Аннотация. Произведена классификация пифагоровых троек по признаку различий котангенсов в определенной группе, значение которых стремится к единице поделенной на простое число и имеет вид дроби. Построены соответствующие таблицы, содержащие примитивные и не примитивные пифагоровы тройки в соответствии с предлагаемой наглядной классификацией. На основе представленной классификации введено понятие «родительская» пифагорова тройка – примитивная тройка, лежащая в основании ряда (таблицы) производных от нее пифагоровых троек. Первая «родительская» пифагорова тройка среди множества примитивных по признаку возрастания значений котангенса их треугольников определена нами как «119, 120, 169». Показано, что первую «родительскую» пифагорову тройку по признаку возрастания меньших катетов их треугольников – 3, 4, 5 – можно рассматривать как исходную структурную единицу двухмерного плоскостного построения фигуры – прямоугольного треугольника, а произведение чисел 3, 4, 5 – равное 60 – целесообразно рассматривать, в свою очередь, как структурную единицу трехмерной объемной фигуры – параллелограмма.

Ключевые слова: классификация, пифагорова тройка, структурная единица, котангенс треугольника, «родительская» пифагорова тройка.

Введение. Пифагорова тройка – упорядоченный набор из трёх натуральных чисел x, y, z, удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению (1):

x²+y²=z² (1)

Так как уравнение (1) однородно, при умножении x, y и z на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка (x, y, z) называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки.

Формула Евклида [1] (2) является основным средством построения пифагоровых троек. Согласно ей для любой пары натуральных чисел m и n (m>n) целые числа:

a=m²–n², b=2m*n, c=m²+n² (2)

образуют пифагорову тройку. Тройки, образованные по формуле Евклида, примитивны тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты и m–n нечётно. Если и m и n нечётны, то a, b и c будут чётными и тройка не примитивна. Однако деление a, b и c на 2 даёт примитивную тройку, если m и n взаимно просты [2].

Формула Евклида генерирует все примитивные тройки, но она не порождает все тройки. При добавлении дополнительного параметра k получается формула (3), порождающая все пифагоровы треугольники единственным образом:

a=k*(m2–n2), b=k*(2mn), c=k*m²+n² (3)

где m, n и k — натуральные числа, m>n, m–n нечётно, m и n взаимно просты.

Поскольку любую пифагорову тройку можно разделить на некоторое k, чтобы получить примитивную тройку, любая тройка может быть образована единственным образом с использованием m и n для создания примитивной тройки, а затем она умножается на k.

Было найдено относительно много формул для генерации пифагоровых троек. В то же время, не существует относительно простого «не формульного» способа генерации пифагоровых троек. В этой связи, мы предположили, что существуют определенные признаки пифагоровых троек, на основании которых возможна их относительно простая, «легкая» математическая генерация и возможность наглядного представления результатов этой генерации.

Основная часть. При анализе примитивных пифагоровых троек по признаку возрастания меньших катетов их треугольников были определены значения котангенса их треугольников. Выявлено, что ряд троек имеет определенный «шаг» в значении котангенса. На этом основании мы различным цветом выделили те пифагоровы тройки, которые «укладываются» в подобную последовательность «шага» (таблица 1). В таблице 1 представлены 105 примитивных пифагоровых троек до значений четырехзначного числа и значения котангенса их треугольников. На основании значений котангенса треугольников рассматриваемых троек выявлена периодичность – значения котангенса увеличиваются на определенную величину, что позволило нам предположить о существовании возможности создания на этом основании классификации пифагоровых троек. Исходя из данных таблицы 1, нами выделены исходные для предлагаемой классификации тройки (выделено в таблице 1 полужирным курсивом): 3-4-5; 8-15-17; 20-21-29…

формате PDF (1108Кб)