(On Insolvability of the 4-st Hilbert Problem for Hyperbolic Geometries)

Abstract

The article proves the insolvability of the 4-th Hilbert Problem for hyperbolic geometries. It has been hypothesized that this fundamental mathematical result (the insolvability of the 4-th Hilbert Problem) holds for other types of non-Euclidean geometry (Riemannian geometry (elliptic geometry), non-Archimedean geometry, and Minkowski geometry). The ancient Golden Section, described in Euclid’s Elements (Proposition II.11) and the following from it Mathematics of Harmony [1], as a new direction in geometry, are the main mathematical apparatus for this fundamental result. By the way, this solution is reminiscent of the insolvability of the 10-th Hilbert Problem for Diophantine equations in integers. This outstanding mathematical result was obtained by the talented Russian mathematician Yuri Matiyasevich in 1970 [2], [3] by using Fibonacci numbers, introduced in 1202 by the famous Italian mathematician Leonardo from Pisa (by the nickname Fibonacci), and the new theorems in Fibonacci numbers theory, proved by the outstanding Russian mathematician Nikolay Vorobyev and described by him in the latest edition of his book “Fibonacci numbers” [4].

Аннотация

В статье доказана неразрешимость 4-й проблемы Гильберта для гиперболических геометрий. Выдвинута гипотеза о том, что этот фундаментальный математический результат (неразрешимость 4-й проблемы Гильберта) справедлив для всех типов неевклидовой геометрии (геометрии Риммана (эллиптическая геометрия), неархимедовой геометрии, геометрии Минковского). Античное Золотое Сечение, описанное в «Элементах Евклида» (предложение II.11) и вытекающая из него «Математика гармонии» [1], как новое направление в геометрии, является основным математическим аппаратом для этого фундаментального результата. Кстати, это решение напоминает неразрешимость 10-й проблемы Гильберта для диофантовых уравнений в целых числах. Этот выдающийся математический результат был получен талантливым русским математиком Юрием Матиясевичем в 1970 г. [2], [3] с использованием чисел Фибоначчи, введенных в 1202 г. известным итальянским математиком Леонардо из Пизы (по прозвищу Фибоначчи), и новых теорем в теории чисел Фибоначчи, доказанных выдающимся русским математиком Николаем Воробьевым и описанных им в последнем издании его книги «Числа Фибоначчи» [4].

1. Hilbert's Problems [5] - [8]

David Hilbert is a German mathematician, who made a significant contribution to the development of many areas of mathematics. In 1900, from 6 to 12 August 1900, the II International Congress of Mathematicians was held in Paris. At this Congress, Hilbert presented his report "Mathematical Problems", in which he proposed his famous twenty-three problems of mathematics.

Currently, the 11 problems among the 23 problems have been solved. The 6 problems have been partially solved. For the two problems, mathematicians have no consensus, the 4-th and 23 problems are formulated too vaguely to judge whether they are solved or not (for more details see [5] - [8]).

формате PDF (287Кб)