

Для упрощения рассмотрим 2-у мерный случай - гиперболическую плоскость Лобачевского - Больяи, т.е. ту, которая пересекает Абсолют. Ниже, как ив [1, C. 108, рис. 3], для введения координат используется простейший проективный инвариант «вурф» - упорядоченная четверка элементов, принадлежащих линейно упорядоченному замкнутому образу [6, С. 15], [7, С. 289]. Так же будем считать, что на рассматриваемой гиперболической плоскости уже имеется евклидово мероопределение (евклидова геометрия). Данное предположение позволит нам использовать понятие двойного отношения, выраженное в евклидовых длинах.

Чтобы избежать неопределённости при задании вурфа и вида двойного отношения мы будем придерживаться следующих соглашений:

  1. Элементы вурфа будут записываться так, как они упорядочены на носителе в положительном направлении, начиная с элемента, от которого мы определяем расстояние.
  2. Выбор пар элементов вурфа при числовом определении расстояния будет выбираться однозначно, в зависимости от рассматриваемой задачи.
  3. Далее применяются следующие обозначения: вурф будет записываться в круглых скобках, его числовое значение в квадратных скобках. Если расставлены стрелки, то значит выбрано одно из возможных числовых значений вурфа. Если для числового значения выбрано его представление через двойное отношение, то оно будет записываться в явном виде.

Полный текст доступен в формате PDF (646Кб)

Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 6 (72) Часть 1. — С. 14—24.


В.С. Пермикин, К проективным свойствам физического пространства-времени. Часть II. О мерах и кривизне в классической геометрии Лобачевского - Больяи // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.25322, 03.04.2019

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru